Esercizi statistica- descrittiva-probabilita-inferenza-regressione, Esercizi di Statistica

Scarica Esercizi statistica- descrittiva-probabilita-inferenza-regressione e più Esercizi in PDF di Statistica solo su Docsity! CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione di frequenze relative degli abbonati alla pay per view 1997-1998 per squadra di calcio: Squadra Bari Bologna Lecce Milan Piacenza Roma Sampdoria Vicenza f i 0.027 0.076 0.023 0.512 0.013 0.259 0.053 0.037 rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Milan]. Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice: Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen ni 77000 19800 14600 18700 13040 16500 rappresentarla graficamente e calcolare la moda [R: Mo = Fiat]. Esercizio 1.3 Data la seguente distribuzione dei medici a tempo definito secondo la qualifica degli Istituti generali regionali di cura pubblica 1991: Qualifica Direttori Vice-direttori Primari Aiuti Assistenti ni 7 24 1287 4067 3289 rappresentarla graficamente e calcolare la moda e la mediana [R: Mo = Aiuti,Me = Aiuti]. 1 Statistica n.o. - II canale 2 Esercizio1.4 Data la seguente distribuzione di un insieme di scuole per tipo (Compendio 1996): Tipo materna elementare media secondaria tot ni 26914 21418 9728 7887 65947 rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = materna, Me = elementare, Q1 = materna, Q3 = media]. Esercizio1.5 Data la seguente distribuzione dei suicidi per il titolo di istruzione (Compendio 1996): Tipo analfabeta elementare media superiore tot ni 195 1078 1225 428 2926 rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = media,Me = media, Q1 = elementare, Q3 = media]. Esercizio 1.6 Data la seguente distribuzione delle vendite di auto per tipo (Quattroruote, aprile 1996): X utilitaria media super lusso n(X) 79730 63970 11540 400 rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana, quartili [R: Mo = utilitaria,Me = utilitaria, Q1 = utilitaria, Q3 = media]. Esercizio 1.7 Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa a tempi tra sbuffi di Geyser: X 43-51 51-59 59-69 69-79 79-88 88-108 n(X) 10 15 10 25 30 10 e individuare classe modale, mediana e media aritmetica. [R: µ = 72.7;Me = 75] . Esercizio 1.8 Data la seguente distribuzione degli appartamenti dichiarati abitabili a Milano nel 1932 secondo l’ampiezza: n. vani 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15 n(X) 530 2861 2034 917 354 144 86 78 29 29 rappresentarla graficamente e calcolare moda, mediana e quartili [R: Mo = 2, Me = 3, Q1 = 2, Q3 = 3]. Statistica n.o. - II canale 5 Esercizio 1.15 In una classe di 24 studenti i voti riportati all’esame di maturità sono stati i seguenti: 37 42 37 38 50 52 58 40 46 50 52 48 60 48 37 40 46 50 60 46 38 40 42 48 a) calcolare la media aritmetica; b) costruire la corrispondente distribuzione di frequenza (modalità per modalità), e su di essa calcolare la media aritmetica; e’ diversa da quella del punto a)? perche’? c) dopo aver effettuato una suddivisione in classi di ampiezza 4, calcolare nuovamente la media aritmetica ipotizzando l’uniforme distribuzione del carattere nelle classi; e’ diversa da quella del punto b)? perche’? Esercizio 1.16 Lungo una strada statale vi sono 7 distributori di benzina: due al km 8, tre al km 40, uno al km 61 e uno al km 106. I distributori hanno uguale capienza, vengono riforniti uno alla volta e richiedono rifornimenti con uguale frequenza. A quale km della strada si dovrà costruire un deposito di benzina da cui partano le autobotti con i rifornimenti per i distributori se si vogliono minimizzare i costi di trasporto, supposti proporzionali alle distanze? Perchè? [R: Me = km 40] Esercizio 1.17 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative di un collettivo rispetto al carattere X: X 0-2 2-4 4-6 6-10 10-20 20-30 30-50 F(X) 0 0.08 0.32 0.64 0.86 0.96 1 a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) individuare la classe modale; c) calcolare mediana e media aritmetica; d) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X; e) calcolare la proporzione di unità che presentano un livello di X≤12. [R: b) classe modale: (4-6); c) µ = 11.4, Me = 8.25; d) µz = −33.2, σ2z = 659.16; e) F (12) = 0.684] Esercizio 1.18 Una sessione è costituita da tre appelli di esame, a cui si presentano, rispettiva- mente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengono promossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamento quadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari a 27.2. Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l’intera sessione il voto medio risulta pari a 27. a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello. b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al secondo appello. [R: µ3 = 27.56; σ2 = 6.36] Statistica n.o. - II canale 6 Esercizio 1.19 In una popolazione di 1000 alberghi a tre stelle in località di montagna, mare e città, si è rilevato il prezzo medio (in migliaia di lire) di una stanza doppia per una notte (per il mese di settembre). I prezzi medi e gli scostamenti quadratici medi di ciasun gruppo e dell’intera popolazione sono stati i seguenti: Ubicazione n. alberghi prezzo medio sqm Montagna 170 125 12.2 Mare 300 131 10 Città 530 148 tot 1000 139 16 ricavare lo scostamento quadratico medio del prezzo degli alberghi in città. [R: σcittà = 14.09] Esercizio 1.20 Al censimento del 1981 le famiglie italiane secondo il numero di componenti (X) sono risultate cos̀ı distribuite: X 1 2 3 4 5 6 7 8 e più n(X) 3323 4402 4117 4008 1773 629 224 154 a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione. b) Calcolare moda, mediana e media aritmetica. c) Calcolare i quartili e il decimo e il trentesimo percentile. [R: b) Mo = 2, Me = 3, µ = 2.985; c) Q1 = 2, Q3 = 4, P10 = 1, P30 = 2] Esercizio 1.21 Data la seguente tabella: X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-30 n(X) 15 13 15 12 15 10 15 a) Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza. b) Calcolare: la mediana, il primo e il terzo quartile. [R: Me = 3.67; Q1 = 1.64; Q3 = 10.5; ] Esercizio 1.22 Sia data la seguente distribuzione dei redditi: Classi di reddito (milioni) Frequenze relative fino a 10 0.195 10-20 0.419 20-30 0.221 30-40 0.095 40-50 0.041 oltre 50 0.029 Totale 1.000 Calcolare media, s.q.m., un indice di asimmetria e la proporzione di unità con reddito compreso nell’intervallo (µ− σ, µ+ σ). Commentare i risultati. [R: µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41; F (µ+ σ)− F (µ− σ) = 0.725] Statistica n.o. - II canale 7 Esercizio 1.23 Data la seguente distribuzione di frequenza: X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-20 20-30 30-40 40-50 50-100 ni 15 13 12 11 10 10 8 6 6 5 4 a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione; b) calcolare la mediana e la media aritmetica; c) calcolare lo scostamento quadratico medio; d) calcolare un indice di asimmetria. [R: b) Me = 4.8, µ = 13.26; c) σ = 17.61; d) γ = 2.006] Esercizio 1.24 In una cittadina degli Stati Uniti è stata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fra l’1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza: X 0-50 50-75 75-100 100-150 150-200 200-250 n(X) 35 29 25 28 11 8 a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative. b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilità ed uno di asimmetria. c) Calcolare la proporzione di giorni con concentrazione media compresa nell’intervallo (µ− σ, µ+ σ) . [R: b) µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78; c) F (µ+ σ)− F (µ− σ) = 0.672; Esercizio 1.25 In un campione di 100 aziende della provincia di Milano è stata rilevata la superficie, ottenendo i seguenti risultati: Classe di superficie Numero di aziende 0-10 33 10-50 43 50-100 12 100-500 10 500-1000 2 a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene più opportuno. b) Si determini la classe modale. c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria. d) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie ≤50. e) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie ≤40. f) Si calcoli la proporzione di aziende con superficie >60 [R: b) classe modale: (0-10); c) Me=25.814; d) F (50) = 0.76; e) F (40) = 0.65; f) 1− F (60) = 0.22] Statistica n.o. - II canale 10 Esercizio 2.7 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Aziende di credito Amministrazioni postali Totale 460 000 78 000 I due tipi di deposito sono cos̀ı distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro- Nord e Mezzogiorno: Aziende di credito Amministrazioni postali Centro-Nord 79.9% 65.9% Mezzogiorno 20.1% 34.1% Totale 100% 100% a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R: χ2 = 7585.39] Esercizio 2.8 Data la seguente tabella a doppia entrata: Y X 2 4 6 tot 1 40 2 10 3 50 tot 10 60 30 100 completarla nell’ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi la media aritmetica e la mediana di Y. [R: µy = 4.4; Mey = 4] Esercizio 2.9 Data la seguente tabella: Y X 1 6 tot 1 70 3 50 7 30 tot 100 50 150 a) riempirla in modo che risulti χ2rel=1; b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ2? [R: χ2 = 150] Statistica n.o. - II canale 11 Esercizio 2.10 Data la seguente tabella a doppia entrata: Y X 1 3 tot 1 90 3 50 7 60 tot 150 50 200 a) riempirla in modo che risulti χ2rel = 1; b) calcolare poi χ2. [R: χ2 = 200] Esercizio 2.11 Per saggiare il giudizio sulla corrispondenza fra documentazione statistica e realtà dei medici, è stato chiesto a un campione di essi se le statistiche ufficiali italiane sulle malattie infettive rappresentino la situazione reale: Giudizio Ruolo Tutte Solo alcune Nessuna Tot Medico condotto 14 33 8 55 Mutualistico 35 88 22 145 Ospedaliero 33 89 30 152 Altri 5 14 3 22 Tot 87 224 63 374 Valutare se vi è dipendenza tra giudizio e ruolo dei medici. [R: χ2 = 1.74] Esercizio 2.12 In 115 supermercati sono stati rilevati il prezzo di vendita (X) ed il numero delle confezioni vendute (Y) di un certo tipo di prodotto ottenendo la seguente distribuzione doppia: Y X 50-100 101-170 171-190 Tot 0.60-0.70 5 13 21 39 0.70-0.80 8 40 2 50 0.80-0.90 20 6 0 26 Tot 33 59 23 115 a) Valutare se vi è dipendenza assoluta e dipendenza lineare tra prezzo di vendita e numero di confezioni vendute. Commentare i risultati. b) Quanti supermercati hanno venduto almeno 170 confezioni ad un prezzo non superiore a 0.80? Statistica n.o. - II canale 12 Esercizio 2.13 Per la seguente tabella: Y X Y1 Y2 Y3 Y4 5 5 0 20 0 16 0 12 0 10 senza svolgere i calcoli, determinare χ2 e χ2rel. [R: χ 2 = 47;χ2rel = 1] Esercizio 2.14 Data la seguente distribuzione doppia: X Y 1 2 3 4 -1 0 9 9 0 0 5 0 0 5 1 4 0 0 4 commentare i valori che si ottengono per il χ2 e per rxy.[R: χ2rel = 0.5; rxy = 0] Esercizio 2.15 Valutare se vi è dipendenza tra la regione di provenienza e la facoltà di iscrizione per un campione di studenti iscritti al I anno dell’Università di Bologna nel 1974: Provenienza Facoltà Sud-Isole Centro Nord Tot A 10 41 29 80 B 34 148 185 367 C 86 122 170 378 D 21 35 38 94 Tot 151 346 422 919 [R: χ2 = 31.294] Statistica n.o. - II canale 15 Esercizio 3.16 La probabilità che durante la produzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino X pezzi difettosi è data da: P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X ≥ 5)=0. a) Determinare il valore della costante K. b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X. c) Calcolare la probabilità che il numero di pezzi difettosi in un giorno sia tra 1 e 3. [R: K=1/9; E(X)=2.11; var(X)=1.88; P(1 ≤ X ≤ 3) = 0.67] Esercizio 3.17 Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione: F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1. a) Calcolarne il valore atteso e la varianza. b) Calcolare la probabilità che X assuma un valore maggiore di 3. [R: E(X)=3.2; var(X)=2.16; P(X>3)=0.6] Esercizio 3.18 Un’urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall’urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale “numero di palline bianche su due estratte”. a) Calcolare E(X) e var(X). b) Calcolare la probabilità che X assuma un valore maggiore o uguale a 1. [R: E(X)=1; var(X)=0.44; P(X ≥ 1)=0.78] Esercizio 3.19 Sia X il tempo in minuti che occorre al sig. Rossi per arrivare in ufficio la mattina con la sua macchina. Supponendo che X abbia distribuzione uniforme nell’intervallo (25,40), e che il sig. Rossi esce di casa ogni giorno alle 7.25, quale e’ la probabilita’ che arrivi in ritardo se deve timbrare il cartellino entro le 8.00? [R: 1/3] Esercizio 3.20 In un grande magazzino, aperto 6 giorni su 7, risulta, dalla passata espe- rienza, che la vendita settimanale di confezioni di un certo prodotto si distribuisce come una variabile casuale di Poisson. E’ inoltre noto che il numero medio di confezioni vendute giornal- mente e’ pari a 0.25. Si vuole determinare di quante confezioni deve essere costituito lo stock di magazzino perche’ si abbia una probabilita’ almeno pari a 0.95 di soddisfare la domanda di una settimana. [R: 4 confezioni] Esercizio 3.21 L’altezza di 450 studenti immatricolati all’Università di Roma Tre nel 1998 è risultata in media di 170 cm., con uno s.q.m. di 7.5 cm. Nell’ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, quale è il numero atteso di studenti con altezza a) maggiore di 180 cm.; b) minore o uguale a 160 cm.; c) tra 162.5 e 172.5. [R: n(X>180)'41; n(X≤160)'41; n(162.5<X<172.5)'212] Esercizio 3.22 Sia X una v.c. N (5, 9). Trovare, facendo uso delle tavole: a) P (6.41 < X < 7.82); b) la probabilità che la v.c. X assuma un valore compreso fra -1 e 11; c) il valore di X corrispondente al 30o percentile. [R: P (6.41 < X < 7.82) = 0.1456; P (−1 < X < 11) = 0.9544; X30 = 3.41] Statistica n.o. - II canale 16 Esercizio 3.23 Un’urna contiene una pallina nera e nove bianche; vengono estratte 10 palline con ripetizione. Si calcoli la probabilità di estrarre due palline nere facendo uso: a) della v.c. binomiale; b) dell’approssimazione con la v.c. di Poisson. Confrontare i risultati.[R: P(N=2)=0.194; P(N=2)=0.184] Esercizio 3.24 E’ noto che il 35% dei dipendenti di una multinazionale è single. Con- siderando un campione casuale di 10 dipendenti: a) determinare la probabilità che almeno due dipendenti siano single; b) determinare la probabilità che il numero di single sia compreso tra 2 e 4; c) preso un campione dieci volte più grande, calcolare la probabilità che al più 35 dipendenti siano single. [R: P(X≥2)=0.915; P(2≤X≤4)=0.666; P(X≤35)=0.5] Esercizio 3.25 Si supponga che il numero di orologi a pendolo venduti quotidianamente da un antiquario sia una variabile casuale di Poisson di parametro λ = 0.1. Si calcoli la probabilità: a) che siano state effettuate 4 vendite in un periodo di 3 giorni consecutivi; b) che trascorrano 3 giorni consecutivi senza che si abbiano vendite. [R: P(X=4)=0.00025; P(X=0)=0.74] Esercizio 3.26 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una normale con µ = 1600 e σ2 = 3600. Essa risarcisce un milione di lire all’acquirente se la durata della macchina acquistata è inferiore a 1450. Calcolare la probabilità che: a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire; b) su 100 macchine la ditta debba risarcire più di un milione. [R: P(N≤1)=0.9996; P(N>1)=0.1219] Esercizio 3.27 Il numero di viaggi venduti in una settimana da ciascun agente dell’agenzia Kalimera, specializzata in viaggi verso la Grecia, si distribuisce come una Poisson con valore atteso λ=3. Il titolare dell’agenzia decide di dare un premio ai dipendenti che in una settimana vendono almeno 4 viaggi. a) Quale è la probabilità che un dipendente vinca il premio? b) Supposto che non esista nessuna relazione tra il numero di viaggi venduti dai diversi dipendenti dell’agenzia, calcolare la probabilità che non più di 3 dei 10 operatori complessivi ricevano il premio. c) Calcolare quanti viaggi vengono venduti mediamente in un mese. [R: P(X≥4)=0.35; P(N≤3)=0.513; E(Y)=130] Esercizio 3.28 Il diametro interno delle guarnizioni prodotte dalla ditta Fido è di 0.502 cm e la deviazione standard è di 0.005 cm. Gli scopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza massima del diametro fra 0.496 e 0.508 cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sono considerate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri Normale: a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina; b) determinare quale è la probabilità di trovarne almeno 2 difettose in un campione casuale di 10 guarnizioni; c) determinare quale è la probabilità di trovarne più di 22 difettose in un campione casuale di 100 guarnizioni. [R: P(D)=0.23; P(N≥2)=0.71; P(N>22)=0.5948] Statistica n.o. - II canale 17 Esercizio 3.29 Una coppia di dadi è lanciata 100 volte. Utilizzando l’approssimazione della Binomiale con la Normale, calcolare la probabilità di ottenere non più di 15 volte un numero pari come somma dei risultati dei due lanci. [R: P(N≤15)'0]. Statistica n.o. - II canale 20 Esercizio 4.12 Sia X il ritardo con cui il treno Romolo arriva alla stazione di Roma Termini. Durante 5 controlli effettuati a caso in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19. Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una v. c. Normale: a) verificare l’ipotesi che il ritardo medio sia uguale a 15 minuti, contro l’alternativa unidi- rezionale piu’ opportuna, usando α=0.05; b) calcolare il livello di significativita’ osservato; c) calcolare l’intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio. [R: non rifiuto H0; 0.05 < p < 0.10; (12.02; 35.18)] Esercizio 4.13 Supponendo di voler verificare al livello α=0.10 l’ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell’esame di Statistica sia pari a 27 contro l’ipotesi alternativa che sia pari a 25.5, quale dovrà essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test risulti almeno pari a 0.95? Ai fini della soluzione si assume che il voto all’esame di Statistica abbia una distribuzione Normale con varianza pari a 9. [R: n ≥ 35] Esercizio 4.14 Una società telefonica dichiara che nel 1990 l’importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati privati ebbe una distribuzione con media 95 000 Lire e s.q.m. di 70 000 Lire. a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990, quale è approssimativamente la probabilità che la media campionaria degli importi sia maggiore di 100 000? b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilità di cui al punto a) sarebbe maggiore o minore? Perchè? c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza 100 ed osserva una media campionaria degli importi pari a 105 000. Si può concludere che l’importo medio bimensile pagato nel 1990 sia stato uguale a 95 000? Usare un livello di significatività del 5%. d) Calcolare il livello di significativita’ osservato. [R: P(X>100000)' 0.3085; la probabilità al punto a) sarebbe minore; non rifiuto l’ipotesi nulla; p = 0.0764] Esercizio 4.15 Per una popolazione Normale(µ,1), si vuole sottoporre a test l’ipotesi H0: µ=0 contro l’ipotesi alternativa H1: µ<0 attraverso un campione casuale di 50 osservazioni. a) Individuare la regione critica del test per α=0.025. b) Calcolare la potenza del test per µ=-0.5. [R: R(α)= { X : X < −0.28 } ; 1− β = 0.9406] Esercizio 4.16 I pesi degli alunni di una scuola si distribuiscono normalmente con varianza pari a 36 (Kg2). a) Per α=0.07 e n=14, determinare la regione critica del test: H0: µ=50; H1: µ 6=50. b) Sia X=46. A favore di quale ipotesi si conclude? c) Calcolare il livello di significativita’ osservato. d) Calcolare la potenza del test per µ=45. [R: { X : ( X > 52.90 ) ∪ ( X < 47.1 )} ; H1; p = 0.0128; 1− β = 0.9049] Statistica n.o. - II canale 21 Esercizio 4.17 Per una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole fare un test d’ipotesi per verificare: H0 : µ = 12.7 H1 : µ = 12 Si decide di procedere nel seguente modo: si estrae un campione casuale di numerosità n=16 e se ne calcola la media campionaria. Se la media campionaria risulta minore di 12.2 si rifiuta l’ipotesi H0. a) Calcolare α. b) Calcolare β. c) Supponendo di volere 1 − β ≥ 0.9, quale dovrà essere la numerosità campionaria? [R: α = 0.0228; β = 0.2119; n ≥ 42] Esercizio 4.18 Per una popolazione Normale di varianza 2 si vuole fare un test d’ipotesi per verificare: H0 : µ = 8 H1 : µ = 8.5 a) Posto α=0.07, sulla base di una numerosità campionaria n=25, trovare la regione critica. b) Supponendo di aver osservato una media campionaria pari a 8.2, cosa si conclude? c) Calcolare la potenza del test. d) Trovare la numerosità campionaria tale che la potenza risulti almeno pari a 0.98. [R: R: { X : X > 8.419 } ; non rifiuto H0; 1− β = 0.6141; n ≥ 1306]. Esercizio 4.19 Data una popolazione Normale di varianza unitaria, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0: µ=10 contro H1: µ 6=10, attraverso un campione casuale di n = 4 unità. Si adotta la seguente regola di decisione: A : si accetta H0 se 8 ≤ X ≤ 11. a) calcolare α. b) Calcolare la potenza del test per µ=11. [R: α = 0.0228; 1− β = 0.5] Esercizio 4.20 In un campione di 1000 famiglie con 5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi è la seguente: n. maschi 0 1 2 3 4 5 tot n. famiglie 30 150 370 250 170 30 1000 a) Sul totale dei figli, quale è la percentuale di femmine? b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0: p=0.5 contro l’alternativa H1: p6=0.5, con α=0.05. Individuare la regione di accettazione (A) del test, e indicare se si rifiuta o meno l’ipotesi H0. c) Calcolare il livello di significativita’ osservato. [R: p̂ = 0.506; A={p̂ : 0.486 < p̂ < 0.514} ; non si rifiuta H0; p = 0.3954] Statistica n.o. - II canale 22 Esercizio 4.21 La società Broglio decide di lanciare sul mercato un nuovo tipo di detersivo. A questo scopo ne viene inviato gratuitamente un flacone a 150 persone chiedendo loro di dichiarare se sono favorevoli all’acquisto. Di queste, solo 30 si dichiarano favorevoli. a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1− α = 0.7 per la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto; b) verificare al livello α = 0.05 l’ipotesi nulla che la proporzione di soggetti che acquisteranno il prodotto sia uguale al 30%. c) calcolare il livello di significativita’ osservato. [R: (0.166; 0.234) ; p = 0.0035] Esercizio 4.22 La seguente tabella riporta i furti commessi scoperti in un grande magazzino in un anno, a seconda del settore merceologico e dell’età del colpevole. Settore Età 10-18 18-20 20-60 Abbigliamento 312 913 3367 Bigiotteria 710 377 208 Profumi 248 211 341 Sia p la probabilità che se un furto viene compiuto nel settore abbigliamento, l’età del colpevole sia 10-18. Costruire un intervallo di confidenza per p al 95%.[R: (0.0606; 0.0752) ; ] Esercizio 4.23 In un campione di 100 studenti maschi si sono rilevati i seguenti pesi: Peso (Kg) N. di studenti 60-63 5 63-66 18 66-69 42 69-72 27 72-75 8 Sottoporre a test l’ipotesi che i dati provengano da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla] Esercizio 4.24 La distribuzione dei pesi (X) dei portieri che hanno giocato nel campionato di calcio di serie A e B del 1998-99 è risultata la seguente: X n(X) <68.5 4 68.5-71.5 12 71.5-74.5 20 74.5-77.5 17 77.5-80.5 19 80.5-83.5 10 >83.5 3 Si sottoponga a test l’ipotesi che i dati provengono da una distribuzione Normale. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla] Statistica n.o. - II canale 25 Esercizio 5.5 Per una distribuzione doppia si è stimata la retta di regressione X̂i=10-2Yi. Individuare quale, fra le seguenti, è la possibile equazione della retta di regressione di Y su X e motivare la scelta: a) Ŷi= 4+0.4Xi b) Ŷi= -7-0.8Xi c) Ŷi= -3-0.4Xi d) Ŷi= 0.8+0.5Xi. Esercizio 5.6 Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = reddito mensile (in euro) e X = spesa mensile per alimenti (in euro) Y X <800 800-1200 1200-2000 2000-4000 0-100 25 35 10 0 100-300 5 15 20 15 300-500 0 10 30 25 a) stimare i parametri della retta di regressione che esprime la spesa in funzione del reddito, e valutarne la bontà di adattamento; b) valutare se la relazione tra X e Y è meglio rappresentata dalla retta calcolata al punto a) o dalla retta di regressione di X su log(Y ). [R: a) γ=63.4, δ=0.10, R2=0.37; b) anche in questo caso R2=0.37] Esercizio 5.7 Si siano osservate le seguenti coppie di valori per le variabili X e Y: X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 4 5 7 8 9 stimare i parametri della retta di regressione di Y su X. [R: α̂ = 0.548, β̂ = 0.636] Esercizio 5.8 Data la seguente distribuzione di un insieme di viaggiatori secondo i caratteri Y = spesa per vacanze estive 2007 (in migliaia di euro) e X = età Y X 0-0.5 0.5-1 1-2 2 e + tot 0-18 10 18-25 30 25-40 20 40-60 40 tot 30 10 20 40 100 a) riempire la tabella sotto l’ipotesi di massima dipendenza tra X e Y; b) valutare se la relazione tra spesa ed età è meglio rappresentata dalla retta di regressione di Y su X o dalla retta di regressione di Y su √ X e stimarne i parametri. [R: si adatta meglio la retta di Y su X con R2 = 0.88; α̂ = −1.06; β̂ = 0.08] Statistica n.o. - II canale 26 Esercizio 5.9 Su un collettivo di lavoratori sono stati rilevati i caratteri Y = reddito annuo da lavoro dipendente (in migliaia di euro) e X = reddito annuo da fabbricati (in migliaia di euro) Y X 0-20 20-50 50-100 100 e + 0-20 27 2 1 0 20-50 12 19 8 1 50-100 1 3 11 5 100 e + 0 0 5 5 a) stimare i parametri della retta di regressione di Y su X e valutarne la bontà di adattamento; b) sulla base della retta individuata al punto a), prevedere il reddito annuo da lavoro dipendente per un individuo il cui reddito da fabbricati è 200 mila euro. [R: α̂ = 11.46, β̂ = 0.77, R2 = 0.51, Ŷ (200) = 165.46 Esercizio 5.10 Per le seguenti 5 coppie di osservazioni: X 1 2 3 4 5 Y 1 5 8 15 28 a) stimare i parametri della retta di regressione di Y su X2; b) valutare la bontà di adattamento di tale funzione. [R: α̂ = −0.546, β̂ = 1.086;R2 = 0.98] Esercizio 5.11 Date le seguenti coppie di osservazioni: X 1 2.5 3 3.5 5 Y 3 19 29 41 87 stimare i parametri della retta di regressione di Y su X2. [R: α̂ = −2.078, β̂ = 3.54] Esercizio 5.12 Per un campione di 8 famiglie con i seguenti redditi Y (in euro): 3.000; 3.250; 3.500; 3.750; 4.000; 4.250; 4.500; 4.750 si sono riscontrate, rispettivamente, le seguenti spese per il vestiario X (in euro): 285; 320; 350; 380; 415; 450; 455; 485 a) si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario (X) in funzione del reddito (Y), e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) senza rifare tutti i calcoli, si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per vestiario in lire in funzione del reddito in lire. [R: a) R2 = 0.986, γ̂ = −53.125, δ̂ = 0.115; b) γ̂ = −102864.344, δ̂ = 0.115] Statistica n.o. - II canale 27 Esercizio 5.13 Al fine di stabilire se esiste una relazione statistica tra l’altezza degli alberi di ciliegie (X) ed il diametro medio delle ciliegie prodotte (Y), si considerino le osservazioni della seguente tabella: Diametro (cm.) 3.4 4.3 3.0 3.2 2.1 Altezza (m.) 5.5 6.0 5.6 5.1 4.5 a) Si stimino i parametri della retta di regressione di Y su X. b) Si calcoli l’indice di bontà di adattamento R2. c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegie prodotte da un albero di altezza 3.5. d) Si costruisca l’intervallo di confidenza per β con livello di confidenza del 95% e si verifichi l’ipotesi H0:β=0 contro l’alternativa H1:β 6=0 (con un livello di significatività del 5%). e) Si esprima l’altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondente variabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione di regressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di Y su W. [R: Ŷ = 1.26x− 3.53, R2 = 0.82; Ŷ (3.5) = 0.88; (0.18; 2.34) , si rifiuta l’ipotesi nulla di indipen- denza lineare; Ŷ = 0.0126w − 3.53] Esercizio 5.14 In un campione di 12 famiglie si sono rilevati i pesi del padre (X) e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati: X 75 73 77 74 78 72 80 76 78 77 79 81 Y 78 76 78 75 79 76 78 75 81 77 78 80 a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l’R2. b) Nell’ipotesi di normalità della componente accidentale, sottoporre a test le due ipotesi α=0 e β=1 e commentare i risultati. [R: Ŷ = 38.48 + 0.51x, R2 = 0.46; si rifiuta l’ipotesi nulla di assenza di intercetta, si rifiuta l’ipotesi nulla di coefficiente di regressione unitario] Esercizio 5.15 In un campione di 15 famiglie si è rilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari: Reddito 25 40 20 32 60 18 24 42 45 36 15 21 34 25 58 Spesa 8.0 11.4 6.5 9.6 16.2 6.0 7.5 12.0 15.0 12.2 6.0 7.5 10.0 8.0 14.1 a) Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti in funzione del reddito netto annuo e si determini la bontà di adattamento della relazione stimata; b) si verifichi l’ipotesi di indipendenza lineare fra le due variabili ad un livello di significatività del 5%; c) si verifichi inoltre, per la retta stimata, l’ipotesi di passaggio per l’origine. [R: Ŷ = 2.41 + 0.23x, R2 = 0.93; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare; si rifiuta l’ipotesi di passaggio per l’origine Esercizio 5.16 In una indagine campionaria si sono rilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10 aziende cerealicole: (3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32) (2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31) Si verifichi al livello di significatività del 5% l’ipotesi di indipendenza lineare del rendimento dalla dimenzione aziendale contro l’ipotesi alternativa più opportuna. [R: α̂ = 25.64, β̂ = 1.04; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare]