Prodotto Vettoriale e Momenti di Forze, Appunti di Fisica

Scarica Prodotto Vettoriale e Momenti di Forze e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! Dinamica del corpo rigido May 10, 2020 1 Prodotto vettoriale e applicazioni 1.1 Prodotto vettoriale Definizione 1.1 Sia V l’insieme dei vettori nello spazio tridimensionale. L’operazione di prodotto vettoriale é definita nella maniera seguente ∧ : V × V −→ V (−→v ,−→w ) −→ −→v ∧ −→w . Il simbolo ∧ é noto come wedge. Il vettore −→v ∧ −→w é definito nella maniera seguente. 1. La direzione del vettore −→v ∧−→w é una retta ortogonale al piano generato dai vettori −→v e −→w . 2. Il modulo del vettore −→v ∧ −→w é dato da |−→v ∧ −→w | = |−→v | · |−→w | · sinα, dove α indica il piú piccolo tra gli angoli formati dalle direzioni dei due vettori −→v e −→w . 3. Il verso del vettore −→v ∧−→w é determinato nella maniera seguente: sup- poniamo che il vettore −→v ∧ −→w rappresenti una persona avente i piedi nel punto di applicazione del vettore e la testa in corrispondenza della freccia che ne definisce l’orientamento. Questa persona, in piedi sul piano generato dai vettori −→v e −→w , deve vedere la rotazione del primo vettore (cioé −→v ) sul secondo vettore (cioé −→w ) come antioraria; tale ro- tazione deve avvenire secondo l’angolo minimo, cioé secondo l’angolo α di cui sopra. 1 Osservazione 1.2 L’operazione di prodotto vettoriale é nota anche come prodotto wedge oppure anche come prodotto esterno. Per indicarla si utiliz- zano indifferentemente i simboli ∧ (wedge) oppure × (cross). Osservazione 1.3 L’operazione di prodotto vettoriale é definita unicamente nello spazio tridimensionale. Osservazione 1.4 Il modulo del vettore −→v ∧−→w rappresenta l’area del paral- lelogramma avente per lati adiacenti e non paralleli i due vettori −→v e −→w . Osservazione 1.5 L’operazione di prodotto vettoriale cosi come sopra defini- ta presenta una ambiguitá nel caso di due vettori −→v e −→w che abbiano la stessa direzione. In questo caso, infatti, essi non generano un piano. Lo studioso diligente non mancherá tuttavia di osservare che in questa cir- costanza i due vettori sono paralleli e concordi (e quindi α = 0) oppure paralleli e discordi (e quindi α = π). In ambedue i casi si ha quindi che sinα = 0. Ne consegue che |−→v ∧ −→w | = |−→v | · |−→w | · sinα = 0. Si conclude che in ambedue i casi −→v ∧ −→w = −→ 0 . Osservazione 1.6 L’operazione di prodotto vettoriale richiede l’utilizzo di tre dimensioni. Il caso piú comune a livello scolastico é quello di due vettori −→v e −→w che giacciono nel piano della lavagna. In questa situazione, si utilizza la notazione seguente. Si pensa che un vettore sia una freccia di cui si puó vedere o la punta o la coda. Il simbolo ⊙ indica che il vettore −→v ∧ −→w é ortogonale al piano della lavagna ed uscente da esso (si vede la punta della freccia). Il simbolo⊗ indica che il vettore −→v ∧ −→w é ortogonale al piano della lavagna ed entrante in esso (si vede la coda della freccia). 2 Definizione 1.13 Consideriamo un sistema di forze costituito da due vettori−→ F e − −→ F aventi per direzione due rette parallele r ed s poste ad una distanza d. Questo sistema di forze é noto come coppia di forze. La distanza d é nota come braccio della coppia. Proposizione 1.14 Consideriamo una coppia di forze costituita da due vet- tori −→ F e − −→ F aventi rispettivamente per direzione due rette parallele non coincidenti r ed s poste ad una distanza d. Sia O un qualunque punto dello spazio. Allora si ha che | −→ M ris(O)| = F · d. Dim. Sia π il piano su cui giacciono i vettori −→ F e − −→ F . Per semplicitá supponiamo che O ∈ π. Indichiamo rispettivamente con H1 e H2 il piede della proiezione del punto O sulle rette di applicazione di −→ F e − −→ F . Si ha che i vettori momento −→ M( −→ F 1, O) e −→ M( −→ F 2, O) sono ortogonali al piano π. Inoltre, i due vettori sono paralleli e discordi. Abbiamo quindi che | −→ M ris(O)| = | −→ M( −→ F ,O) + −→ M(− −→ F ,O)| = | | −→ F | ·OH1 − | − −→ F | ·OH2| = | −→ F | · |OH1 −OH2| = | −→ F | ·H1H2 = | −→ F | · d. 2 Il risultato precedente si generalizza come segue. Proposizione 1.15 Sia N un intero positivo. Siano −→ F 1, −→ F 2, · · · −→ F N vettori forza tali che −→ F 1 + −→ F 2 + · · · −→ F N = −→ 0 . Sia O un qualunque punto dello spazio. Allora si ha che il momento risultante del sistema di forze é indipendente dal punto rispetto al quale viene calcolato. Dim. Omessa 2 5 2 Il corpo rigido Definizione 2.1 Si dice corpo rigido un corpo costituito da un numero finito o infinito di punti le cui distanze relative non variano nel tempo. Definizione 2.2 Un corpo si muove di moto traslatorio se, e solo se, ogni suo punto subisce uno spostamento descritto da un medesimo vettore −→s . Tutti i punti del corpo percorrono traiettorie rettilinee e parallele. Definizione 2.3 Un corpo si muove di moto rotatorio se, e solo se, ogni suo punto descrive una traiettoria circolare attorno ad un asse comune, detto asse di rotazione. Teorema 2.4 Ogni isometria di un corpo rigido puó essere espressa come composizione di traslazioni e rotazioni rispetto ad opportuni assi. Dim. Omessa. 2 Lo studio del moto di un corpo rigido nella sua generalitá richiede tecnologia non disponibile a livello scolastico. Nel seguito considereremo solo alcuni casi particolari. 3 Equilibrio di un corpo rigido Proposizione 3.1 Sia N un intero positivo. Supponiamo che i vettori forza−→ F 1, −→ F 2, · · · −→ F N agiscano su di un corpo rigido. Affinché il corpo rigido risulti in equilibrio rispetto alle traslazioni si deve avere che −→ F 1 + −→ F 2 + · · ·+ −→ F N = −→ 0 . Affinché il corpo rigido risulti in equilibrio rispetto alle rotazioni si deve avere che, scelto comunque un punto O dello spazio, si abbia che −→ M( −→ F 1, O) + −→ M( −→ F 2, O) + · · ·+ −→ M( −→ F N , O) = −→ 0 . Dim. Omessa. 2 Osservazione 3.2 Alla luce della Proposizione 1.15, la scelta del punto O é del tutto arbitraria. 6 4 Dinamica rotazionale di un corpo rigido Le tre leggi della dinamica descrivono il moto traslatorio o rotatorio di un punto materiale in termini di una forza risultante −→ F e di una accelerazione −→a . Nel seguito si vogliono introdurre opportune grandezze fisiche che costituis- cano l’analogo di forze e accelerazioni nel caso di un corpo rigido e che siano in grado di descrivere sia il moto traslatorio che il moto rotatorio di un corpo rigido. Ricordiamo inoltre che la massa m di un corpo ne descrive la sua inerzia, ovvero la sua ”resistenza” a modificare la velocitá. Nel seguito si vuole intro- durre una opportuna grandezza fisica che sia l’analogo della massa nel caso di un corpo rigido in moto roto-traslatorio. Esempio 4.1 Consideriamo un punto materiale P avente massa m che ruota su di una traiettoria circolare avente centro O e raggio r. L’asse di rotazione attorno al quale ruota il punto P é perpendicolare al piano su cui giace la circonferenza e passa per il punto O. Supponiamo che sul punto P agisca una forza −→ F avente una direzione generica. Supponiamo inoltre che il punto materiale P abbia una velocitá tangenziale −→v . Scomponiamo il vettore −→ F nella maniera seguente −→ F = −→ F ⊥ + −→ F ‖, dove −→ F ‖ indica la componente di −→ F avente direzione radiale e −→ F ⊥ indica la componente di −→ F avente direzione tangenziale alla traiettoria circolare. Indichiamo con ac il modulo del vettore accelerazione centripeta e con at il modulo del vettore accelerazione tangenziale. Indichiamo con ω la velocitá angolare e con α l’accelerazione angolare. La componente −→ F ‖ rappresenta la forza centripeta. Abbiamo che F‖ = Fcent = mac = m v2 r = mω2 r. La componente −→ F ⊥ rappresenta la forza tangenziale. Abbiamo che F⊥ = Ftan = mat = mαr. Calcoliamo il momento della forza −→ F rispetto al punto O. Abbiamo −→ M( −→ F ,O) = −→r ∧ −→ F = −→r ∧ ( −→ F ‖ + −→ F ⊥) = −→r ∧ −→ F ‖ +−→r ∧ −→ F ⊥. 7 la quantitá di moto del punto P . Sia O un qualsiasi punto dello spazio. Si definisce momento angolaredel punto P la grandezza −→ L = −→r ∧ −→p = −→r ∧m−→v , dove −→r = −→ OP é il raggio vettore che congiunge il punto O con il punto P . In altre parole, il momento angolare del punto P coincide con il momento della quantitá di moto del punto P . Le unitá di misura di −→ L sono date da [L] = [m · kg ·m/s] = [kg ·m2/s] = [J · s]. Scomponiamo il vettore −→v nella maniera seguente −→v = −→v ⊥ +−→v ‖, dove −→v ‖ indica la componente di −→v avente direzione radiale e −→v ⊥ indica la componente di −→v avente direzione tangenziale alla traiettoria. Abbiamo che −→ L = −→r ∧m−→v = −→r ∧m (−→v ‖ +−→v ⊥) = m (−→r ∧ −→v ‖) +m (−→r ∧ −→v ⊥) = m−→r ∧ −→v ⊥, dato che −→r ∧ −→v ‖ = −→ 0 essendo i due vettori paralleli. Ricordando che la velocitá tangenziale −→v ⊥ ha modulo ω r, abbiamo che | −→ L | = |m−→r ∧ −→v ⊥ | = mr ω r = mr2 ω = I ω. Ricordando la definizione del vettore velocitá angolare −→ω , possiamo conclude- re che −→ L = I −→ω Definizione 5.2 Consideriamo un corpo rigido in moto rotatorio attorno ad un opportuno asse fisso. Indichiamo con I il corrispondente momento di inerzia. Si definisce momento angolare del corpo la grandezza −→ L = I −→ω 10 Osservazione 5.3 Spesso il momento angolare −→ L viene anche indicato con la lettera −→ J . Proposizione 5.4 (Riformulazione delle leggi della dinamica per il moto rotatorio di un corpo rigido). Consideriamo un corpo rigido che si muove di moto rotatorio attorno ad un opportuno asse fisso. Indichiamo con I il relativo momento di inerzia, con −→ M ris il momento risultante agente su di esso e con α la sua accelerazione angolare. 1. (Prima legge della dinamica per il moto rotatorio di un corpo rigido) −→ M ris = −→ 0 ⇒ −→ω = −−→ cost. 2. (Seconda legge della dinamica per il moto rotatorio di un corpo rigido) −→ M ris = ∆ −→ L ∆t . Dim. 1. Sappiamo che −→ M ris = I −→α . Ora, −→ M ris = −→ 0 implica che −→α = −→ 0 e pertanto abbiamo che −→ω = −−→ cost. 2. Abbiamo che −→ M ris = I −→α = I ∆−→ω ∆ t = I −→ω (t2)−−→ω (t1) t2 − t1 = I −→ω (t2)− I −→ω (t1) t2 − t1 = ∆ −→ L ∆ t . 2 11 Osservazione 5.5 Lo studioso diligente non mancherá di notare la notevole analogia che sussiste tra la le grandezze fisiche e le equazioni che descrivono la dinamica del punto materiale e le grandezze fisiche e le equazioni che descrivono la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido. Punto materiale Corpo rigido Massa m Momento di inerzia I Accelerazione −→a Accelerazione angolare −→α Forza −→ F Momento di una forza −→ M( −→ F ,O) −→ F = −→ 0 ⇒ −→v = −−→ cost −→ M ris = −→ 0 ⇒ −→ω = −−→ cost −→ F = m−→a −→ M ris = I −→α Quantitá di moto −→p = m−→v Momento angolare −→ L = I −→ω −→ F = ∆−→p ∆ t −→ M ris = ∆ −→ L ∆ t Proposizione 5.6 (Principio di conservazione del momento angolare) Con- sideriamo un sistema fisico per il quale sia trascurabile l’effetto del momento risultante delle forze esterne a cui il sistema stesso é sottoposto. Allora il momento angolare del sistema rimane costante, cioé si ha che −→ L i = −→ L f . Dim. Omessa. 2 12