Introduzione alla logica matematica: enunciati, connettivi e quantificatori, Dispense di Analisi Matematica I

Scarica Introduzione alla logica matematica: enunciati, connettivi e quantificatori e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! Capitolo 1 Cenni di logica e teoria degli insiemi 1.1 Alcuni elementi di logica In matematica si parte da alcuni principi, la cui validità è assunta senza dimostrazione, per poi dedurre nuove affermazioni. I principi si dicono assiomi, le nuove deduzioni si dicono teoremi. Si presuppone chiaramente che esistano delle regole di riferimento che stabiliscano come debbano essere formulati gli assiomi ed i teoremi e quali siano le tecniche di deduzione ammissibili. Di ciò si occupa la logica formale. In questa sezione descriveremo alcune sue nozioni fondamentali che saranno utili nello studio dell'analisi matematica. La prima nozione fondamentale è quella di affermazione. Esempi di affermazioni sono le seguenti 3<10 2>9. Si prendono in considerazione affermazioni vere (come la prima) ed affermazioni false (come la seconda). Nel seguito indicheremo le affermazioni con le lettere P, Q, R. Esistono diversi modi per creare nuove affermazioni a partire da alcune date. 1. Negazione. Se P è un’affermazione, nonP è l’affermazione che è vera se P è falsa, ed è falsa se P è vera. Riassumendo con una tavola (detta tavola di verità ) si ha P_|V|F nonP | F | V 2. Congiunzione. Se P e Q sono due affermazioni, PeQ è l’affermazione che è vera quando P e Q sono entrambe vere. La tavola di verità corrispondente è P_|V|V|F]|F Q |V|F|V|F PeQ|V|F|F|F 4 1.1. ALCUNI ELEMENTI DI LOGICA A.A. 2020-2021 3. Disgiunzione. Se P e Q sono due affermazioni, PoQ è l’affermazione che è vera quando almeno una tra P e Q è vera. La tavola di verità corrispondente è P_|V|V|F]|F Q |V|F|V|F PoQ|V|V|V|F Osserviamo che nel linguaggio comune la disgiunzione rimanda ad un’idea di alter- nativa che non è presente in logica formale, dove si prescinde dal contenuto delle affermazioni. Possiamo dunque considerare l’affermazione (vera) 3>105>4 anche se non vi è un’alternativa naturale tra 3 > 1e 5 > 4. 4. Implicazione. Se P e Q sono due affermazioni, P + 2 è l’affermazione che ha come tavola di verità P V|V|F]|F Q V|F|V|F P3Q|V|IF|V|V L'affermazione P + Q (“P implica 2”, oppure “se P allora Q”) è dunque sempre vera tranne nel caso in cui P è vera e Q è falsa. Il linguaggio comune rimanda per l’implicazione ad un concetto di causa-effetto. Questo rapporto è assente in logica formale. Così è lecito considerare l'affermazione (vera) 1<2>4èpari anche se non corre alcun rapporto tra il fatto che 1 < 2 e quello che 4 sia un numero pari. Il motivo per cui P + 2 viene considerata vera anche se P è falsa può essere compreso tramite il seguente esempio. Consideriamo l’affermazione se n è multiplo di 4 allora n è multiplo di 2. È plausibile volere che tale affermazione sia vera indipendentemente dalla scelta di n. Se scegliamo n = 3, otteniamo l’affermazione se 3 è multiplo di 4 allora 3 è multiplo di 2. Dunque affinché essa risulti vera, dobbiamo accettare che P + Q sia vera quando P e 2 sono false. Similmente, se scegliamo n = 2, dobbiamo accettare che P > O sia vera quando P è falsa e Q è vera. 5. Doppia implicazione. Se P e Q sono due affermazioni, P + Q (“P se e solo se Q”) è l'affermazione che ha come tavola di verità A.A. 2020-2021 1.2. ALCUNE NOZIONI DI TEORIA DEGLI INSIEMI risulta vera, mentre l’affermazione dy Ve :2<y è certamente falsa poiché prendendo x = y + 1 si ottiene un’affermazione falsa. Ci saranno infine utili le negazioni di affermazioni contenenti quantificatori. negazione di Va : P(a) de : nonP(x mentre la negazione di da : P( Va : nonP(x 1.2. Alcune nozioni di teoria degli insiemi In questa sezione descriveremo alcune operazioni fondamentali di teoria degli insiemi che sono utili in analisi matematica. Procederemo come nella precedente sezione, in modo cioè non formale. Per insieme intenderemo una collezione di oggetti, anche di diversa natura: esempi possono essere l’insieme dei numeri pari, o l'insieme dei polinomi di primo grado nella variabile x, o l’insieme delle circonferenze del piano di centro l'origine. Gli oggetti della collezione vengono detti elementi dell’insieme. Se x è elemento dell'insieme A, allora scriveremo TEA e diremo che “x appartiene a A”. Per indicare un insieme attraverso i suoi elementi, nel caso in cui essi siano finiti, si usa spesso la notazione A = {x,y,z,......}, cioè si elencano gli elementi di A tra parentesi graffe: ad esempio, se scriviamo A = {1,2, 7}, significa che A è l'insieme i cui elementi sono i numeri 1,2 e 7. Useremo le seguenti abbreviazioni: Ve € A: significa Ver:re A> Ir € A: significa Ir:x € Ae Indicheremo con () l'insieme che non ha elementi: lo diremo l’insieme vuoto. Pensare a () come ad un insieme può apparire strano, ma risulta assai conveniente in matematica. Se A, B sono insiemi, diremo che A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B. In simboli Ve e Aix € B. ll 1.2. ALCUNE NOZIONI DI TEORIA DEGLI INSIEMI A.A. 2020-2021 Scriveremo in tal caso A C B. Nel caso in cui A sia sottoinsieme di B e A non coincida con B, scriveremo A C B. Vale il seguente principio: per ogni A, B (ACBeBCA)>A=B, vale a dire, se tutti gli elementi di A sono elementi di B e viceversa, allora A e B sono uguali. Tale principio è detto assioma di estensionalità. Notiamo che si ha sempre 0 C A e ACA. Vediamo ora alcune operazioni che permettono di costruire nuovi insiemi a partire da alcuni dati. 1. Se A è un insieme, diremo insieme delle parti di A, e lo indicheremo con P(A), l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A. Ad esempio, se A = {1,4}, l'insieme P(A) è dato da P(A) = {0, {1}, {4}, {1,4}}. 2. Se A e B sono due insiemi, diremo unione di A e B, e scriveremo A U B, l’insieme che ha come elementi gli elementi di A e quelli di B. In simboli Vr :r € AUB&(r € Aore B). L’unione di insiemi può essere operata anche su una famiglia di insiemi {Aj};ey, dove I è un insieme di indici. Scriveremo U;jerA; per indicare l'insieme che ha come elementi quelli dei vari A;. Notiamo che AU = A per ogni insieme A. 3. Se A e B sono due insiemi, diremo intersezione di A e B, e scriveremo AN B, l’insieme che ha come elementi gli elementi comuni di A e B. In simboli Ve:r € ANBS (re Aere B). L’intersezione di insiemi può essere operata anche su una famiglia di insiemi { A;};ey, dove / è un insieme di indici. Scriveremo N;erA; per indicare l’insieme i cui elementi appartengono ad ogni A;. Notiamo che AN = 0) per ogni insieme A. 4. Per individuare sottoinsiemi di un dato insieme, si utilizza il seguente principio di specificazione. Se R(x) è un predicato in una variabile ed A è un insieme, si può considerare l'insieme B C A ottenuto scegliendo quegli elementi di x che rendono vero R(x). In formule Vr:reBe(r ce Ae R(a)). Ad esempio, il sottoinsieme dei numeri pari dell'insieme dei numeri naturali N può es- sere individuato nel seguente modo: B={reN:xèdivisibile per 2}. 12 A.A. 2020-2021 1.3. FUNZIONI 5. Diremo differenza tra due insiemi A e B, e scriveremo A \ B, l'insieme tale che Vr:r€ A\B&(r € Aexg B). Si tratta dunque del sottoinsieme degli elementi di A che non sono elementi di B. Notiamo che a differenza dell’unione e dell’intersezione tra due insiemi, l’ordine nella differenza è importante. 6. Siano A e B due insiemi, e siano a € A e y € B. Diremo coppia ordinata x,y l'oggetto (x,y). x si dice la prima componente della coppia, mentre y si dice la seconda componente. L'insieme di tutte le coppie ordinate (x,y) con x € A e y € B si dice il prodotto cartesiano tra A e B e si indica con A x B. 1.3 Funzioni Siano A e B due insiemi. Sia f una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Diremo in tal caso che f è una funzione o un’applicazione tra A e B. L’elemento corrispondente a a € A viene indicato con f(a). Si usa spesso la scrittura f: A+ B per indicare la funzione f. Si usa anche la scrittura seguente fi: AB a »S( volendo specificare la natura delle legge che all’elemento a associa f(a). L'insieme A viene detto il dominio di f. Esempio 1.1. E’ una funzione tra l’insieme dei numeri naturali N e l’insieme dei numeri pari P la legge che associa ad ogni numero il suo doppio, cioè ad ogni numero n il numero 2n. Scriviamo allora fiNa4P nH2n. Non è invece una funzione la legge tra l’insieme dei numeri positivi e quello di tutti i numeri reali che associa ad ogni numero positivo a la soluzione dell’equazione di secondo grado x = a. Infatti al numero a = 4 ad esempio vengono associati i due numeri 2 e —2, quindi non un solo numero reale. 1. Poniamo la seguente definizione.