Scarica Calcolo Vettoriale ed Elementi di Analisi Matematica: Definizione e Proprietà dei Vettori e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Fisica solo su Docsity! CALCOLO VETTORIALE ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA - DEFINIZIONE DI VETTORE - COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA - PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE - VETTORE GRADIENTE - FLUSSO DI UN VETTORE Lucidi del Prof. D. Scannicchio 1 VETTORE (lettera v in grassetto ) v modulo v, | v | direzione verso → → caratterizzato da 3 dati direzione modulo verso punto di applicazione v→ esempi spostamento s velocità v accelerazione a s = 16.4 m v = 32.7 m s–1 a = 9.8 m s–2 4 Esempio 1 V1y=1 V1 x y z 0 V1x=1 V1z=0 Il vettore con componenti V1x=1 V1y =1 e V1z=0 si indica cosi’: ed e’ un vettore che giace sul piano X,Y (vedi figura) € V 1 = 1,1,0( ) Il modulo del vettore e’ € V 1 = V1x 2 +V1y 2 +V1z 2 = 12 +12 + 02 = 1+1 = 2 ≅1.41 5 Esempio 2 Il vettore con componenti V2x=1 V2y =1 e V2z=2 si indica cosi’: (vedi figura) € V 2 = 1,1,2( ) Vy=1 V2 x y z 0 Vx=1 Vz=2 Il modulo del vettore e’ € V 2 = V2x 2 +V2y 2 +V2z 2 = 12 +12 + 22 = 1+1+ 4 = 6 ≅ 2.45 6 VERSORE v v → modulo = 1 direzione v verso v → → n = → n → ≡ direzione e verso ϑ n→ FFn → Fn = F cos ϑ ΔS esempio: componente di un vettore prodotto scalare fra il vettore forza F e il versore n Fn = F • n = F cos θ Esempio 3 Somma dei vettori: € V 1 = 1,1,0( ) V 2 = 1,1,2( ) Il modulo del vettore somma e’ € V 3 = V 1 + V 2 = V3x,V3y,V3z( ) = V1x +V2x,V1y +V2y,V1z +V2z( ) = 1+1,1+1,0 + 2( ) = 2,2,2( ) € V 3 = V3x 2 +V3y 2 +V3z 2 = 22 + 22 + 22 = 4 + 4 + 4 = 12 ≅ 3.46 Somma di N vettori Dati i vettori a1, a2, ... , aN il vettore somma b = a1+a2+ ... +aN si calcola nel modo seguente: • si costruisce la spezzata formata dai vettori a1, a2, ..., aN • si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata x y 0 a1 a2 a3 a4 b 11 DIFFERENZA DI VETTORI regola del parallelogramma (metodo grafico) v1 → v2 → v3 → v1 → v2 → v3 →– = v2 → v3 → v1 →+ = v1 → v2 → v3 → v3 → v1 → 3 Esempio 4 Differenza dei vettori: € V 1 = 1,1,0( ) V 2 = 1,1,2( ) Il modulo del vettore differenza e’ € V 4 = V 1 − V 2 = V4 x,V4 y,V4 z( ) = V1x −V2x,V1y −V2y,V1z −V2z( ) = 1−1,1−1,0 − 2( ) = 0,0,−2( ) € V 4 = V4x 2 +V4 y 2 +V4 z 2 = 02 + 02 + (−2)2 = 0 + 0 + 4 = 4 = 2 15 PRODOTTO SCALARE v1 → v2 → v1 • v2 = v1 v2 cos φ→ → φ * 3 dimensioni: componente asse z + v1z v2z proprietà commutativa proprietà associativa v1 • v2 = v1x v2x + v1y v2y → → v1 • v2 = v2 • v1 → → → → v1 • (v2 + v3) = v1 • v2 + v1 • v3 → → → → → → → * Prodotto fra vettori il cui risultato e’ uno scalare! 16 PRODOTTO SCALARE v1 → v2 → v1 • v2 = v1 v2 cos φ→ → φ φ = 0 φ = 90° φ = 180° v1 • v2 = v1v2 cos φ = v1v2 → → v1 • v2 = v1v2 cos φ = 0→ → v1 • v2 = v1v2 cos φ = – v1v2 → → v2 → v1 → v2 → v1 → v1 → v2 → 19 PRODOTTO VETTORIALE v3z = v1x v2y – v2x v1y 3 dimensioni: componente asse z φ v3 → v2 → v1 → v1 → v2 → v3 →=∧ z xy Prodotto vettoriale In generale il prodotto vettoriale fra due vettori: € V 1 e V 2 e’ un vettore con componenti cartesiane: € V 6 = V 1∧ V 2 = V6x,V6y,V6z( ) V6x = V1yV2z −V1zV2y V6y = V1zV2x −V1xV2z V6z = V1xV2y −V1yV2x € V 6 = V 1∧ V 2 Esempio 6 Prodotto vettoriale fra i vettori: € V 1 = 1,1,0( ) V 2 = 1,1,2( ) Conoscendo i moduli dei vettori e l’angolo α fra di essi (vedi esempi 1, 2 e 5) si puo’ determinare il modulo del prodotto vettoriale. € V 6 = V 1∧ V 2 V 6 = V 1 V 2 sinα = 2 6 sin(54.8) ≅ 2.83 Il prodotto vettoriale e’ in generale un vettore con componenti: € V 6 = V 1∧ V 2 = V6x,V6y,V6z( ) = 2,−2,0( ) V6x = V1yV2z −V1zV2y =1∗2 − 0∗1 = 2 V6y = V1zV2x −V1xV2z = 0∗1−1∗2 = −2 V6z = V1xV2y −V1yV2x =1∗1−1∗1 = 0 >>» << elv,Av/J= vv,send=0 Ù 1 Vi V D. SCANNICCHIO 2.007 © 25 MOMENTO DI UNA FORZA M = OA ∧ F = r ∧ F → →→ →→ OA = r = 2 cm F = 1000 N φ = 63° esempio M modulo F r sen φ = 1000 N x 2 cm sen 63° = direzione verso r, F avanzamento vite che ruota sovrapponendo r su F → →→ →→ = 17.82 N m
