Scarica Didattica della Matematica e più Appunti in PDF di Didattica Della Matematica solo su Docsity! I NUMERI NATURALI E LE OPERAZIONI Quando il bambino inizia a utilizzare la parola-numero si apre davanti a sé la strada dei vari usi e delle proprietà dei numeri naturali. A un certo punto il bambino diventa consapevole che a un tratto non interessa più il singolo numero, ma la collezione completa dei numeri naturali. Siamo, dunque, dinanzi alla matematica vera e propria. In matematica, questa idea si esprime dicendo che i numeri naturali formano un insieme: N. I numeri servono per: contare, ordinare ed enumerare, misurare, oppure come codice di identificazione. Ad esempio i bambini contano gli alunni di una classe o le figurine di cui dispongono. Nel caso dell’enumerazione i bambini impareranno a dire che una loro compagna di classe è arrivata terza alla corsa e così via. Ma i numeri servono anche e soprattutto per calcolare, ovvero per risolvere i problemi eseguendo delle operazioni tra numeri dati. Come quando il bambino scopre che alla sua collezione di 3 figurine se ne aggiunge altre 2, ne avrà 5. Con i numeri i bambini acquisiscono la consapevolezza delle facoltà mentali, ma scoprono anche che i numeri vanno maneggiati con cura e scoprono anche i primi intralci che il mondo dei numeri porrà loro, con ad esempio le prime difficoltà che incontreranno con le sottrazioni, quando ad esempio il minuendo non è maggiore del sottraendo e così via. CONTARE TRA ORDINARE ED ENUMERARE Il contare rappresenta il primo collegamento tra la competenza numerica innata e quella che viene successivamente acquisita attraverso l’interazione con l’ambiente. Imparare a contare non significa però imparare la successione dei numeri come una sorta di filastrocca. Soprattutto alla luce del fatto che esiste una corrispondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno. Questo significa che ogni elemento può essere messo in relazione solo e soltanto con un altro elemento. In questa fase siamo già nel campo dell’enumerazione. Già nei primi anni di vita i bambini acquisiscono competenze numeriche e diventano in grado di utilizzare i numeri ancora prima di andare a scuola. Questo permette loro di avere già una certa familiarità con la conta – espressa come una sequenza di parole. Dunque potremo quasi affermare che, mentre il contare rappresenta una sorta di azione primitiva che raggruppa elementi simili, il numerare riguarda invece un concetto sicuramente più astratto e complesso che presuppone appunto la consapevolezza di quella corrispondenza biunivoca di cui abbiamo detto. Essa rappresenta, infatti, la consapevolezza dell’individualità e unicità di ogni elemento. A ogni elemento viene cioè data una sorta di etichetta ed è un po’ come se il bambino assegnasse un nome proprio ad ogni elemento. Si tratta di un principio che viene applicato alla conta che era stata già appresa come sequenza di parole-numero. Ora il bambino sa che a quella determinata parola- numero corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme di oggetti che sta contando. Questo significa anche che nel numerare è presente la capacità di riconoscere che quelle parole-numero seguono un ordine preciso e costante. L’ADDIZIONE E LA MOLTIPLICAZIONE COME OPERAZIONI INTERNE AD N L’addizione e la moltiplicazione sono quelle operazioni che funzionano bene tra numeri naturali. Esse sono operazioni interne, il che significa che, dati due numeri naturali, ovvero qualsivoglia n e m, possiamo sempre determinare un altro numero naturale che è il risultato dell’addizione o della loro somma: n + m. Stessa cosa anche per la moltiplicazione, dove dati n ed m, ci sarà sempre un altro numero naturale che rappresenterà il risultato della moltiplicazione e, quindi, il loro prodotto. LE PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE E DELLA MOLTIPLICAZIONE FRA NUMERI NATURALI Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione sono governate dalle leggi fondamentali dell’aritmetica. Per approcciare a tali regole i bambini avranno bisogno di avvicinarsi prima a un modello concreto che li condurrà successivamente a un passaggio e a una forma astratta. Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione sono la proprietà commutativa, associativa e distributiva. I bambini potranno sperimentare la proprietà commutativa a partire già dal primo approccio all’addizione, ovvero quando nella sperimentazione delle cosiddette coppie amiche entro il numero dieci, si renderanno conto che esistono sempre due numeri che formano un ulteriore numero al di là di come lo andrò a scrivere. Ed esempio: 6+4 = 4+6. Stessa proprietà valida anche per la moltiplicazione: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6. Ovvero a,b є N, cioè per qualunque numero a e b appartenente ad N vale che: a x b = b x a. Il problem solving potrà sicuramente aiutare i bambini nella percezione di tale proprietà. ES:”La mamma sta preparando le pastiere per Pasqua. Le ha così disposte sul tavolo”. Questo il comando che andremo a fornire ai bambini per chiedere loro di disegnare tre file di torte composte da quattro torte ciascuno. Chiederemo poi loro di eseguire la moltiplicazione inserendo prima il numero delle file e poi quello delle colonne, invertendo successivamente i fattori. Anche la proprietà associativa dell’addizione sarà sperimentata dagli alunni quasi in contemporanea con l’apprendimento dell’addizione e durante il loro giocare con i numeri. Quasi in maniera del tutto intuitiva i bambini apprenderanno come l + (n+m) = (l + n) + m. La proprietà associativa ci dice, invece, che il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto. Es: 4 x 10 x 7 = 40 x 7. Ovvero per qualunque numero a, b, c appartenente ad N: a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c. La moltiplicazione gode, infine, anche della proprietà distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun numero della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti. Es: 13 x 18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234. IL RAGIONAMENTO PER RICORRENZA (“AGGIUNGERE UNO”) I bambini entrano precocemente a contatto con l’esempio più semplice e naturale del concetto di infinito matematico: n + 1. L’infinito matematico continua a essere un tema che spiegare e risolvere quel problema. È ovvio che una congettura per essere buona non deve essere facilmente risolvibile, inoltre in matematica le sono molto importanti perché indirizzano le ricerche, servono da guide. Le congetture più note sono quelle che hanno a che fare con l'aritmetica, e questo perché essere rappresentano enunciati comprensibili anche da non specialisti o matematici. Un esempio classico di congettura è quella sui numeri perfetti: "ogni numero perfetto è pari e termina con 6 o 8. Inoltre esistono infiniti numeri perfetti". IL PRINCIPIO DI INDUZIONE Il principio di induzione fu individuato da Giuseppe Peano come nucleo concettuale dell’idea di numero naturale. Esso è alla base delle definizioni e del cosiddetto ragionamento per ricorrenza, il quale è collegato proprio a quella sorta di magia dell’aggiungere uno che genera, appunto, la sequenza dei numeri naturali e che in certe situazioni ci permette di dire e così via...Fulcro della consapevolezza numerica dei bambini è la sequenza o la cosiddetta successione dei numeri. Si inizia da uno e poi, di volta in volta, i bambini acquisiscono pezzi sempre più lunghi di questa sequenza. Tale meccanismo può essere espresso anche attraverso il concetto di successore: cioè a ogni numero naturale corrisponde un altro numero naturale successore e, questo successore può essere uno ed uno solo. Non solo, perché due numeri naturali diversi hanno successori diversi e, quindi, ogni numero naturale, tranne il numero 1è il successore di un numero naturale e solo di uno. Es: sc(1)=2. Si tratta di una legge dell’aritmetica valida sempre. Tale sicurezza risiede nel principio di induzione di Peano secondo il quale: considerata una successione di infinite proposizioni matematiche A1,A2 ,A3 , ... che insieme costituiscono la proposizione generale A se innanzitutto - (a) si dimostra che un primo caso sia vero; e poi - (b) si individua un metodo che rende possibile il passo induttivo ossia un metodo per dimostrare che, se la proposizione per un ce1to numero naturale k è vera allora è vero il caso seguente, per k + 1; allora ne segue che tutte le proposizioni della successione sono vere e A è dimostrata. IL PRINCIPIO DI INDUZIONE E QUALCHE ESEMPIO CON I NUMERI 2 + 4 + 6 + ----------- + 2n = n (n + 1) n (vera) Se ipotizzo che n è vera per i primi numeri lo sarà anche per quelli successivi 2 + 4 + 6 + ----------- + 2n = n (n + 1) Per dimostrare che una cosa sia vera non basta la mia congettura, ma devo dimostrare che se una cosa è vera in un caso lo sarà anche in un altro. 2 + 4 + 6 = 3 x 4 (n + 1) 2 + 4 + 6+ 8 = 20 20 = 4x5 IL PRINCIPIO DI INDUZIONE E QUALCHE ESEMPIO IN GEOMETRIA La somma degli angoli interni di un poligono è pari al prodotto tra il numero di lati – 2 per l’angolo piatto. Quindi: 180° (n-2). Questo vale per un poligono a 5 lati come questo dove n= 5, ma vale anche per il successivo. La somma degli angoli = 540° S = (N-2) X 180° N= 5 S = 3 X 180° = 540° Tutto ciò vale anche per il poligono successivo che avrà sei lati. S = (6-2) x 180° GLI ASSIOMI DI PEANO Attraverso gli assiomi, Peano riuscì a dimostrare, per induzione, le leggi dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano sono cinque. Essi contengono affermazioni principali che sono le seguenti: uno è un numero. Quindi n appartiene ad N. Il successivo di un numero è un numero. Ogni numero naturale ha un successivo e uno soltanto; due numeri diversi hanno successivi diversi; il passaggio dal numero precedente a quello successivo dipende dal principio di induzione che è contenuto nel quinto assioma. PEANO E L’ADDIZIONE DEI NUMERI NATURALI Attraverso gli assiomi, Peano riuscì a dimostrare le leggi dei numeri naturali. Proprio l’addizione è in grado di approfondire la riflessione dei bambini sul concetto di numero naturale, sull’idea di successivo, sull’ordinamento dei numeri e sulla loro infinità. Il bambino si avvicina gradualmente all’operazione dell’addizione. Lo farà per prima cosa con l’unione insieme. Inizierà comprendendo come per sommare a un numero a un altro numero b, dovrà sommare ad a tante unità quante ne contiene b. Si tratta di un concetto sarà introdotto attraverso una forma del tutto concreta e manipolativa che lo aiuterà al passaggio successivo dell’astrazione. Ad esempio al bambino sarà richiesto di contare le caramelle e i cioccolatini, unire cioè elementi di due insiemi diversi (a- b). Se il bambino ha sei caramelle e tre cioccolatini dovrà aggiungere all’insieme a, dato dalle sei caramelle, tre unità dell’insieme b, dato dai tre cioccolatini. Questo significherà ripetere b volte l’operazione. Questo porterà il bambino ad interfacciarsi con il concetto di successone dei numeri e con il numero successivo che è alla base del cosiddetto ragionamento per ricorrenza, il quale è collegato proprio a quella sorta di magia dell’aggiungere uno che genera, appunto, la sequenza dei numeri naturali e che in certe situazioni ci permette di dire e così via. Un’idea quest’ultima che, appunto, viene sostituita dal principio di induzione. Quindi, all’interno dell’addizione dei numeri naturali possiamo dire che la somma di a + b è definita dalle relazioni: che a + 1 = successivo di a. Così come che a + (b + 1) = (a + b) + 1. PEANO E LA MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI NATURALI Stessa cosa accade per la moltiplicazione. Quindi stabilito che la somma di a + b + 1 viene definito come il successore di a +b. Nella moltiplicazione il prodotto di un mero qualsiasi a X 1 = a. Così come a X (b + 1) = a X b + a. L’ORDINAMENTO DEI NUMERI NATURALI – RELAZIONE DI DISUGUAGLIANZA E PROPRIETA’ IN N L'insieme dei numeri naturali è dato da: N = { 0,1,2,3,4,5.............n,........}. Questo significa che ogni numero naturale si costruisce a partire dal primo, lo zero, al quale si aggiunge 1. Ciò implica che ogni numero è sempre maggiore dei suoi precedenti. Possiamo, quindi, dire che i numeri naturali sono ordinati secondo una relazione d'ordine. I numeri naturali vengono, infatti, utilizzati o per indicare “quanti sono”, oppure per indicare, appunto, l’ordine di qualcosa, ovvero designare cioè che viene prima e ciò che viene dopo. Possiamo descrivere, quindi, l’ordinamento dei numeri naturali parlando di maggiore e minore. Dunque, a partire dall’addizione dei numeri naturali, quest’ultimo ordinamento ha notevoli proprietà. A partire dalla relazione binaria di disuguaglianza che si rappresenta tramite il simbolo >. La disuguaglianza rappresenta uno dei pilastri di una rappresentazione assiometrica della matematica. Esiste una definizione più generale di disuguaglianza – disuguaglianza non stretta – che indica appunto essere maggiore o uguale e si definisce: dati due numeri naturali n, m si dice che n è maggiore o uguale di m, se n=m o se esiste un numero naturale k che se sommato ad m mi dà n. Ovvero n= m+ k. Si tratta di una relazione che ha in sé diverse proprietà. Quella riflessiva: per ogni numero natrale n si ha n>= n. Questa unica etichetta. Rispettare questo principio significa andare a coordinare il processo di ripartizione ed etichettamento. Ripartizione significa che gli oggetti si devono distinguere in due categorie: quelli già contati (da etichettare) e quelli da contare (etichettati). Mentre per quanto riguarda l’etichettamento esso significa che bisogna trovare ogni volta etichette diverse (in questo caso la successione dei numeri naturali). L’etichettamento si indende concluso quando nella ripartizione, tutti gli oggetti sono stati trasferiti nell’insieme degli oggetti contati. Il risultato finale dell’operazione del contare è, invece, dato dal principio di cardinalità: cioè l’ultima etichetta utilizzata, rappresenta il risultato del conteggio. Quell’ultima etichetta, in definitiva, si riferisce a tutto l’insime contato. ERRORI NEL CONTARE Se per un adulto tutti i processi che vengono attivati nel contare possono essere scontati, non è così per i bambini. Accade perciò che il bambino possa inciampare, a seconda di diversi passaggi e processi dinanzi ai quali si troverà dinanzi, in detemrinati errori. Il primo è relativo a una sorta di incertezza sulle parole numerali. Ciò significa che al bambino mancano ancora le parole numerali memorizzabili e ancora non acquisisce l’ordine stabile dei numeri naturali. Questo accadrà, ad esempio, quando i bambini nell’operazione del contare, andranno a utilizzare una sequenza di parole-numero non progressiva e quindi potranno ad esempio inciampare nell’errore di dire: “uno, due, tre, cinque, sei, otto..” Il bambino potrebbe poi avere anche come non chiaro il fatto che l’ultima parola rappresenti il risultato del conteggio, ovvero non aver ancora bene acquisito il cosiddetto principio di cardinalità. Quindi, ad esmepio, il bambino potrebbe non aver difficoltà nel contare e scandire bene le parole numerali, salvo poi sbagliare il risultato e, quindi, dare come risultato un’altra parola numerale che non coincide con il risultato stesso. Il bambino potrebbe anche incimpare nell’errore relativo al processo di ripartizione – cioè quello che divide gli oggetti contati e quelli da contare. In questo caso il bambino, durante il contare, potrebbe saltare un oggetto una o più volte perché gli oggetti non presentano un ordine. Anche il processo di etichettamento può produrre problemi e consentire al bambino di inciampare in errori: ad esempio il bambino potrebbe confondersi nell’assegnazione delle etichette ed usare la stessa etichetta due volte. Il bamnino potrebbe, infine, anche inciampare nei cosiddetti errori di coordinamento ritmico tra ripartizione ed etichettamento: in questo caso il bambino non scandisce bene le parole degli oggetti ripartiti, perché magari per contare deve spostare gli oggetti e ha difficoltà nel coordinare questi due processi. LO 0 E N+ Lo zero ha una funzione fondamentale nel sistema dei numeri. Non solo è l’unico numero che non ha il proprio corrispettivo negativo, ma anche la sua posizione determina una serie di accezioni differenti. Infatti, proprio in base alla posizione, diciamo che esiste lo zero operatore e lo zero mediale. Lo zero operatore indica la base per cui n deve essere moltiplicato – ad esempio 10, 100 e cosi via. Ad esempio se leggiamo 250, sappiamo che è un numero che possiamo anche leggere come 25 X 10. Mentre lo zero mediale indica, invece, sia l’assenza delle decine che il concetto di nulla. Esso, infatti, se posto in mezzo – e da qui mediale – indica un’assenza. Ad esempio 205: 20 è stato moltiplicato per 10 e poi le 5 unità sono state lasciateinalterate. Quindi il concetto di nulla, molto spesso, anche nella letteratura o in filosofia, associato allo zero, si riferisce al concetto di zero mediale. Generalmente lo 0 non è ricompreso nell’insieme dei numeri naturali, quindi nell’insieme N. Soprattutto quando siamo nel cmapo della didattica della matematica e si predilige un approccio concreto del contare e questo perché i bambini non usano includere lo 0 in quella che è la sequenza parole-numero, quindi chiamaeremo il nuovo insieme di numeri naturali che andrà a ricomprendere lo 0 lo chiamaeremo N+. Se nell’insieme N troviamo un numero neutro per la moltiplicazione che è l’1, in quanto ogni numero moltiplicato per uno è sempre lo stesso numero, ovvero nX1= n, nell’insieme dei N+ questa funzione viene assolta dallo zero ma nel campo dell’addizione. Mentre ciò che cambia è la moltiplicazione, in quanto ogni numero moltiplicato per zero mi restituisce un numero uguale a zero stesso. LA SOTTRAZIONE IN N+ Per quanto riguarda la sottrazione bisogna andare a ritroso, ovvero indietro, all’interno della linea dei numeri. Ma il concetto di sottrazione potrà essere davvero ben compreso soltanto con l’introduzione dei numeri negativi. Ad esempio 13-15 = 13+ (-15). Ovvero un processo che possiamo andare bene a rappresentare andandoci a muovere sulla linea dei numeri. Per quanto riguarda, quindi, la sottrazione in N+ possiamo dire che per ogni n ed m, n è maggiore uguale ad m se esiste un numero k tale che n = m+k. Ad esempio 2 è maggiore uguale di -3 e il mio K sarà 5, ovvero k= 5, in quanto 2= -3+5. I NUMERI INTERI Z – ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE IN Z Se in N+ abbiamo aggiunto lo zero, per rendere sempre possibile la sottrazione allora dobbiamo far riferimento a un ulteriore iniseme di numeri che ci consentano di spostarci, per effettuare le nostre operazioni, anche oltre lo 0 sulla linea dei numeri. Questo insieme si chiama Z ed è rappresentato dai numeri negativi che, appunto, rendono sempre possibile la sottrazione. Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono estese anche a questo nuovo insieme di numeri, ma ci saranno alcune regole relative ai segni per la moltiplicazione: il prodotto di due numeri positivi sarà sempre positivo; il prodotto di un numero positivo e un numero negativo è negativo; il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. Si tratta di leggi dell’aritmetica che vengono conservate all’interno delle operazioni aritemetiche affinchè appunto il sistema funzioni bene. Quindi possiamo dire che nell’insieme Z valgono tutte le proprietà dell’aritmetica più un’altra proprietà che è appunto riferita a quella della sottrazione: dato un numero intero, esiste sempre un altro intero che sommato a esso dà come risultato lo zero. Questo altro intero opposto di n. Ciò in definitiva significa che in Z la sottrazione è l’addizione dell’opposto e la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. L’ASTRAZIONE Già in relazione al contare è possibile parlare di astrazione che permette di comprendere quanto sia articolato tale processo. Gelman e Gallistel hanno, infatti, individuato due aspetti che rendono evidente il carattere astratto del contare che questi due autori declinano attraverso due principi: il principio di astrazione e quello dell’irrilevanza dell’ordine. Il principio di astrazione spiega come il bambino a un certo punto diventi consapevole di, potremmo dire semplicemente, astrarre qualcosa che ha, precedentemente, sperimentato nel concreto. Questo ad esempio avviene quando il bambino acquisisce la consapevolezza di poter applicare la stessa operazione e le stesse etichette a una serie di oggetti: sia che siano fisicamente presenti davanti a lui, sia che essi siano non visibili. Il principio dell’irrilevanza significa, invece, che il bambino inizia a divenire consapevole del fatto che si può iniziare a contare a partire da qualsiasi elemento dell’insieme. Si tratta di due aspetti che, in maniera molto semplice, raissumono il modo in cui relativamente preseto nel bambino le cose contate si separino dai numeri veri e propri che alla fine vengono pensati come qualcosa di astrattoe il bambino entra davvero nella matematica vera e propria. Il concetto di astrazione compare all’interno della Lettera 100 di Lettere a una principessa di Germania di Euler. Qui ad esempio l’autore spiega molto bene come l’astrazione non è solo l’essenza del ragionamento matematico ma l’essenza vera e propria del pensiero scientifico e della razionalità. I bambini ben presto passeranno in questa dimensione astratta della matematica, tanto quasi da far pensare a un passaggio estremamente naturale che il docente non ha il diritto di ritardare. UN COMMENTO ALLA LETTERA 100 DI EULURO Il concetto di astrazione compare all’interno della Lettera 100 di Lettere a una principessa di Germania di Euler. Qui ad esempio l’autore spiega molto bene come l’astrazione non è solo l’essenza del ragionamento matematico ma l’essenza vera e propria del pensiero scientifico e della razionalità. I bambini ben presto passeranno in questa dimensione astratta della matematica, tanto quasi da far pensare a un passaggio estremamente naturale che il docente non ha il diritto di ritardare. E questo passaggio a una dimensione astratta Euler la spiega come una capacità del tutto umana e, per questo, del tutto spontanea. Basterà, infatti, osservare il percorso di apprendimento compiuto da un bambino per ciò che riguarda la stessa operazione del contare. Osservare come egli passerà velocemente dall’atto concreto e dalla rappresentazione del tutto ‘pratica’ e appunto concreta del contare a una dimensione astratta e, quindi, a un contare concettuale per comprendere la verità delle riflessioni contenute nella lettera 100 di