Matematica per Progettazione Architettura - Politecnico Milano (2021/22), Esercizi di Matematica Generale

Scarica Matematica per Progettazione Architettura - Politecnico Milano (2021/22) e più Esercizi in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! Politecnico di Milano – a.a. 2021/22 Corso di Laurea in Progettazione dell’Architettura Elementi di Matematica A docente: M. Correggi esercitatore: A. Calignano Foglio di Esercizi 1 Insiemi 1.1. Dati gli insiemi A = {n = 2m,m ∈ N}, B = {n = 2k + 1, k ∈ N} e C = {n = m/2,m ∈ N}, determinare A ∪ B, A ∩ B, A ∪ C, A ∩ C, B ∪ C, B ∩ C. 1.2. Dati gli insiemi A = {n = 2k/3, k ∈ Z} e B = {n = k/5, k ∈ N}, determinare A ∪B, A ∩B e N \B. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive Stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive e/o suriettive: 2.1. (a) f(n) = n4, f : N→ N; (b) f(n) = n4, f : Z→ Z. 2.2. (a) f(x) = 2x + 1, f : N→ N; (b) f(x) = 2x + 1, f : Z→ Z. 2.3. f(z) = 6z + 1, f : Z→ {n ∈ Z, n dispari}; 2.4. f : Z→ Q, f(z) = 2z; 2.5. f : R→ R, f(x) = (x + 2)3; 2.6. (a) f(x) = sin x, f : R→ [−1, 1]; (b) f(x) = sin x, f : Q→ [−1, 1]; (c) f(x) = sin x, f : [−π 2 , π 2 ]→ [−1, 1]. 1 2.7. (a) f(x) = e|x|−1, f : [0,+∞)→ (0,+∞); (b) f(x) = e|x|−1, f : R→ [1 e ,+∞). 2.8. (a) f(x) = x + 1 x + 4 , f : R \ {−4} → R; (b) f(x) =  x + 1 x + 4 , se x 6= −4 1, se x = −4 , f : R→ R. Funzioni, equazioni e disequazioni 3.1. Soluzione di equazioni. Sia f : D(f)→ I ⊂ R una funzione di variabile reale e g : D(g)→ R un’altra funzione di variabile reale, con I ⊂ D(g). Si dimostri che se g è iniettiva allora f(x) = y ⇐⇒ g(f(x)) = g(y). 3.2. Usare la proprietà precedente per risolvere le seguenti equazioni rispetto a x ∈ R (quali sono le funzioni g da usare?): (a) (x + 3)2 = 4; (b) 4x+2 = 16. 3.3. Soluzione di disuguaglianze. Sia f : D(f)→ I ⊂ R una funzione di variabile reale e g : D(g) → R un’altra funzione di variabile reale, con I ⊂ D(g). Si dimostri che se g è strettamente crescente su tutto I allora f(x) > y ⇐⇒ g(f(x)) > g(y); f(x) < y ⇐⇒ g(f(x)) < g(y). Come cambiano le disuguaglianze se g è strettamente decrescente? e se è non decrescente o non crescente? 3.4. Usare la proprietà precedente per risolvere le seguenti equazioni rispetto a x ∈ R (quali sono le funzioni g da usare?): (a) log2(x 3 + 4) > −4; (b) x 4 3 < 16. Funzioni inverse Determinare se le seguenti funzioni sono biiettive e, in tal caso, determinarne l’inversa: 2