Fisica generale, vettori, MRU, Appunti di Fisica

Scarica Fisica generale, vettori, MRU e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! FISICA GENERALE: La fisica è una scienza che fa si sviluppa tra teoria ed esperimento, e utilizza infatti, quella branca teorica, modelli matematici e sistemi fisici per motivare, spiegare e prevedere i fenomeni naturali. Si distingue dalla fisica sperimentale, che cerca di studiare suddetti fenomeni tramite esperimenti. La fisice, si base sulla misurazione di grandezze fisiche. Alcune di esse sona state definite grandezze fondamentali, stabilendone specifiche unità di misura, definite in riferimento ad un campione. La scelta di queste grandezze, di basa su 3 principi e su accordi nazionali: INVARIABILITÀ RIPRODUCIBILITÀ ACCESSIBILITÀ Altre grandezze fisiche sono definite Grandezze Der fondamentali, e delle loro unità di misura. Le grandezze fisiche nel SI: rate, come la velocità, definite in termini delle grandezze GRANDEZZE UNITÀ DI MISURA siMBOLO Lunghezza Metro m Tempo Secondo s Massa kilogrammo kg Intensità luminosa candela cd Intensità di corrente ampere A Quantità di sostanza mole mol Temperatura kelvin K NUOVO Si 21 MAGGIO 2019 D 6; ) Relazioni tra grandezze fisiche possono avvenire solo se esse sono grandezze omogenee, cioè possiedono le stesse unità di misura. * w Per questo motivo è molto importante effettuare una verifica dimensionale nello 2 SI È svolgere i calcoli. 4 Calcolo vettoriale Le grandezze fisiche, si dividono in SCALARI e VETTORIALI Una grandezza fisica, ha un significato in relazione al concetta di misura. In ogni misura, nel mondo reale si è soggetti ad un certo errore, che può essere casuale, (imprevedibile e dovuto alle singole circostanze del momento, cioè, varia) oppure sistematico (si ripete allo stesso modo, sempre per eccesso, 0 sempre per difetto). = Grandezze scala * Grandezze vettorial ;jono caratterizzate solo da un valore numerico e da un'uni sono vettori caratterizzati da un'unità di misura. di misura; Un VETTORE è un segmento orientato, i cui estremi sono orientati in un certo ordine e che è caratterizzato dalle seguenti proprietà: DIREZIONE VERSO MODULO Indica la direzione inteso come Il verso indica la lunghezza della retta su cui indicato dalla freccia che del vettore, viene indicato giace il vettore direziona il vettore con la |- a norma dia momo verso VETTORI possono avere: Verso opposto, ma ugual Diversi cioè con # * EQUIPOLLENTI: // di ugual modulo e verso. modulo e direzione // >> 3 modulo, direzione quei ue “il ativi in it parti o Se sono // hanno __®-T Ma UGUAL VERSO Pazio. Due vettori equipollenti non possiedono ranno _ _ Lo stesso punto di applicazione, dando così Stessa direzione Luogo a processi fisici diversi, come nel caso delle leve —— b_ o x _ ="? @ Prodotto Scalare È un'operazione di moltiplicazione. Si chiama prodotto scalare il vettore che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per l'intensità dello scalare. LA DIREZIONE del vettore prodotto è la stessa del vettore, poichè si trova sulla stessa retta del vettore iniziale. IL VERSO del vettore prodotto, invece, dipende dal segno dello scalare. Se moltiplichi il vettore per un numero positivo (m>0], il verso resta lo stesso. Se moltiplichi il vettore per un numero negativo (m<0) il verso si inverte. 3 TO + AZZ Se m>o allora è € b equiversi Se m<0 b avrà verso opposto ad 3” —&.T el IL MODULO {lunghezza) del vettore b, prodotto, è uguale al prodotto tra il valore assoluto dello scalale e il modulo del vettore iniziale. IblomIal lunghezza del vettore Un VERSORE: è un Vettore di modulo unitario e adimensionato, che precisa un orientamento, cioè una direzione orientata; in particolare, ogni vettore si può sempre scrivere come prodotto della sua grandezza (il suo modulo) per il t. Nella terza dimensione: s+dy=ax fix-ay fivta fate al4 ad Modulo di a=vat+ af+ a Î Funzioni trigonometriche rè univocamente determinato da a e dalle componen Teniren fà Ta è erdeimaone; MCOSI ryersena Teoremi dei triangoli rettangoli: In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale: «prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso « aperil coseno dell'angolo ad esso adiacente. (contiguo a a) Equazione fondamentale della Trigonometria Dalla definizione del teorema di Pitagora possiamo affermare che rerisenta + r°cos& Psena rico senx + cosa =1 Cosinusoide Y=cosx In matematica, curva rappresentat in coordinate cartesiane ortogonali, dall'equazione y = cos x; come tale essa rappresenta la 1 "| variazione del coseno di un angolo al variare dell'angolo. relità La funzione coseno ha il dominio nell'insieme dei numeri reali R, e il dr codominio nell'intervallo [-1,1). Si tratta di una funzione periodica e il periodo della funzione è 2r. Sinusoide Una sinusolde è un segnale periodico che la forma a onda della funzione trigonometrica seno. La funzione seno ha il dominio nell'insieme dei numeri reali R, e il codominio nell'intervallo [-1;1], Si tratta di una funzione periodica e il periodo della funzione è 2n. Radianti e tangente Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio Intero corrisponde a un angolo di n radianti. Ca a R TANGENTE È definita come il rapporto tra il seno e il coseno del medesimo angolo. Convenzionalmente tale funzione viene indicata come tan=S@20 ASINTOTI cose ; 7 «O (rad) tga 0° 0 30° x 6 45° 7 1 60° 5 va P 10 nondefinito 180° n Li Prodotto Scalare Il prodotto scalare è un'operazione che sì effettua tra due vettori cu risultato è uno SCALARE. a bcose b-a-cos(-1) i acos(-a) > w Proprietà: I. Commutativa: 6-6 2.d9- qarose a NON ESISTE Distributiva: RE) (EB) (R8) ae Ta scor vttore TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO ll Teorema vale anche per triangoli non rettangoli Il quadrato costruito su un lato di un triangolo qualunque è uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuito oppure aumentato, del doppio rettangolo che ha per dimensione uno dei due lati e la proiezione dell'altro lato su esso, a seconda che il lato considerato e opposto ad un angolo acuto o ottuso, (GRo (i) da sibbbe ba aeze (ab) ci= a+ 2ba b casa + poiché 12 vettori a e b sono equipullenti Prodotto scalare tra 2 Vettori, espresso attraverso le componenti 7 Hl prodotto scalare tra 2 vettori, è uguale alla somma del prodotto delle componenti. < A “eo Trai af MI piy= 11 c0s90" LL. ba dc bol 3 ' a ERICA] aMAfii abita c(abg + (ah) SOMMA DEL PRODOTTO DELLE COMPONENTI OMOLOGHE dBralrah GEOMETRICAMENTE, vale la proprietà: Si crea una retta che identifica un triangolo rettangolo, con ipotenusa b e base= proiezione di b sulla direzione su cui giace il vettore a. S= a b= ab cose alb cosa) = bla cosa) PRODOTTO VETTORIAIT Il prodotto vettoriale è un'operazione tra vettori definita solo nell spazio tridimensionale, e che restituisce un nuova vettore Sab DIREZIONE MopuLo VERSO perpendicolare al PIANO dipende dai moduli dei vettori iniziali e 1. La regola della mano destra: ponendo il CONTENENTE | vettori di dall'ampiezza dell'angolo convesso da pollice nel verso e nella direzione del primo partenza essi formato: ÈAB= a b sena vettore, e le restanti dita della mano nel verso È e nella direzione del secondo vettore. Il vettore c sarà il vettore uscente dal palmo /) &7, della mano, cioè perpendicolare ad esso. 2. Regola della vite destrorsa: sulla direzione fissata, immaginiamo di porre una vite e di ria în senso orario , quello sarà il verso, da a verso b PROPRIETÀ: «NON gode della proprietà commutativa, puiché, e Sea-0 Vr arb-0 REdE0 poiché giace su sé stesso Scambiando l'ordine dei vettori il verso cambia. T=txba ded qeb= Beal ©. Triplo prodotte, può essere effettuato Proprietà distributiva: ax{hxc)=axhraxe poiché maltiplica un vettore per un vettore: ma : ax(bxc]+ (axb)xc e PRODOTTO VETTORIALE PER COMPONENTI Calcoliumo il prodotto vettoriale tra i versori: cal dividuazione del segno, è possibile sfruttare le terne cicliche, che se si verificano, conferiscono il segno positivo. RI IN, YI Oltre che la regola della mano destra, che ne definisce il verso nel piano cartesiano. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA: Ogni vettore, può derivare dalla somma di 2 vettori, T-k+E— trasversale (//)alla direzione di a. a x b= absena — 0 USCENTE l @ ENTRANTE Normale alla direzione di a {|} Tx b- de (4) + dix Bu       quella descritta, che fa la somma vettoriale tra vettori. misura la velocità, considerando lo spostamento, come la somma di tutti li spostamenti.   Velocità istantanea . Allora con la velocità istantanea si studia la velocità in intervalli di tempo sempre più piccoli vicino allo zero descrivendo quindi un intervallo sempre più piccolo. Così facendo, si considera il punto B e lo si avvicina sempre più ad A, così da ottenere un rapporto x/t sempre più piccolo, descrivendo così una velocità media sempre più precisa. Il rapporto rappresenterà i l coefficiente angolare della retta passante per A e B, secante la curva sui quali i punti giacciono. Avvicinando sempre di più B ad A questa retta secante diventa tangente quando B coincide con A, si sovrappone ad esso. Questo fenomeno matematicamente si esprime attraverso l'introduzione della derivata. La pendenza indica l'andamento della velocità. Dunque se è nota la funzione x(t) come legge oraria si può ottenere la velocità istantanea con l'operazione di derivazione. Quindi data una curva V in funzione del tempo, di lo spostamento iniziale e finale rappresenterà l'area sottesa la curva v(t) e prende il nome di integrale v(t)dt Dato che: xfri> Sa v(Odt Posso definire la velocità media come: _xf-xi 1° ctf Vea ga dii v(Odt Coincide con la definizione matematica di valor medio di v(t) nell'intervallo [ti, tf] Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante quindi la curva corrisponde ad una retta // all'asse X. In questo caso l'area È quella del rettangolo, avente base per altezza espressi attraverso l'integrale: . tr Ax= x(t9)-x(t)= f. v(t)dt “ 4 t € Accelerazione nel moto rettilineo Accelerazione media: Quando la velocità varia nel tempo, ci si trova in un moto accelerato. L'accelerazione media tra 2 istanti di tempo, tf e ti è: i v(P)v(ti) tfti Verifica dimensionale: L T)_Ul hi = = m/s? mor. Accelerazione Istantanea: Analogamente per quanto detto per la velocità istantanea, al tempo t, l'accelerazione sarà: v(t+At)-v(t)_du(t) _ dU(6) do di di alt) = limo DERIVATA 2° a(t)=0 a(t) > 0 alt) <0 La velocità in questo caso è Il corpo Decelera costante, dunque il carpo si (la velocità diminuisce) troverà in un moto rettilineo uniforme(o permarrà nel suo stato di quiete se fermo) Il corpo Accelera (la velocità aumenta) In particolar modo, a determinare il verso del moto è la velocità, non l'accelerazione. Calcolare la velocità istantanea di un corpo in un intervallo t, considerato come l'integrale dell'accelerazione, in funzione del tempo: don am= —= Avn= amn Atn Atn al Av=(vn-(vn-1)+(n-1-vn-2)+-(02-v1)= =YnAvn = Ynanmedia Atn la svolgendo il processo di limite: Av= limaro Yn anmedia Atn = INTOLO 7 FAT . . cai è a Sari f ft possiamo dunque dire, che | variazione di velocità, è pari alla somma dell'accelerazione media, nell'intervallo ennesimo, per il tempo t dell'intervallo ennesimo stesso; che per definizione, chiamiamo Integrale dell'accelerazione. Av= limar>o Yn anmedia Atn = SE ame v(t9= v(ti) + Av = v(ti) + ff aMdt Nota: Se la formula che comprende gli intervalli di tempo generici, contenesse invece ti=0 e tft (tempo a cui misuro la velocità), allora avrò: v(O= v(10) + fi aOdt Moti Unidimensionali: Conoscendo le relazioni integrali di posizione e velocità, è possibile descrivere qualsiasi moto unidimensionale. Per ogni intervallo di tempo: x(t)= x(t0)+ [vd v(6)= v(10) + INCIOLI MOTO RETTILINEO UNIFORME (MRU) Unidimensionale (rettilineo) Velocità costante(uniforme) Dunque v(t)=v(t0)=v. Ciò implica che non vi siano variazioni di velocità e che dunque l'accelerazione media è costante e pari a=0 a tutti gli istanti. v(t) = v(t0)=v Y LT ateo + in questo caso, si utilizza v, poichè è eliminabile la dipendenza temporale della velocità ti x(tf) = x(ti) +f v(#)dt Ax = vAt ti i x(tf)=x(ti) + vAt LEGE ORARIA DEL MRU MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO(MRUA) È Applicazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato MOTO DI CADUTA LIBERA DI UN GRAVE È un moto rettilineo uniformemente accelerato particolare perché l'accelerazione è costante e prende nome di accelerazione di gravità definita con la lettera g, con valore sperimentale misurato di: 9,8 m/s?. Dato che ci troviamo in un moto unidimensionale per convenzione sappiamo che il verso sarà positivo verso l'alto lungo la verticale e verso destra lungo l'orizzontale e che l'accelerazione di gravità è negativa perché in questo momento il sistema di riferimento è x + 2 2 a=-9,8m/s escono | SE * Per trovare le leggi orarie dei moti verticali in base a sostituire -g al posto di a nelle equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato: v(t) = v(t0) — g(t— t0) Equazioni generali dei x(t) = x(£0) + v0(t0)(t0 — t) — ig(t — t0)? moti verticali Questi moti sono principalmente tre. CADUTA LIBERA CORPO LANCIATO VERSO IL BASSO CORPO LANCIATO VERSO 'ALTO v(40) = 0 x(t0) =h x(t0)=0 x(t0) = h t0=0 t0=0 Moto paraboli (10) v(t0)+ 0 v(eog> o Oto parabolico t0=0 Moto in caduta libera di un Grave Il corpo in questo caso viene lasciato cadere da un'altezza h, inizialmente fermo, in caduta L'equazione generale della velocità diventerà più semplice da v(t)=v(t0) - g(t-t0) diventa v(t) = gt Anche l'equazione generale della posizione si semplifica: infatti la posizione iniziale è uguale ad h quindi la velocità iniziale è uguale a 0 Allora otterremo che: {;=0f* tft x(t)}=x(t0) +v(t0) (t-t0) - Yag(t-t0)? n n ww che diventerà: L l o x(t0) = h— Vogt? La velocità aumenterà unicamente verso il basso nel tempo mentre la posizione aumenterà quadraticamente verso il basso nel tempo. Grazie alla legge oraria di questo modo: v(t) = —gt x(t0) = h — %ogt? Dacciama calenlaro alriino arandarza ficicha enmo- TEMPO DI CADUTA VELOCITÀ DI CADUTA Ossia il tempo al quale il corpo la velocità di caduta ossia tocca la terra a quota x = 0, la velocità all'istante tc partendo da una posizione iniziale h, si deve eliminare x(t): 2h 0=h — %agt? v(tc) = —gtc = —g equazione quadratica per il tempo tesx(t) = 0 v(te) = —/2gh h 1/20 Zh velocità è discorde alla posizione di riferimento ——_ = date 1729 1729 °° Analisi dimensionale di tc: beltl:9 = [a] > te (6 = mf =m (Tal IL MOTO DI UN CORPO LANCIATO VERSO IL BASSO Il corpo in questo caso viene scagliato verso il basso da un'altezza h con velocità 0 negativa al tempo t0=0. L'equazione della velocità da v(t) = v(t0) — g(t — 10) diventa v(t) = v0—- gt Mentre l'equazione della posizione da: 1 x(0) = x(£0) + vO(KO)(t0 — ©) — 3g(t- t0)? LEGGI ORARIE Diventa: x(t) =h- v0t —Jgt? In questo caso il tempo di caduta x La velocità di caduta tesx(t) =0 h 0=h- vot — igt? peer v(te) = —v0 — gte ? _ v0 + Jvo? + 2gh ora fe 0g I 9 v(te) =—/vo? +2gh Si considera solo il segno positivo, poiché il termini sotto radice è >O, altrimenti avremo un tc negativo. te Moto di un corpo lanciato verso l'alto da terra La posizione iniziale in questo caso è quella della quota zero e la velocità iniziale è positiva se costruissimo un grafico, su cui poniamo lungo y la posizione se è lungo X il tempo, possiamo dimostrare che la quota aumenta fino ad un certo punto, dopo il quale smette di aumentare poiché il corpo ha raggiunto l'apice, ossia la gittata massima della sua traiettoria e dopo quella quota quindi diminuisce; poiché il corpo cade nuovamente a terra. Questo particolare modo è detto moto parabolico ed è un modo uniformemente decelerato perché la velocità diminuisce fino ad arrivare all'opposto di se stessa(-v0). Il tempo che impiega per la salita è = a quello che si impiega per la caduta a] corpo.(curva simmetrica) Vatmento mo qualico Veloci {s-temeo Nella parte compresa tra t0 e tM Nel punto A Nel l'intervallo tM-t vO>0 v0=0 v<0 Graficandolo la posizione in funzione del tempo si troverà in un grafico equivalente alla funzione seno: Ciò significa che la posizione aumenta raggiunge il massimo della gittata torna indietro c diminuisce raggiunge un minimo e poi torna nuovamente nella posizione iniziale. Questo ad esempio è il moto del pendolo o di una molla. O qualsiasi corpo rigido sospeso ad un centro, che non è il centro di massa, si muove di moto armonico. a x A= ampiezza del moto. Dato che la funzione oscilla tra meno 1 ed 1 la posizione x(t) oscilla tra CACA) «= rappresenta la fasc iniziale. Sc =0 Allora quando t=0, la posizione iniziale x (t=0) dato che tutto l'argomento del seno diventa 0 e quindi di conseguenza il moto parte dall'istante iniziale nella posizione x = 0 cioè all'origine del sistema di riferimento considerato. In realtà è ma è traslata di A sen. Periodo (T): Tempo per il quale la funzione ritorna in sé stessa(dopo quanto si ripete ugualmente) distanza tra 2 tempi, in cui la funzione del moto armonico assume lo stesso valore «= pulsazione, punto parliamo dell'osservazione che il moto armonico è un moto periodico perché si ripete ugualmente dopo un certo periodo di tempo. Determina quanto lento o veloce è il moto in t. Come se introducesse una scala di tempo, oscillazioni larghe o piccolissime. Allora possiamo definire un periodo e legarlo a questa grandezza punto il periodo è un tempo particolare tale che se esistono due istanti di tempo te t', la cui differenza è uguale a T_ vale che x(t) - x(t) Ma t-t' è = T, allora ciò equivale a dire che: peentot +) = fben(wt' +9), Che equivale a dire che si può semplificare. Considerando che gli argomenti di due funzioni seno sono uguali se i loro argomenti sono uguali a meno di un fattore 27. ot+9=wt'+9+257 ot-wt'=27> w(t-t')= 257 Ma tt'=T, quindi oT=21> T=_ \s Te + hanno un rapporto di proporzionalità inversa. A pulsazioni piccole corrisponde una funzione che varia lentamente nel tempo. A pulsazioni più Grandi, varia velocissimamente nel tempo