Esponenziali e logaritmi, Dispense di Analisi Matematica I

Scarica Esponenziali e logaritmi e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Prima di parlare di equazioni o disequazioni esponenziali o logaritmiche, dobbi- amo parlare di funzione esponenziale e di funzione logaritmica. Si parte col definire la funzione f(x) = ax, a ∈ R. Per essa si fornisce una definizione dando senso all’espressione all’operazione di elevare un numero reale a un numero reale. Tale definizione prevede l’applicazione dell’assioma di completezza. Diamo per nota tale definizione e osserviamo che essa ha senso sole se a > 0. Osserviamo che, per ogni a > 0, i grafici di queste funzioni passano per il punto (0, 1). Inoltre se a > 1: • il dominio di f è R e il codominio è {x ∈ R : x > 0}, • f è invertibile, • f è monotona strettamente crescente. Se 0 < a < 1: • il dominio di f è R e il codominio è {x ∈ R : x > 0}, • f è invertibile, • f è monotona strettamente decrescente. Se a = 1 abbiamo la funzione costante f(x) = 1. Presentiamone ora i grafici: In entrambi casi abbiamo funzioni invertibili che hanno per dominio {x ∈ R : x > 0} e per codominio R. Nel caso a > 1 avremo una funzione monotona strettamente crescente e nel caso 0 < a < 1 avremo una funzione monotona strettamente decres- cente. La funzione inversa viene indicata con il simbolo f−1(x) = loga x e si legge, logaritmo in base a di x. 1 2 Possiamo allora affermare che la funzione logaritmo con base a > 1 ha le seguenti proprietá: • il dominio è {x ∈ R : x > 0} e il codominio è R, • è invertibile, • è monotona strettamente crescente, mentre la funzione logaritmo con base 0 < a < 1 ha le seguenti proprietá: • il dominio è {x ∈ R : x > 0} e il codominio è R, • è invertibile, • è monotona strettamente decrescente. Infine per la definizione di funzione inversa possiamo affermare che loga a x = x,∀x ∈ R e analogamente aloga x = x, ∀x > 0. Le suddette identitá sono quelle che ci permettono di risolvere equazione e dis- equazioni esponenziali e logaritmiche che sono quelle in cui l’incognita compare rispettivamente come esponente e come argomento di logaritmo. É possibile provare che l’esponenziale soddisfa tutte le proprietá delle potenze (a > 0 ): • ax+y = ax · ay • ax−y = ax ay • (ax)y = axy. Mentre le proprietá del logaritmo sono (x, y > 0, a, b > 0, a, b 6= 1 ): • loga(xy) = loga x + loga y • loga x y = loga x− loga y • loga x y = y loga x • loga x = logb x logb a (cambiamento di base)