Scarica Esponenziali e logaritmi e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity! Prof.ssa Esposito Abate Filomena Ig. effeprofpercaso Una funzione esponenziale è una funzione che si presenta nella forma y=a dove a è un numero reale diverso da 1,mentre, l’esponente contiene l’incognita x Analogie: • Entrambe le funzioni sono strettamente positive poiché occupano solo la parte sopra dell’asse x • Entrambe le funzioni passano nel punto (0,1) perché qualsiasi numero, tranne lo zero, elevato a zero ci darà 1 Differenze: • Nel primo grafico la funzione è strettamente decrescente, mentre, nel secondo è strettamente crescente a è definita base della funzione esponenziale. Si esclude a=1 perché avremo y=1=1 È bene ricordare le proprietà delle potenze per risolvere gli esponenziali. X y = 5 x -3 x M I y= 1 x 0 (a < 1 0>1 X & 3 = (5) = ⑧ y = 3 n non - a * a =a + 3 am = am M ax :a =a - y a = E (ax) = a3 Logaritmi Ipotizziamo di calcolare a=b con a e b noti, come calcoliamo la x? Attraverso la funzione logaritmica. x=log b x a argomento base Il log b è l’esponente che bisogna dare alla base a per ottenere l’argomento b. Il logaritmo è definito solo se l’argomento è positivo, mentre, la base deve essere positiva e diversa da 1. Esempi: a log 49 il logaritmo è l’esponente che devo dare alla base per ottenere l’argomento. A cosa devo elevare la base (7) per ottenere l’argomento ? (49) 7 Grafico della funzione logaritmica y=log x con a>1a y=log x con 0<a<1a Analogie: • In entrambi i casi si tratta di una funzione definita solo per x>0 (grafico a dx dell’asse y) siccome x è l’argomento del logaritmo che per definizione deve essere positivo • In entrambi i casi il grafico passa per il punto A(1,0) poiché 0 è l’esponente che devo dare alla base per ottenere 1, log 1=0 Differenze: Per a>1 la funzione è strettamente crescente, mentre per 0<a<1 la funzione è strettamente decrescente a 7 49 quind log , 49= 2 : log , log, -1 poiché 2 = 1 2 A21; 0) · (1:0) ⑳ Proprietà dei logaritmi • log (x) + log (y)= log (xy)a a a • log (x) - log (y)= log (x/y)a a a a • log (x)=ylog (x)a y NB. Tutte le proprietà possono essere applicate solo se a>0 e a≠1 e che tutti gli argomenti dei log siano maggiori di 1. Formula di cambio di base Equazioni logaritmiche Cosa si usa per risolverle? Proprietà dei logaritmi Formula del cambiamento di base Cambio di variabile Obiettivo Arrivare dopo qualche passaggio ad avere log f(x) = log g(x) f(x)=g(x) a a log f(x) = c f(x) = aa c Inoltre, bisogna imporre sempre che i log esistono, cioè porre l’argomento >0 Siamo nel primo caso Ok per CE Escluso per le CE log ,5 +log= log,(5.4) = logger log ,10-log, 3= loge se log , 5 = 310g! D= log , b 3= log,loga Trasformiamo log , in base 10 log , a as ~B ~loge log c . = {E353 log x-1 x-3 -logs x- 1 x-38 x23x-x+3=8x 2 - ax - 5= 0 ↓= 16+ 20 = 36x1 , z = 46 % 1x = -1x = 5 Siamo nel secondo caso Ok per CE Disequazioni logaritmiche Se 0<base<1 bisogna cambiare il verso della disequazione. Se la base>1 il verso non cambia. Poiché 0<base<1 Per ottenere la soluzione finale, bisogna mettere a sistema la condizione di esistenza con la soluzione ottenuta Soluzione CE c . E x+ 2x30x(x +20x-2ux)0 -3 x + 2x = 3 x 2 + 2x - 3 = 0 = 4 + 12 = 16x1 , 2 = -24 2 1 x1 = - 3 ; x2 = 1 C . E 1 - 2x30 -2x)-1 x2112 log, -2x I 1- 2x31 - 2x1 1 -x) - 253 3 base E x 3 113 112 x x < 113
