Equazioni con derivate parziali, Dispense di Analisi Numerica

Scarica Equazioni con derivate parziali e più Dispense in PDF di Analisi Numerica solo su Docsity! CENNI SU ALCUNE EDP (equazioni alle derivate parziali). [vediamo il caso di EDP del primo ordine] Cerchiamo una funzione u definita dall’aperto a valori in R1 di classe C1 (ossia sono funzioni continue su U che verifichi una equazione del tipo: Es) In (Qui la ) Da notare che si possono considerare EDP di ordini più alti. Tra le equazioni alle derivate parziali del primo ordine alcune hanno interesse particolare. Le più facili di tutte sono quelle lineari. EDP (primo ordine) LINEARI. Lineare = qualcosa che quando lo faccio agire su una somma o prodotto scalare si comporta come una matrice. Es) (Cambio notazione ): Aggiungeremo un “dato di Cauchy” a e mostreremo come risolverla. EDP (primo ordine) SEMILINEARE. Nel compito verranno chieste le lineari Le semi lineari sono un misto (lineari nei termini con le derivate, B invece “raccatta” tutto il resto): Denotato Oppure Nabla In Può essere un log Non può essere un log Funzione incognita e u : V -> RF ....., in - F , U ( Du(X) R2 . x1 : (x) + 22 . (x) - 34 x = (x1 , +2) I - F(... ) R2 (X1 , +2) = (x , y) & as(x , y) . (x , 1) + 22(x ,1) : (x, u) + b(x,) . u(x ,y) + <(x ,y) = 0 EDP (primo ordine) QUASI LINEARI. RECAP ANALISI T1/T2. Data una funzione pensata come “posizione” di un punto Intervallo , il nuovo vettore (se esiste) si dice vettore velocità (al tempo ) Es) In analisi 1 facevamo il seguente grafico nel quale rappresentiamo l’equazione cartesiana: Il problema è che se in gioco ho più funzioni, questo può non funzionare. Per ovviare a questo problema utilizziamo le equazioni parametriche: Stanno su una crf disegno a partire da Si può provare che il vettore velocità è tangente alla curva parametrizzata nel punto . Infatti: Taylor al primo ordine a partire da to Trascurabili rispetto all’incremento stesso -> come dice il resto di peano, questa è una identità in piccolo (quantità che se divido per quello che è dentro fa zero) as(x , y) . (x , 1) + 22(x ,1) : u(x , u) + B(x , y , u(x ,H) = 0 as(x , y , u(x ,y)) .- (x , 1) + an(x , y , u(x ,z)) : (x, u) +B(x ,u,u(xi) = 0 U : I R Rh r(t) = (rz(t) , ..., n(t) r(t) = (rs(t) , . . . ., rn(t) tEl r : [0 , 25] R2 , r(t) = (cost , sent) Y Nunzione X to R A v(T(z) = (0 , 1) ⑧ O 2 r(to) · r(to) i(t) = (-xut , cost) · r(0) = (1, 0 r(to) r(t0) r(to) r(to) SARABBE F(SONO Resto Di ↓ vettoril PANO Vz(t) = re(to) + (1(to) . (t -to) + 02(t -to pert s toE r2(t) = (2 (to) + [ (to) . ( t to) + 02(t -to pert s to RECAP EDO LINEARI in R (equazione differenziale ordinaria). Prendo la derivata: Passo alla omogenea associata: Tutte le soluzioni sono : (Esempio Ossia uso il concetto di primitiva facendo l’ integrale: Cerco una soluzione particolare: con il metodo della Quale condizione ho su c(t)? Impongo: Mi basta imporre: Per trovare tutte le soluzioni di quella iniziale basta prendere: Nel caso di un problema di Cauchy ordinario associato alla precedente EDO: Uguale a scrivere: variazione delle costanti, ossia nella forma: Basta prendere nella precedente: ↑ i(t) = f(t , y(t)) = a(t).y(t) + b(t) ↳ incare y' = f(x, x) ((t) = a (t) · ~( Al posto Di Y , Non metto b) A(t) w(t) = c . e ove A(t) = a(t) sent w(t) = cost · W(t) <= W(t) = p . 2 , CER) . t &&to clt w(t) = C. e,CER +(t) = a(t) - +(t) + b(t) +(t) = C(t) . <Act · +(t) = a(t) . + (t) + b(t) - (t) . eA(+) + C(t) .&LCLEse *(le - A(t) i(t) + *(* = b(t)(=Dc(t) = b(t)e - A(t) ED((E) = ( + b(t) de to j(t)= x(t) . y(t) +H(t) P(t) = #(t) + w(t) = A(t) + - A(t) = e(b(t)e at + c . e ** = CON CER to = e+! ((+ble ** d) Ove Alt) = facts at. E i(t) = a(t) .y(t) + b(t) E 4(tb) = x 14 a to sono assegnati) a ----. Y(t) M C=x P(t) = eacesat " => · (x + =ob(e)e -* at) t Nel prossimo argomento ci sarà un “cambio di punto di vista” che può confondere. Spieghiamo meglio questa cosa: Questo termine è uguale alla funzione: Dunque gode di questa identità Cambiando il punto di vista posso considerare la EDO (eq differenziale ordinaria): nella (funzione) incognita La possiamo risolvere con la tecnica ricordata (scorsa lezione): ho infinite (il caso esplicito ridá di cui sopra) Consideriamo una equazione alla derivata parziale PDE (in per semplicità ma vale tutto in dimensione qualunque) del I° ordine semilineare: ❤ con dati iniziali del seguente tipo: METODO DELLE CARATTERISTICHE. e vogliamo che la funzione U sia definita in R3: a(t) x(t) := x tu + sent costj(t) = e & - r(t) · cost H(t) j(t) = y(t) · cost i = y · cost Y . y(t) = c . e 1cost = c .ent] = c . e seet 4(t) = c . Ut CON CE c =1f(t) IR2 &(x , y). (x ,y) + dz(x, y) . (x ,y) = C(x , y , u(x ,y Izzolto x0 , 20) ↑ U NE DOMINIO↑ di " ( ⚠ alla fine (xo,yo) varierà su con un grado di libertà, ossia dipenderà da un parametro S). Quindi anche un parametro h(xo,yo) dipenderà da un parametro. Quindi il dato di e la funzione di h su Sono i cosiddetti dati iniziali o di Cauchy. Voglio determinare una incognita U(x,y) che verifica ❤ e coincide con h su (auspichiamo una soluzione unica U(x,y)). Miracolo: il problema si riesce a ricondurre a varie EDO (nonché tre, comprensivi di dati iniziali) che sapremo univocamente risolvere. ❤ Idea ⚠⚠ : cercare delle curve che giacciono sul grafico U (senza ancora conoscere U -> io credo di conoscere la U, la scrivo, ricavo delle identità inevitabili e poi le reinterpreto come equazioni differenziali) e che riunite tutte ricostruiscono tutto il grafico. Questo si chiama metodo delle caratteristiche. Idea: riscrivo ❤ con: Ho voluto fare comparire questo vettore perché ora gli voglio dare un significato geometrico !! vettore ortogonale al piano tangente, nonché ortogonale alla superficie. Dico che è ortogonale a graf u. ↳ # ER2 E It EDPEDATO CARCHY (w2(t) ,(z(t) , z(t) &(x,y) . + (x ,). - C(x,y ,u) = 0 : <(+z(x , y) , an(x,y) , (x ,y,(x ,y)); (x,y), (x,2) , -1) - ( y , -5) Una volta risolto quest’ultimo problema di Cauchy, ho esplicitamente . A posteriori, ricordando che questo determina U sopra i punti Infine facendo variare (xo,yo) ricostruisco tutta U su ESERCIZIO. Risolvere col metodo delle curve caratteristiche: Verificare a posteriori che quella trovata risolve . Svolgimento) fissare (xo,yo) arbitrario (che alla fine andrà a prendere in ) e impostare le EDO della curva caratteristica in Posto (funzione coeff di (funzione coeff di Con dati iniziali: Ove il dato iniziale Queste sono lineari omogenee su ) ) e il 2° membro Scrivo: , Nella scorsa lezione era ‘B’ ❗ Ora devo risolvere (eventualmente a scala) le 3 EDO. 53(t) (Wu(t) , 2(t) · Cl = UStets ,WICE R . · S xx + 2 .2 = 3u u(x ,y) = x _ = [(x , 1) =Rz(y=1) F => + j(t) = (21(t) ,xz(t) , xz(+) 22(x , y) 74/ax az(x , y) su/dy ((x , y) je(t) = 22(wz(t) , xz(t) - Xz(t) (c(t) = az((z(t) ,z(t) = 222(t) js(t) = (((j(t), (2(t) ,53(t) = 351 (t) = (0) = Yo ta(0) = Yo h(x , 4) Uz(0) = h(x0 , yo) u(x ,y) = x 2 u(x( y) = h(x , y) Su Is Recap (non scritto nel foglio di esame dato dal professore, la dobbiamo ricordare): Come ricavo da qui U(x,y)? 1° step) parametrizzare attraverso un nuovo parametro, ad esempio s: Questa è una equazione parametriche (della retta y=1) molto semplice (Se avessi avuto la bisettrice, avrei avuto una equazione parametrica (S,S)) A questo punto rimpiazzo (xo,yo) con: 2° step) ricavare i parametri (s,t) dalle equazioni parametriche -> faccio muovere i punti e chiamo rispettivamente: Nascostamente dipende tutto da S [EDO lineare] Soluzione) Se avessi avuto questa dovevo fare un processo a scala Nota bene! Eq parametrica) Sto facendo muovere il punto Qui: (i(t) = d(t) : DLtA Y(t) = e **. (x+ (H. +ap) Our All =Jacar dr E je(t) = (1(t) - > b(r) =0 st1 " · (xo+ 0.ar)-a(r) = 1 Wa(t) = e (1 (0) = X0 S j(t) = C(z(t) rz(t) = yo . 02+ xz(0) = o (3(t) = 383(t) Uz(t) = x3 . est E (3(d) = x] je(t) = az((z(t) , 82(t) = WILt) (c (t) = az ((2(t) , 2(t) = CWICHXy(t) (s(t) = (((1(t), (2(t) ,53(t) = 351(t) # x = Yz(s) = S#2 to y=1 E y = Yz(s) = 1 X (P+(s) , P2(s)) = (s , 1) jo t t x= xj - e = S.o ExEtte E y= y. p+ = 1. ett Risolvendo rispetto s,t ottengo che: 3° step) la u(x,y) è formata da (nascostamente dipendente anche essa da s). A questo punto sostituisco e metto al posto di t ed s le funzioni appena trovate nello step 2: Check) dato iniziale C Infatti: Devo verificare una PDE: Ok! 1° membro 2° membro 2° membro) 1° membro) Esercizio di derivate parziali -> visto che il risultato è uguale al secondo membro allora va bene Intrinsecamente questo esercizio è l’applicazione della teoria che abbiamo visto nella scorsa lezione: Sistemare i passaggi che ha detto a voce per il grafico (registrazione) 1 = set PORTO ALL' / EsponenteE y = 02t ↳g= E: =ey = eur SOSTIMISCO T IN Xlu y E X = Set = s. e = s. E s= t= e-Y t = lux x3(t) ,yo) = (41(s), Yz(s)Go (3(t) = x02 . 03 = st .3 = 3. = (= e =Suppo1.earin = = = X= 4 Y P u(x ,z)) = x = A u(x ,y)), = =.+ (b = 2 = x x +2 = 34= 3x (x) +2E(x -= x 2xNy + 2yxz + E= 25Y = 2 x 25 + x2V = 3x2F 4) Faccio Nuovere IL PUNTO IN ↑ etrolo & L CURVA i CORRISPONenZI O aio ne & 3)