Descrizione sintetica dei limiti, Appunti di Matematica

Scarica Descrizione sintetica dei limiti e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity! Limiti di funzioni. Il concetto intuitivo di limite. https://youtu.be/kDqCKm40mr8 Il limite è un’operazione matematica che permette di stabilire a quale valore si avvicina una funzione f(x) quando la variabile x tende ad un certo valore x0. Se per x che tende al valore xo la funzione f (x) si avvicina al valore l,  si scrive: lim x→ x0 f (x)=l  si legge: limite per x che tende a x0, di effe di x, uguale l, e vuol dire che quanto più la variabile x si avvicina al valore x0 tanto più la funzione f (x) si avvicina al valore l. Il calcolo del limite è importante per sapere a quale valore si avvicina la funzione quando la variabile x tende a   o a  a quei punti del dominio in cui la funzione non è definita (non esiste) e il suo grafico si interrompe. Quattro casi di limite. Secondo i valori che possono assumere il punto xo e il limite l, che possono essere finiti o infiniti, si possono avere quattro casi diversi di limite: Per capire il concetto di limite bisogna sapere cosa è un intorno e cosa è un punto di accumulazione. Si definisce intorno di un punto x0, un intervallo che contiene quel punto, - Questo può essere circolare, cioè il punto x0 sta al centro, - destro o sinistro a seconda che il punto è estremo sinistro o destro. - Definiamo intorno di più infinito un qualsiasi intervallo costituito da tutti i numeri più grandi di un certo valore M. Un punto è di accumulazione, se in ogni suo intorno cadono infiniti punti dell’insieme di definizione della funzione. Attenzione. Quando si calcola il limite di una funzione nell’intorno di un punto x0, è necessario che questo sia di accumulazione, poiché dobbiamo essere certi di poter calcolare il valore che la funzione assume nei punti che si trovano nelle immediate vicinanze a destra e sinistra del punto considerato. Analizziamo adesso i quattro casi di limite. 1. Il limite finito di una funzione in un punto. APPROFONDIMENTO l  x o a) limite finito di una funzione in un punto: li m x  f (x)  l Sia f : DC una funzione reale di variabile reale e sia xo un punto di accumulazione di D che non necessariamente appartiene a D. Si dice che per x tendente al punto xo la funzione f (x) tende al limite finito l, e si scrive: lim x→ x0 f (x )=l quando, per x molto vicino a xo , ma x≠ xo, risulta che f (x) è molto vicina al valore l. Graficamente si ha la seguente situazione: Questo concetto si esprime rigorosamente in questo modo lim x→ x0 f (x )=l⟺∀ ϵ >0∃ I ( x0 ) /∀ x∈ I ( x0 )− {x0 }⇒|f ( x )−l|<ϵ Comunque (∀) preso ϵ , positivo e piccolo a piacere, esiste (∃) un intorno del punto x0, tale che, comunque preso un punto all’interno di tale intorno, diverso da xo, la funzione assume valori compresi tra l-ϵ e l+ϵ . 2. Il limite infinito di una funzione in un punto. Sia f: DC una funzione reale di variabile reale e sia xo un punto di accumulazione di D che non necessariamente appartiene a D. Quando la variabile x tende ad un valore finito e la funzione tende all’infinito si possono presentare due casi. 1° caso con il limite uguale a   Si dice che per x tendente al punto xo la funzione f (x) tende a   e si scrive: limx→ x0 f (x )=+∞ quando, per x molto vicino a xo, ma x≠ xo, risulta che f (x) diventa molto grande, più grande di qualunque numero positivo M. Graficamente si ha la seguente situazione: Questo concetto si esprime rigorosamente in questo modo lim x→ x0 f (x )=+∞⟺∀ M >0∃ I ( x0 ) /∀ x∈ I ( x0 )− {x0 }⇒ f ( x )>M . Comunque (∀) preso M , positivo e grande a piacere, esiste (∃) un intorno del punto x0, tale che, comunque preso un punto all’interno di tale intorno, diverso da xo, la funzione assume sempre valori più grandi di M . 2° caso con il limite uguale a  Si dice che per x tendente al punto xo la funzione f (x) tende a   e si scrive: limx→ x0 f (x )=−∞ quando, per x molto vicino a xo, ma x≠ xo, risulta che f (x) diventa molto piccola, più piccola di qualunque numero negativo -M. Graficamente si ha la seguente situazione: Questo concetto si esprime rigorosamente in questo modo: lim x→ x0 f (x )=−∞⟺∀M >0∃ I ( x0 ) /∀ x∈ I ( x0 )− {x0 }⇒ f ( x )←M . Comunque (∀) preso M , positivo e grande a piacere, esiste (∃) un intorno del punto x0, tale, comunque preso un punto all’interno di tale intorno, diverso da xo, la funzione assume sempre valori più piccoli di -M Quando lim x→ x0 f (x )=± ∞ si dice che la retta verticale di equazione x=x0 è un asintoto verticale della funzione f(x).