Distribuzioni Esponenziali e Gamma, Dispense di Statistica

Scarica Distribuzioni Esponenziali e Gamma e più Dispense in PDF di Statistica solo su Docsity! L A F A M I G L I A D E L L E D I S T R I B U Z I O N I E S P O N E N Z I A L I La famiglia delle distribuzioni esponenziali è la famiglia di tutte le distribuzioni assolutamente continue che hanno una funzione di densità data da con 𝜃 > 0. Per verificare che le funzioni nel sistema con 𝜃 > 0 siano effettivamente delle funzioni di densità basti osservare che il dominio è l’insieme dei numeri reali come previsto dalla proprietà f0, che f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ ℝ e per ogni 𝜃 > 0 come previsto dalla proprietà f1, e che per ogni 𝜃 > 0 come previsto dalla proprietà f2. Le distribuzioni esponenziali concentrano tutta la probabilità sull’insieme dei numeri reali e si prestano come distribuzioni per v.c. che descrivono durate e tempi d’attesa perché sono le uniche distribuzioni continue che soddisfano la versione continua delle proprietà di assenza di memoria e sono le distribuzioni dei tempi d’attesa tra successi consecutivi nei processi di Poisson. Indichiamo la distribuzione di una v.c. esponenziale con parametro 𝜃 con 𝐗) ~ 𝐄𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐳𝐢𝐚𝐥𝐞(𝛉) RUOLO DEL PARAMETRO 𝜃 Le funzioni di densità esponenziali hanno un andamento molto semplice e il parametro che le identifica è un parametro di scala, ovvero un parametro che incide solo sulla scala degli assi cartesiani, ma non sulla forma della funzione di densità. Per disegnare la funzione di densità corrispondente ad un qualunque valore positivo del parametro, basta disegnare la funzione di densità esponenziale con 𝜃 = 1 e - dividere per 𝜃 i valori riportati sull’asse delle ascisse - e moltiplicare 𝜃 per i valori riportati sull’asse delle ordinate. Grafici di alcune funzioni di densità à Il modo in cui agisce il parametro sulla scala degli assi cartesiani implica che In virtù di questo fatto, il parametro di scala viene spesso qualificato come inverso. FUNZIONE DI RIPARTIZIONE E QUANTILI Per ricavare la funzione di ripartizione di una distribuzione esponenziale basta integrare la funzione di densità Invertendo la funzione di ripartizione si trova anche la formula per calcolare i quantili di una distribuzione esponenziale In virtù di questo teorema si può affermare che un modello probabilistico per v.c. i.i.d. con distribuzione esponenziale di parametro 𝜃, può essere considerato come un modello probabilistico per un processo di Poisson con tasso di accadimento 𝜃 > 0. Questo significa che le condizioni B0 – B4 e B5* non contraddicono gli assiomi di Kolmogorov. LA FAMIGLIA DELLE DISTRIBUZIONI GAMMA La famiglia delle distribuzioni gamma è la famiglia di tutte le distribuzioni assolutamente continue che hanno funzione di densità data da dove 𝛼 𝑒 𝜃 sono due parametri positivi e dove è la funzione matematica gamma. Per verificare che le funzioni sopra sono effettivamente delle funzioni di densità, basta osservare che - queste funzioni sono definite per ogni x ∈ ℝ come previsto dalla proprietà f0 - e che nessuna delle suddette funzioni f(x) può assumere valori negativi come previsto dalla proprietà f1. - e che l’espressione sul lato dx dell’ultima uguaglianza è uguale a 1 perché l’integrale è uguale a come previsto dalla proprietà f2. Le funzioni gamma concentrano tutta la probabilità sull’insieme dei numeri reali positivi e pertanto si prestano come distribuzioni per v.c. che descrivono durate e tempi d’attesa. Indichiamo che 𝑋9 è una v.c. con distribuzione gamma con 𝐗) ~ 𝐆𝐚𝐦𝐦𝐚(𝛂, 𝛉) ALCUNE PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE MATEMATICA Per dimostrare alcune proprietà della distribuzione gamma, ci serviranno tre proprietà della funzione matematica gamma IL RUOLO DEI PARAMETRI 𝛼 E 𝜃 Come si desume dal modo in cui abbiamo definito le funzioni di densità gamma il parametro 𝜃 è un parametro di scala inverso che non incide sulla forma delle funzioni di densità gamma, come per le distribuzioni esponenziali. Infatti, a partire dall’espressione modificata della funzione di densità gamma, deduciamo che per ottenere il grafico della funzione di densità gamma con 𝜃 ≠ 1 è sufficiente disegnare il grafico della funzione di densità gamma con lo stesso valore del parametro 𝛼 e con parametro 𝜃 uguale a 1 e poi - Dividere per 𝜃 i valori riportati sull’asse delle ascisse - E moltiplicare per 𝜃 i valori riportati sull’asse delle ordinate Il modo in cui il parametro 𝜃 incide sul grafico della funzione di densità gamma implica che Siccome 𝜃 è un parametrodi scala inverso, possiamo analizzare la forma della distribuzione considerando solo il caso in cui 𝜃 = 1. Grafico dell’andamento di alcune funzioni di densità gamma con diversi valori del parametro alfa e con teta fisso e uguale a 1 POPRIETÀ RIPRODUTTIVA La seconda parte di questo teorema è immediata conseguenza del fatto che tutte le distribuzioni esponenziali sono distribuzioni gamma con parametro 𝛼 = 1. Dato che nei processi di Poisson i tempi di attesa sono descritti da v.c. i.i.d. che hanno distribuzione esponenziale, e dato che somme di v.c. i.i.d. con distribuzione esponenziale sono v.c. con distribuzione gamma, si può concludere che nell’ambito dei processi di Poisson le somme dei tempi di attesa hanno distribuzione gamma, così come nei processi di Bernoulli hanno distribuzione binomiale negativa. Distribuzioni gamma nei processi di Poisson: Questa formula esprime la funzione di ripartizione gamma nel caso in cui il valore del parametro 𝛼 è un numero intero. ...le probabilità di questi due eventi devono essere identiche. Siccome nell'ambito di un processo di Poisson i tempi d'attesa tra successi consecutivi sono i.i.d. con distribuzione esponenziale di parametro 0 uguale al tasso di accadimento del processo, e siccome il tempo d'attesa fino al successo numero a è uguale alla somma dei primi a tempi d'attesa, possiamo fare riferimento alla seconda parte del Teorema 5.8 onde concludere che 2 X — Gamma(a; 0) (ricordiamo che a è il numero di successi e che 0 è il tasso di accadimento del processo di Poisson). D'altra parte, secondo il Teorema 5.4 (slides sulle distribuzioni di Poisson), nell'ambito di un processo di Poisson con tasso di accadimento 0 si deve avere Vos = Poisson(\ = 0x). Quindi possiamo concludere che PAX <x}) = P{Van > a)=1- YO (OVE e questa espressione coincide con quella nella formula (5) che vogliamo dimostrare. O