Dispense Meccanica dei Fluidi, Dispense di Meccanica dei Fluidi

Scarica Dispense Meccanica dei Fluidi e più Dispense in PDF di Meccanica dei Fluidi solo su Docsity! Corso di Laurea Triennale in Design Meccanica dei Fluidi Appunti del corso A.A. 2019-2020 B. Brunone DICA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE C. Capponi DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA S. Meniconi Moto delle cor esempio, dovessimo spingere un oggetto inizialmente fermo su un piano orizzontale per alcuni metri, dovremmo esercitare una determinata forza e quindi compiremmo del lavoro. In questo caso, l’energia cinetica iniziale dell’oggetto è nulla: ®) 1 = uvì Ne risulta, quindi, che il lavoro compiuto è pari all’energia cinetica acquisita dall’oggetto, ovvero: 1 L= Exp = svi (9) Le seguenti ipotesi sono alla base del teorema di Bernoulli: ® Sistema chiuso dal punto di vista energetico: non ci sono scambi di energia con l’esterno. e Fluido pesante, ovvero immerso nel campo gravitazionale, ovvero la forza peso è l’unica forza di massa agente. e Fluido incomprimibile e in condizioni isoterme: l’equazione di stato si scrive nella forma (2). e Fluido perfetto ovvero non viscoso. e Moto permanente, ovvero le grandezze non dipendono dal tempo ma solo dallo spazio. Consideriamo, quindi, un fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in condizioni isoterme che si muove di moto permanente lungo il tubo di flusso disegnato in Fig. 2 dalla configurazione (a) alla configurazione (b). La porzione di fluido iniziale a sinistra ha una sezione A; costante e orizzontale e si trova ad una quota geodetica 21 rispetto ad un piano (2 = 0) di riferimento. Il tubo di flusso si allarga e si innalza gradualmente. La porzione di fluido terminale a destra ha una sezione As costante e orizzontale e si trova ad una quota geodetica 29. In relazione alla conformazione del tubo di flusso, risulta Aj < Ap. Concentriamo l’attenzione sulle porzioni di fluido tratteggiate orizzontalmente ed evidenziate in verde e in rosso che costituiscono il nostro sistema del quale vogliamo studiare il moto. Nella parte iniziale di sinistra la velocità e la pre: assumono rispettivamente il valore Vj e pi; nella parte terminale di destra, invece, tali grandezze valgono rispettivamente Va e pa. Come illustrato in precedenza, il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro itato dalla forza risultante esterna sul corpo è pari alla variazione dell’energia cinetica del corpo. Trascurando le forze viscose (in quanto il fluido è perfetto), le forze esterne che agiscono sul sistema sono: sione es è Forze di pressione p1A; e p2A> agenti agli estremi sinistro e destro del fluido è Forza di gravità Brunone, Meniconi, Capponi @ Figura 2: Tubo di flusso considerato per ricavare il teorema di Bernoulli. L'effetto del moto del fluido e del passaggio dalla configurazione (a) a quella (b) di Fig. 2 è il sollevamento della quantità di fluido rappresentata con tratteggio a 45° ed evidenziata in rosso. La quantità di fluido indicata con tratteggio orizzontale ed evidenziata in verde resta invece invariata. Il lavoro compiuto dalle forze esterne che agiscono sul sistema è fornito dalle seguenti relazioni: e lavoro compiuto dalle forze di pressione p A} è pari a: pi AjAl ® lavoro compiuto dalle forze di pressione py Ag è pari a: —p3 Ag Aly è lavoro compiuto sul sistema dalla forza di gravità dovuto al sollevamento della porzione di fluido evidenziata in rosso dalla quota 2 alla quota 25 è pari a: —mg(z2— 21) Il lavoro compiuto dalla forza risultante esterna è: L= piA; Al, — pr AzAls — mg(z 7 zi) (10) Poiché il volume del fluido tratteggiato a 45° resta costante perché il fluido è incomprimibile, risulta AAl, = A9Al, = W; essendo, inoltre, m= p-W, si ha: L=p,W- p.W- mg(2-2)=p1 PT — mg(z0 — 21) (11) La variazione dell’energia cinetica è fornita dalla seguente relazione: 1 1 Es 7 Ei ave - ami (12) Moto delle correnti in pressione Per il teorema dell’energia cinetica, (L= E; — E,;) risulta: m 1 1 (pi ori — mg(22- 2) = guri 7 gmvi (13) ovvero: ) 1 1 _—= —g(a-a)= 5 - SV (14) e dividendo tutto per il modulo dell’accelerazione di gravità, g, si ha: (pi — Pa) 1 1 “Ga (2-2) = agi - agli (15) Essendo il peso specifico y = pg e raggruppando i termini con pedice 1 e quelli con pedice 2, si ha: Pi Luo Pa dya ly DLE Vi 1 atta at7ta (16) Poiché i punti 1 e 2 sono del tutto generici, si può generalizzare questa espressione e scrivere: p_V z+=4+53, = cost 17 ta (17) La grandezza pe, E=z+-+3 18 5tz (18) prende il nome di carico idraulico totale (si noti che tutti e tre i termini che compongono E hanno le dimensioni di una lunghezza e, quindi, possono esprimersi in m). Il primo termine di E rappresenta la quota geodetica, z, ed esprime la distanza verticale del punto da un piano di riferimento; il secondo termine è l’altezza piezometrica, È, ed è legata alla pressione del fluido; il terzo termine, infine, è l'altezza cinetica, Ù, ed è legata alla velocità del fluido. L’equazione che abbiamo appena scritto rappresenta l’espressione matematica del teorema di Bernoulli, che si enuncia come segue: “in un sistema chiuso dal punto di vista energetico e per un fluido perfetto pesante, incomprimibile e in condizioni isoterme che si muove in moto permanente, il carico idraulico totale E, ossia la somma della quota geodetica, dell’altezza piezometrica e di quella cinetica, sì mantiene costante lungo il tubo di flusso”. Definizione di corrente gradualmente variata Una corrente si definisce “gradualmente variata” se le traiettorie sono sensibil- mente rettilinee e parallele tra loro. Una corrente di tale tipo è caratterizzata da sezioni trasversali piane. Presenta, inoltre, l’interessante proprietà che il vettore velocità è sensibilmente invariante nella sezione trasversale. In Fig. 3 si riporta l’andamento delle traiettorie nel caso di brusco allargamento di sezione. Si nota che prima del brusco allargamento che porta il diametro della condotta dal valore D, al valore D», la corrente risulta gradualmente variata. Ad una certa distanza Corso di Laurea Triennale in Design Meccanica dei Fluidi Appunti del corso A.A. 2019-2020 B. Brunone DICA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE C. Capponi DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA S. Meniconi Processi di efflusso a contatto con la parete lungo lo spessore di questa insorgerebbero degli sforzi tangenziali. Nel caso della luce in parete sottile, invece, il contatto del liquido con (a) (b) —— MI ___t Figura 3: Modalità di realizzazione di una luce: (a) luce in parete sottile a spigolo vivo; (b) luce in parete grossa. la luce si riduce alla circonferenza interna e, quindi, in pratica, a una linea. La luce, inoltre, deve essere sufficientemente lontana dalle pareti verticali del serbatoio in modo che si possa escludere una loro influenza sul fenomeno. In queste condizioni, a valle della luce si verifica un fenomeno di progressiva contrazione della vena effluente fino a che le traiettorie si raddrizzano disponendosi parallele fra di loro nella cosiddetta “sezione contratta” (Fig. 4). Più a valle la sezione del getto si riduce progressivamente per effetto della forza di gravità. Le Figura 4: Fenomeni di chiamata allo sbocco e di contrazione della vena effluente da una luce circolare di fondo in parete sottile. Brunone, Meniconi, Capponi Nel caso in cui, invece, la luce sia praticata su una parete verticale (Fig. 5), l’effetto della gravità determina l’andamento del getto effluente deriva dalla combi- nazione dell’effetto della forza di inerzia e di quella di gravità. Quanto minore è la velocità di efflusso e, quindi, la forza di inerzia, più il getto si dispone orizzontal- mente. Il getto 0 (Fig. 5a), ad esempio, si stabilirebbe in assenza di forza di gravità mentre quelli 1 e 2 si riferiscono a condizioni in cui l’effetto di quest’ultima è via via maggiore (Figg. 5b e 5c). (O) (6) (O) Figura 5: Caso della luce su parete verticale ed effetto della gravità. Facendo riferimento alla luce di fondo, è possibile applicare il teorema di Bernoulli alla traiettoria che passa per i punti A (posto in una zona del serbatoio nella quale non si risente del fenomeno di chiamata allo sbocco) e B (appartenente alla sezione contratta). Pertanto si può scrivere: Ey= Ep (1) in cui E = carico idraulico totale, ossia 2 2 DA QUA DB | VB za+ + Ana + + @ v 29 v 2 in cui z = quota geodetica (misurata da un arbitrario piano orizzontale che, in questo caso, solo per comodità, si è fatto passare per la sezione contratta), p = pressione, y = peso specifico, v = velocità locale e g = accelerazione di gravità. A primo membro dell’Eq. (2) risulta: va=0 in quanto il punto A si trova a sufficiente distanza dalla luce. In tale zona zona, pertanto, si stabiliscono condizioni idrostatiche e quindi, per il teorema di Stevin, si può scrivere, in termini di pressioni relative: PA _h46 ZAT Processi di efflusso Nella sezione contratta, per l'andamento rettilineo e parallelo delle traiettorie, si stabilisce una corrente gradualmente variata in tutti i punti della quale, quindi, la quota piezometrica assume lo stesso valore, h*, e si può scrivere: z+ P_ costante = h* (3) 7 Poiché, però, per la scelta del piano di riferimento delle 2, risulta 2 = 0 in tutti i punti, l’Eq. (3) diviene: P_k 4 rv e quindi la pressione assume lo stesso valore in tutti i punti della sezione contratta. Considerando, infine, che nei punti della sezione contratta a contatto con l'atmosfera la pressione (relativa) è nulla, in tutti i punti della sezione contratta, anche quelli interni, la pressione è nulla. In definitiva, l’Eq. (2) assume la forma: ÙU h+dò= dg (5) Poiché questo ragionamento può essere ripetuto per tutte le traiettorie che, originate in zone lontane dalla luce, passano per la sezione contratta, in tutti i punti di questa la velocità assume il medesimo valore: ve = V2g(h+ d) (6) Poiché la distanza, d, fra la luce e la sezione contratta è molto piccola (pari circa a D/2), come anticipato, risultando h molto maggiore di D e quindi di 6, si può senz'altro scrivere: vu= V2gh (7) in cui v è la cosiddetta velocità torricelliana. Torricelli, infatti, nel suo trattato “Del moto dei gravi”, pubblicato nel 1664, affermava che‘ liquidi che fuoriescono da un foro di un recipiente hanno la stessa velocità di un grave che cada dalla superficie libera del liquido fino all’altezza del foro”. Torricelli, inoltre, verificò che getti diretti verso l’alto arrivano ad altezze praticamente pari alla quota del pelo libero dei recipienti da cui essi provengono ed ebbe l’intuizione che l’altezza lievemente minore del getto che sperimentalmente si riscontra in queste esperienze dipende dalla presenza dei fenomeni di attrito. Nella realtà, a causa degli effetti dissipativi dovuti alla viscosità nelle immediate vicinanze della luce, la velocità effettiva, v,, risulta leggermente più piccola di v;: v = CV 2gh (8) nella quale il coefficiente di velocità, C,, varia fra 0.96 e 1. Riferimenti bibliografici Ghetti, A. (1984). Idraulica. Edizione Libreria Cortina, Padova. TEOREMA DI BERNOULLI E=2+p,V°_ cost td 2307 = FLVIDO PERFETTO = /NCOMPRIMIBILE di OMOGENEO ” (f= così) pet — MOTO STAZIONARIO FLVIDI REALI: p#o ESTENSIONE DEL TEOREMA DI BERNOULLI AD UNA CORRENTE DI LIQUIDO REALE Secondo il teorema di Bernoulli risulterebbe: E, =E, In realtà: E, > E) Per tenere conto delle dissipazioni si scrive: JL = perdite di carico continue E,-E,=JL,, J = perdita di carico per unità di percorso MOTO UNIFORME e Non solo le grandezze non dipendono dal tempo, ma la velocità media, V, non varia nemmeno con lo spazio: V = costante * Per queste condizioni di moto, nella prima metà del secolo scorso, è stata condotta una molto ampia sperimentazione di laboratorio. * L’inquadramento di tutti i risultati viene proposto considerando la formula di Darcy-Weisbach (formula di resistenza): T- i _V D Fi \ \indiw di amistimza. 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 Friction Factor 0.015 0.01 Laminar Flow Moody Diagram 0.05 7 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.005 did DAITETY si Re Material Concrete, coarse 125 Concrete, new smooth —0,025 titan t Drava boe 0.0025 Complete turbulence Glass, Plastic, Perspex 0.0025 : Iron, cast 0.15 ! "| Sewersiold 30 -| Steel, mortar lined oi |-r---h- PL Steel, rusted 0.5 t | Steel, structural or forged 0.025 | {Tri I ren 1| Water mains, old 10 Friction Factor = i 7AP n i {il - Tu Smooth Pipe 3 4 $ 6 7 8 10 10 10 10 10 10 Reynolds Number, Re = pVd pu GRANDEZZE PRESENTI NELL’ABACO DI MOODY INDICE DI RESISTENZA T=:X VM 25D NUMERO DI REYNOLDS Re = VD vw SCABRE2ZA RELATIVA t D £»* scabusza angdata ALCUNE FORMULE DI RESISTENZA Ra gini Aaminane \= 6% ( Poiseuilli) Re Regina Yunbelexto di + be Liscio ) = 0.346 (BHasius) Re” Raga tuned ( Srvamat d Jai È 0,25 > 77 n) 2 Serbatoio 1 è una vasca che contiene acqua, munita di un tubo di scarico che sfocia in un serbatoio sottostante chiuso (serbatoio 2) La bocca del tubo di scarico si trova al di sotto del pelo libero dell’acqua nel serbatoio 2 La volta del serbatoio 2 comunica con un serbatoio chiuso (serbatoio 3), quasi completamente pieno di acqua. In questa massa di acqua contenuta nel serbatoio 3 pesca un tubo, che fuoriesce dal serbatoio e termina con un ugello verticale. Immettendo acqua nel serbatoio 1 si allaga il tubo di scarico e si porta in pressione l’aria racchiusa tra i peli liberi dei serbatoi 2 e 3. Di conseguenza viene espulsa acqua dal serbatoio 3 attraverso il tubo con ugello, producendo un getto serbatoio 1 ® serbatoio 2 serbatoio 3 ascendente. Calcolare la velocità di efflusso dell’acqua dall’ugello. Nel Serbatoio 1, serbatoio 2 e serbatoio 3 ipotizzo che il fluido sia in quiete, e applico la legge di Stevin: z2+ p/y = cost Considero i punti 1 e 2 sul pelo libero del serbatoio 1 e 2 e applico la legge di Stevin: Di D2 z+—=z+— 1 2 7 D2=Y(Z1- 22) Il serbatoio 2 e il serbatoio 3 sono in contatto e tra loro c'è aria in pressione P2= P3 = paria per cui: p3 = y(Z1 — z2) serbatoio 1 ® serbatoio 2 serbatoio 3 I sezione contratta a valle dello scarico in atmosfera: Applico il teorema di Bernoulli tra i punti 3 e 4 che è la 1 4 Do serbatoio 1 D3 Vv, Di VE zz +4B+4 =, +4 30 yv 29 v 29 ds + IS s + SS I V@E1- 22) ) i =|(23-z +25) (2 — Z4+ (A 4 37Z4 7 = (23-Z4+ 21 Z2) Va=v2g(23—z4+ z1- Z2) NOTA BENE: La fontana di Erone funziona fino a ===> 2 quando: 1. il pelo libero nell'ultimo serbatoio (serbatoio 3) si , j abbassa tanto da scoprire la bocca del tubo con ° serbatoio 2 ugello, } serbatoio 3 oppure . . https://digilander.libero.it/calchic/pionieri/eronedue.html 1. la differenza z;-z, diventa uguale a z4-z3. https://mostre.museogalileo.it/archimede/video/FontanaErone.html Forze e sforzi dove n e t sono i versori della normale e della tangente nel punto P. Lo sforzo normale, on, e quello tangenziale, rn, nel punto P sono quindi definiti dalle relazioni: dl ne dl (3) dA dA Poiché i fluidi non resistono a trazione, gli unici sforzi normali ammissibili sono quelli di pressione che, assunti positivi (diversamente dalla teoria del mezzo solido), agiscono verso la superficie sulla quale sono applicati. In Corso di Laurea Triennale in Design Meccanica dei Fluidi Appunti del corso A.A. 2019-2020 B. Brunone DICA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE C. Capponi DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA S. Meniconi Idrostatica Dalla (2) risulta quindi PB = Pc (3) ossia la pressione agente su due punti di un liquido omogeneo e incomprimibile in quiete appartenenti ad uno stesso piano orizzontale è la stessa. In tali condizioni, pertanto, i piani orizzontali sono superfici isobariche. Questo risultato spiega perché la superficie di pelo libero sia orizzontale in quanto soggetta uniformemente alla medesima pressione atmosferica. Consideriamo, quindi, i punti D e E all’interno del liquido posti sulla stessa verticale e il cilindretto retto n.2, con basi di area elementare dA, il cui asse passa per D e E (Fig. 3). PpRdA dy ppitdA Figura 3: Forze agenti sul cilindretto n.2. Dall’equazione della statica (1), proiettata sull’asse verticale, risulta: G+ppdA— pred A4=0 4) in quanto F, ha componente nulla sull’asse verticale. Dalla (4), essendo G + ydAdy, essendo dy l’altezza del cilindretto, si ottiene: pe — pp = 7dy (5) ossia la differenza di pressione fra due punti immersi in un liquido omogeneo e incomprimibile di peso specifico y posti sulla stessa verticale è data dal prodotto fra il peso specifico 7 e il dislivello dy fra i due punti. L’ Eq. (4) afferma, quindi, che è possibile calcolare la pressione in un qualsiasi punto di una massa liquida in Brunone, Meniconi, Capponi quiete purché si conosca il valore della pressione in un punto della massa stessa !. Senza togliere generalità al procedimento, se il punto D viene posto sulla superficie di pelo libero, la pressione in esso è nota in quanto pari a quella atmosferica, patm, e l’Eq. (4) assume pertanto la forma: P= Patm +7Y (6) essendo y l’affondamento del generico punto dalla superficie di pelo libero. In virtù della (6), che è detta Equazione di Stevin, l'andamento della pressione lungo la verticale in una massa liquida omogenea e incomprimibile in quiete è lineare (Fig. 4). La distanza fra il pelo libero e il fondo del serbatoio, h, viene definita tirante idrico e determina una pressione al fondo pf = pam + yh. Si noti che l’area del diagramma delle pressioni di Fig. 4 è pari a Agp = 1/29h?. Nella pratica, si fa spesso riferimento alla differenza fra la pressione assoluta p e quella atmosferica. Tale differenza p — patm viene definita pressione relativa; la superficie di pelo libero è quindi soggetta ad una pressione relativa nulla. L’uso della pressione relativa è talmente diffuso che per pressione si intende, salvo diversa specificazione, proprio la pressione relativa e pertanto si scrive: D = Pass — Patm (7) vh Figura 4: Distribuzione lungo la verticale della pressione assoluta e relativa in un serbatoio contenente liquido omogeneo e incomprimibile in quiete. Approfondendo il significato di h si perviene ad una differente espressione dell’Equazione di Stevin. Considerando nella massa liquida in quiete due punti, M, sul pelo libero, N, ad una generica distanza dal fondo (Fig. 5), si può scrivere: py = Pm +Yyn = Pm +97(h- 20) (8) essendo zy la quota geodetica del punto N misurata a partire dal fondo orizzontale del serbatoio rispetto al quale si misura hh. 1Questo risultato deriva dal fatto che, in un approccio più generale, la pressione risulta la soluzione di un'equazione differenziale integrale generale è definito a meno di una costante, appunto la pressione in un punto della massa liquida in quiete. Idrostatica w 220 Figura 5: Quota geodetica, zy, affondamento, yw, rispetto al pelo libero del punto N. Essendo, quindi, pw = 0, si può scrivere: 24 PN 2h 0) 7 in cui py/Y, avente le dimensioni di una lunghezza, è definita altezza piezo- metrica. La (9), valida in tutti i punti della massa liquida ed equivalente alla (5), consente di affermare che “in un liquido omogeneo e incomprimibile in quiete, soggetto unicamente alla forza peso, in tutti i punti la somma della quota geodetica e dell’altezza piezometrica è pari al tirante idrico h”; la grandezza h = 2 + p/7 viene definita quota piezometrica. Si consideri la parete piana di traccia AB di Fig. 4 e si ipotizzi che essa ab- bia spessore in direzione ortogonale al foglio costante e pari a b. Si definisce “spinta sulla parete piana”, la risultante delle forze di superficie esercitate dal fluido di peso specifico, y, sulla parete piana di area A = h - db: S - fonda =n f pid (10) A A dove la spinta, S è un vettore diretto normalmente (n = versore normale alla parete) alla superficie A. Indicando con pg la pressione esercitata dal fluido sul baricentro geometrico G della parete e con hg l'affondamento del baricentro stesso, il modulo del vettore S si può scrivere: 2 cioè il modulo della spinta, S, è pari al prodotto tra la pressione al baricentro geometrico della parete e l’area della parete stessa. Nel caso specifico di Fig. 4, tale valore coincide con il prodotto tra l’area del diagramma delle pressioni, Agp, e lo spessore della parete b. h h? S= | pd po 4 — hcA = 134 = 156 = Ad (11) Corso di Laurea Triennale in Design Meccanica dei Fluidi Appunti del corso A.A. 2019-2020 B. Brunone DICA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE C. Capponi DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA S. Meniconi Misure di pressione n LI \ /°, Pia a) b) Figura 3: Sensori di pressione. Figura 4: Ponte di Wheatstone. La membrana si flette per effetto della pressione. La flessione della membrana porta ad una deformazione degli estensimetri e ad una variazione della resistenza elettrica del ponte di Wheatstone, proporzionale alla pressione. La variazione della pressione genera una variazione della resistenza, che comporta una variazione della tensione da inviare a un sistema di controllo. Riferimenti bibliografici Cascetta, F. (2003). Sistemi di telecontrollo di reti di pubblica utilità-Reti Idriche. Ed. Franco Angeli Citrini, D., Noseda, G. (2009). Idraulica. Casa Ed. Ambrosiana. Pulci Doria G. (1992). Metodologie moderne di misure idrauliche e idrodinamiche. Cooperativa Universitaria Editrice Napoli - CUEN, Napoli. Rossi, G. (2010). Misure meccaniche e termiche. Basi teoriche e principali sensori e strumenti. Ed. Carocci (Roma: Carocci). Università degli Studi di Perugia Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale | CA Corso di MECCANICA DEI FLUIDI — A.A. 2019-2020 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE Perugia, 6 maggio 2020 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 Friction Factor 0.015 0.01 Laminar Flow Moody Diagram 0.05 7 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.005 did DAITETY si Re Material Concrete, coarse 125 Concrete, new smooth —0,025 titan t Drava boe 0.0025 Complete turbulence Glass, Plastic, Perspex 0.0025 : Iron, cast 0.15 ! "| Sewersiold 30 -| Steel, mortar lined oi |-r---h- PL Steel, rusted 0.5 t | Steel, structural or forged 0.025 | {Tri I ren 1| Water mains, old 10 Friction Factor = i 7AP n i {il - Tu Smooth Pipe 3 4 $ 6 7 8 10 10 10 10 10 10 Reynolds Number, Re = pVd pu GRANDEZZE PRESENTI NELL’ABACO DI MOODY INDICE DI RESISTENZA T=:X VM 25D NUMERO DI REYNOLDS Re = VD vw SCABRE2ZA RELATIVA t D £»* scabusza angdata ALCUNE FORMULE DI RESISTENZA Ra gini Aaminane \= 6% ( Poiseuilli) Re Regina Yunbelexto di + be Liscio ) = 0.346 (BHasius) Re” Raga tuned ( Srvamat d Jai È 0,25 > 77 n) 2 Meccanismo dissipativo in un restringimento Brusco restringimento 4 =05(1-4,/A) Xs3Ms(17 4/4) Meccanismo dissipativo in una giunzione aT Tab. 5.15 — Modalità di combinazione e separazione delle portate in una giunzione a T. Condizioni di moto e coefficiente di Giunzione Tipo| perdita di carico - Eq. (5.13) Combinazione di portate con portata globale O; in un ramo diretto © — 9 2° dall'Eq. (5.149) { Zi dall'Eq. (5.145); ® I per 0= 90° (Fig. 5.15) X dall'Eq. (5.15) 2° dall'Eq.(5.15"). Ripartizione di portate con portata globale in un ramo diretto —- © 2° dall'Eq. (5.14) 2° dall'Eq. (5.14); | per 8=90° (Fig. 5.15) ® L° dall'Eq. (515%) 2° dall'Eq.(5.15"). TZ Combinazione di portate con portata O—- —© globale Q; nel ramo laterale ] m Per 9=90° (Fig. 5.16) ® 2° e X° dall'Eq (5.16). Ripartizione di portate con portata globale Q; nel ramo laterale f Per = 90° (Fig. 5.16) IV X}° dall'Eq. (5.17) ® 2° dall'Eq. (5.18). Meccanismo dissipativo in un gomito Fig. 5.10 — Schematizzazione della zona di separazione in un gomito. Università degli Studi di Perugia I A Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale emo Corso di MECCANICA DEI FLUIDI — A.A. 2019-2020 DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE Perugia, 6 maggio 2020 Università degli Studi di Perugia Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale | CA Corso di MECCANICA DEI FLUIDI — A.A. 2019-2020 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE DIPARTIMENTO DI ECCELLENZA IL TUBO DI PITOT Un’applicazione del teorema di Bernoulli Perugia, 13 maggio 2020 PUNTO DI RISTAGNO Interazione fra una corrente e un ostacolo Che cosa succede in corrispondenza del punto di ristagno? Fluido ideale Y zano non gerturbata Fluido viscoso —_—___——__ Uo ll 12 Principio di funzionamento del tubo di Pitot Teorema di Bernoulli Principio di funzionamento del tubo di Pitot LA MISURA DELLA VELOCITA’ LOCALE AVVIENE ATTRAVERSO LA MISURA DI DUE ALTEZZE PIEZOMETRICHE Sono previste una presa dinamica e una presa statica Henry Pitot (1695-1771) Tubo di Pitot-Prandt Prese dinamiche (punto di ristagno) \ Prese statiche Ludwig Prandtl (1875-1953) Alcune considerazioni sul tubo di Pitot ORIENTAMENTO Alcune considerazioni sul tubo di Pitot ORIENTAMENTO Tolleranza fino a 10° Alcune considerazioni sul tubo di Pitot PRECISIONE Vp = V2g4 Brunone, Meniconi, Capponi Viscosità Per meglio comprendere l’origine e le caratteristiche degli sforzi tangenziali introdotti nel precedente paragrafo, è necessario analizzare la cosiddetta condizione di aderenza e un'importante proprietà dei fluidi, quale la viscosità. Si consideri, per semplicità, un fluido con velocità uniforme, uo, che investa una lastra piana impermeabile fissa nello spazio (Fig. 2). Uo | —__- ——» i ——— ——- Uo —_ \i_______.| Velocitànulla sulla superficie _ DZ Lastra piana Figura 2: Fluido con velocità uniforme, uo, che investe una lastra piana impermeabile. Le osservazioni sperimentali indicano che in corrispondenza della lastra il fluido si arresta aderendovi completamente (si verifica, cioè, la cosiddetta “condizione di aderenza”). Ogni scorrimento relativo fra lastra e fluido è quindi impedito (no- slip condition’) e si determina lo sviluppo di un gradiente di velocità in direzione normale alla lastra. In altre parole, il fluido che aderisce alla lastra frena lo strato adiacente che a sua volta frena quello successivo fino ad una distanza alla quale sì ristabilisce il valore indisturbato della velocità, uo, e l’effetto della lastra sul campo di moto diviene trascurabile. Per il principio di azione e reazione, per effetto della condizione di aderenza, il fluido esercita sulla lastra un’azione di trascinamento, una forza cioè che ha la direzione del moto del fluido. Analogamente, se la lastra fosse in movimento, lo strato di liquido vi aderirebbe assumendo la sua stessa velocità. La regione di fluido nella quale si verificano tali gradienti di velocità prende il nome di strato limite. Questo fenomeno, che si verifica in corrispondenza di ogni superficie di contatto fra un solido e un fluido, ovvero fra due flussi aventi differente velocità, è dovuto alla viscosità, un’importante proprietà dei fluidi. Nel caso dei due strati di fluido che si muovono con differente velocità, si sviluppano degli sforzi tangenziali per effetto dei quali lo strato più veloce tende a trascinare quello più lento (azione) mentre quello più lento tende a frenare quello più veloce (reazione). A seconda, quindi, che siano applicati dalle particelle più veloci a quelle più lente o da quelle più lente a quelle più veloci, gli sforzi tangenziali possono essere visti, rispettivamente, come sforzi di trascinamento o come sforzi resistenti. Secondo questo schema interpretativo, aderente alla visione di Newton che definiva la viscosità come “mancanza di scivolosità”, in un fluido in quiete (nel quale, ovviamente, non sono presenti gradienti di velocità), gli sforzi tangenziali Viscosità sono nulli. In tutte le altre condizioni, quindi, sono presenti sforzi tangenziali. Nella realtà, infatti, non esistono fluidi con viscosità nulla. Il fluido perfetto, pertanto, rappresenta un ente ideale il cui comportamento simula adeguatamente quello dei fluidi reali solo in alcuni casi particolari. Coerente con questo fenomeno è quanto si verifica quando un solido si muove in un fluido. A parità di tutte le altre condizioni, sì può infatti osservare che la resistenza opposta al moto verso il basso di una pallina di vetro cresce passando dall’aria all'acqua e da questa all’olio a dimostrazione che le caratteristiche del liquido, in particolare la sua viscosità, influenzano il moto. Un fenomeno simile, peraltro, si verifica quando due corpi solidi a contatto fra di loro sì muovono l’uno rispetto all’altro. Sulla superficie di contatto si sviluppa, infatti, una forza di attrito che ha verso opposto a quello del moto. Per spostare, ad esempio, un tavolo dalla sua posizione, facendolo strisciare sul pavimento, bisogna applicare ad esso una forza orizzontale, grande abbastanza da vincere la forza di attrito, il cui valore dipende dal coefficiente di attrito fra tavolo e pavimento. Nel caso di un liquido, la misura della sua viscosità può effettuarsi in laboratorio utilizzando, ad esempio, un viscosimetro a cilindri coassiali, schematizzato in Fig. 3, detto anche di Searle (Fig. 4). Ss — Figura 3: Schema di un viscosimetro a cilindri coassiali. Utilizzando questo strumento è necessario in primo luogo riempire con il liquido in questione per un’altezza A l’intercapedine il cui spessore, s, deve essere molto minore del raggio del cilindro interno, R. Si mette quindi in rotazione uno dei due cilindri, ad esempio quello interno, con una velocità angolare costante, w, intorno all’asse verticale. Trascorso un certo intervallo di tempo, per effetto degli sforzi tangenziali generati, comincerà a ruotare anche il cilindro esterno. Per bloccare tale cilindro, e quindi per contrastare la forza di trascinamento trasmessa a quest’ultimo Brunone, Meniconi, Capponi =B A Figura 4: Viscosimetro di Searle (tratto da Treccani - enciclopedia onlin dal liquido contenuto nell’intercapedine, è necessario applicare una forza tangenziale resistente, T. In tale dispositivo, un valore rappresentativo dello sforzo tangenziale, t», agente sulla superficie interna è fornito dalla relazione: n=3 4 dove A è la superficie laterale del cilindro interno. Risulta sperimentalmente che, per un assegnato fluido, il valore di 7, è direttamente proporzionale alla velocità impressa al cilindro interno, inversamente proporzionale allo spessore s dell’intercapedine, e dipende dalla temperatura del fluido. Si può pertanto scrivere: wW = _ 5 tw = 3 (5) in cui il coefficiente di proporzionalità, ,., che caratterizza il liquido, viene definito coefficiente di viscosità dinamica. L’equazione (5), detta equazione di Newton, definisce il cosiddetto comportamento reologico dei fluidi newtoniani nei quali lo sforzo tangenziale viscoso è direttamente proporzionale al gradiente di velocità, w (Fig. 5). In opposizione, tutti gli altri fluidi sono detti non-newtoniani. Nei fluidi newtoniani la viscosità dinamica non dipende dalla pressione mentre diminuisce con la temperatura. All’aumentare di questa, infatti, le molecole, acqui- stando maggiore energia, si oppongono maggiormente alla coesione intermolecolare e possono quindi muoversi più liberamente; nei gas avviene il contrario. Sulla base della (5), nel S.I., il coefficiente di viscosità dinamica si esprime in Pa-s. Per i liquidi, la seguente relazione consente di approssimare adeguatamente i dati sperimentali: p= al0/(1-9 (6)