equazioni esponenziali, Appunti di Matematica

Scarica equazioni esponenziali e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity! Equazioni esponenziali Sono equazioni in cui la x compare all'esponente della potenza; Per risolverle si cerca di ottenere una potenza sia prima che dopo l'uguale, con la stessa base in modo da poter uguagliare gli argomenti; af(x) = ag(x) ↔ f(x) = g(x) esempio. 42-x · 2 x+1 = 16 Come prima cosa cerchiamo di fare tutte potenze con la stessa base 22(2-x) · 2 x+1 = 24 cioe' 24-2x · 2 x+1 = 24 Per la regola del prodotto di potenze posso scrivere 24-2x+x+1 = 24 25-x = 24 ed eguagliando gli esponenti 5 - x = 4 - x = -1 ed ottengo la soluzione: x = 1 Disequazioni esponenziali Riusciremo sempre a portare le disequazioni esponenziali a una delle forme seguenti: Procediamo per casi in modo da capire come si risolvono queste quattro possibili disequazioni e come è possibile portare a quella forma una disequazione esponenziale più complessa. Le disequazioni esponenziali più semplici sono quelle in cui riusciamo a ricondurci ad avere esponenziali di uguale base a destra e a sinistra del simbolo di disuguaglianza: dove f(x) e g(x) sono espressioni contenti x. 1. Se a>1 è sufficiente confrontare gli argomenti dei due esponenziali in una disequazione avente come verso il verso della disequazione di partenza. 2. Se 0<a<1 bisogna confrontare i due esponenti in una disequazione avente come verso il verso opposto a quello della disequazione di partenza. 1) Risolviamo la disequazione esponenziale La base dell'esponenziale è maggiore di 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi è sufficiente confrontare gli argomenti mantenendo il verso della disequazione: abbiamo ottenuto una disequazione di primo grado, svolgiamo i calcoli la soluzione della disequazione esponenziale è data da 2) Passiamo alla disequazione esponenziale La base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1 ed è la stessa a destra e a sinistra, quindi dobbiamo confrontare gli esponenti in una disequazione con verso opposto a quella di partenza: ci siamo ricondotti a una disequazione di secondo grado, risolviamola: partiamo risolvendo l'equazione associata le soluzioni della disequazioni sono per valori compresi tra le due soluzioni dell'equazione associata: