Esercitazioni-soluzioni microeconomia Cattolica, Esercizi di Microeconomia

Scarica Esercitazioni-soluzioni microeconomia Cattolica e più Esercizi in PDF di Microeconomia solo su Docsity! Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 8 marzo 2012 Esercitazione 1 Riferimenti bibliografici: Cap. 1, 2 di Perloff, J. (2009) "Microeconomia. Teoria e applicazioni con il calcolo differenziale", Apogeo. 1. Sia Q = 10−2p+10pa−10pb+2Y , la funzione di domanda del bene X, dove Q è la quantità domandata del bene X, p è il prezzo del bene X, Y è il reddito di Elisa, pa e pb sono i prezzi di altri due beni presenti sul mercato. La quantità offerta è pari a Q = −6 + 6p. (a) Dato pa = 1, pb = 1, Y = 12 determinate la curva di domanda inversa e rappresentatela graficamente. Soluzione: Sostituendo i valori nella funzione di domanda otteniamo Q(p) = 10−2p+ 10 − 10 + 24, ovvero Q(p) = 34 − 2p, da cui si ricava la curva di domanda inversa p = 17− 1 2 Q 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 10 20 30 40 Q p (b) Determinare la quantità del bene X domandata in corrispondenza di p = 1 e rappre- sentare il punto graficamente. Può rappresentare un equilibrio? Soluzione: Sostituendo il valore del prezzo nella funzione di domanda Q = 34−2p, otte- niamo QD(1) = 32. Ovviamente questo non può rappresentare un equilibrio dal momento che in corrispondenza di p = 1 la quantità offerta è QS = −6+6 ·1 = 0. Si noti che p=1 rappresenta il prezzo minimo affinchè l’impresa produca il bene. La rappresentazione grafica è rimandata al punto seguente. (c) Trovate il prezzo e la quantità di equilibrio. L’equilibrio del mercato si ha in corrispondenza del prezzo per cui la domanda uguaglia l’offerta. Il prezzo si determina uguagliando la domanda all’offerta: 34− 2p = −6 + 6p→ p· = 5 Q· = 34− 2 · 5 = 24 1 Sostituendo il valore del prezzo di equilibrio nella funzione di domanda si ottiene la quan- tità di equilibrio. 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p (d) Rappresentare graficamente la nuova curva di domanda inversa nel caso in cui il reddito si riduce ad un tezo? Qual è l’equilibrio del mercato? Soluzione: Se il reddito passa da 12 a 4, la curva di domanda traslerà orizzontalmente e sarà pari Q(p) = 10− 2p+ 10− 10 + 8,ovvero Q(p) = 18− 2p. La curva di domanda inversa risulta pari a p = 9− 1 2 Q. 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p La curva di domanda si è quindi spostata parallelamente, dal momento che la sua pen- denza è rimasta invariata e ha ridotto l’insieme dei panieri acquistabili dal consumatore per via della riduzione del reddito. L’equilibrio del mercato si ha in corrispondenza del prezzo per cui la domanda uguaglia l’offerta. Il prezzo si determina uguagliando la do- manda all’offerta: 18− 2p = −6 + 6p→ p· = 3 Q· = −6 + 6 · 3 = 12 Notate che ora il prezzo e la quantità di equilibrio sono inferiori rispetto a quelli indi- viduati al punto c). 2 Soluzione: In assenza di sussidio l’equilibrio è caratterizzato da P · = 10 e Q· = 60. In presenza di un sussidio il consumatore paga un prezzo inferiore di s per ogni unità di bene acquistata e pertanto saranno disposti ad acquistare una maggior quantità del bene. La nuova curva di domanda diventa: QD = 34− 2 (p− s) Mettendo a sistema la nuova curva di domanda con la curva di offerta, otteniamo: 34− 2 (p− s) = −6 + 6p p∗∗ = 5+ 1 4 s Q∗∗ = −6 + 6 · ( 5 + 1 4 s ) ︸ ︷︷ ︸ p∗∗ = 24 + 3 2 s (l) Determinare il costo totale sostenuto dallo Stato per finanziare i sussidi per s = 4. A quanto ammonta l’incidenza fiscale? Rappresentate graficamente il nuovo equilibrio. Soluzione: Con un sussidio pari a 4, il nuovo equilibrio è p∗∗ = 5+ 1 4 s = 5 + 1 4 · 4 = 6 Q∗∗ = 24 + 3 2 s = 24 + 3 2 · 4 = 30 Il sussidio totale erogato, ovvero l’esborso a carico dello Stato, è pari a s ·Q·· = 4 · 30 = 120. Per calcolare l’incidenza fiscale, dobbiamo calcolare l’elasticità della domanda al prezzo del bene e l’elasticità dell’offerta al proprio prezzo: εp = ∂Qd ∂p p∗ Q∗ = −2 · 6 30 = − 2 5 < 0 curva di domanda anelastica ηp = ∂Qs ∂p p∗ Q∗ = 6 · 6 30 = 6 5 > 0 L’incidenza fiscale che ricade sui consumatori è pari a: dp dτ = η η − ε = 6 5 6 5 − (−2 5 ) = 3 4 mentre l’incidenza che ricade sui produttori è 1− dp dτ = 1 4 . Per rappresentare graficamente il nuovo equilibrio, dobbiamo ricavare la nuova curva di domanda: Q=34− 2 (p− 4) = 42− 2p 5 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p (m) Ipotizzare che lo Stato sia interessato ad un livello di consumo del bene X pari a Q = 60. Indicare quale livello di sussidio unitario deve garantire. Soluzione: Affinchè la quantità consumata e prodotta sia pari a Q = 60, sostituiamo nella funzione di quantità Q = 24 + 3 2 s il valore voluto dallo Stato 24 + 3 2 · s = 60→ s = 24 Pertanto il livello di sussidio sarà s = 24 e il prezzo di mercato diventa: P = 5+ 1 4 ·24 = 11. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 100 Q p (n) Ipotizzare che lo Stato, invece di sussidiare il consumo, decida di tassare la produzione del bene X con un tassa ad valorem pari a t = 25%sul reddito. Determinare il P e la Q di equilibrio con tassazione. Soluzione: In questo caso dovremo risolvere il seguente sistema dove la funzione di domanda è Q=10−2p+2 ·12 · (1− 1 4 ) = 28−2p. Pertanto il nuovo equilibrio sarà dovuto 6 a: 28− 2p = −6 + 6p→ p = 17 4 Q = −6 + 6 · 17 4 = 39 2 (o) Data la funzione di domanda e di offerta del punto a) si determini come si modifica l’equilibrio in seguito all’introduzione da parte del Governo di un prezzo massimo (price cap) pari a p = 4. Soluzione: La fissazione di un prezzo massimo consiste nel fissare un prezzo (inferiore a quello di equilibrio) oltre al quale non è consentito effettuare alcuna transazione nel mercato. In corrispondenza di p = 4 la quantità del bene che i consumatori sono disposti ad acquistare è pari a QD (4) = 34− 2 · 4 = 26 mentre la quantità che i produttori sono disposti a vendere è pari a Qs(4) = −6 + 6 · 4 = 18. Su mercato si verifica quindi un eccesso di domanda di bene pari a 8.(= 26 − 18) A seguito dell’imposizione del prezzo massimo, la quantità di latte effettivamente scambiata è determinata dal lato corto del mercato, ovvero Q=min{Qs,QD} = 18, poichè essa è la quantià massima che i produttori sono disposti a vendere. (p) Si determini come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione da parte dell’autorità pubblica di un prezzo minimo pari a p= 8. Soluzione: La fissazione di un prezzo minimo consiste nello stabilire un prezzo minimo sotto il quale non è possibile effettuare scambi sul mercato. In corrispondenza di p= 8, la quntità che i consumatori desiderano acquistare è QD(8) = 34− 2 · 8 = 26 = 18, mentre la quantità che i produttori desiderano vendere è Qs(8) = −6 + 6 · 8 = 42. Quindi la quantità effettivamente scambiata sul mercato è pari a 18 e sul mercato vi è un eccesso di offerta pari a 24. 7 Soluzione: Sostituendo tali valori nella funzione di domanda: { x1(p1, Y ) = 1 4 Y p1 x2(p2, Y ) = 3 4 Y p2{ x∗ 1 (p1, Y ) = 1 4 · 40 2 = 5 x∗ 2 (p2, Y ) = 3 4 · 40 15 = 2 Il paniere ottimo è E(5,2). Per calcolare l’utilità del paniere ottimo dobbiamo sostituire le quantità ottimali dei due beni nella funzione di utilità. U(5, 2) = 5 · 23 = 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 x1 x2 (f) Disegnare la funzione di domanda inversa del bene x1 nel caso in cui p1 = 2; p2 = 15 e Y = 40. Soluzione: La funzione di domanda indica la quantità massima acquistata dal consumatore al variare del prezzo del bene, dato il reddito e il prezzo di beni complementi e sostituti. Pertanto, avremo: x1(p1, 40) = 1 4 Y p1 = 40 4 · p1 = 10 p1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 x1 p 3 (g) (Non svolto in aula) Calcolare l’elasticità della domanda del bene x1 rispetto: a) al proprio prezzo; b) rispetto al prezzo dell’altro bene e c) rispetto al reddito nel caso in cui p1 = 2; p2 = 15 e Y = 40. Soluzione: Dalla definizione di elasticità della domanda, otteniamo: εx1,p1 = dx1 dp1 p∗ 1 x∗ 1 = − Y 4 · p2 1 p1 x∗ 1 = −10 22 2 5 = −1 εx2,pj = dx1 dp2 p∗ 2 x∗ 1 = 0 ηx1,Y = dx1 dM Y x∗ 1 = 1 4 · p1 Y x∗ 1 = 1 4 · 2 40 5 = 1 (h) Calcola l’effetto di sostituzione e l’effetto reddito sulla domanda del bene x1 quando il prezzo di tale bene diminuisce di 1 unità. Rappresentate graficamente l’effetto di reddito e l’effetto di sostituzione. Soluzione: La quantità domandata del bene X è ottenuta sostituendo il nuovo valore di p1 nella curva di domanda x∗∗ 1 = 40 4 · 1 = 10 Pertanto la variazione complessiva è pari a ∆x = 10 − 5 = 5. Per individuale il livello di utilità raggiunto consumando il paniere iniziale dobbiamo sostituire (x∗ 1 , x∗ 2 ) = (5, 2) nella funzione di utilità: U = 5 · 23 = 40 Per determinare il reddito necessario a raggiungere tale livello, dobbiamo ricavare il reddito YC che consente all’individuo di rimanere sulla curva di indifferenza U. Sostituiamo i valori dei rispettivi prezzi nelle curve di domanda e sostituiamo nella funzione di utilità: 40 = ( 1 · YC 4 · 1 ) · ( 3 · YC 4 · 15 )3 YC = 20 · 2 3 4 Pertanto il paniere compensativo sarà: xC 1 (p′ 1 , YC) = 20 · 2 34 4 · 1 = 5 · 2 3 4  8, 41 e l’effetto di sostituzione sarà pari alla differenza fra il paniere compensativo e il paniere inziale (al vecchio prezzo e al vecchio reddito): ES xC 1 (1, 20 · 234 )− x∗ 1 (2, 40) = 5 · 2 34 − 5 = 5 · ( 2 3 4 − 1 )  3, 41 4 Si noti che l’effetto di sostituzione ha sempre il segno opposto a quello della vari- azione del prezzo. In questo caso, visto che ∆p < 0→ ES > 0. L’effetto di reddito lo troviamo come differenza fra la variazione complessiva e l’effetto di sostituzione: ER ∆x1 − ES =5− 5 · ( 2 3 4 − 1 ) = 10− 5 4 √ 8 = 1, 59 L’effetto di reddito invece dipende dal tipo di bene (normale o superiore). Se il bene è normale come in questo caso, l’effetto di reddito è positivo. Graficamente, (i) (Non svolto in classe) Calcolate la curva di Engel per il due bene x1, dati i valori indicati al punto d). Di che tipo di bene si tratta? Soluzione: Le curve di Engel sono funzioni di domanda che mettono in relazione il consumo del singolo bene con il reddito a disposizione del consumatore. In par- ticolare, indicano come variano le quantità domandate al variare del reddito dati i prezzi (ceteris paribus): x 1 = f(M). In tal senso, la nostra variabile "incognita" sarà M, il reddito, che non assumerà alcun valore specifico ma sarà lasciato libero di variare. x1(Y ) = 1 4 Y p1 = 1 4 · Y 5 = Y 20 Poiché la funzione di domanda x1 è una funzione lineare e crescente in M, il beni x1 è normale: al crescere del reddito cresce la quantità domandata. (j) (Non svolto in classe) Calcolate la curva di Engel per il bene x2, dati i valori indicati al punto d). Soluzione: Analogamente al punto precedente, dobbiamo individuare il bene x2= f(M) x2(Y ) = 3 4 · Y 15 = Y 20 (k) (Non svolto in classe) Supponete ora che il mercato sia caratterizzato dalla pre- senza di 100 consumatori, le cui preferenze sono identiche a quelle del consumatore 5 3. se px < 24, la pendenza del vincolo di bilancio è inferiore alla pendenza della curva di indifferenza, per cui il consumatore decide di consumare unicamente il bene x. In tal caso si avrà una soluzione d’angolo e la quantità x (px) = I px = 24 px La curva di domanda di x sarà: x (px) =    0 px > 24 0 ≤ x∗ ≤ 1 px = 24 24 px px < 24 Graficamente, l’andamento della curva di domanda del bene x sarà: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 10 20 30 x p Curva di domanda del bene x. (c) Qual è la soluzione di ottimo del consumatore nel caso in cui px = py = 12 e I = 24? Soluzione: La pendenza del vincolo di bilancio è inferiore a quelle della curva di indifferenza, per cui si ha una soluzione d’angolo. Poichè il |SMS|>px py , significa che il mercato valuta il bene x “troppo poco” rispetto a quanto lo valuti il con- sumatore, che troverà quindi conveniente acquistare solo il bene x. Quando tutto il reddito I = 24 è speso per l’acquisto del bene x, la quantità acquistata è: x∗ = I px = 2 y∗ = 0 Rappresentando graficamente il vincolo di bilancio (linea verde) e la curva di in- differenza (linea rossa), abbiamo: 8 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 x y Curva di indifferenza Si noti che l’utilità derivante dal paniere E è pari a U = (2, 0) = 2 · 2 + 0 = 4, mentre nel caso in cui il consumatore spendesse tutto il suo reddito per acquistare il bene y, egli ne acquisterebbe y=24 12 = 2 e la sua utilità sarebbe inferiore U = (0, 2) = 2 · 0 + 2 = 2 < 4. (d) Cosa succede se il prezzo del bene y diminuisce di 8 unità? Soluzione: In questo caso il prezzo del bene y diventa py = 4 e la convenienza economica relativa cambia. Il mercato ora vuole scambiare 12 unità del bene x contro 4 unità del bene y, in quanto il nuovo rapporto fra i prezzi è −px py = −12 4 > SMS = −2 Ne consegue che tutto il reddito sarà consumato per acquistare il bene y, ossia x(12) = 0, y(4) = 6 ottenendo una utilità pari a U(0,6)=0+6=6. Se invece venisse acquistato solo il bene x ne potrebbe acquistare 2 unità e l’utilità sarebbe pari a U(2,0)=2 ·2+0=4<6. Ciò significa che, a parità di preferenze, il consuma- tore sceglie il bene divenuto relativamente più conveniente. 9 Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 22 marzo 2012 Esercitazione 3 Riferimenti bibliografici: Cap. 4, 5 di Perloff, J. (2009) "Microeconomia. Teoria e appli- cazioni con il calcolo differenziale", Apogeo. 1. Supponete che la funzione di utilità di Anna sia U(x1, x2) = min {2x1, 2x2} (a) Disegnate la mappa delle curve d’indifferenza e spiegatene le caratteristiche. Soluzione: La funzione d’utilità assegnata dice che, data una qualunque combi- nazione dei due beni, ciò che è rilevante è la quantità minima tra i due: avere, per esempio, la coppia {x1 = 2, x2 = 2} dà al consumatore la stessa utilità che la coppia {x1 = 2, x2 = 7.000}, U = 4. Sono dunque dei beni perfettamente com- plementari. Violando l’ipotesi di non sazietà (per un bene alla volta) i perfetti complementi sono beni sempre consumati insieme, secondo proporzioni fisse. La retta bx2 = ax1 uscente dall’origine unisce i vertici dei gomiti. Graficamente, le curve d’indifferenza assumo una forma a gomito. Volendo rap- presentare la curva di indifferenza U = 8, la curva assumerà la seguente forma: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2 4 6 8 10 12 x1 x2 Funzione di utilità (beni complementi) Si noti che per il consumatore sarà ottimale collocarsi lungo un qualsiasi punto della bisettrice del primo quadrante: un qualsiasi altro punto comporterebbe, in- fatti, l’acquisto di unità “inutili”di bene che non aumenterebbero la sua utilità. 1 Poichè si tratta di beni complementi, l’effetto di sostituzione fra i due beni è NULLO e quindi la variazione della domanda è da attribuire unicamente all’effetto di reddito: ER=∆x2 = x∗∗2 − x∗2 = 6− 3 = 3. Per capire ciò, osserviamo che (g) (Non svolto in aula) Scomponete la variazione sulla quantità del bene x1 in effetto di reddito ed effetto di sostituzione e rappresentate graficamente gli effetti di reddito e sostituzione. Soluzione: Analogamente a quanto ottenuto al punto precedente, anche la quan- tità del bene x1 diminuisce all’aumentare di p2. In particolare, l’effetto di sos- tituzione fra i due beni è NULLO e quindi la variazione della domanda è da attribuire unicamente all’effetto di reddito: ER=∆x1 = x∗∗1 − x∗1 = 6− 3 = 3. 2. Un individuo passa 8 delle 24 ore a sua disposizione dormendo e mangiando: le rima- nenti ore vanno divisi tra lavoro e tempo libero, dove l rappresenta il numero di ore lavorate e n il numero di ore dedicate al tempo libero. Il reddito da lavoro, pari al salario nominale w = 3 moltiplicato per il numero di ore lavorate l, può essere speso acquistando una quantità pari a c dell’unico bene di consumo disponibile, al prezzo p = 2. (a) Costruite il vincolo di bilancio dell’individuo. Soluzione: Il consumatore deve scegliere tra unità di bene di consumo e ore da dedicare al tempo libero, sapendo che la spesa per il bene di consumo e tempo libero deve essere pari alla somma dei redditi del consumatore. Il vincolo di bilancio del consumatore sarà: pc = w(T − n) +R dove T è il numero totale di ore a disposizione del lavoratore (T = 24− 8 = 16), n è il numero di ore dedicate al tempo libero e R è il reddito non da lavoro (R=0 qui). Pertanto: 2c = 3 · (16− n)→ c = 3(16− n) 2 c = 24− 3 2 n 4 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 n c La pendenza del vincolo di bilancio è pari al salario reale, ovvero al rapporto tra i prezzi dei due beni tempo libero-consumo: w/p. Il salario nominale w può essere infatti interpretato come il costo opportunità del tempo libero, ovvero come il reddito a cui egli rinuncia per dedicarsi allo svago. (b) Determinate l’allocazione ottimale del consumo tra c e n, sapendo che la funzione di utilità dell’individuo è U(c, n) = c(n− 5) dove C indica il consumo e N le ore dedicate al tempo libero. Soluzione: Il problema del consumatore è quindi Max c,n U(c,n) s.v. c = 3(16− n) 2 Uguagliamo il SMS al rapporto tra i prezzi e considerando il vincolo di bilancio individuato al punto precedente, possiamo calcolare la scelta ottima:{ SMSc,n = −wp pc = w(T − n) → { − c n−5 = − 3 2 c = 24− 3 2 n{ n∗ = 21 2 c∗ = 33 4 La quantità offerta di lavoro sarà pari a l∗ = 16−n∗ = 16−21 2 = 11 2 ' 5.5.Graficamente, il punto di ottimo sarà indicato da E ∗ ( 21 2 , 33 4 ) . 5 (c) Individuate le funzioni di domanda del consumo c, del tempo libero n e dell’offerta di lavoro l, lasciando w e p come incognita. Rappresentare inoltre la funzione di offerta del lavoro. Soluzione: { SMSc,n = −wp c = w(16−n) p → { − c n−5 = − w p c = w(16−n) p{ c = 1 p w (n− 5) c = w(16−n) p → { n = 21 2 c = 11w 2p Come si può vedere l’offerta di lavoro dipende sia dal livello dei prezzi p sia dal salario l=16−n∗ = 16− 21 2 = 11 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 l w Tale andamento sarà coerente con l’ipotesi che dato il salario, il tempo libero è un bene particolarmente desiderato. Questo significa che l’effetto di reddito uguaglia 6 Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 27 marzo 2012 Esercitazione 4 Riferimenti bibliografici: Cap. 4, 6 di Perloff, J. (2009) "Microeconomia. Teoria e appli- cazioni con il calcolo differenziale", Apogeo. 1. Le preferenze di Samuele tra consumo corrente c1 in t = 1 e consumo futuro c2 in t = 2 sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità Cobb-Douglas U(c1, c2) = 3c 1 2 1 c 1 2 2 Le dotazioni di reddito nel primo e secondo periodo sono, rispettivamente, pari a y1 = 100 e y2 = 70, il tasso di interesse r è del 5% e non vi è inflazione. Supponete inoltre che i prezzi del bene consumo siano normalizzati a p = 1. (a) Scrivete e disegnate il vincolo di bilancio intertemporale. Cosa succede se non esiste alcun mercato dei capitali? Soluzione: Il vincolo di bilancio intertemporale prevede che il valore attuale del consumo sia pari al valore attuale delle risorse a disposizione: c1 + c2 1 + r = y1 + y2 1 + r c2 = (y1 − c1) 1 + r + y2 Il vincolo di bilancio intertemporale ci dice che il livello di consumo possibile nel secondo periodo è dato dalla dotazione di reddito ricevuta all’inizio del secondo pe- riodo a cui si aggiunge il risparmio del primo periodo, pari alla parte di dotazione del primo periodo che non è stata consumata, y1 − c1, capitalizzata al secondo periodo. Il termine (1+r) è il fattore di capitalizzazione reale che indica appunto di quanto aumenta il risparmio nel passaggio dal periodo 1 (all’inizio del quale è percepito) al periodo 2. Ad esempio, 1 euro oggi, capitalizzato ad un tasso del 5%, equivale domani a 1 + 5 100 · 1= 21 20 euro. Sostituendo i dati del problema: c2 = 21 20 · (100− c1) + 70 = 175− 21 20 c1 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 c1 c2 Nel caso in cui non vi sia alcun mercato dei capitali Samuele sarà costretto a consumare in entrambi i periodi la propria dotazione:{ c∗1 = 100 c∗2 = 70 Se il paniere ottimo si posizionerà lungo la retta al di sopra della dotazione, il consumatore sarà un risparmiatore in quanto c1 < y1. Altrimenti il consumatore sarà un mutuatario in quanto c1 > y1. (b) Calcolate l’equilibrio del consumatore e il livello di risparmio nel primo periodo e nel secondo periodo. Rappresentate graficamente l’equilibrio. Soluzione: Samuele vanta una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas. Come per la massimizzazione dell’utilità di due beni vista nelle esercitazioni precedenti l’equilibrio ha luogo dal processo di massimizzazione dell’utilità sotto il vincolo di bilancio, ovvero dalla risoluzione del seguente problema:{ SMS = −1+r p p1c1 + p2c2 1+r = y1 + y2 1+r Utilizzando la trasformazione monotona U(c1,c2) 3 = c 1 2 1 c 1 2 2{ − c2 c1 = −21 20 c2 = 175− 2120c1{ c∗1 = 175 2.1 ' 83, 3 < y1 c∗2 = 175 2.1 · 21 20 ' 87.5 > y2 Il livello di risparmio nel primo periodo è infatti dato dalla differenza tra la dotazione di reddito e il consumo di equilibrio: S = (y1 − c∗1) = 100− 83, 3 = 16, 7 Il consumatore, sulla base delle proprie preferenze e del tasso di interesse r, de- cide di consumare solo una parte della dotazione di reddito ricevuta all’inizio del periodo 1 ( c∗1<y1); ha quindi un livello positivo di risparmio in t=1, che verrà impiegato nel periodo 2 per acquistare il bene di consumo futuro. 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 c1 c2 (c) Supponete che il tasso di interesse r aumenti del 15%. Calcolare il nuovo equilibrio. Soluzione: Quando il tasso di interesse r sale a r = 15% = 0, 15, il vincolo di bilancio intertemporale ruota e diviene: c2 = 115 100 · (100− c1) + 70 = 185− 23 20 c1 Il nuovo equilibrio E∗∗ viene determinato dalla soluzione del seguente sistema in due equazioni in due incognite:{ − c2 c1 = −23 20 c2 = 175− 2320c1{ c∗∗1 = 185 2.3 ' 80, 43 c∗∗2 = 185 2.3 · 23 20 ' 92. 49 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 50 100 150 200 c1 c2 L’intercetta orizzontale y1 + y2 1+r è la somma del reddito attuale e del maggior prestito che il consumatore può chiedere (cioè il maggior prestito che riuscirebbe a ripagare con il suo reddito futuro; se chiede un prestito di y2 1+r deve restituire nel secondo periodo tutta la sua dotazione. Un’aumento del tasso d’interesse da r a r ′ > r corrisponde a una rotazione della retta di bilancio attorno alla dotazione: 3 Questa proprietà si evidenzia se noi deriviamo ulteriormente la produttività mar- ginale rispetto al fattore che aumentiamo (legge della produttività marginale de- crescente): ∂MPx ∂x1 = −1 2 · 1 2 · x− 1 2 −1 1 x 1 2 2 = − 1 4 x − 3 2 1 x 1 2 2 < 0 ∂MPy ∂x2 = −1 2 · 1 2 · x 1 2 1 x − 1 2 −1 2 = − 1 4 x 1 2 1 x − 3 2 2 < 0 Questo significa che aumentare la quantità di solo uno dei fattori produttivi imp- iegati porta solo a benefici limitati. (b) Spiegate se la funzione presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decres- centi. Soluzione: I rendimenti di scala descrivono il comportamento dell’output quando la quntità utilizzata di entrambi i fattori produttivi variano nella stessa proporzione. Nel nostro caso otteniamo: f(nx1, nx2) = (nx1) 1 2 (nx2) 1 2 = nx 1 2 1 x 1 2 2 = nf(x1, x2) ossia la funzione di produzione gode di rendimenti costanti di scala, in quanto moltiplicando per una costante n>0 i fattori produttivi x1 e x2, la quantità di output che si ottiene risulta moltiplicata anch’essa per n. Si noti che UNICAMENTE nel caso della funzione di produzione Cobb-Douglas possiamo osservare i rendimenti di scala direttamente dalla somma degli espo- nenti: 1 2 + 1 2 = 1. (c) Come sarebbe cambiata la risposta nel caso in cui la tecnologia fosse y = 4x1x 2 4 2 ? Verificatelo applicando la definizione. Soluzione: In questo caso la funzione di produzione gode di rendimenti crescenti di scala, in quanto moltiplicando per n>1 la quantità utilizzata di entrambi i fattori, la quantità prodotto dall’impresa aumenta più che proporzionalmente: f(nx1, nx2) = 4 (nx1) (nx2) 2 4 = n 6 4f(x1, x2) I rendimenti di scala sono crescenti. Infatti se sommassimo gli esponenti avremmo: 1 + 2 4 = 3 2 > 1. (d) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica fra i due fattori, data la funzione di produzione del punto a). Soluzione: Il saggio marginale di sostituzione tecnica misura il saggio al quale è necessario sostituire un fattore produttivo con un altro, al fine di mantenere invariato il livello di output prodotto:Nel nostro caso esso è pari a: MRTSx,y = ∣∣∣∣MPxMPy ∣∣∣∣ = 12x− 1 2 1 x 1 2 2 1 2 x 1 2 1 x − 1 2 2 = x2 x1 6 (e) Determinate le funzioni di domanda condizionata dei fattori quando i prezzi w1 = 4 e w2 = 16. Rappresentate graficamente il problema nel caso in cui y = 4. Soluzione: La funzione di domanda condizionata dei fattori esprime la quantità di ciascun fattore della produzione che minimizza il costo totale necessario alla produzione di una data quantità y di output, quando il prezzo dei fattori stessi è pari a w1e w2. Per ottenere tali funzioni dobbiamo risolvere il problema di minimizzazione dei costi: Min x1,x2 w1x1 + w2x2 s.t. y = x 1 2 1 x 1 2 2 ossia l’impresa dovrà scegliere la combinazione di input x1 e x2 che le permetterà di produrre y al minor costo possibile. Per la funzione di domanda dei fattori x1e x2:{ MRTSx,x2 = w1 w2 y = x 1 2 1 x 1 2 2 ⇒ { x2 x1 = w1 w2 x1x2 = y 2 x1 = y ( w2 w1 ) 1 2 x2 = y ( w1 w2 ) 1 2 ⇒ { x1(y) = 2y x2(y) = 1 2 y Notate che con i rendimenti di scala costanti le domanda dei due fattori sono lineari! Per produrre y=4 unità, occorrerà impiegare:{ x1(4) = 2 · 4 = 8 x2(4) = 1 2 · 4 = 2 Il costo associato a tale produzione sarà: C=4 ·8 + 16 · 2 = 64 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 x1 x2 7 (f) (Non svolto in aula) Calcolate la quantità di fattori produttivi impiegati nel caso in cui l’impresa voglia produrre 40 unità di bene e il costo di produzione che l’impresa deve conseguire dati i prezzi dei fattori sostenuti nel punto precedente. Soluzione: Sostituendo la quantità di output che l’impresa vuole produrre nella funzione di domanda condizionata dei fattori, ottenuamo l’ammontare di ciascun output necessario: { x∗1(40) = 1 2 · 40 = 20 x∗2(40) = 2 · 40 = 80 Il costo associato a tale produzione sarà: C=4 ·20 + 16 · 80 = 1360. (g) (Non svolto in aula) Supponete che ora w1 = 1. Come varia l’equilibrio se l’impresa vuole produrre 4 unità? Rappresentate graficamente la variazione dell’equilibrio. Soluzione: Sostitendo nelle generiche funzioni di domanda (individuate al punto e) il nuovo prezzo, otteniamo che il nuovo equilibrio sarà: x1 = y ( w2 w1 ) 1 2 x2 = y ( w1 w2 ) 1 2 → { x1 = 4 · ( 16 1 ) 1 2 = 16 x2 = 4 · ( 1 16 ) 1 2 = 1 Il costo totale per produrre le 4 unità sarà: C=1 ·16 + 16 · 1 = 32.Visto che ora il fattore 1 è meno costoso, l’impresa potrà produrre la stessa quantità di output ad un costo inferiore, usufruendo del fattore ora relativamente meno costosto. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 x1 x2 (h) Calcolate la funzione di costo totale. Soluzione: La funzione di costo totale è C(y) = w1 · x1(y) + w2 · x2(y) = 4 · 2y + 16 · 1 2 y = 16y (i) Calcolate la funzione di costo medio e costo marginale. 8 (b) Calcolare la quantità e il prezzo di equilibrio. La mela è un bene inferiore? Soluzione: Uguagliando la domand con l’offerta, otteniamo: { Qd = 55− 5p Qs = 10p− 50 → { 10p− 50 = 55− 5p Qs = 10p− 50 { p∗ = 7 Q∗ = 20 Per scoprire se si tratta di un bene inferiore dobbiamo calcolare l’elasticità della domanda al reddito ζ = ∂Qd ∂M M Q∗ = 1 2 · 30 = 15 Poichè ζ > 0, il bene non è inferiore, bensì normale. (c) Supponi che il reddito dei consumatori venga tassato e si riduce di 1 3 . Deteminate la nuova curva di domanda inversa. Calcolate prezzo e quantità di equilibrio e rappresentateli graficamente. Soluzione: Poichè il reddito del consumator viene tassato, il reddito netto diviene M = (1− 1 3 ) · 30 = 20. Pertanto la nuova curva di domanda (in rosso) si sposta verso il basso e diventa: Qd = 40− 5p+ 2 · 1 2 − 2 · 1 2 + 1 2 · 20 Qd = 50− 5p p = 5− 1 5 Qd Dall’uguaglianza della nuova curva di domanda con l’offerta otteniamo il prezzo e la quantità di equilibrio: { Qd = 50− 5p Qs = 10p− 50 → { 10p− 50 = 50− 5p Qs = 10p− 50 { p∗ = 20 3 Q∗ = 50 3 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p 2 (d) Calcolate l’ammontare del gettito fiscale e l’incidenza fiscale. Soluzione: Il gettito fiscale è pari a τ · M = 1 3 · 30 = 10. Per calcolare l’incidenza fiscale, dobbiamo calcolare l’elasticità della domanda al prezzo del bene e l’elasticità dell’offerta al proprio prezzo: εp = ∂Qd ∂p p∗ Q∗ = −5 · 20 3 50 3 = −2 < 0 curva di domanda elastica ηp = ∂Qs ∂p p∗ Q∗ = 10 · 20 3 50 3 = 4 > 0 L’incidenza fiscale che ricade sui consumatori è pari a: dp dτ = η η − ε = 4 4− (−2) = 2 3 mentre sui produttori ricade 1− dp dτ = 1 3 . 2. Un consumatore percepisce un reddito mensile pari a 90, pagando un’imposta sul reddito pari a 1 3 . La sua funzione di utilità è U(x1, x2) = min {2x1, 4x2} (a) Che tipo di beni sono questi? Di quanto aumenterebbe l’utilità del consumatore, ceteris paribus, se ricevesse un’unità addizionale del bene 1. Soluzione: La funzione di utilità del consumatore cattura il caso di beni perfetti complementi, ossia beni che devono essere consumati in propriorzione fissa. Per- tanto, se il consumatore ricevesse solo un’unità addizionale del bene 1, l’utilità del consumatore non aumenterebbe. (b) Determinare la funzione di domanda per entrambi i beni e rappresentare grafica- mente la domanda per il bene 1, posto che p1e p2 sono i prezzi rispettivamente di x1 e x2. Soluzione: Poichè il consumatore paga un’imposta sul reddito, il reddito netto sarà M = 90 · 2 3 = 60. { 2x1 = 4x2 p1x1 + p2x2 = 60 → { x1 = 60 p1+ p2 2 x2 = 30 p1+ p2 2 (c) Determinare il paniere ottimale quando il prezzo di p1 = 2 e p2 = 1. Rappresentate graficamente l’equilibrio. Soluzione: Sostituendo i valori dei due prezzi nella funzione di domanda dei due beni, otteniamo: { x1 = 60 2+ 1 2 = 24 x2 = 30 2+ 1 2 = 12 Il paniere di equilibrio sarà E(24,12) 3 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 x1 x2 (d) Determinare l’effetto di reddito e l’effetto di sostituzione su entrambi i beni quando il prezzo del bene 2 raddoppia. Soluzione: Poichè il prezzo dei bene 2 raddoppia, il nuovo paniere è pari a: { x′1 = 60 2+1 = 20 x′2 = 30 2+1 = 10 Pertanto il nuovo paniere sarà E(20,10). La variazione della domanda dovuta all’effetto di sostituzione è pari a zero, in quanto i beni non sono sostituibili fra loro. Pertanto la variazione totale della domanda dei due beni è interamente dovuta all’effetto reddito: ESx1 = 20− 24 = 4 ESx2 = 10− 12 = 2 3. Andrea ha come unica fonte di reddito il suo lavoro. Il salario orario è pari a w e il numero di ore massimo che egli può lavorare in un giorno è 24. Andrea spende il suo reddito per acquistare un bene di consumo, il cui prezzo è p = 1. Ogni giorno Andrea deve scegliere quante ore lavorare e quante ore dedicare al tempo libero. (a) Qual è il prezzo del tempo libero? Motivate adeguatamente la risposta. Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio nel caso in cui w = 2. Soluzione: Il prezzo del tempo libero è rappresentato dal costo opportunità fra consumo e lavoro, ovvero è il salario, che rappresenta il prezzo della miglior al- ternativa a cui rinuncio per oziare. Il vincolo sarà: pc = w(T − n) +R c = 48− 2n Graficamente avremo 4 Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 10 maggio 2012 Esercitazione 6 Riferimenti bibliografici: Cap. 6, 7, 8 di Perloff, J. (2009) "Microeconomia. Teoria e appli- cazioni con il calcolo differenziale", Apogeo. 1. Un’impresa produce il bene y mediante la seguente funzione di produzione y = x 1 2 1 x 1 2 2 (a) (Non svolto in aula) Determinate le funzioni di domanda condizionata dei fattori quando i prezzi w1 = 4 e w2 = 16. Soluzione: La funzione di domanda condizionata dei fattori esprime la quantità di ciascun fattore della produzione che minimizza il costo totale necessario alla produzione di una data quantità y di output, quando il prezzo dei fattori stessi è pari a w1e w2. Per ottenere tali funzioni dobbiamo risolvere il problema di minimizzazione dei costi: Min x1,x2 w1x1 + w2x2 s.t. y = x 1 2 1 x 1 2 2 ossia l’impresa dovrà scegliere la combinazione di input x1 e x2 che le permetterà di produrre y al minor costo possibile. Per la funzione di domanda dei fattori x1e x2:{ MRTSx,x2 = w1 w2 y = x 1 2 1 x 1 2 2 ⇒ { x2 x1 = w1 w2 x1x2 = y 2 x1 = y ( w2 w1 ) 1 2 x2 = y ( w1 w2 ) 1 2 ⇒ { x1(y) = 2y x2(y) = 1 2 y (b) Calcolate la funzione di offerta di lungo periodo. Soluzione: Per calcolare la funzione di offerta di lungo periodo, occorre deter- minare la funzione di costo totale: C(y) = w1 · x1(y) + w2 · x2(y) = 4 · 2y + 16 · 1 2 y = 16y 1 La funzione di costo totale è Max y Π = p · y − C = p · y − 16y Pertanto ∂Π ∂y = p− 16 = 0→ p = 16 In presenza di rendimenti di scala costanti, l’impresa fornisce una quantità infinita di bene in corrispondenza del prezzo p=16. Ovvero la curva di offerta dell’impresa coincide con la curva di MC e AC. 0 5 10 15 20 0 20 40 y p La curva di offerta della singola impresa è una retta orizzontale in corrispondenza del prezzo: l’impresa è disposta a produrre qualsiasi quantità se il prezzo di mercato è p=16. In tal caso i profitti conseguti saranno nulli: Π = p · y − C = 16y − 16y = 0 (c) Supponete che il fattore x2 sia fisso nel breve periodo, con x2 = 1. Derivate la curva di offerta di breve periodo e rappresentatela graficamente. Soluzione: In questo caso la funzione condizionata del fattore x 1 si ottiene di- rettamente dalla funzione di produzione: y = x 1 2 1 1 1 2 → x1 (y) = y2 La curva di costo totale di breve periodo si ricava sostituendo la funzione di do- manda condizionata nell’espressione per il costo totale: C(y) = 4 · y2 + 16 · 1 = 16 + 4y2 Il problema di massimizzazione nel breve periodo è Max y Π(x1, x2) = p · y − ( 16 + 4y2 ) ∂Π ∂y = p− 8y = 0 da cui yi = p 8 Questa relazione vale poichè il MC>AC. 2 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p (d) Determinate la curva di offerta del mercato nel caso in cui operino 40 imprese identiche. Rappresentate graficamente la curva di offerta. Poichè la curva di offerta dell’industria è data dalla somma orizzontale delle sin- gole curve di offerta, otteniamo che Y s(p) = n · yi = 40 · p 8 = 5p 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 Q p (e) Determinare la configurazione di equilibrio sapendo che la funzione di domanda di mercato è pari a Y d = 5000− 45p Soluzione: Mettendo a sistema la curva di domanda e la curva di offerta, possi- amo determinare la condizione di equilibrio: 5000− 45p = 5p p· = 100 Y · = 500 La quantità prodotta da ciascuna impresa i è pari a: y·i = Y · n = 500 40 = 25 2 3 A questo punto sostituiamo a Q la quantità decisa dal monopolista per trovare il prezzo pagato dai consumatori PM = 1400− 1 2 · 350 = 1225 Il profitto del monopolista è dato da Π = PM ·QM − 3 2 · ( QM )2 = 1225 · 350− 3 2 · 3502 = 245 000 (b) Determinare il mark-up e l’elasticità della domanda rispetto al prezzo. Soluzione: Il markup (indice di Lerner) per il monopolista soddifa la seguente equazione: (p−MC) p = 1 |ε| dove |ε| rappresenta il valore assoluto dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo. Nel nostro caso otteniamo (1225− 3 · 350) 1225 = 1 7 Notiamo inoltre che |ε| = 1/1 7 = 7 è l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in valore assoluto. (c) Si determini il prezzo e la quantità in caso di concorrenza perfetta Soluzione: La quantità in concorrenza perfetta è calcolata invece eguagliando il ricavo marginale al costo marginale. A differenza di ciò che accade in monopolio, in questa forma di mercato il ricavo marginale è pari al p: P = MC 1400− 1 2 Q = 3Q 1400 = 1 2 Q+ 3Q QCP = 2 · 1400 7 = 400 > QM Il prezzo in concorrenza perfetta è dato da: PCP = 1400− 1 2 · 400 = 1200 < PM (d) Calcolate la perdita netta di monopolio. Soluzione: Il monopolio determina una quantità inferiore ed un prezzo superiore rispetto alla concorrenza perfetta. Il surplus dei consumatori è quindi inferiore in monopolio. La differenza fra il surplus dei consumatori in caso di concorrenza perfetta e in caso di monopolio è rappresentata dal triangolo ABC: 6 DWL = (qCP − qM)(pM −MC(350)) 2 = (400− 350) (1225− 1050) 2 = 4375 (e) (Non svolto in aula) Dopo aver ottenuto il surplus del produttore e del consuma- tore in entrambe le configuarazioni di mercato, calcolate la differenza di benessere fra l’equilibrio in concorrenza perfetta e l’equilibrio in monopolio. Soluzione: Iniziamo dal monopolio: il surplus dei consumatori in caso di mo- nopolio è pari all’area del triangolo rappresentato in figura, che ha come base 350 e come altezza la differenza 1.400-1.225=175. Quindi il surplus dei consumatori in caso di monopolio è uguale a SC = 350 · (1400− 1225) 2 = 30.625 .Il surplus del produttore invece è pari all’area del trapezio rettangolo che ha come basi 175 e 1225 e coma altezza la differenza fra i prezzi: 1225-1200=25, per cui l’area è pari ai profitti (ottenuti al punto a): SP = (1225 + 175) 350 2 = 245 000 Il benessere totale è pari a W=SP + SC = 245000 + 30625 = 275 625. In caso di concorrenza perfetta, invece, il surplus dei consumatori è il triangolo che ha per base 400 e per altezza la differenza 1.400 − 1.200 = 200. Quindi il surplus dei consumatori in caso di concorrenza è pari a SC = 400 · (1400− 1200) 2 = 40.000 I profitti del produttore invece sono SP = 1200 · 400 2 = 240 000 .da cui il benessere totale in concorrenza perfetta è WCP = 240 000 + 40000 = 280.000. La differenza di benessere fra le due configurazioni è pari alla dead weight loss (ovvero la perdita secca di benessere): WCP −WM = 280.000− 275 625 = 4.375. 7 Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 17 maggio 2012 Esercitazione 7 Riferimenti bibliografici: Cap. 11 di Perloff, J. (2009) "Microeconomia. Teoria e applicazioni con il calcolo differenziale", Apogeo. 1. Un’agenzia turistica è monopolista per la città di Milano per l’organizzazione di week- end a Londra. La curva di costo totale è CT = 10Q. La curva di domanda Q = 50−P , dove P è il prezzo dei viaggi. (a) Calcolate l’equilibrio di monopolio e i profitti del monopolista. Soluzione: Per prima otteniamo la domanda inversa al fine di esprimere la funzione di profitto in funzione della quantità: Q = 50− P P = 50−Q La condizione per la massimizzazione del profitto del monopolista prevede che: Max Q Π = RT − CT = (50−Q)︸ ︷︷ ︸ · p Q− 10Q La condizione del primo ordine prevede che: ∂Π ∂Q = MR−MC = 0→MR =MC 50− 2Q = 10→ QM = 20 Si noti che il MR è una retta che ha la stessa intercetta verticale della curva di domanda inversa e pendenza doppia, ovvero MR=50− 2Q. La quantità in monopolio è scelta dal monopolista in modo che il ricavo marginale eguagli il costo marginale. Si noti che nel caso di monopolio il ricavo marginale è una retta con intercetta verticale pari a quella della curva di domanda e una pendenza doppia. Il prezzo pagato dai consumatori in monopolio, invece, è il prezzo che gli stessi sono disponi- bili pagare per la quantità decisa dal monopolista. A questo punto sostituiamo a Q la quantità decisa dal monopolista per trovare il prezzo pagato dai consumatori PM = 50− 20 = 30 I profitti ottenuti dall’agenzia sono: Π = RT − CT = 30 · 20− 10 · 20 = = 400 1 Il profitto ottenuto dal primo mercato sarà Π1 = 25 · 10− 20 · 10 = 50 Analogamente la funzione di profitto del secondo mercato sarà: Π = RT − CT2 = pQ− CT2 (q2) e il problema del monopolista diventa Max q2 Π = ( 25− 1 4 q2 ) q 2 − 10q2 ∂Π ∂q2 =MR −MC(q2) = 0 25− 1 2 q2 − 20 = 0 q∗ 2 = 10 p∗ 2 = 25− 10 4 = 45 2 Il profitto ottenuto dal secondo mercato sarà Π2 = 45 2 · 10− 20 · 10 = 25 quindi il profitto totale sarà Π = Π1 +Π2 = 50 + 25 = 75 (b) Calcolate l’elasticità al prezzo nei due mercati. Soluzione: L’elasticità della domanda al prezzo in equilibrio nel primo e nel secondo mercato sono |ε1| = ∣∣∣∣ ∂q1 (p1) p1 ∣∣∣∣ p∗ 1 q∗ 1 = 2 · 25 10 = 5 |ε2| = ∣∣∣∣ ∂q2 (p2) p2 ∣∣∣∣ p∗ 2 q∗ 2 = 4 · 45 2 10 = 9 Il monopolista fissa il prezzo più alto sul mercato in cui la domanda è meno elastica, ovvero nel primo mercato. (c) Supponete ora che l’impresa possa agire come monopolista solo nel primo mercato (la cui domanda inversa è p = 30− 1 2 q) e che pertanto voglia applicare una tariffa in due parti. A quanto ammonta la tariffa ottima? Soluzione: In presenza di un unico tipo di consumatore, la soluzione ottimale per l’impresa è quella di uguagliare il prezzo di utilizzo al costo marginale, e il prezzo alla rendita del consumatore.Il prezzo per ogni unità di bene è pari al costo mar- 4 Figure 1: ginale, cioè p∗ = 10. Troviamo la quantità ottimale di bene venduto dall’equazione della curva di domanda: 30− 1 2 Q = 20 Q∗ = 20 L’ammontare totale delle tariffe per il parcheggio deve essere uguale alla rendita del consumatore, che è pari all’area tratteggiata nella figura, ovvero: Sc = (30− 20) · 20 2 = 100 Quindi, la tariffa individuale per unità di prodotto sarà pari a: 100 20 = 5 3. Si consideri un mercato in cui opera un monopolista e in cui un potenziale entrante deve decidere se intraprendere o no l’attività. Il potenziale entrante ha a disposizione due strategie: Entrare e Non entrare. A sua volta il monopolista può decidere di adottare una strategia accomodante, ovvero mantenere alti i prezzi e bassa la quantità, oppure di fare guerra all’entrante abbassando i prezzi. La matrice dei pagamenti di questo gioco è la seguente: 5 (a) Quali sono le strategie dei giocatori? Soluzione: Le strategie sono: Monopolista S1 = {prezzo alto; prezzo basso} Potenziale entrante S2 = {entra;non entra} (b) Indicare se esistono delle strategie domaninanti per entrambi i giocatori. Soluzione: Una strategia si dice dominante per un giocatore se, qualunque sia la scelta effettuata dagli altri giocatori, dà al giocatore che la segue un risultato migliore di ogni altra sua strategia. Qual è la strategia migliore per il monopolista se il potenziale entrante sceglie di entrare? Applicare un prezzo alto (15 ≥ −5). Qual è la strategia migliore per il monopolista se il potenziale entrante sceglie di non entrare? il monopolista è indifferente fra applicare un prezzo alto e un prezzo basso (35 ∼ 35). Quindi applicare un prezzo alto è una strategie debolmente dominante. Qual è la strategia migliore per il potenziale entrante se il monopolista sceglie di applicare un prezzo alto? Entrare (15 ≥ 0). Qual è la strategia migliore per il potenziale entrante se il monopolista sceglie di applicare un prezzo basso? Il potenziale entrante decidi di non entrare (35 ≥ −5). Quindi il potenziale entrante non ha alcuna strategia dominante. (c) Determinare l’equilibrio di Nash nel caso in cui si giochi solo una volta. Soluzione: In questo gioco ci sono due equilibri di Nash: (Entra, Prezzo alto) e (Non Entra, Prezzo basso). Infatti, se il monopolista sceglie di adottare la strategia accomodante (prezzo alto), l’entrante sceglierà di entrare, mentre se il monopolista sceglie la strategia non accomodante l’entrante sceglierà di non entrare. Per quanto riguarda il monopolista, se l’entrante entra egli sceglierà di essere accomodante, mentre se non entra sarà indifferente tra le due strategie. Quindi gli unici due equilibri del gioco sono: (Entra, Prezzo alto) e (Non Entra, Prezzo basso). (d) Rappresentate il gioco nella sua forma estesa nell’ipotesi che la prima mossa viene intrapresa dal potenziale entrante. (e) Determinate le scelte di equilibrio, rappresentate il sentiero di equilibrio e calcolate le vincite del giocatori. Soluzione: Tra i due equilibri individuati al punto precedente, solo uno, (En- tra, Prezzo alto), è credibile: infatti una volta avvenuta l’entrata, al monopolista conviene adottare un comportamento accomodante, quindi la minaccia di fare un prezzo basso non è credibile. 6 significa ridurre l’utilità (il payoff ) di qualcuno senza aumentare l’utilità di nes- suno. In questo caso tutte l’equilibrio di Nash non è Pareto ottimale, in quanto decidendo di "non far la spia" otterrebero un payoff maggiore. Tale equilibrio non è però sostenibile in un gioche che non viene ripetuto. 2. Supponete che Antonio e Maria debbano decidere quale film vedere. Antonio sarebbe felice se potesse andare a vedere un film d’azione mentre Maria preferirebbe un film romantico. Inoltre entrambi preferirebbero andare nello stesso luogo piuttosto che in posti diversi. La matrice dei payoff è: (a) Rappresentate il gioco in forma normale. Soluzione: Antonio Maria azione romantico azione 5; 2 1; 1 romantico −1;−1 2; 5 (b) Quali sono gli equilibri di Nash del gioco? Soluzione: Gli equilibri di Nash del gioco sono (film d’azione; film d’azione) e (film romantico; film romantico). (c) Raffi nate gli equilibri nel caso in cui i giocatori non possano comunicare, attraverso l’induzione a ritroso. Soluzione: Quando i giocatori pensano in modo stategico e non vi sono strategie dominanti (verificatelo voi!), utilizziamo l’induzione a ritroso. Ci posizioniamo all’ultimo stadio del gioco e valutiamo la scelta di Maria: ella deciderà di vedere un film d’azione se pensa che Antonio sceglierà di andare a vedere un film d’azione; altrimenti sceglierà un film romantico. Al primo stadio, Antonio confronta un payoff 5 nel caso di un film d’azione col payoff 2 nel caso di un film romantico. Ne consegue che l’equilibrio sarà (film d’azione; film d’azione). Verificate voi se cambia la soluzione nel momento in cui sia Antonio a dover scegliere all’ultimo stadio. 2 3. Due importatori A e B operano in regime di duopolio e importano lo stesso prodotto, da vendere nello stesso mercato. Essi devono decidere la quantità di prodotto da importare (e quindi da immettere sul mercato), in modo da massimizzare il proprio profitto. Siano qA ed qB le quantità importate da A e B, e sia Q = qA + qB la quantità totale importata. Si supponga che il costo per importare una unità del prodotto sia 2 (migliaia di Euro). (a) Si supponga che nel mercato non vi siano normative antitrust e che le due imprese decidano di stipulare un accordo per dividersi in parti uguali il mercato (renden- dolo di fatto un regime di monopolio). Qual è la quantità che le due imprese devono importare per massimizzare il profitto? Soluzione: Se le due imprese colludono, nel mercato si produce la quantità di monopolio. Quindi la funzione di profitto del cartello diventa Max Q Π = (50−Q)Q− 2Q dove qA + qB = Q rappresenta la produzione congiunta di entrambe le imprese identiche. La condizione di primo ordine risulta essere: ∂Π ∂Q = 50− 2Q− 2 = 0 Q∗ = 24→ Q 2 = q∗A = q ∗ B = 12 p∗ = 26 In questo caso il profitto di ciascuna impresa diventa: Πi = 26 · 12− 2 · 12 = 288 i = A,B (b) Si supponga che nel mercato vi siano normative antitrust e che i due importatori competano sulla quantità (modello di duopolio di Cournot). Soluzione: Per risolvere il caso di competizione alla Cournot, costruiamo la funzione di profitto dell’impresa A Max qA ΠA = (50− qA − q2) qA − 2qA La condizione di primo ordine è ∂Π1 qA = 50− 2qA − qB − 2 = 0 qA = 24− 1 2 qB Analogamente per l’importatore B avremo qB = 24− 1 2 qA 3 Mettendo a sistema le due funzioni di reazione, avremo{ qA = 24− 12qB qB = 24− 12qA q∗A = q ∗ B = 16 Q∗ = q∗A + q ∗ B = 32 p∗ = 50− 32 = 18 Le curve di reazione sono rappresentate nel grafico qui sotto. L’intersezione fra le due curve ci dà l’equilibrio: 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 qA qB In questo caso i profitti di ogni impresa ammontano a Πi = 16 · 18− 2 · 16 = 256 (c) Quale saranno i profitti ottenuti dalle due imprese nel caso in cui l’impresa A decida di deviare dal cartello producendo la quantità del duopolio di Cournot mentre B produce ancora la quantità del cartello? Soluzione: Nel caso in cui A devi dal cartello e decida di produrre la quantità di Cournot (qA=16) mentre l’impresa B continua a produrre la quantità prevista dal cartello (qB=12), la quantità totale di bene importata risulta pari a Q=16+12=28. In corrispondenza di tale quantità p∗ = 50− 28 = 22 Per cui i profitti risultano essere pari a ΠA = 22 · 16− 2 · 16 = 320 ΠB = 22 · 12− 2 · 12 = 240 (d) Determinare la strategia ottimale che esse devono adottare per massimizzare il proprio profitto. Soluzione: Dati i risultati precedentemente ottenuti, rappresentiamo il gioco in forma normale: A B Coll non coll Coll 288; 288 240; 320 non coll 320; 240 256; 256 4 una strategia dominante. Applicando lo stesso ragionamente nel caso dell’impresa B, arriviamo alla conclusione che entrambe le imprese possiedono una strategia dominata. Eliminando tale strategia otteniamo l’unico equilibrio di Nash (non coll, non coll). (h) Si supponga, ora, che i due importatori operino in concorrenza, ma che debbano prendere la propria decisione in tempi differenti (modello di duopolio di Stack- elberg). Entrambi sanno di operare in regime di duopolio, ma l’importatore A deve decidere per primo quale quantità importare, mentre l’importatore B può prendere la sua decisione solo dopo che A ha preso (e reso pubblica) la sua. Soluzione: L’impresa A è il leader e muove per prima, scegliendo la quantità da produrre. L’impresa B risponde, scegliendo la quantità da produrre, conoscendo perfettamente la scelta quantitativa del leader:. Max qB ΠB = (50− qB − qA) qB − 2qB 50− 2qB − qA − 2 = 0 qB(qA) = 24− 1 2 qA A sua volta il leader massimizza il profitto tenendo conto del fatto che il follower sceglierà di produrre qB in base alla propria funzione di reazione ottenuta dal seguente processo di massimizzazione: Max qA ΠA = (50− qB − qA) qA − 2qA s.v. qB(qA) = 24− 1 2 qA Sostituendo il vincolo nella funzione obiettivo del leader, questa diventa: Max qA Π A = ( 50− ( 24− 1 2 qA ) − qA ) · qA − 2qA La condizione di primo ordine risulta essere: ∂ΠA ∂qA = 50− 24 + qA − 2qA − 2 = 0 q∗A = 24 Sostituendo tale quantità nella funzione di reazione del follower, otteniamo q∗B = 24− 1 2 qA = 12. La quantità totale prodotta è Q∗ = q∗A + q ∗ B = 24 + 12 = 36. Sos- tituendo la quantità totale nella funzione di domanda, otteniamo il prezzo p∗=50- 36=14. (i) (Non svolto in aula) Quale delle tre casistiche è la più conveniente e quale è la meno conveniente per il consumatore? Quale delle tre casistiche è la più conve- niente e quale è la meno conveniente per l’importatore A? Quale delle tre casistiche è la più conveniente e quale è la meno conveniente per l’importatore B? Soluzione: Per il consumatore: la situazione più conveniente é il duopolio di Stackelberg, mentre la situazione meno conveniente é il monopolio. Per l’importatore 7 A: la situazione più conveniente é, equivalentemente, il monopolio o il duopolio di Stackelberg, mentre la situazione meno conveniente é il duopolio di Cournot. Per l’importatore B: la situazione più conveniente é il monopolio, la situazione meno conveniente é il duopolio di Stackelberg. (j) Supponete che le due imprese competano sul prezzo. Quale sarà l’equilibrio? Soluzione: Si tratta di una competizione alla Bertrand in cui le imprese hanno un incentivo a praticare un prezzo inferiore a quello del rivale per potersi accapparrare tutta la clientela. La domanda per la singola impresa A è pari a: QA =  0 if pA > pB 1 2 Q if pA = pB Q if pA〈 pB Ciascuna impresa ha incentivo quindi a ridurre il prezzo al di sotto del prezzo della rivale per accrescere la domanda pere il proprio prodotto. Lo stesso ragionamento verrà applicato dall’impresa B. In equilibrio questo incentivo porta il prezzo a scendere fino a raggiungere il costo marginale: p = MC = 2 Q = 50− p = 48 QA = QB = 24 che coincide con l’equilibrio di concorrenza perfetta. Ma cosa succederebbe se i costi marginali fossero diversi? 8 Economia Politica I (Secondo Semestre) Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano 31 maggio 2012 Ripasso- Esercitazione 9 1. Un duopolista fronteggia una curva di domanda aggregata pari a Qd = 200 − 1 2 p. La tecnologia sfruttata dalle due imprese può essere riassunta nelle rispettive funzioni di costo totale: C1(q1) = 30 + 4q 2 1 C2(q2) = 40 + 2q 2 2 Supponendo che la prima impresa sia il leader di prezzo, determinare la funzione di reazione delle seconda e calcolate la configurazione di equilibrio. Soluzione: Dato che il follower prende il prezzo imposto dal leader p, come dato, il suo problema di massimizzazione del profitto equivale a quello di un’impresa concorrenziale che massimizza i profitti Max q2 π2 (q2) = p · q2 − ( 40 + 2q22 ) Dalle condizioni del primo ordine: ∂π2 ∂q2 = 0→ p = 4q2 La funzione di reazione della seconda impresa è quindi pari a q2 (p) = p 4 Dato ch la funzione di domanda aggregata è uguale a qd = 200 − 1 2 p, la domanda aggregata (residuale) che resta da soddisfare al leader sarà pari a q1 = 200− 1 2 p︸ ︷︷ ︸ Q − p 4︸︷︷︸ q2 = 200− 3 4 p Il problema di massimizzazione del profitto per il leader si presenta quindi come Max p π1 (p) = p · ( 200− 3 4 p ) − 30− 4 · ( 200− 3 4 p )2 ︸ ︷︷ ︸ 9 16 p2−300p+40 000 = 200p− 3 4 p2 − 30− 9 4 p2 + 1200p− 160 000 1 In entrambi i periodi il profitto dell’impresa è funzione degli output prodotti da entrambe le imprese. Nel periodo 2 l’equilibrio di Cournot πA (qA, qB) = P (qA + qB) qA − CTA(qA) qA = 24, 75− 0, 5qB πA (qA, qB) = P (qA + qB) qA − CTA(qA) qB = 24, 75− 0, 5qA Mettendo a sistema le due curve di reazioni si ottiene q2A = q 2 B = 16, 5, il prezzo pari a p2 =34 con profitti π2A = π 2 B=544.5 . Nel periodo t=1 l’espressione del profitto diventa: π1A = pqA − C(qA) + π2B = [100− 2 (qA + qB)] qA − qA + 544.5 mentre quella dell’impresa B sarà: π1B = pqB − C(qB) + π2B = [100− 2 (qA + qB)] qB − qB + 544.5 Le funzioni di reazione sono uguali a quelle precedenti e quindi q2A = q 2 B = 16, 5, il prezzo pari a p2 =34 con profitti π2A = π 2 B=544.5 . Ripetere due volte non cambia la soluzione! (b) Si supponga che le stesse competano alla Cournot per infiniti periodi, e che adot- tino le seguenti strategie di intervento (trigger strategies) "nel primo periodo pro- durrò metà dell’output che massimizza i profitti congiunti, e continuerò a produrlo fino a quando non osserverò che il mio rivale ha prodotto un output diverso dalla metà di quello che massimizza i profitti congiunti. In questo caso produrrò sempre l’output di equilibrio di Cournot." Determinare il profitto massimo uniperiodale derivante da una deviazione dalla strategia di intervento ed il livello del tasso di interesse r suffi ciente a sostenere un equilibrio per tale strategia. Soluzione: Il livello di output che massimizza i profitti congiunti è pari a π = p (qA + qB)− CT (qA + qB) [100− 2 (qA + qB)] (qA + qB)− (qA + qB) ∂π ∂qA = 0→ 99− 4qA − 4qB = 0 ∂π ∂qB = 0→ 99− 4qA − 4qB = 0 qA = qB = 12, 375 e PM = 50, 5 4 Il profitto sarà pari a 612,56. Pertanto se l’impresa A segue la trigger strategy la sequenza dei profitti sarà: t yA yB πA 1 12,375 12,375 612,562 2 12,375 12,375 ( 1 1 + r ) 612,562 3 12,375 12,375 ( 1 1 + r )2 612,562 4 12,375 12,375 ( 1 1 + r )3 612,562 e quindi il profitto scontato dell’impresa A sarà ΠA = ∞∑ t=1 ( 1 1 + r )t πA = 612, 562 1− 1 1+r Lo stesso profitto viene conseguito dall’impresa B. Se l’impresa devia (ad esempio B), essa dovrà risolvere il problema π = [100− 2 (12, 375 + qB)] qB − qB qDB = 18, 5625 πDB = 689, 13 a sequenza dei profitti sarà: t qA qB πA 1 12,375 18,5625 689, 13 2 16,5 16,5 ( 1 1 + r ) 544,5 3 16,5 16,5 ( 1 1 + r )2 544,5 4 16,5 16,5 ( 1 1 + r )3 544,5 Il valore attuale dei profitti è pari a ΠDB = 689, 13 + 1 1+r 1− 1 1+r 544, 5 Per determinare i valori di r, occorre pertanto risolvere la diseguaglianza: 612.562 r 1+r ≥ 689.13 + 1 r 544.5 r ≤ 0.88 Quindi per un r inferiore all’88%, il cartello è sostenibile. 5