Esponenziali e logaritmi, Appunti di Matematica Generale

Scarica Esponenziali e logaritmi e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! 6 Esponenziali e logaritmi 6.1 Richiami sulle potenze Se a è un numero reale qualunque e m è un naturale maggiore o uguale a 2, si definisce potenza di base a ed esponente m il numero (6.1) am = a · a · · · a︸ ︷︷ ︸ m-volte Se m = 1 e a è ancora un numero reale qualunque, si pone, per definizione, (6.2) a1 = a . Si noti che a1 non è un prodotto, in quanto per eseguire un prodotto occorrono due fattori. Se poi a è un numero reale diverso da zero, si pone, sempre per definizione, (6.3) a0 = 1 . Si noti che non abbiamo definito il simbolo 00, che non ha, dunque, alcun significato. Con queste definizioni si completa il concetto di potenza di base reale ed esponente naturale. La definizione si estende poi fino a consentire anche esponenti interi negativi, ma con base sempre diversa da zero, ponendo (6.4) a−m = 1 am , a 6= 0. È opportuno segnalare esplicitamente, anche se è già indicato nella formula (6.4), che il simbolo 0num.negativo non è definito. È poi possibile ampliare ulteriormente la definizione fino a comprendere esponenti reali qua- lunque, ma con l’importantissima limitazione che la base debba essere positiva, o al massimo zero se l’esponente è non negativo. Per gli esponenti frazionari, cioè del tipo m/n, con n naturale > 1, la definizione di potenza è abbastanza semplice: si pone infatti, per definizione, (6.5) a m n = n √ am , a > 0 ; 0 m n = 0, m n > 0 . L’estensione al caso di esponenti reali qualunque (per esempio a √ 2) è decisamente più com- plessa, e una sua definizione rigorosa esula dagli scopi di questo corso. Ci accontenteremo di valutare il metodo su un esempio significativo. Supponiamo di voler definire a √ 2. Si considerano le successive approssimazioni decimali di √ 2 con un numero sempre maggiore di cifre decimali: 1.4 = 14 10 , 1.41 = 141 100 , 1.414 = 1414 1000 , 1.4142 = 14142 10000 , . . . Noi sappiamo già calcolare a elevato a ciascuno degli esponenti che approssimano √ 2 (perché si tratta di esponenti frazionari); ebbene, a √ 2 sarà il valore limite a cui tende questa successione di numeri, quando l’esponente tende ad essere √ 2. 51 6 Esponenziali e logaritmi Appunti del corso di Mat. Generale Al di là comunque della definizione, ciò che conta è che valgono le seguenti proprietà delle potenze (valide qualunque sia il tipo di esponente, e con la limitazione che la base deve essere positiva quando qualche esponente non è intero, e naturalmente diversa da zero se compare al denominatore di una frazione). (am)n = amn;(6.6) am · an = am+n;(6.7) am an = am−n.(6.8) 6.2 Le funzioni potenza Si chiamano funzioni potenza le funzioni del tipo (6.9) f(x) = xa , essendo a un numero reale qualunque. Se a è un intero positivo allora il dominio di queste funzioni è tutto R; se a è un intero negativo, il dominio è costituito dai reali diversi da zero; negli altri casi il dominio è costituito dai reali positivi. È evidente che i grafici nei casi a = 1 e a = 2 rientrano in situazioni già viste: per a = 1 si tratta precisamente di una retta per l’origine, con pendenza 1 (la bisettrice del primo e terzo quadrante), nel caso a = 2 di una parabola con vertice nell’origine e concavità verso l’alto, grafici che abbiamo riportato nelle figure 6.1 e 6.2 per comodità. I grafici relativi ad alcuni altri casi sono riportati nelle figure successive. 1 2 −1 −2 1 2−1−2 Figura 6.1 La funzione f(x) = x1 = x 1 2 −1 −2 1 2−1−2 Figura 6.2 La funzione f(x) = x2 1 2 −1 −2 1 2−1−2 Figura 6.3 La funzione f(x) = x3 1 2 −1 −2 1 2−1−2 Figura 6.4 La funzione f(x) = x4 52 Luciano Battaia Appunti del corso di Mat. Generale 6.4 Le funzioni logaritmo 2 4 6 8 2 4 6−2−4−6 3 Figura 6.13 L’equazione 2x = 8 Se però consideriamo l’equazione 2x = 3, dall’esame della figura 6.14 possiamo concludere che ci deve essere una soluzione, ma essa non rientra in nessuno dei “numeri conosciuti”. 1 2 3 1 2 3 4 5−1−2−3 | x =? Figura 6.14 L’equazione 2x = 3 È per risolvere problemi come questo che si introduce il concetto di logaritmo. Precisamente si dà la seguente definizione. Definizione 6.1. Siano dati un numero reale a > 0 e a 6= 1 e un numero reale b > 0. Si chiama logaritmo in base a di b, e si indica con (6.11) loga(b), o semplicemente loga b , l’esponente che si deve dare ad a per ottenere b. In formule la definizione 6.1 si può sintetizzare come segue: (6.12) aloga b = b . Per esempio la x che risolve l’equazione 2x = 3 è data dal log2 3, perché 2log2 3 = 3 . Esempi. – log3 81 = 4, perché 24 = 81. – log10 1000 = 3, perché 103 = 1000. – log2 1 16 = −4, perché 2−4 = 1 24 = 1 16 . – log10 1 10 = −1, perché 10−1 = 1 10 . Luciano Battaia 55 6 Esponenziali e logaritmi Appunti del corso di Mat. Generale In matematica la più importante base dei logaritmi è il numero “e” di Nepero e il logaritmo in base “e” si chiama anche logaritmo naturale e si indica con la scrittura lnx, cioè si pone.(1) (6.13) loge x = lnx . Dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei logaritmi, che qui ci limitiamo solo ad enunciare, ricordando che a deve essere maggiore di zero e diverso da 1. loga(xy) = loga x+ loga y , x > 0, y > 0.(6.14) loga Å x y ã = loga x− loga y , x > 0, y > 0.(6.15) loga(x) y = y loga x , x > 0.(6.16) loga a = 1 .(6.17) loga 1 = 0 .(6.18) Ricordando la formula (6.12) e le proprietà appena scritte possiamo concludere che valgono le seguenti due proprietà che legano logaritmi ed esponenziali. (6.19) aloga x = x, ∀x > 0, loga ax = x, ∀x ∈ R. Le formule(6.19) esprimono la proprietà che le funzioni logaritmo ed esponenziale sono inverse una dell’altra, in un senso che preciseremo in seguito. Nelle figure 6.15 e 6.16 sono riportati i grafici della funzione logaritmo con una base maggiore di 1 e una minore di 1: valgono le stesse osservazioni già fatte per le funzioni esponenziali. 1 2 −1 −2 1 2 3 4 5 Figura 6.15 La funzione log2 x 1 2 −1 −2 1 2 3 4 5 Figura 6.16 La funzione log1/2 x Si noti che tutte le funzioni logaritmo passano per il punto (1, 0), in accordo con il fatto che loga 1 = 0, per qualunque base a e che il dominio di queste funzioni è costituito da tutti gli x > 0 (attenzione: strettamente maggiori di zero!). Le calcolatrici tascabili consentono di calcolare i logaritmi solo nella basi “e” e 10. Per calcolare i logaritmi in un’altra base si può usare la seguente formula di cambiamento di base, che ci limitiamo a dare senza alcuna giustificazione: (6.20) loga b = ln b ln a . 1Purtroppo questa notazione non è adottata da tutti; alcuni scrivono log x per indicare il logaritmo naturale, mentre spesso la scrittura log x è usata per indicare il logaritmo in base 10. Noi useremo lnx per il logaritmo naturale, e log x per il logaritmo in base 10, in accordo con la quasi totalità delle calcolatrici e dei software per computer. 56 Luciano Battaia Appunti del corso di Mat. Generale 6.5 Cenno sulle disequazioni con logaritmi ed esponenziali 6.5 Cenno sulle disequazioni con logaritmi ed esponenziali Ci limiteremo a considerare solo casi molto semplici, ragionando principalmente su alcuni esempi. Esempi. – 2x > 32 (= 25). Basta ricordare le proprietà delle potenze per concludere che la soluzione è x > 5 (attenzione: si noti che la base è maggiore di 1, per cui la funzione 2x è crescente). – 3x < 5. La strategia risolutiva più semplice consiste nel prendere il logaritmo naturale di ambo i membri e applicare le proprietà dei logaritmi: ln 3x < ln 5, da cui x ln 3 < ln 5, e infine x < ln 5 ln 3 . – 2x2−1 > 8. Si osserva che si può scrivere 2x2−1 > 23, da cui x2 − 1 > 3, x2 − 4 > 0 e infine x < −2 ∨ x > 2. – ln(2x2 +x) > 0. Si deve intanto tenere conto che deve essere 2x2 +x > 0 perché il logaritmo abbia senso, da cui x < −1/2∨x > 0. Dopodiché si prende l’esponenziale in base e di ambo i membri, ottenendo eln(2x 2+x) > e0,⇒ 2x2 − x > 1,⇒ 2x2 − x− 1 > 0,⇒ x < −1 ∨ x > 1/2 . Tenendo conto delle condizioni di esistenza si trova infine che la disequazione è verificata per x < −1 ∨ x > 1/2. – ln(x− 1) ≥ ln(−x+ 3). Si cominciano a scrivere le condizioni di esistenza: x > 1 ∧ x < 3, da cui 1 < x < 3. Successivamente si prende l’esponenziale, in base e, di ambo i membri, ottenendo x − 1 ≥ −x + 3, da cui x ≥ 2. Tenendo conto delle condizioni di esistenza si trova 2 ≤ x < 3. – 2x > −3. Poiché il primo membro è sempre positivo, la disequazione risulta verificata per tutti i valori reali di x. Luciano Battaia 57