Scarica ESPONENZIALI E LOGARITMI e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity! ESPONENZIALI 1. POTENZE CON ESPONENTE INTERO: ax esiste se: x > 0 ∀ a x = 0 a ≠ 0 x < 0 a ≠ 0 2. POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE: ax esiste se: x > 0 a >= 0 x = 0 a ≠ 0 x < 0 a > 0 3. PROPRIETA’ DELLE POTENZE 1. ax x ay = ax+y 2. ax : ay = ax-y 3. (ax)y = axxy 4. ax x bx = (axb)x 5. ax : bx = (a:b)x All’aumentare di X, la potenza ax: o aumenta di a>1 o diminuisce se 0<a<1 FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama FUNZIONE ESPONENZIALE ogni funzione che: y = ax con a E R+ f: R R+ dove: il DOMINIO è R il CODOMINIO è R+ la funzione è BIUNIVOCA il grafico interseca sempre Y in (0;1) -se a > 1 la funzione è CRESCENTE e si avvicina sempre di più a zero con esponenti negativi decrescenti; -se 0<a<1 la funzione è DECRESCENTE e si avvicina a zero con esponenti positivi crescenti; FUNZIONE ESPONENZIALE CON BASE e y = ex dove e = 2,718 NUMERO DI NEPERO che è irrazionale. CAMPO DI ESISTENZA Le calcolatrici sono usate per calcolare i logaritmi in due basi: 10 e la base e=2,71828, cioè il NUMERO DI NEPERO. Per scrivere logab mediante logaritmi in base c>0 si utilizza la seguente proprietà: logab = logcb / logca , con a>0, b>0, c>0, a ≠ 1, c ≠ 1. Possiamo anche scrivere la formula del cambiamento di base così: logab = logcb /logca = 1/logca x logcb 1 / logca è detto MODULO DI TRASFORMAZIONE per il passaggio da base c a base a. FUNZIONE LOGARITMICA: Una funzione logaritmica è del tipo: y= logax, con a>0 e a ≠ 1. Poiché l’argomento del logaritmo deve essere positivo, il dominio della funzione è R+. I grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alle bisettrice del primo e terzo quadrante: Concludiamo quindi che y= logax, sia per a>1 sia per 0<a<1: Ha dominio R+ e codominio R, È una funzione biunivoca, sempre crescente se a>1, sempre decrescente se 0<a<1, Il grafico interseca l’asse x in (1;0) EQUAZIONI LOGARITMICHE: Un’equazione logaritmica ha l’incognita che compare nell’argomento di almeno un logaritmo. Questa si scrive: logaA (x) = logaB (x), dove con A(x) e B(x) indichiamo due funzioni dell’incognita x. Per le CONDIZIONI DI ESISTENZA dei logaritmi deve essere: A(x)>0 e B(x)>0. Dal momento che: A(x) = B(x) loga A(x) = loga B(x), per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di A(x) = B(x) e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza. DISEQUAZIONI LOGARITMICHE: loga A(x) < loga B(x) Per passare da una disequazione di questo tipo a una rigustante gli argomenti A(x) e B(x), dobbiamo ricordare il comportamento della funzione logaritmica: per a>1, logab < logac b<c; per 0<a<1, logab <logac b>c; (entrambe con b,c >0) Le soluzioni di una disequazione logaritmica del tipo considerato si ottengono risolvendo il sistema formato da: le condizioni di esistenza della disequazione, la disequazione che si ottiene dalla diseguaglianza degli argomenti.
