Spazi vettoriali e applicazioni lineari, Dispense di Algebra

Scarica Spazi vettoriali e applicazioni lineari e più Dispense in PDF di Algebra solo su Docsity! PRODOTTO CARTESIANO Operazione che si si applica a due insiemi A e B producendo un nuovo insieme AxB, costituito dalle coppie ordinate (a,b). SPAZIO VETTORIALE Insieme di vettori costituito da due operazioni: somma vettoriale e moltiplicazione scalare, con le relative proprietà. COMBINAZIONE LINEARE Combinazione di vettori in uno spazio vettoriale. Dati n vettori esistono n scalari, la combinazione lineare è composta dalla somma dei prodotti di ogni scalare per il corrispondente vettore. VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI Un insieme di vettori è linearmente dipendente se esiste almeno la combinazione lineare di tali vettori che si annulla senza richiedere che tutti i coefficienti siano uguali a zero. VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI Un insieme di vettori è linearmente indipendente se la combinazione lineare di tali vettori si annulla solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero. SOTTOSPAZIO VETTORIALE Sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Insieme di vettori che soddisfa alcune proprietà fondamentali: somma vettoriale, moltiplicazione scalare ed esistenza dell’elemento neutro. SISTEMA DI GENERATORI Insieme di vettori che, attraverso combinazioni lineari, può generare tutti i vettori di uno spazio vettoriale. BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE Insieme di generatori linearmente indipendenti. Ogni spazio vettoriale ha una e una sola base. Una base può essere costituita da un numero finito o infinito di vettori, a seconda della dimensione dello spazio vettoriale. DIMENSIONE DI UNO SPAZIO VETTORIALE Numero di vettori nella base dello spazio vettoriale. APPLICAZIONE LINEARE Funziona che associa ogni vettore di uno spazio vettoriale di partenza a un vettore di uno spazio vettoriale di destinazione, rispettando le operazioni di addizione vettoriale e moltiplicazione scalare. IMMAGINA DI UN’APPLICAZIONE LINEARE Insieme di tutti i vettori dello spazio vettoriale di arrivo che possono essere ottenuti applicando l’applicazione lineare T a un vettore dello spazio vettoriale di partenza. È sempre uno spazio vettoriale. NUCLEO DI UN’APPLICAZIONE LINEARE Insieme di tutti i vettori dello spazio vettoriale di partenza che vengono associati dall’applicazione lineare T al vettore nullo dello spazio vettoriale di arrivo. È sempre uno spazio vettoriale. TEOREMA DELLA DIMENSIONE Stabilisce una relazione tra la dimensione dell’immagine e la dimensione del nucleo di un’applicazione lineare. Afferma che la somma delle dimensioni dell’immagine e del nucleo genera la dimensione dello spazio vettoriale di partenza. DIMENSIONE DEL NUCLEO Numero di vettori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale di partenza, ovvero il numero di soluzioni dell’equazione T(v)=0. DIMENSIONE DELL’IMMAGINE Numero di vettori linearmente indipendenti nello spazio di arrivo, ottenuti applicando T ai vettori in V. APPLICAZIONE LINEARE INIETTIVA (Y COLPITO SOLO UNA VOLTA E NON PER FORZA TUTTO) Se la dimensione del nucleo è uguale a zero, ovvero se non esistono vettori che costituiscono una base per il nucleo. Associazione di vettori distinti dello spazio vettoriale di partenza a vettori distinti dello spazio vettoriale di arrivo. APPLICAZIONE LINEARE SURIETTIVA (Y COLPITO ALMENO UNA VOLTA E TUTTO) Se la dimensione dell’immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di arrivo. APPLICAZIONE LINEARE BIGETTIVA Se è sia iniettiva che suriettiva, ovvero se la dimensione del nucleo è uguale a zero e la dimensione dell’immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di arrivo. APPLICAZIONE LINEARE INVERSA Se è bigettiva. (Determinante diverso da zero) MATRICI Le applicazioni lineari sono spesso rappresentate da matrici. Ogni elemento della matrice corrisponde al coefficiente della combinazione lineare dei vettori in input. MATRICE IDENTITÀ Matrice costituita da tutti gli elementi uguali a 0, tranne gli elementi sulla diagonale principale uguali ad 1. METODO DI ELIMINAZIONE DI GAUSS È un metodo per risolvere i sistemi di equazione lineari e calcolare l’inversa di una matrice riducono la matrice a una forma normale di gauss. Il metodo consiste in ridurre la matrice alla forma normale di Gauss, che ha una forma simile a una matrice identità, quindi eseguire operazioni alimentari per ottenere zeri sotto la diagonale principale, e ottenere così i pivot (i coefficienti principali). Se tutte le incognite trovate avranno valore uguali a 0, allora tutti i vettori saranno linearmente indipendenti, altrimenti se esiste ancora almeno un’incognita diversa da 0, i vettori saranno linearmente dipendenti. RANGO DI UNA MATRICE Equivale alla dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare, ed è il numero massimo di colonne linearmente indipendenti della matrice, corrisponde al numero di pivot trovati dopo aver ridotto la matrice a forma normale di Gauss. È minore o uguale al numero di colonne presenti in matrice, se il determinante è diverso da 0, quindi se righe/colonne linearmente indipendenti, allora il rango è massimo altrimenti è minore del numero di colonne della matrice. POLINOMI p(x) Spazio di polinomi ℝ𝑛[𝑥] è uno spazio vettoriale di polinomi a coefficienti reali e di grado al più n. ∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘 = (𝑎0 𝑛 𝑘=0 + 𝑎1𝑥, 𝑎2𝑥2, … , 𝑎𝑛𝑥𝑛) Base spazio di polinomi: ℝ𝑛[𝑥], costituito da n+1 polinomi (1, 𝑥, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Dimensione dello spazio di polinomi: n+1. ASSIOMI DI PEANO Affermazioni accettate senza dimostrazione sui numeri naturali. - Esiste un elemento in N che denotiamo con 1. - Per ogni elemento n di N esiste un altro elemento 𝑛1 che designiamo come il successivo di n. - 1 non è il successivo di nessun altro numero naturale. - Se n!=m, allora 𝑛1!= 𝑚1. - Se una proprietà è verificata dal numero 1 ed è verificata da n, allora è verificata dal suo successivo 𝑛1, quindi essa è verificata da tutti gli interi. AVENDO VETTORI SI PUÒ TROVARE LO SPAZIO GENERATO DA QUESTI VETTORI Trovando i vettori linearmente indipendenti, le combinazioni lineari di questi costituiscono lo spazio generato dagli originali vettori. TROVARE BASE DI ALCUNI VETTORI SAPENDO CHE LA BASE È SOTTOINSIEME DI QUESTI Trovare le colonne linearmente indipendenti con Gauss che generano lo spazio. Se la base è un sottoinsieme degli insiemi di vettori iniziali, allora gli elementi corrispondenti alle colonne non nulle costituiscono una base per lo spazio generato da quei vettori. NUMERI PRIMI E COMPOSTI 𝑛 è 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 ↔ ∀𝑟, 𝑠 ∈ ℤ+, 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑟 ∙ 𝑠 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑜 𝑟 = 1 𝑒 𝑠 = 𝑛, 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑟 = 𝑛 𝑒 𝑠 = 1. 𝑛 è 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ↔ ∀𝑟, 𝑠 ∈ ℤ+, 𝑛 = 𝑟 ∙ 𝑠 𝑒 1 < 𝑟 < 𝑛, 1 < 𝑠 < 𝑛. AFFERMAZIONI Le dimostrazioni di esistenza costruttive sono un tipo di dimostrazione in cui si dimostra un oggetto fornendo una descrizione o un metodo esplicito per costruirlo. Le dimostrazioni di esistenza non costruttive si basano su risultati garantiti da certi assiomi oppure su teoremi dimostrati in precedenza, ma non definiscono l’elemento cercato. Per dimostrare che è una supposizione universale è falsa bisogna trovare un controesempio. Per dimostrare che un’affermazione universale è vera possiamo usare il metodo di esaustione, che considera tutti i casi possibili e verifica se l’affermazione è sempre vera, con gli insiemi piccoli; se abbiamo insiemi grandi o infiniti usiamo il metodo di generalizzazione dal generico particolare, con cui prendiamo un elemento generico ma particolare, scelto il modo arbitrario dall’insieme con il quale stiamo lavorando e si dimostra che per questo elemento l’affermazione sia vera così come sarà per tutti gli altri. L’istanziazione esistenziale è un principio che consiste nel dare un nome a un oggetto che esiste e non poterlo assegnare a un oggetto diverso. TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA Qualsiasi numero intero positivo può essere rappresentato come prodotto di numeri primi, eventualmente elevati a potenze. RAZIONALI E IRRAZIONALI I numeri sono detti razionali se presentando la parte decimale rappresentata con un numero finito di cifre dopo la virgola; invece, i numeri irrazionali non sono rappresentati con numero finito di cifre dopo la virgola, perciò vengono introdotti dei simboli a cui viene assegnato un valore proprio. ALGORITMO DI EUCLIDE Serve per calcolare il massimo comun divisore. - Se 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑍 non sono entrambi uguali a 0, allora: 𝑚. 𝑐. 𝑑. (𝑎, 𝑏) = 𝑑 ∈ 𝑍 dove 𝑑|𝑎 e 𝑑|𝑏 e ∀𝑐 ∈ 𝑍: 𝑐|𝑎 𝑒𝑐|𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑑 - Se 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑍 non sono entrambi uguali a 0 e 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑍 ∶ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 allora 𝑚. 𝑐. 𝑑. (𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑐𝑑(𝑏, 𝑟) METODI DI DIMOSTRAZIONE Dimostrazione diretta: Usiamo il metodo di generalizzazione dal generico particolare coinvolgendo definizioni, proprietà e regole per dimostrare una proposizione. Dimostrazione per assurdo: Per dimostrare qualcosa supponiamo per assurdo che il suo opposto sia vero e facendo passi corretti arriveremo a una contraddizione per cui sarà vera l’asserzione iniziale. Dimostrazione per contrapposizione: Basato sull’equivalenza tra un’affermazione e una sua contrapposizione dimostrata con metodo diretto. Dimostrazione per induzione: Per dimostrare proposizioni si dimostra prima che sia vera per un caso base quindi si suppone nel passo induttivo che sia vera per un generico numero intero k e si dimostra che ciò implica che sia vera anche per k+1, in questo modo si stabilisce che la proposizione varrà per tutti i numeri interi successivi al caso base. SPAZIO EUCLIDEO È un sottospazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare qualsiasi. Ha alcune proprietà: - Linearità rispetto alla prima componente. - Simmetria. - Se uno dei due vettori è il vettore nullo, il vettore scalare è 0. - Se il prodotto scalare è positivo lo spazio euclideo è detto proprio. CALCOLO COMBINATORIO Permutazioni di n oggetti non ripetuti: 𝑛! Permutazione di n oggetti ripetuti: 𝑛! 𝑟1! 𝑟2! … 𝑟𝑘! Disposizioni di n oggetti non ripetuti su k posti: 𝑛! (𝑛 − 𝑘)! Disposizioni di n oggetti ripetuti su k posti: 𝑛𝑘 Combinazioni di n oggetti (estrazione di k elementi da n elementi distinti): 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! = ( 𝑛 𝑘 ) REGOLA DELLA SOMMA E DEL PRODOTTO - Se un evento può accadere in n1 modi e un secondo evento in n2 modi (indipendentemente dal primo), allora gli eventi possono accadere in 𝑛1 ∙ 𝑛2 modi. - Se un evento può accadere in n1 modi e un secondo evento in n2 modi, allora vi sono 𝑛1 + 𝑛2 modi in cui uno dei due eventi può accadere. LEGAME CALCOLO COMBINATORIO E DETERMINANTE det(𝐴) = ∑ 𝑠𝑔𝑛(𝜎)𝑎1𝜎(1) 𝜎∈𝑆𝑛 𝑎2𝜎(2) … 𝑎𝑛𝜎(𝑛) 𝑆𝑛 è l'insieme di tutte le permutazioni. Questa espressione contiene 𝑛! addendi, ciascuno dei quali è il prodotto di n elementi della matrice, che non si trovano mai né sulla stessa riga né sulla stessa colonna.