Appunti di Fisica: Vettori e Cinematica, Schemi e mappe concettuali di Fisica

Scarica Appunti di Fisica: Vettori e Cinematica e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Fisica solo su Docsity! Appunti di Teodoro Ilaria 1 APPUNTI di FISICA BREVE RIPASSO SUL CALCOLO VETTORIALE Quantità fisica → qualsiasi entità che si può misurare Vettore → es. velocità/accelerazione Il vettore rappresentato non è una velocità perché il sistema di riferimento indica presumibilmente degli assi in metri. La prima cosa da guardare in un grafico è il sistema di riferimento (x, y, z) il primo vettore rappresentato può essere una posizionemisurata in metri. V è il vettore posizione di P (punto). ● spostamento → differenza tra due posizioni (operazione tra vettori) COSA COMPONE UN VETTORE? - modulo → lunghezza (della freccia) rispetto al sistema di riferimento, il riferimento ci da l’unità di misura delle sue componenti - direzione → è geometricamente una retta (ente infinito) su cui giace il vettore - verso → è dato dalla bardatura, cioè dalla parte di retta dove indico la freccia. La freccia è messa in corrispondenza del punto di cui voglio conoscere la posizione (0 è la coda, P è la testa) - punto di applicazione (origine) → dire dove una forza applicata è fondamentale Ogni vettore può essere: traslazione→ significa spostarli senza che subiscono deformazioni (= modulo, = direzione, = verso, diverso punto di applicazione) la traslazione viene usata per eseguire alcune operazioni rotazione→ = modulo, diversa direzione e diverso verso deformazione→ diversi modulo, direzione, verso VERSORE → è un vettore il cui modulo è unitario (modulo = 1). Sono indicati con il cappuccio ^ NB: Le varie operazioni con i vettori sono scritte sul quaderno!! focus: gradiente di un campo scalare Se si ha un campo scalare U, si definisce gradiente di U (si indica con gradU) quel vettore che ha per componente lungo x la derivata parziale di U fatta rispetto a x, per componente y la derivata parziale di U fatta rispetto a y e per componente lungo z la derivata parziale di U fatta rispetto a z, cioè: 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑈 = ∂𝑈 ∂𝑥 𝑖 + ∂𝑈 ∂𝑣 𝑗 + ∂𝑈 ∂𝑧 𝑘 Tale operazione di gradiente ci permette di affermare che, dato un campo scalare U è possibile dedurne un campo vettoriale: V = gradU Appunti di Teodoro Ilaria 2 1. CINEMATICA La cinematica studia e descrive il moto dei corpi indipendentemente dalle cause che lo determinano ed è detta anche geometria del moto, in quanto associa i concetti della geometria (posizione dei corpi nello spazio) al concetto di tempo. Il concetto dimoto dipende da chi osserva il fenomeno. Un corpo è in moto se la posizione dei suoi punti cambia nel tempo rispetto ad altri corpi presi come riferimento. Per poter parlare di moto e poterlo descrivere occorre che ci sia un osservatore, in quiete rispetto al sistema di riferimento scelto, che compia misure di tempo e di lunghezza. ● posizione x [m] Descrizione geometrica del moto, cioè indipendentemente dalle cause del moto stesso. Dal punto di vista analitico, il moto è descritto da una legge (legge oraria) che lega la posizione x [m] del punto ad ogni istante di tempo t [s]: La posizione x di un punto è definita dalla coordinata x (è un numero o vettore). Un punto materiale è un’entità idealizzata che non ha estensione ne struttura interna. Un vettore posizione localizza un punto P di una traiettoria rispetto a un’origine O. Tipicamente il moto è descritto entro un certo intervallo di tempo t, a partire da un istante iniziale ti e uno finale tf ● spostamento ΔX Δ = differenza Distanza ottenuta sottraendo alla posizione finale quella iniziale. Si verifica quando si ha un cambiamento della posizione. ● velocità v La velocità di un corpo ci dice con quale rapidità esso si muove e in quale direzione si dirige rispetto al sistema di riferimento, cioè la rapidità con cui cambia la sua posizione in un INTERVALLO di tempo. In una dimensione, la velocità media ha una sola componente (x,y o z). In un grafico di x in funzione di t (come grafico sopra), la componente della velocità media è pari alla pendenza del segmento di retta che ha per estremi due punti del grafico. Se ottengo una velocità media negativa→ significa che lamarcia si è invertita! Appunti di Teodoro Ilaria 5 MOTO RETTILINEO UNIFORME Rettilineo (monodimensionale)e uniforme (velocità costante) Il problema richiede di ricavare la legge oraria del moto dato. Essendo un moto 1-D (unidirezionale) la notazione vettoriale è superflua: Dalla definizione di velocità: Si svolge seguendo i passaggi di una equazione differenziale a variabili separabili! Quindi data una condizione a contorno sul moto (in questo caso impostando velocità costante per tutti i tempi), il risultato ottenuto sarà un moto la cui posizione aumenta linearmente con il tempo. A questa legge oraria si dà il nome dimoto rettilineo uniforme. MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO uniformemente → accelerato in modo costante uniforme → quantità che non variano nello spazio costante → “quantità” che non varia nel tempo a0 → vettore moltiplicato per un versore Dalla definizione di accelerazione: Appunti di Teodoro Ilaria 6 La formula 1 lega la velocità ai tempi (v → t) ma NON è una legge oraria. La velocità aumenta (in modo assoluto) in maniera lineare con il tempo. Dalla definizione di velocità: La formula 2 lega la posizione ai tempi (x → t) Questa è la legge oraria del moto uniformemente accelerato. E’ una parabola con concavità verso alto o basso in base al valore di a0. UDM: X0 = m V0 = ms-1 a0 = ms-2 Combinando le due formule si riuscirà a combinare la velocità alla posizione. La formula 3 nel riquadro lega la velocità allo spazio (v → x) ma NON è una legge oraria. MOTO DI CADUTA LIBERA Per effetto dell’attrazione gravitazionale, trascurando la forza di attrito dell’aria, corpi diversi lasciati cadere in prossimità della superficie della Terra si muovono di moto uniformemente accelerato, con accelerazione pari a g. - prossimità della superficie terrestre→ significa identificare quell’intervallo di altitudini dove l’accelerazione di gravità sia sempre 9,8 ms-2.(non si hanno variazioni di g), è entro circa 20 km. Appunti di Teodoro Ilaria 7 y rappresenta diverse altezze (altitudini), j è il suo versore g è un vettore che punta (verso il basso) in modo opposto rispetto al vettore j (verso l’alto), ed il suo modulo è pari a 9,8 m/s2 NB: Un sottomultiplo è il Gal → 1 gal = 1 cms-2 Sono le stesse formule 1, 3, 2. Solo che al posto di a0 si utilizza -g. a = -gj ● corpo lanciato verso l’alto dalla superficie della Terra Il punto più alto raggiunto da un corpo corrisponde al punto di inversione della direzione del moto. Con questa forma impongo che ad un determinato tempo la velocità sia pari a 0. DA m/s a km/h MOLTIPLICO PER 3,6 tm = tempo di salita ym = altezza massima NB: L'attrito con l'aria causa eventuali deviazioni. ● caduta da una altezza h meglio scrivere V2 m Un oggetto che cade da 500 m, in prossimità della Terra arriva al suolo a 360 km/h. Ma nella realtà non è possibile per l’attrito dell’aria. È una velocità particolare, perché è la velocità raggiunta poco prima dell’impatto al suolo. Appunti di Teodoro Ilaria 10 Il vettore velocità media può essere perfettamente sovrascritto alla traiettoria, a patto di disegnarlo tangente ad essa in corrispondenza di un tempo che ci interessa. Una volta tracciata la traiettoria, ogni tangente in un punto, rappresenta il vettore velocità istantanea. Anche dr, per quanto infinitesimo, è anche lui tangente alla traiettoria. La velocità istantanea (dr/dt) è quindi anch'essa è tangente alla traiettoria. La velocità istantanea come vettore si può sovrapporre alla traiettoria e sarà tangente in ogni punto alla traiettoria. ● accelerazione media e accelerazione istantanea m/s2 Il vettore dell’accelerazione media sarà parallelo ed equiverso al vettore ΔV. L’accelerazione istantanea all’interno di questo sistema di riferimento come vettore non ha più una relazione geometrica precisa con la traiettoria (non è necessariamente parallelo o ortogonale). Può succedere che ≠ 0 (scalar) → questo significa che ha una componente (proiettata su v) parallela a .𝑎 • 𝑣 𝑎 𝑣 Quando succede questo l’accelerazione (a = dv/dt) cambiamodulo e direzione di 𝑣 Può succedere che = 0 (scalar) → vuol dire che è perfettamente ortogonale a , in questo caso l’accelerazione𝑎 • 𝑣 𝑎 𝑣 (a = dv/dt) può SOLO cambiare la direzione della velocità (come se andassi in macchina sempre a 40 km/h e riuscissi ad accelerare rimanendo sempre a 40 km/h SOLO cambiando la mia direzione, come in una curva). L’accelerazione di un corpo che percorre una traiettoria curva è sempre diretta verso la concavità della traiettoria e che, se il modulo della velocità del corpo è costante, è perpendicolare a .𝑎 𝑣 Appunti di Teodoro Ilaria 11 MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE (2D) Il caso più semplice di moto accelerato è quello del moto con accelerazione costante. Per trovare le espressioni di e procediamo in modo analogo a come abbiamo fatto per il moto con accelerazione𝑣 𝑟 costante in una dimensione. Quando l'accelerazione è costante, essa risulta uguale al suo valore medio: 𝑎 = △𝑣 / △𝑡 Se poniamo Vf= e Vi = 0𝑣 𝑣 tf = t e ti = 0 allora = - / (t - 0), ossia𝑎 (𝑣 𝑣0) (4.10) con (4.10): Vx = Vx0 + axt Vy= Vy0 + ayt L’equazione che fornisce può essere determinata trovando un’espressione la cui derivata dia𝑟 l’equazione: = + t, cioè𝑣 𝑣0 𝑎 Sulla terra a0 = g, a0x = 0 e a0y = -g Quindi separando l’equazione = + t nelle sue componenti si trova:𝑣 𝑣0 𝑎 (4.12) Queste equazioni mostrano che il moto nella direzione x e nella direzione y sono indipendenti l’uno dall’altro. In altre parole, tale moto può essere descritto come due distinti moti unidimensionali con accelerazione costante lungo direzioni perpendicolari, come ad esempio nelmoto dei proiettili. MOTO DEI PROIETTILI proiettile→ è un qualsiasi corpo che si muove per effetto dell’azione della forza di gravità. In prossimità della crosta il moto è di tipo parabolico, mentre se il proiettile supera una certa velocità limite (chiamata velocità di fuga) il corpo può entrare in orbita rispetto al pianeta (in questo caso si parla di satelliti). Supponiamo che il proiettile venga lanciato in modo che la sua velocità iniziale formi un angolo conθ l’asse x e tale angolo lo chiameremo angolo di proiezione. Scomponendo la velocità iniziale si ottengono le sue componenti: Appunti di Teodoro Ilaria 12 e sostituendo questi valori nell’equazione 4.10 si ottiene Se facciamo coincidere l'origine del nostro sistema con la posizione iniziale del proiettile risulta: X0 = Y0 = 0 E’ possibile ricavare un’equazione della traiettoria di un proiettile eliminando il tempo tra le espressioni di x e y nelle due espressioni precedenti. Risolvendo rispetto al tempo l’equazione di x e sostituendo il risultato nell’espressione di y si ottiene: tempo di salita→ tempo necessario per raggiungere il punto più alto altezza massima→ altezza raggiunta dal proiettile in corrispondenza del tempo massimo gittata→ distanza che il proiettile raggiunge rispetto al punto in cui viene lanciato ottenuta mediante l’identità trigonometrica: 𝑠𝑒𝑛2α = 2𝑐𝑜𝑠α 𝑠𝑒𝑛α La massima gittata si raggiunge quando θ = 45 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖 Appunti di Teodoro Ilaria 15 Omega è ortogonale al piano del moto circolare, e uscente per un moto antiorario (segue la regola della mano destra: pollice lungo omega e la chiusura delle dita mi dice qual è il verso del moto circolare). Omega sarebbe invece entrante, per un moto orario. Quindi, il verso e la direzione di omega, mi definiscono se il moto è orario o antiorario. ● accelerazione angolare (rad s-2)α accelerazione centripeta Ilmoto circolare è uniforme se eω = ω0 α = 0 legge oraria MOTO ARMONICO → fondamento di tutti i fenomeni fisici esistenti E’ un moto 1D. E’ vincolato ad un massimo e un minimo (lungo l’asse x), ed è periodico. armonico→ contiene funzioni semplici tipo seno e coseno (trigonometria) La proiezione ortogonale alle ascisse di un punto che giace su una circonferenza è pari a: Quindi, se il punto si muove di moto circolare uniforme, la sua legge oraria sarà: Analogamente, per la proiezione ortogonale sull’asse delle ordinate: Appunti di Teodoro Ilaria 16 Nell’ambito dei moti armonici o più in generale dei moti periodici o oscillatori, il parametro è chiamatoω frequenza angolare (o impulso), il parametro R ampiezza (A) e il parametro 0 fase, più comunementeθ indicata con .φ La frequenza f [s-1] indica il numero di cicli o oscillazioni per unità di tempo) è legata alla frequenza angolare dalla relazione Il periodo T [s] è il tempo necessario per compiere un ciclo o una oscillazione, è l’inverso della frequenza: 2. DINAMICA La dinamica studia le relazioni quantitative fra cause (forze) ed effetti nei fenomeni meccanici. Qualsiasi oggetto che striscia su una pavimentazione, all’inizio ha una velocità v0e dopo un po diventa 0 V = 0 Affinché si possa eliminare l’azione di materiali che interferiscono con l’esperimento di movimento, bisogna diminuire l’attrito, cioè l'interazione tra il pavimento e l’oggetto. L’attrito influenza in modo irreversibile il destino del moto del corpo. Il moto di un oggetto che fluisce bene senza attrito è un moto molto vicino almoto rettilineo uniforme (spazi uguali, in tempi uguali, velocità costante) → INFLUENZA DI UN CORPO ESTERNO = FORZE REALI Una forza reale è una forza che richiede l’azione di un corpo esterno. La condizione di velocità costante (che comprende anche v = 0 cioè quiete) è strettamente connessa con il concetto di equilibrio il quale è legato al concetto di assenza di forze reali. Appunti di Teodoro Ilaria 17 Affinchè si possa accertare l’esistenza di forze reali bisogna trovarsi in un sistema di riferimento fisso (devo stare fermo oppure devo muovermi anche io di moto rettilineo uniforme). Non esiste un sistema di riferimento fisso universale MA è tutta questione di relatività. DINAMICA DEL PUNTO Descrizione delle leggi generali che legano le cause del moto di un corpo con le caratteristiche del moto stesso. In queste leggi un ruolo fondamentale è svolto da due grandezze fisiche: massa e forza. grandezza fisica → qualsiasi cosa che può essere misurata ● massa m (kg) SCALARE La massa di un corpo si misura con una bilancia a bracci uguali. È una proprietà intrinseca della materia (quantità e tipologia di atomi che la compongono). Dal punto di vista meccanico la massa misura la resistenza di un corpo alle variazioni di velocità (inerzia). Il dinamometro e la bilancia a molla singola non sono un misuratore di massa, ma di Forza Peso. inerzia→ opposizione alla variazione del modulo, direzione e verso del vettore velocità proprietà intrinseca→ in qualsiasi punto della Terra ottengo sempre la stessa quantità ● forza F (N) VETTORIALE (le forze si sommano) La forza è un'interazione fra corpi (spinta o trazione) che si misura con un dinamometro (molla). Dal punto di vista meccanico le forze causano deformazione e/o accelerazione di un corpo. La deformazione è un tipo particolare di “moto”. Ogni corpo si può immaginare come l’insieme di più particelle. Se ogni particella si sposta, si ha una deformazione. Se c'è spostamento c’è deformazione. PRIMA LEGGE DI NEWTON - principio di inerzia ➔ Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, eccetto che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse. ➔ Se su un corpo non viene esercitata alcuna forza, l’accelerazione del corpo è nulla. ➔ Se la forza risultante che agisce su un corpo è nulla, anche l’accelerazione del corpo sarà nulla. Se ad un certo istante la risultante delle forze applicate su un corpo è nulla esso, se inizialmente in quiete rimarrà in quiete, se inizialmente in moto procede dimoto rettilineo uniforme. L’azione di corpi esterni si è completamente annullata sull’oggetto in movimento! a = 0 → v = costante Il vettore costante può significare quiete (v = 0) oppuremoto rettilineo uniforme (v ≠ 0) ESEMPIO Appunti di Teodoro Ilaria 20 TERZA LEGGE DI NEWTON - PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE Tale principio stabilisce che una forza per agire deve essere il risultato dell’azione di un corpo esterno. ➔ A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia, le mutue azioni di due corpi sono sempre uguali fra loro e dirette verso parti opposte. Le forze scaturiscono dall’interazione fra corpi. Se un corpo a esercita una forza su un corpo b (Fab), esso eserciterà a sua volta sul corpo a una forza (Fba), uguale ed opposta. Le due forze agiscono sulla stessa retta (retta di azione), hanno STESSA intensità ma sono applicate a corpi distinti. Non può esserci una forza senza l’altra, se non nel caso di forze fittizie. Il caso più tipico di coppia azione-reazione è rappresentato dalle forze di attrazione gravitazionale e dalla reazione vincolare (forze di contatto). La forza peso o peso di un corpo è la causa del moto accelerato dei corpi in caduta libera in prossimità della superficie terrestre. In assenza di attrito, l’accelerazione di un corpo in caduta libera è pari a g = 9.8 m s-2 Per la seconda legge di Newton la forza peso è pari a: Quindi il peso di un corpo è proporzionale alla sua massa, ma dipende dalle condizioni in cui si trova il corpo, quindi non è una proprietà intrinseca della materia. NB: g = -gJ (versore) Ft = - mgJ (versore) Esempio – moto senza attrito lungo un piano inclinato Appunti di Teodoro Ilaria 21 quanto teta = 0 → problema con piano orizzontale quanto teta = 90 → problema di caduta libera quando teta < 90 → problema del piano inclinato Teta non solo è l’angolo di inclinazione del piano, è anche l'angolo tra FN e Ft Il fatto che la massa nell’equazione lungo x si annulla (opposto all’uguale) ci dice che lo scivolamento NON dipende dalla massa! accelerazione = costante → uso formule MRUA (moto rettilineo uniformemente accelerato) SFORZO E PRESSIONE La pressione (o sforzo normale) è il rapporto tra la componente della forza normale ad una superficie e l’area superficiale (sono entrambi due FORZE): Ogni superficie piana si può indicare come vettore che ha modulo pari all’estensione della superficie e direzione e verso ortogonali alla superficie A. Lo sforzo di taglio (shear) è il rapporto tra la componente della forza parallela ad una superficie e l’area superficiale (sono entrambi due FORZE): NB: lettera greca = sigma Appunti di Teodoro Ilaria 22 ESEMPIO FORZE ELASTICHE Un dinamometro è assimilabile ad una molla. Il valore della forza si ricava dall’allungamento (o accorciamento) della molla provocato dalla forza. Una forza elastica è quella che un corpo elastico esercita quando viene deformato. Una forza elastica è sempre di richiamo (contraria allo spostamento) e nel caso più semplice è lineare con l’allungamento. Questa linearità è espressa dalla legge di Hooke: Dove k [Nm-1] è una costante detta costante di forza o costante della molla. ESEMPIO Appunti di Teodoro Ilaria 25 Un modo per ridurre gli attriti quando si trasporta un carico è quello di utilizzare un veicolo dotato di ruote. Questo perché le ruote possono essere lubrificate. Gli attriti che invece tendono a rallentare un veicolo con ruote sono trattati come attriti cinetici e possono essere studiati introducendo un coefficiente di attrito volvente. ● forza d’attrito cinetico (o dinamico) Supponendo che sul blocco agiscono tre forze: Fa (forza applicata dal dinamometro, Ft = mg (peso del blocco), Fc (forza di contatto esercitata dalla superficie) rappresentata da due forze, ovvero Fk, la forza d'attrito (parallela alla superficie e opposta alla velocità), e FN la forza normale. Dal momento che l'accelerazione del blocco è nulla, la seconda legge di Newton applicata a esso fornisce ∑Fx, = 0 e ∑F, = 0. Pertanto Fk = Fa FN = mg Esperimenti dimostrano che, con una buona approssimazione Fk è proporzionale a FN ossia: uk è un numero adimensionale chiamato coefficiente di attrito cinetico. Fk e FNhanno direzioni perpendicolari e Fk è opposta a v. Le forze di attrito tra superfici solide dipendono dalla natura chimica delle superfici a contatto, sono indipendenti dalla velocità, sono indipendenti dall’area di contatto, e sono proporzionali alla forza che il corpo esercita normalmente alla superficie. Appunti di Teodoro Ilaria 26 ● angolo di attrito (o angolo critico) Il coefficiente di attrito si può esprimere attraverso la misura dell’angolo critico per l’inizio dello scivolamento. Aumentando progressivamente l’angolo ad un certo punto si realizzerà la condizione: FORZE DI ATTRITO - ATTRITO VISCOSO (facoltativo) A causa della viscosità di un fluido, il moto di un corpo che si muove in un fluido a velocità v è soggetto ad una forza di attrito viscoso Fv . Il coefficiente b [N s m-1] è una costante positiva che dipende da fattori quali la forma del corpo e la natura del fluido. Impostando l’equazione del moto nella direzione y per un corpo in caduta libera immerso in un fluido si ottiene: Nell’istante iniziale v = 0, pertanto segue che ay = g Nel progredire della caduta v aumenta e ay diminuisce fino ad annullarsi. Sotto questa condizione si raggiunge una velocità limite pari a: In aria la velocità limite di una roccia è di circa 240 km/h. FORZE APPARENTI (pseudoforze, forze d’inerzia, forze fittizie) ● Sistema di riferimento inerziale: un sistema nel quale un corpo non è accelerato (a = 0) se non è soggetto ad una forza netta prodotta dal suo ambiente (∑F = 0). Ogni sistema di riferimento solidale ad un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, è anch’esso inerziale. Appunti di Teodoro Ilaria 27 ● Sistema di riferimento non-inerziale: un sistema solidale ad un corpo accelerato rispetto ad un sistema inerziale Com’è possibile studiare la dinamica di un corpo in un sistema non inerziale? Introducendo Forze Fittizie: - consentono di mantenere valida la II legge di Newton - svaniscono analizzando il problema dal punto di vista di un sistema inerziale omega entrante → giro in senso orario Appunti di Teodoro Ilaria 30 LAVORO COMPIUTO DALLA FORZA ELASTICA Se la molla viene allungata, cosicchè x è positiva, allora Fx è negativa e la forza della molla tende a richiamare il blocco nella posizione di equilibrio. Se la molla viene compressa, cosicché x è negativa, Fx è positiva. Dal momento che la molla esercita sul blocco una forza che ha direzione opposta allo spostamento, tale forza è chiamata forza di richiamo. omega → volume La forza elastica è una forza posizionale perché non è costante come la forza peso ma dipende dalla posizione x, ovvero dallo spostamento effettuato rispetto alla posizione di equilibrio della molla. Il lavoro compiuto dalle forze elastiche dipende dalla posizione finale ed iniziale. TEOREMA LAVORO-ENERGIA (sia per F conservative che F non conservative) introduzione: in generale si definisce energia una qualsiasi grandezza di un sistema la cui variazione produce del lavoro La definizione di lavoro consente di stabilire un metodo alternativo alle leggi di Newton per la risoluzione dei problemi di meccanica basato su una grandezza scalare. Le leggi di Newton permettono di eseguire un'analisi della dinamica del moto. Il lavoro consente di ottenere informazioni sul moto in corrispondenza di punti notevoli della traiettoria. Appunti di Teodoro Ilaria 31 Per rendere esplicita la relazione tra il lavoro e le caratteristiche del moto, introduciamo nella sua definizione la seconda legge di Newton: Il primo membro è il lavoro totale (lavoro compiuto dalla forza risultante). Il secondo membro è la variazione della grandezza ½ mv2 tra il punto iniziale e finale della traiettoria. Definiamo la grandezza ½ mv2come energia cinetica K di un corpo di massam dotato di velocità v L’energia cinetica è l’energia di moto. Un corpo in quiete ha energia cinetica nulla. Un corpo in moto ha energia cinetica positiva. L’energia cinetica non può essere negativa perché la sua espressione contiene il quadrato del modulo della velocità. Ha le stesse dimensioni del lavoro (Joule, Nm). RICORDA: v scritta in corsivo → significa modulo del vettore v Il lavoro compiuto dalla forza risultante su un corpo è pari alla variazione di energia cinetica di quel corpo. ESEMPIO Vf ≠ 0, Vi = 0 In assenza di attrito, la velocità finale è indipendente dal percorso. Il percorso ha però influenza sui tempi di discesa. Appunti di Teodoro Ilaria 32 ESEMPIO lavoro negativo → lavoro svolto dalle forze di attrito POTENZA La potenza mette in relazione il lavoro con l’intervallo di tempo nel quale esso viene compiuto. La potenza indica la rapidità con la quale viene compiuto il lavoro. Se in un intervallo di tempo Δt viene compiuto un lavoro ΔW, la potenza media si calcola: hp = treno a vapore Al tendere dell’intervallo di tempo a zero si ottiene la potenza istantanea: Dalla definizione di lavoro: La maggior parte degli apparecchi elettrici porta l’indicazione della potenza nominale che esprime la rapidità di conversione dell’energia elettrica. In base a questa indicazione si può definire il consumo di energia elettrica, data dal prodotto tra la potenza e l’intervallo di tempo: Esprimendo la potenza in kW (kilowatt) e il tempo in ore (h), l’energia è misurata in kWh (kilowatt-ore). ESEMPIO Appunti di Teodoro Ilaria 35 triangolo al contrario → nabla → è un vettore Il gradiente (nabla) applicato ad uno scalare (U) crea un vettore. Il gradiente di un vettore (NO moltiplicazione, solo abbinamento) genera un TENSORE DI SECONDO RANGO. Per ricavare la forza in un punto occorre conoscere l’andamento dell’energia potenziale in un intorno di quel punto. Consideriamo che in una certa regione l’energia potenziale sia costante su una superficie (superficie equipotenziale). I punti appartenenti ad una superficie soddisfano l’equazione: L’operazione ∇∅ dà come risultato un vettore normale alla superficie. U(r) = cost. definisce una superficie equipotenziale, pertanto la forza conservativa F = - ∇U è un vettore sempre normale alla superficie equipotenziale. In prossimità della superficie terrestre U = mgy, quindi le superfici equipotenziali sono piani: Otteniamo la legge di forza nota per il peso di un corpo di massam. Appunti di Teodoro Ilaria 36 ENERGIA MECCANICA Si definisce energia meccanica E la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U. Il teorema lavoro-energia vale sia per sistemi conservativi, sia per sistemi non conservativi: Per il teorema lavoro-energia, questa variazione di energia potenziale deve corrispondere ad una variazione di energia cinetica: Si dimostra quindi che in un sistema conservativo la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale si conserva. A questa somma si dà il nome di energia meccanica E: Ef = Kf + Uf e Ei = Ki + Ui Tuttavia tale espressione non ci può indicare né la direzione del moto né l’istante in cui il corpo si trova in una certa posizione. energia meccanica→ somma di energia cinetica ed energia potenziale conservativo→ sistema con forza conservative, devo aspettarmi che l’energia meccanica in ogni istante e in ogni stadio rimanga la stessa ● caduta libera da un'altezza h Se trascuriamo l’attrito dell’aria il sistema può considerarsi conservativo. L’energia meccanica disponibile all’inizio è solo potenziale: In ogni tratto della caduta E rimane costante. Pertanto la diminuzione di energia potenziale è compensata da un incremento di energia cinetica: Appunti di Teodoro Ilaria 37 Possiamo ricavare l’andamento di v in funzione di h: ● oscillazioni libere di un sistema blocco-molla In assenza di attrito tra blocco e pavimento il sistema può considerarsi conservativo. Inizialmente il blocco viene tirato di una quantità xi rispetto alla posizione di equilibrio e lasciato andare da fermo. L’energia disponibile all’inizio è tutta potenziale: In ogni tratto delle oscillazioni E rimane costante. Pertanto la diminuzione di energia potenziale è compensata da un incremento di energia cinetica: Possiamo ricavare v in funzione di x: si misura in s-1 (frequenza di oscillazione del sistema, hertz)𝑘 𝑚 La velocità in corrispondenza del punto di equilibrio (xi = 0) è udm: ms-1 Appunti di Teodoro Ilaria 40 CENTRO DI MASSA Il centro di massa coincide con il centro di gravità (o baricentro) quando l’accelerazione di gravità rimane costante, nell’ambito del moto dell’oggetto. Per un sistema di punti, ognuno dei quali ha una coordinata stabilita dai vettori posizione, la coordinata del centro di massa è: ➔ E’ unamedia dei vettori posizioni pesata per le masse delle particelle, se tutte le masse sono uguali sarà la media vettoriale dei vettori posizione. Il tutto verrà diviso con la massa totale del sistema. kg x m / kg = m Sarà un sistema composto da più equazioni scalari: rCMX rCMY ed rCMZ Se una massa prevale su un'altra il centro di massa si sposta verso quella più intensa (grande). ESEMPIO MOTO DEL CENTRO DI MASSA Per dimostrare che il moto del centro di massa dipende solo dalla forza gravitazionale (esterna) occorre determinare da quali grandezze dipende la sua accelerazione Velocità del centro di massa: uso regole derivazione VCMè la media delle velocità pesata dalle masse Appunti di Teodoro Ilaria 41 Accelerazione del centro di massa: aCM è la media delle accelerazioni pesata dalle masse Si nota sin da subito una certa somiglianza con la II legge di Newton. Ogni massa, se si muove con un'accelerazione, in ogni istante deve soddisfare la legge di Newton. Consideriamo un sistema di 3 punti: Dalla definizione di accelerazione del centro di massa ricaviamo: Per la terza legge di Newton le forze interne si elidono, quindi: Otteniamo una legge di forza per il centro di massa di un sistema molto simile alla 2 legge di Newton per il punto materiale: dove M è la massa totale e aCMè l’accelerazione riferita al centro di massa. Dimostriamo che il moto del centro di massa di un sistema è determinato soltanto dalle forze esterne al sistema. Nel caso del lancio della chiave inglese, la sola forza esterna dopo la separazione dalla mano è la forza di gravità (moto del proiettile o orbitale). Appunti di Teodoro Ilaria 42 A causa delle forze interne il sistema può variare le distanze reciproche tra le sue parti (repulsione, attrazione, urto, esplosione, etc…). Ciononostante il moto del centro di massa sarà sempre e solo influenzato dalle forze esterne. ESEMPIO: il fatto che si separano è un effetto di forza interna LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO Dalla legge di forza precedente deduciamo che, se non agiscono forze esterne, un sistema mantiene in quiete o con moto rettilineo uniforme il suo centro di massa: quindi vCM = cost Questa condizione non ci permette di conoscere i dettagli del moto delle singole parti del sistema, le quali, sotto l’influenza delle forze interne, possono subire accelerazioni. Viene dunque definita una grandezza fisica chiamata quantità di moto (omomento lineare). Per un corpo di massam (scalare) che viaggia a velocità v (vettore) la quantità di moto è un vettore dato dal prodotto: p // v parall. ed equiversa Scopriamo che per un singolo corpo la dinamica della sua quantità di moto ci fornisce la forza totale che agisce sul corpo: Mentre, per un sistema, la dinamica della quantità di moto totale ci fornisce la forza totale esterna che agisce sul sistema: Appunti di Teodoro Ilaria 45 ● se m1 = m2 I due corpi “si scambiano le velocità”. Questo vale anche se il corpo 2 non è inizialmente in quiete. ● se m1 >> m2 Il corpo più leggero inizialmente in quiete viene spinto ad una velocità doppia rispetto a quella del corpo pesante, il quale procede con velocità invariata. ● se m1 << m2 Il corpo più pesante inizialmente in quiete rimane in quiete mentre il corpo più leggero viene respinto alla stessa velocità che possedeva inizialmente. Per urti anelastici non è semplice ricavare una seconda equazione che metta in relazione le velocità iniziali e finali dei corpi, tranne che per il caso di urti completamente anelastici. In un urto completamente anelastico i due corpi rimangono uniti dopo la collisione, cioè viaggiano alla stessa velocità vf ESEMPIO - PENDOLO BALISTICO Appunti di Teodoro Ilaria 46 5. GRAVITAZIONE LEGGE DI GRAVITAZIONE La legge del moto attribuisce alla massa la proprietà secondo cui essa rappresenta la capacità di opporsi alle variazioni di velocità →massa inerziale La stessa grandezza fisica possiede anche un’altra proprietà: ogni corpo genera intorno a sé un campo di forze attrattive nei confronti di altri corpi, con una intensità proporzionale alla sua massa →massa gravitazionale Newton si rese conto della connessione tra l'accelerazione dei corpi che cadono sulla Terra e quella dei corpi celesti nelle loro orbite. Per esempio, una mela cade dall’albero e la Luna gira attorno alla Terra: entrambi questi fenomeni apparentemente privi di correlazione sono causati dalla forza di attrazione gravitazionale della Terra. La forza di gravità è universale, non solo ci tiene attaccati alla Terra, ma tiene anche i pianeti nelle loro orbite intorno al Sole. LEGGE DELLA FORZA GRAVITAZIONALE PER CORPI PUNTIFORMI Indichiamo con F12 la forza gravitazionale esercitata dalla particella 1 sulla particella 2. Essendo la forza attrattiva, è diretta da 2 verso 1. Solitamente per indicare questa direzione ci serviamo del versore r che è diretto da 1 verso 2. La legge di forza che descrive l’intensità, la direzione e il verso della forza di attrazione gravitazionale tra due corpi puntiformi di massa m1 e m2 posti a distanza r è la seguente: Appunti di Teodoro Ilaria 47 Tale equazione si applica a corpi che si trovano a distanza sufficientemente grande per poter essere considerati puntiformi. Il segno - indica che la direzione della forza è opposta al versore r (modulo = 1). Il simbolo G rappresenta una costante universale chiamato “G grande”. FORZA AGENTE TRA CORPI ESTESI Ma come si fa a determinare la forza gravitazionale che agisce tra corpi che non sono piccoli rispetto alla loro distanza? Per esempio come si calcola la forza gravitazionale che si esercita tra la Terra e una sedia/mela che si trova in prossimità della superficie? ➔ Per corpi estesi (in cui ogni strato presenta una simmetria sferica) la legge assume la stessa forma algebrica a patto di considerare le distanze rispetto al centro dei corpi sferici coinvolti. La Terra può essere considerata come una particella con la massa mt concentrata nel proprio centro. La forza gravitazionale tra la Terra e un corpo puntiforme generico di massa m ad una altezza h dalla superficie terrestre si calcola: dove mt è la massa della Terra, Rt è il raggio della Terra ed r è un versore diretto radialmente a partire dal centro della Terra. G non dipende dalla massa dell’ospite, dipende solo dalla massa del soggetto che ci sta ospitando (*). G è sempre lo stesso indipendentemente dalla zona della crosta terrestre considerata = 9.81 A denominatore si somma qualcosa dell’ordine dei migliaia di km con qualcosa dell’ordine dei 10 km Questa forza rappresenta la forza peso, la quale rispetta anche un’altra legge di forza: Appunti di Teodoro Ilaria 50 La massa m2 compare a sinistra e destra, quindi tutte le sue caratteristiche non partecipano al valore di tutte le variabili che compaiono (*). La velocità si ricava dal rapporto tra la circonferenza e il periodo T dell’orbita: data v = cost Si verifica la III legge di Keplero, secondo la quale il quadrato del periodo dell’orbita di un pianeta è proporzionale al cubo della distanza dal pianeta fisso (ad esempio il Sole). CAMPO GRAVITAZIONALE Il campo di forze attrattive generato da una massa si chiama campo gravitazionale. Il campo gravitazionale g in un punto P è definito come il rapporto tra la forza gravitazionale F (agente su una particella posta in P) e la massa m0 della particella: Noto il campo gravitazionale, per conoscere la forza a cui è soggetta una massa puntiforme m1 in un punto P di coordinate (x,y,z) si svolge l’operazione: Il campo gravitazionale prodotto da unamassa puntiforme o con simmetria sferica m si ricava dalla legge di gravitazione: Questo campo è di tipo centrale radiale: - le linee di forza sono rette che congiungono il punto P e un centro fisso comune - l’intensità della forza dipende solo dalla distanza del punto P dal centro Appunti di Teodoro Ilaria 51 In base all'equazione g = F/m, le dimensioni di g sono quelle di una forza divisa per una massa. In precedenza, quando abbiamo considerato g come un’accelerazione, le abbiamo attribuito le dimensioni di una grandezza divisa per un tempo al quadrato. In virtù della II legge di Newton, queste due dimensioni coincidono. ESEMPIO LEGGI DI KEPLERO E LEGGE DI GRAVITAZIONE Copernico propose un sistema basato sulle seguenti ipotesi: - la Terra ruota sul proprio asse una volta al giorno - la Terra ruota attorno al Sole (insieme agli altri pianeti) - le stelle sono molto più lontane dalla Terra di quanto non siano il Sole e i pianeti. Keplero si servì delle proprie doti e determinò le orbite della Terra e di Marte, concludendo con delle leggi, Le Tre Leggi di Keplero: 1. tutti i pianeti si muovono lungo orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi 2. la congiungente tra un pianeta con il Sole spazza aree uguali in intervalli di tempo uguali 3. il quadrato di un periodo di un qualunque pianeta è proporzionale al cubo della distanza media del pianeta al Sole Introducendo le leggi del moto e la legge di gravitazione universale, Newton realizzò una teoria generale che unificava le leggi astronomiche di Keplero e l’esperienza terrestre. La terza legge di Keplero è una conseguenza della seconda legge di Newton e della legge di gravitazione universale applicate ad un pianeta che si muove su un’orbita circolare. Appunti di Teodoro Ilaria 52 Le leggi empiriche di Keplero rappresentano un primo passo verso la comprensione dei fenomeni naturali, che è tipico del progresso scientifico. ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE In prossimità della superficie terrestre abbiamo già dimostrato che la forza peso è conservativa. Pertanto al lavoro compiuto dalla forza peso è possibile associare la variazione di energia potenziale: Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra su un corpo di massa m0 per spostarlo lungo un percorso radiale dal un punto iniziale ri ad uno finale rf Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra su un corpo di massa m0 per spostarlo lungo un percorso circolare concentrico da un punto iniziale si ad uno finale sf : Si dimostra che il lavoro compiuto dalla forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra su un corpo di massa m0 per spostarlo lungo un percorso qualsiasi dal un punto iniziale i ad uno finale f si calcola: Dato che il risultato rimane invariato per qualsiasi percorso scelto tra il punto i e il punto f, si dimostra che il campo gravitazionale è conservativo anche per punti lontani dalla superficie terrestre. Associamo al lavoro compiuto dalla forza di attrazione gravitazionale la variazione dell’energia potenziale gravitazionale: Assumendo per convenzione U = 0 per r → ∞ , l’andamento dell’energia potenziale gravitazionale è: Appunti di Teodoro Ilaria 55 Ilmoto circolare è uniforme se ωz = ωz0 e αz = 0 Ilmoto circolare è uniformemente accelerato se αz = αz0 (accelerazione angolare costante) con integrazione ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE (il sistema sta SOLO ruotando) Nel moto rotatorio di un sistema intorno ad un asse fisso ogni punto di massa mi si muove con velocità vi = Riω (essendo un sistema, ogni massa avrà distanze R differenti) Pertanto l’energia cinetica del sistema si calcola: MOMENTO DI INERZIA Kg m2 (scalare) → “sistema discreto” → p = densità (RO) omega = volume Appunti di Teodoro Ilaria 56 Ilmomento di inerzia non è una proprietà intrinseca del corpo (come la massa). Dipende dalla scelta dell’asse di rotazione e dalla distribuzione della massa lungo la direzione ortogonale all’asse di rotazione (un sistema ha più energia se la massa è lontana dall’asse). ESEMPIO distanza di ogni massa dall’asse z il parametro b non ha alcuna influenza è 2 volte più difficile rispetto a ruotarlo attorno a z guardo da slide! MOTO DI ROTOLAMENTO Moto di rototraslazione in cui l’asse di rotazione mantiene la sua direzione ma trasla in linea retta. (il suo centro di massa deve traslare a velocità v, ma deve anche prevedere delle rotazioni, tutti i punti della ruota ruotano attorno all’asse). velocit. di trasl. dell’asse è la v. su tachimetro La condizione di rotolamento senza strisciamento è stabilita dall'uguaglianza: * * sostituendo la definizione di RAD: teta = s / R QUALUNQUE SIA IL RAGGIO DELLA GOMMA, LA SUA VELOCITA’ SARA’ QUELLA SUL TACHIMETRO. Appunti di Teodoro Ilaria 57 La velocità di traslazione dell’asse è uguale alla velocità tangenziale dei punti sulla superficie di contatto. Da un sistema di riferimento inerziale (quindi guardando dall’esterno): Il punto P è istantaneamente in quiete (fisso). La velocità tangenziale dei punti sulla superficie è ortogonale al segmento che ha per estremi P e il punto stesso, e il suo modulo è proporzionale alla lunghezza di tale segmento. L’energia cinetica di un corpo che rotola si compone di due parti: Dove ICM = momento di inerzia per una rotazione intorno ad un asse che passa per il centro di massa Nel rotolamento di un corpo per effetto della gravità l’energia potenziale gravitazionale si ripartisce tra energia cinetica rotazionale e traslazionale: A causa del rotolamento, l’energia cinetica invece di alimentare solo la velocità di traslazione deve alimentare anche la velocità di rotazione. Quindi la velocità della ruota che rotola sarà < alla velocità della ruota che scivola (senza attrito). Quindi se mettiamo a confronto una sfera (palla da bowling) con un cilindro (forma di formaggio) arriverà prima a valle la palla (perché ha un momento d’inerzia inferiore). Appunti di Teodoro Ilaria 60 Se O è un punto fisso la derivata rispetto al tempo del vettore posizione è il vettore velocità: v x p = 0 seconda legge di Newton Per una singola particella l’unico modo per cambiare il momento angolare è quello che la particella subisca un momento di una forza. Una moltitudine di forza possono avere somma nulla, ma possono avere momento diverso da 0 (es. forze opposte ma dislocate, F1 = -F2). L’oggetto rimane fermo dal punto delle traslazioni, ma ruota. Anche in questo caso avremo una similitudine di formule: dl / dt = Στ dp / dt = ΣF ● sistema di punti materiali (corpo rigido/distribuzione continua di materia) Per un sistema di punti materiali, definiamo il momento angolare totale: Ci chiediamo: cosa provoca le variazioni nel tempo del momento angolare totale di un sistema? Ogni particella è soggetta ad una moltitudine momenti di forze esterne e interne. Consideriamo la coppia di particelle i - j: Due forze azione-reazione che giacciono sulla stessa retta d’azione hanno lo stesso braccio. La somma dei momenti delle forze interne di un sistema è pertanto nulla. Da ciò segue che la dinamica del momento angolare totale dipende solo dai momenti delle forze esterne (forza di gravità è esterna): valgono per xyz (3) Appunti di Teodoro Ilaria 61 Insieme all’equazione: valgono per xyz (3) Queste due relazioni rappresentano le equazioni cardinali della meccanica. Essendo equazioni vettoriali, insieme formano un sistema di 6 equazioni scalari (3+3). Per un corpo rigido, essendo caratterizzato da 6 gradi di libertà, queste equazioni consentono di descriverne completamente il moto. PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE L’esito della deformazione di un corpo è dovuto a forze interne NON a forze esterne. Dalla relazione: Deduciamo che: Lz = Iwz Legge di conservazione del momento angolare: in assenza di momenti di forze esterne, il momento angolare di un sistema si conserva. Ii → If Li= Lf Iiwi = Ifwf If > Ii wf < wi Nel caso degli orbitali il principio di conservazione lo vediamo in opera nei periodi che separano afelio e perielio (quando ci si avvicina al pianeta fisso avremo un aumento di velocità angolare, quando ci si allontana dal pianeta fisso avremo un diminuzione di velocità angolare, MA il momento angolare si mantiene costante, perché nel sistema NON intervengono forze esterne). 7. EQUILIBRIO STATICO DI UN CORPO RIGIDO Un corpo rigido è un sistema continuo nel quale la distanza fra due suoi qualsiasi punti rimane costante. Tuttavia il concetto di corpo rigido è un’idealizzazione: infatti ogni corpo subisce qualche deformazione in seguito all’applicazione di forze esterne. Per un corpo continuo la definizione di centro di massa diventa: Appunti di Teodoro Ilaria 62 Dalle considerazioni precedenti (lezione 5) abbiamo dimostrato che: Anche per un corpo rigido, se la risultante delle forze esterne è nulla, il suo centro di massa rimane in quiete o procede con moto rettilineo uniforme. Per lo studio dell’equilibrio scegliamo un sistema di riferimento inerziale per il quale il corpo è in quiete. EQUILIBRIO TRASLATORIO La condizione precedente non è sufficiente a garantire la condizione di quiete di tutti i punti del corpo rigido. Escluso il centro di massa, tutti gli altri punti potrebbero muoversi con moto rotatorio intorno al centro di massa. Ilmoto di un sistema si compone di traslazioni e rotazioni: Moto traslatorio: moto per il quale ogni punto del sistema subisce lo stesso spostamento ad intervalli di tempo uguali, ovvero la velocità di ogni punto è la stessa. Condizione di equilibrio traslatorio del corpo rigido, se aCM = 0 : Nel caso in cui F1 = -F2 il corpo non subisce traslazioni MA può ruotare. La rotazione avviene in virtù della dislocazione dei punti di applicazione della coppia di forze. MOMENTO DI UNA FORZA Appunti di Teodoro Ilaria 65 Ogni forza migi genera un momento rispetto ad un asse O (con braccio xi ): Quindi, possiamo renderci conto che il momento dovuto al peso di un corpo dipende dal modo in cui le parti del corpo sono distribuite nello spazio. Definiamo centro di gravità (o baricentro) quel punto del corpo in corrispondenza del quale la forza peso genera un momento pari al momento totale. Se xg è la coordinata x di questo punto, la componente del momento dovuta al peso totale, di intensità ∑Ft= mig è: Se l’accelerazione di gravità è uguale in ogni punto del corpo, il centro di gravità corrisponde con il centro di massa: PRODOTTO VETTORIALE e MOMENTO DI UNA FORZA (focus a pag. 211-212-213) Si è ammesso che la direzione del momento di una forza sia quella di un asse perpendicolare al piano che contiene la forza F e il vettore r che individua il punto di applicazione della forza. Il prodotto vettoriale può essere utilizzato per dare una definizione generale del momento come grandezza vettoriale. Supponiamo che una forza F sia applicata a un corpo in un punto individuato da un vettore posizione r relativamente a un’origine o a un punto di riferimento O. Il momento della forza F rispetto al punto O è il prodotto vettoriale: τ = r x F Il modulo è pari a τ = rF sen θ e la direzione, in accordo con la “regola della mano destra” è perpendicolare al piano che contiene r e F. Appunti di Teodoro Ilaria 66 8. OSCILLAZIONI E ONDE La legge di Hooke stabilisce che per piccoli spostamenti (significa che x è molto minore delle dimensioni della molla) un corpo elastico genera una forza di richiamo lineare (forza proporzionale a x, con costante di proporzionalità k): NO ATTRITO K (N/m) = costante elastica, valore che ci dice quanto vale la forza di richiamo a seconda del valore dallo spostamento dalla posizione di equilibrio indicata con x = 0. Per la II legge di Newton, questa forza imprime una accelerazione a al blocco: eq. differenziale di 2 ord. La proporzionalità tra accelerazione e spostamento assicura che il moto del blocco sia armonico. Verifichiamo che la legge oraria del moto armonico risolve l’equazione. Le soluzioni dell’equazione precedente sono funzioni del tipo: LEGGE ORARIA sistema blocco-molla faccio la deriv. 2 acc. dirett. prop. alla posizione Queste due soluzioni impongono che: - ω2 = - k/m Questa uguaglianza stabilisce un legame fondamentale nella meccanica. Lega la pulsazione ω (rad/s) alle proprietà elastiche (perché K è legato al concetto di elasticità) e alle proprietà inerziali (attraverso m). L’inerzia e l’elasticità, per qualsiasi sistema, definiscono la frequenza naturale di vibrazione. Pertanto l’impulso (la pulsazione) è legato alle proprietà del sistema blocco-molla secondo la relazione: UDM: s-1 Appunti di Teodoro Ilaria 67 ESEMPIO OSCILLAZIONI SMORZATE (ammortizzatore) - facoltativo Smorzare → le oscillazioni nel tempo mano a mano con il tempo si spengono → dovuto all’attrito Se in un sistema blocco-molla agisce solo e soltanto la forza di richiamo elastica, il sistema si mantiene in oscillazione per un tempo infinito. Le componenti viscose del sistema dissipano l’energia dell’oscillazione, provocando una diminuzione progressiva dell’ampiezza di oscillazione nel tempo, fino al totale arresto del blocco (forza di attrito viscoso). Per modellizzare la componente viscosa del sistema, consideriamo che il blocco sia collegato ad una paletta immersa in un fluido. Il movimento della paletta genera una forza di attrito viscoso Fv contraria allo spostamento del blocco: L’equazione del moto del blocco diventa: Equazione differenziale, lineare, omogenea ed a coefficienti costanti. Appunti di Teodoro Ilaria 70 Dal punto di vista matematico, in due dimensioni un impulso è una funzione della variabile posizione: Affinché un impulso f(x) diventi un onda basta modificare l’argomento del profilo f(x) con un parametro pari alla velocità di propagazione (v) moltiplicato per il tempo. Quindi voglio che l’impulso si sposti verso destra di moto rettilineo uniforme. Un impulso che si propaga lungo la direzione x a velocità v senza cambiare forma è descritto da (si sposta a dx): Quindi una funzione che dipende sia da x che da t → definisce il concetto di onda. Spazio e tempo sono “legati intimamente”, quindi se varia uno varia anche l’altro. Analogamente, per un impulso che si propaga lungo la direzione -x a velocità v vale (si sposta a sx): Consideriamo che la perturbazione sia una oscillazione armonica: In questo modo la periodicità dipenderà dal fattore lambda. L’argomento del seno rimane sempre un angolo in radianti. Per trasformarla in un onda bisogna correggere il termine “x” con “x - vt”, introducendo il fattore tempo. FUNZIONE D’ONDA → legame tra y e spazio e tempo Appunti di Teodoro Ilaria 71 Il fatto che ci sia kx e ωt trasforma la semplice legge oraria del moto armonico in un’onda armonica. Questa onda che si genera potrà essere sia longitudinale che trasversale. armonica = perché compare una semplice equazione seno o coseno progressiva o regressiva = in base al segno + o - davanti a vt trasversale o longitudinale = in base alla geometria dell’impulso rispetto alla direzione di propagazione Risulta evidente che in un’onda le variabili spazio e tempo sono reciprocamente dipendenti, essendo legate da una relazione precisa. Questa relazione è interamente espressa dal parametro: Di conseguenza la funzione d’onda è funzione di una sola variabile (ε) e non ammetterebbe derivate parziali. Per comprendere meglio il ruolo delle variabili spazio e tempo nella funzione d’onda analizziamo le sue derivate: La derivata seconda della funzione d’onda rispetto allo spazio e rispetto al tempo sono EQUIVALENTI a meno di un fattore che è il quadrato della velocità. Uguagliando le due si ottiene un'equazione differenziale di secondo ordine. Deve tornare un unità di misura pari ad una velocità al quadrato. Tutte le funzioni che soddisfano l’equazione d’onda sono catalogabili come ONDE. Comparendo la sola variabile spaziale x (direzione di propagazione) l’equazione d’onda scritta in questa forma ammette come soluzioni onde progressive piane, cioè i cui fronti d’onda (punti dello spazio che coinvolgono stadi di sollecitazione equivalenti) sono piani ortogonali alla direzione di propagazione. onde piane→ qualsiasi onda prodotta da una sorgente puntiforme osservata per grandi distanze (distanze molto più grandi della lunghezza d’onda) Appunti di Teodoro Ilaria 72 Verifichiamo che la funzione d’onda armonica soddisfa l’equazione delle onde: Uguagliando le derivate seconde rispetto allo spazio ed il tempo di un qualsiasi fenomeno (presumibilmente ondulatorio) si ottiene la relazione tra velocità, lunghezza d’onda e frequenza → questa si chiama relazione di dispersione La funzione d’onda armonica soddisfa l’equazione delle onde. La velocità di propagazione (velocità di fase) di un’onda armonica è pari al rapporto ω/k (pulsazione/numero d’onda). ONDE MECCANICHE Le onde meccaniche sono perturbazioni che si propagano in un mezzo. Il loro carattere periodico è legato alla presenza di una forza di richiamo (dovuta ad esempio all’elasticità del materiale). Insieme all’elasticità, le proprietà inerziali del materiale determinano le caratteristiche dell’onda meccanica. Consideriamo la propagazione di un’onda armonica longitudinale in un mezzo solido: La funzione rappresenta lo spostamento longitudinale. La periodicità della funzione comporta che la propagazione della perturbazione generi un’alternanza nel materiale di regioni più dense (compresse) e regioni meno dense (dilatazione). La propagazione dell’onda comporta degli spostamenti longitudinali ψ delle particelle del solido e localmente degli allungamenti (o accorciamenti). Consideriamo una sezione del materiale con coordinata x0. Lo spostamento longitudinale che subisce questa sezione è ψ(x0) Lo stesso ragionamento vale per i punti in un’altra sezione, molto prossima alla precedente, con coordinata x0 + δx Appunti di Teodoro Ilaria 75 Quando un mezzo è attraversato da un'onda, ogni suo elemento di volume possiede un’energia cinetica, dovuta al suo moto, e un’energia potenziale, dovuta alle deformazioni elastiche. L’energia meccanica dell’onda viene trasportata nella sua direzione di propagazione. Questa energia si propaga alla velocità dell’onda. Nel caso di un’onda armonica longitudinale: Appunti di Teodoro Ilaria 76 Moltiplicando per la velocità dell’onda otteniamo l’intensità dell’onda: L’intensità di un’onda è la potenza trasferita attraverso l’unità di area di una superficie normale alla direzione di propagazione: Il valore medio, su un numero intero di cicli, della funzione cos2(ωt) è pari a ½, pertanto l’intensità media: La dipendenza dell’intensità dal quadrato dell’ampiezza è una caratteristica essenziale nelle onde armoniche piane: Se durante la propagazione non avvengono perdite di energia, l’onda mantiene costante la sua ampiezza. Viceversa, se parte dell’energia viene dispersa, l’onda si attenua. Nel caso di onde sferiche (sorgenti puntiformi), anche se la potenza emessa P0 rimane costante, l’intensità diminuisce proporzionalmente all’aumentare della superficie del fronte d’onda attraverso cui si distribuisce. ESEMPIO Appunti di Teodoro Ilaria 77 9. FLUIDI Fluido → qualsiasi sostanza in grado di fluire (liquidi con volume proprio e gas senza volume proprio) Fluire → è lo scorrere di ogni strato di materiale su se stesso e sugli altri focus La pressione (Pa) è una grandezza SCALARE e corrisponde allo sforzo normale relativo ad una qualunque spinta F che agisce su una superficie nota. 105 Pa = 1 bar PRESSIONE IDROSTATICA (in condizioni di equilibrio) Lo sforzo di taglio è la causa della deformazione di qualsiasi oggetto. Lo sforzo di taglio fa fluire un fluido. In condizioni di equilibrio, un fluido non può essere soggetto a sforzi di taglio, perchè se no causerebbe una situazione di flusso che andrebbe contro la condizione di equilibrio, ma solo a sforzi normali. In condizioni di equilibrio un liquido deve avere in ogni punto la stessa pressione. La forza agente su qualunque superficie immersa in un fluido in quiete è normale alla superficie (alla parete del contenitore). Consideriamo uno strato di liquido incomprimibile di spessore dz (lo spessore di questo strato di acqua sia infinitesimo, cioè molto più piccola della scala entro cui sto analizzando il problema es. 1mm) in quiete sotto l’azione della forza di gravità: 0 = limite tra liquido e aria Vtot = A * dz (volume) p(adz)g = forza peso F = forza dovuta agli strati sovrastanti Dato che abbiamo scelto uno strato di spessore infinitesimo, la differenza delle forze applicate all’area deve essere anch’essa di un valore infinitesimo. Calcoli a destra: 1. elido F, 2. divido tutto per A (area), 3. per esplicitare il legame tra pressione e profondità svolgo l’equazione differenziale integrando La legge è detta Legge di Stevino → la pressione aumenta con la profondità (vale anche per i solidi) p0 rappresenta la pressione sulla superficie del liquido (solitamente quella atmosferica). L’andamento della pressione idrostatica (o litostatica) è lineare con la profondità (dipende dalla densità del liquido). Per l’acqua questa pressione aumenta con un tasso di 1 atm ogni 10 m. Appunti di Teodoro Ilaria 80 Un tubo di flusso identifica un fascio di linee di flusso contigue. Assumiamo che attraverso le sezioni A1 e A2 densità, pressione e velocità del fluido siano costanti. ● portata volumetrica Il volume fluido che attraversa una certa sezione trasversale A nell’unità di tempo è dato dal prodotto: ● portata in massa Moltiplicando la portata volumetrica per la densità del fluido si ottiene la portata in massa: In un flusso stazionario la portata in massa è identica in ogni istante e in ogni punto del tubo. Si stabilisce quindi una condizione di conservazione dellamassa in un flusso stazionario (continuità): Nel caso di fluidi incomprimibili (p(p) = cost.), la continuità si esprime con (es. acqua): ESEMPIO EFFETTO DELLA CONTINUITA’: TUTTI I RESTRINGIMENTI COMPORTANO UNA ACCELERAZIONE DEL FLUSSO E UNA DIMINUZIONE DI PRESSIONE! Appunti di Teodoro Ilaria 81 EQUAZIONE DI BERNOULLI → pensare subito alle nozioni di energia Per un dato tubo di flusso, all’ipotesi di flusso stazionario, incomprimibilità e continuità aggiungiamo quella di assenza di forze dissipative (nel rispetto della conservazione dell’energia meccanica E). Un fluido in movimento ha contributi sia cinetici che potenziali dell’energia. Si potrà avere anche un lavoro esterno (es. pompa). A1V1 = A2V2= QV QVΔt = ΔV (detto volume totale spostato, ottenuto per questioni di unità di misura) Questo lavoro deve corrispondere ad una variazione di energia meccanica del fluido. L’avanzamento del fluido può essere visto come il trasferimento della quantità Δm dalla posizione 1 alla posizione 2. L’energia meccanica in 1 è: Δm/Δv = densità Appunti di Teodoro Ilaria 82 Ogni termine dell’equazione ha le dimensioni di una pressione (Pa). Possiamo riscriverla in modo che ogni termine assuma le dimensione di una lunghezza (m): La somma delle tre altezze viene definita carico (m): Diminuzioni della quantità z lungo una conduttura si definiscono perdite di carico. Nelle ipotesi di validità dell’equazione di Bernoulli, un flusso stazionario è possibile in assenza di perdite di carico. In presenza di forze dissipative, il flusso del fluido è possibile solo se associato a perdite di carico: Secondo Bernoulli, secondo le condizioni da lui descritte, il flusso si può verificare anche in condizioni di carico costante in tutte le sezioni, senza utilizzo di pompe (se non c'è attrito dovuto alle pareti). Ma nella realtà se l’altezza è la stessa e se la velocità è la stessa, abbiamo sempre una certa perdita di carico (z), che in condizioni di orizzontalità è attribuibile con una variazione dell’altezza piezometrica. Nella pratica questo ha come conseguenze che chi è molto lontano dal serbatoio riceverà una pressione molto bassa (meno flusso) e viceversa. ESEMPIO 100 kPa = Patm Appunti di Teodoro Ilaria 85 CONFRONTO TRA CAMPO GRAVITAZIONALE ED ELETTROSTATICO Consideriamo il sistema Sole-Terra: Consideriamo ora le due sfere di rame precedentemente descritte: Ammettiamo che ogni atomo di rame di una sfera abbia perso un elettrone e l’abbia ceduto alla sfera accanto, caricandole positivamente e negativamente. Poniamole ora alla stessa distanza che separa Terra dal Sole e ci accorgeremo che, affinché le due sfere interagiscono con la stessa forza che attrae la Terra al Sole, queste due sfere devono essere di un raggio di soli 173 m. Questo esempio permette di capire che spesso gli effetti elettrostatici prevalgono sugli effetti gravitazionali. LEGGE DI COULOMB E’ la legge che regola l’attrazione o la repulsione tra due corpi carichi. La forza di interazione attraverso il vuoto fra due particelle a e b con carica rispettivamente qa e qb poste ad una distanza r risulta: La costante di proporzionalità tra la forza di interazione e (qqqb)/r 2 è quella nel mezzo (vedi formula sopra). Dato che la forza di interazione è un vettore, per definirlo sfrutteremo il versore r. Definiamo il versore r come quello che giace sulla retta che congiunge i punti a e b e diretto da a a b. In tale esempio le cariche in a e in b sono dello stesso segno poichè la forza rappresentata è di tipo repulsivo. In questo caso Fab è la forza che la carica a esercita su b ed il suo verso è concorde con il versore r. Al contrario, la forza che la carica b esercita su a avrà verso opposto (quindi corrisponderà alla stessa formula Fab ma avrà segno -). La legge vale solo sotto l’approssimazione di cariche puntiformi. Cioè, il volume occupato dalla distribuzione di cariche in a e quello occupato dalla distribuzione delle cariche in b, dovrà essere trascurabile rispetto alla separazione di a e b. La costante di proporzionalità deve essere espressa in N m2 C-2. Il termine ɛ0 si chiama costante dielettrica del vuoto e vale 8.85 x 10-12 C2 N-1 m-2 (F m-1). Nel caso il mezzo sia un materiale omogeneo (e non il vuoto) occorre moltiplicare ɛ0 per la costante dielettrica relativa k (numero puro) del mezzo (acqua: 80, vetro: 3.8 aria: 1.00059). Appunti di Teodoro Ilaria 86 CAMPO ELETTROSTATICO Calcoliamo il rapporto dell’intensità della forza di attrazione gravitazionale e della forza di attrazione coulombiana tra un elettrone ed un protone. Essendo un protone ed un elettrone possessori di una certa massa, possiamo considerare: Dato che un elettrone è carico negativamente ed un protone carico positivamente questi due oggetti possono anche attraverso una forza elettrostatica dettata dalla legge di Coulomb. Valutiamo ora il rapporto tra FE e FG Notiamo che la dipendenza dalla distanza scompare. Questo in virtù del fatto che la legge di gravitazione universale (FG) e la legge di Coulomb (FE) presentano la stessa dipendenza dal quadrato dell’inverso della distanza (quindi si elide). La forza elettrostatica risulterebbe di un fattore 2 x 1039 più grande della forza gravitazionale. Questo esempio ci fa capire che gli effetti gravitazionali sulle interazioni atomiche e subatomiche sono trascurabili. CAMPO ELETTROSTATICO Consideriamo una carica q0 piccola e positiva e utilizziamola per sondare la forza elettrostatica Fel a cui è soggetta in un dato punto P (x,y,z) dello spazio. Il campo elettrico E (N C-1 ovvero V m-1) è definito come: In questa regione la carica risentirà di una forza attrattiva o repulsiva a seconda della popolazione di cariche positive e negative che occuperanno una certa regione. Appunti di Teodoro Ilaria 87 Indichiamo con F la forza che agisce sulla carica q0. Definiamo il campo elettrostatico E nel punto P come il rapporto tra il vettore della forza elettrostatica che agisce sulla carica rispetto alla carica stessa: La carica q0 è chiamata carica di prova o esplorativa. Questa semplice definizione consente di introdurre una quantità indipendente dalla carica di prova. Infatti E dipende solo dalla distribuzione di carica che genera il campo di forze e dalla posizione P. Le caratteristiche di q0 devono essere tali da non perturbare la distribuzione di carica. E avrà tutte le caratteristiche di Fel (come vettore). Se conosciamo il valore di E in ogni punto dello spazio, ed esploriamo quello spazio con una qualsiasi carica q basta svolgere: NB: considerando una piccola massa m0 utilizzata per sondare la forza gravitazionale Fg a cui è soggetta in un dato punto P (x,y,z), il campo gravitazionale g è espresso come: g = Fg/m0 Noto il campo gravitazionale g in un punto, la forza gravitazionale Fg agente su una massa m si calcola: Fg = mg CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME Ora consideriamo che la distribuzione di carica sia generata da una sola carica puntiforme (positiva e negativa) e calcoliamo il campo che genera attorno a sé. La forza elettrostatica Fel a cui è soggetta una carica q0 in un dato punto P (x,y,z) dello spazio ad opera di una carica q si calcola con la legge di Coulomb: Immaginiamo che all’origine ci sia una carica positiva puntiforme q e poniamo una carica q0 nota ad una certa distanza da q. Se anche q0è positiva essa sarà soggetta ad una repulsiva F ad opera della carica q all’origine. Il vettore campo elettrico E sarà parallelo ed equiverso alla forza di repulsione F. Se all’origine poniamo invece una forza q negativa, la carica q0 sarà soggetta da una carica attrattiva ed il vettore campo elettrico E sarà parallelo ed equiverso alla forza di attrazione F. La forza elettrostatica a cui è soggetta la carica q0 sarà data da: Appunti di Teodoro Ilaria 90 Il vettore campo elettrico totale sarà: Definiamo ora ilmomento di dipolo elettrico: Per definire direzione e verso occorre definire l’asse del dipolo k (versore) Il verso del dipolo va dalla carica negativa a quella positiva. Quindi avremo: Per punti P a distanze elevate dal dipolo definiamo la distanza R: LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO Un modo per rappresentare intensità e simmetria del campo elettrico intorno ad una distribuzione di carica è quello rappresentato dalle linee di forza: - il campo E è sempre tangente alla linea - il verso del campo è dato dalla freccia che giace sulla linea - la densità di superficie delle linee (numero di linee) è proporzionale all’intensità del campo - il numero delle linee uscenti da una carica positiva o entranti in una negativa è proporzionale a IqI. ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA Ad ogni forza si può associare la quantità di lavoro che essa può compiere nel momento in cui è messa nelle condizioni di spostare il suo punto di applicazione. Appunti di Teodoro Ilaria 91 Nel caso in cui si verificasse che le forze elettrostatiche fossero delle forze di tipo conservativo, il modo equivalente per descrivere il lavoro compiuto da queste forze sappiamo essere l’energia potenziale. Il lavoro compiuto da una forza elettrostatica per spostare una carica puntiforme q0 dal punto a al punto b si calcola: Il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q è: Essendo centrale e radiale, il campo elettrostatico è anche conservativo. La stessa caratteristica di conservatività era stata riscontrata anche nel campo gravitazionale. Se il campo elettrostatico è conservativo, il lavoro compiuto da una forza elettrostatica può essere espresso come variazione di energia potenziale (quantità scalare): La differenza di energia potenziale, fra due punti che giacciono in un tratto radiale dello spazio intorno ad una carica puntiforme q, si calcola: Siccome la moltiplicazione tra i due versori r risulta pari a 1: In questo tipo di percorso lo spostamento risulta sempre parallelo ed equiverso al vettore del campo elettrostatico E. La dipendenza della posizione risulta governata dall’inverso del raggio ra ed rb. Invece, per un tragitto lungo un arco di circonferenza centrata sulla carica q il lavoro è nullo (l'energia potenziale non cambia) poiché il vettore spostamento è ortogonale al vettore forza elettrostatica. Pertanto la variazione di energia potenziale associata allo spostamento di una carica da un punto ad un altro (entro il campo generato da una carica puntiforme) dipende solo dalla separazione radiale tra i punti. Possiamo assumere che l'energia potenziale sia pari a 0 per una distanza dalla carica sorgente infinita. U = 0 per r = ∞ Appunti di Teodoro Ilaria 92 Questa espressione si ottiene considerando, nella precedente espressione, uno dei due raggi tendente ad infinito. Sulla base di questa convenzione, possiamo interpretare U(r) come il lavoro compiuto contro la forza elettrica per portare la carica di prova q0 da un punto infinitamente lontano fino ad un punto ad una distanza r dalla carica puntiforme q: Per il principio di sovrapposizione, l’energia potenziale di una carica di prova nel campo generato da un insieme di cariche puntiformi risulta: Dove ri è la distanza della carica di prova dalla i-esima carica sorgente. POTENZIALE ELETTRICO Strettamente legato al concetto di energia potenziale, è il concetto di potenziale elettrico. Per eliminare la dipendenza dell’energia potenziale della carica di prova, si definisce il potenziale elettrico V: Volt (V) Noto il potenziale elettrico in un punto, l’energia potenziale di una carica q1 si calcola: Il potenziale generato da una carica puntiforme q risulta: Per il principio di sovrapposizione, per un insieme di cariche puntiformi: ESEMPIO Appunti di Teodoro Ilaria 95 In forma matriciale possiamo esprimere l'equazione precedente come: (3, pag.25) Una formula compatta e invariante per rappresentare la relazione precedente è: Per ricavare il campo in un punto occorre conoscere l’andamento del potenziale in un intorno di quel punto. Consideriamo che in una certa regione il potenziale sia costante su una superficie. I punti appartenenti ad una superficie soddisfano l’equazione: (3, pag.26,27) L’operazione∇Ø da come prodotto un vettore normale alla superficie. V(r) = costante definisce una superficie equipotenziale, pertanto il campo essendo E = - ∇V è un vettore sempre normale alla superficie equipotenziale. Spostando una carica lungo una superficie equipotenziale NON si compie lavoro elettrico poiché E risulta sempre ortogonale allo spostamento. SUPERFICI EQUIPOTENZIALI - le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle linee di campo E nei punti di intersezione - le superfici si addensano laddove il campo diventa più intenso - in un campo uniforme la distanza tra le superfici equipotenziali è costante Appunti di Teodoro Ilaria 96 1. nel caso di una carica puntiforme positiva (le linee di campo sono radiali e il verso è uscente dalla carica), le superfici equipotenziali intercetteranno ogni linea perpendicolarmente ai punti di intersezione e formeranno dei cerchi concentrici. I cerchi mano a mano che ci avviciniamo alla carica perché il campo elettrico aumenta in questa direzione 2. nel caso di un dipolo elettrico le superfici equipotenziali saranno un po più ellittiche e si concentreranno in corrispondenza delle cariche. Il valore del potenziale sarà negativo in una regione attorno alla carica negativa e positivo in una regione attorno alla carica positiva. Il potenziale decresce man mano che ci spostiamo dalle cariche e sul piano equatoriale si formerà un piano nodale in cui il potenziale sarà nullo. Appunti di Teodoro Ilaria 97 10.2. ELETTROSTATICA - elettromagnetismo PROPRIETA’ ELETTROSTATICHE DEI MATERIALI ● isolanti Sono insensibili alle differenze di potenziale. In un isolante gli elettroni (componente della materia con carica in eccesso negativa) o le lacune elettroniche (assenza di elettroni) non hanno mobilità significative. Una d.d.p. applicata attraverso un isolante non comporta il fluire di cariche. Analogamente, cariche elettriche in eccesso presenti su un isolante restano fisse nelle loro posizioni. Gli elementi non metallici sono isolanti. Molti composti ceramici, alcune plastiche, il vetro e l’aria secca sono isolanti. Molti minerali a temperatura ambiente sono isolanti (es. diamante). focus: semiconduttore→materiale che può essere conduttore a patto di stimolarlo in un certo modo ● conduttori metallici In un metallo, una parte degli elettroni (solitamente uno per atomo) è libera di muoversi se sottoposta ad una d.d.p (come se fossero delle bolle di gas). Anche cariche elettriche in eccesso, sia positive sia negative, sono libere di muoversi attraverso il volume del materiale. Conduttori metallici La mobilità dei portatori di carica consente di caricare elettrostaticamente un metallo attraverso il processo dell’induzione totale di carica: verde: isolante grigio: metallo L'obiettivo di questo esperimento è quello di caricare una calotta metallica e poi capire dove finiscono le cariche. Per farlo usiamo l’induzione totale: usiamo un isolante (bacchetta) con dentro cariche negative e l’avviciniamo alla calotta metallica. Questa, per induzione, avvicinerà le cariche positive e allontanerà quelle negative (ogni carica ha la sua opposta sull’altro materiale). La separazione delle cariche mi permette di fare lamessa a terra, cioè inserire un filo metallico in modo che le cariche negative possano dissiparsi a terra (la terra è come se fosse un serbatoio infinito a basso potenziale), quindi le cariche si portano dal materiale caricato alla terra. In questo passaggio sono nelle condizioni di aver creato una carica positiva in eccesso, quindi posso spezzare il filo di dissipazione, allontano poi la bacchetta, le cariche positive e negative si neutralizzano e avrò un sistema con una carica netta. La posizione che le cariche in eccesso in un metallo occupano è quella più vantaggiosa dal punto di vista energetico (proprietà di equilibrio dei conduttori): - un insieme di cariche dello stesso segno iniettate in un conduttore, a causa della loro repulsione e della possibilità di muoversi all’interno del materiale, si disporranno sulla superficie del metallo