Fisica-Vettori, Appunti di Fisica

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Fisica Generale LA 15 Calcolo vettoriale Scalare numero + unita’ di misura ⇒ algebra numeri reali Vettore numero + direzione + verso ⇒ nuova algebra esempio: spostamento Rappresentazione dei vettori A B segmento orientato distanza AB modulo retta AB direzione senso da A a B versov v v B A−rv A punto di applicazione B secondo estremo A punto fisso vettore applicato, altrimenti libero Modulo del vettore oppure v oppure |B-A| oppure AB v Se = 0 A ≡ B vettore nullov Fisica Generale LA 16 Eguaglianza di vettori Vettori opposti Vettore unitario ⇔ VERSORE 1 2v e v uguali se sono uguali modulo direzione verso 1 2v v= 1 2v e v opposti se sono uguali modulo e direzione se e’ opposto verso Vettore di modulo unitario Si indica con oppure (dato il vettore )v̂ vû v vv̂ o u versore del vettore v 21 v -v rr = Fisica Generale LA 19 Operazioni con i vettori PRODOTTO SCALARE ϑ ϑ angolo compreso1 2 1 2v v v v cos⋅ = ϑ proiezione del vettore sulla direzione del versore u ucosv u v v⋅ = ϑ = quadrato di un vettore (scalare)2 2v v v v⋅ = = PROPRIETA’ COMMUTATIVA 1 2 2 1v v v v⋅ = ⋅ ⇒ Fisica Generale LA 20 Operazioni con i vettori PRODOTTO VETTORIALE 1 2v v v= × 1 2v v v sin= ϑ direzione perpendicolare al piano verso della vite perche’ vada su 1 2v v 1v 2v ϑ 1v 2v 1h v sin v= ϑ ⇒ area del parallelogramma PROPRIETA’ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n 1 2 1 3 1 n v v 0 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v × = × = − × × × ≠ × × × + + + = = × + × + + × K K anticommutativa NO associativa distributiva Fisica Generale LA 21 Operazioni con i vettori PRODOTTO MISTO PRODOTTO TRIPLO VETTORIALE con angolo fra ϑ 3 1 2v e v v× Volume del parallelogramma di spigoli area del parallelogramma altezza perpendicolare al piano di 1 2 3v , v e v 1 2v v× 3v cosϑ 1 2v e v ( )1 2 3v v v v= × × scomposizione di nelle direzioni e v 2v 3v 1 2 3 1 2 3v v v v v cosv× ⋅ = × ϑ PROPRIETA’ Scambio di con Permutazione ciclica Prodotto misto nullo ⇒ complanarita’ ×⋅ 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1v v v v v v v v v v v v× ⋅ = × ⋅ = × ⋅ = ⋅ × ( ) ( ) ( )213132321 vvvvvvvvv v rrrrrrrrrr ⋅−⋅=××= Fisica Generale LA 24 Operazioni con i vettori in componenti cartesiane RELAZIONI SOMMA (o differenza) Componenti della somma (differenza) sono somma (differenza) delle componenti 2 2 2 x y z yx zcos c v v v v v vv v v v v os cos = = + + α = β = γ = ( ) ( ) ( ) 1 2 1x 1y 1z 2x 2y 2z 1x 2x 1y 2y 1z 2z v v v v i v j v k v i v j v k v v i v v j v v k = + = + + + + + = = + + + + + somma ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1x 1y 1z 2x 2y 2z 1x 2x 1y 2y 1z 2z v v v v i v j v k v i v j v k v v i v v j v v k = − = + + − + + = = − + − + − differenza Fisica Generale LA 25 Operazioni con i vettori in componenti cartesiane PRODOTTO SCALARE i i 1 j j 1 k k 1 i j i k j k 0⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 1 2v v v v cos⋅ = ϑ 1x 2x 1y 2y 1z 2z1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos cos cos cos v v v v v vv v v v v cos cos co v s + +⋅ ϑ = = = = α α + β β + γ γ Somma dei prodotti delle componenti ( ) ( )1 2 1x 1y 1z 2x 2y 12 1x 2x 1y 2y 1z 2z v v v i v j v k v i v j v k v v v v v v ⋅ = + + ⋅ + + = = + + z2 Fisica Generale LA 26 PRODOTTO VETTORIALE Operazioni con i vettori in componenti cartesiane ( ) ( ) ( )1 2 1y 2z 1z 2y 1z 2x 1x 2z 1x 2y 1y 2xv v v v v v i v v v v j v v v v k× = − + − + − ( ) ( ) ( ) 1y 2z 1z 2y 1 2 1x 1y 1z 1x 2z 1z 2x 2x 2y 2z 1x 2y 1y 2x v v v v ii j k v v v v v v v v v j v v v v v v v k − + × = = − − + + − Sviluppo formale del determinante Fisica Generale LA 29 Vettori polari ed assiali Oltre a rotazioni e traslazioni si puo’ passare da un riferimento destro a sinistro x z y D O S z’ y’ x’ O’ immagine speculare di rispetto al piano xyD S x ' x y ' y z ' z =⎧ ⎪ =⎨ ⎪ = −⎩x 2 1 2 1 x y 2 1 2 1 y z 2 1 2 1 z v x x x x v v y y y y v si trasformano come le coordinate v z z z z v ⎧ ⎫′ ′ ′= − = − = ⎪ ⎪′ ′ ′= − = − =⎨ ⎬ ⎪ ⎪′ ′ ′= − = − + = −⎩ ⎭ 1 2 1 2 x 1y 2z 1z 2y 1y 2z 1z 2y x y 1z 2x 1x 2z 1z 2x 1x 2z y z 1x 2y 1y 2x 1x 2y 1y 2x z Prodotto vettoriale v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ′ ′ ′= × = × ⎧ ′ ′ ′ ′ ′= − = − + = − ⎪ ′ ′ ′ ′ ′= − = − + = −⎨ ⎪ ′ ′ ′ ′ ′= − = − =⎩ POLARI si trasformano come coordinate ASSIALI si trasformano come 1 2v v× Fisica Generale LA 30 Momenti di un vettore vettori applicati MOMENTO POLARE = ×m d v vettore non applicatoma dipende da C ( )m d v b v bsin sind= θ = = θ retta d’azione C π/2 φ P v d m b b braccio Il momento non cambia se varia C, ma b rimane costante MOMENTO ASSIALE versore di una retta e C punto arbitrariou um u scal r !v ed a= × ⋅ d P C s C C d d s′ ′ ′= − = − ⇒ = −mu non dipende da C. Preso C’ ( ) u u u m 0 m d v u d s v u d v u s v u m = ⎡ ⎤′ ′= × ⋅ = − × ⋅ = × ⋅ − × ⋅ =⎣ ⎦ 123 123 ( ) { 0 u s s v u u s v u s v 0 = ⋅ × ⋅ = ⋅ × = × ⋅ = ’ Fisica Generale LA 31 Derivata di un vettore ( ) ( ) ( ) ( )x y zSe v v t oppure se v v t i v t j v t k= = + + ( )v t ( )v t ' ( ) ( )v t ' v t−Per 2 valoridella variabile indipendente t e t’ Il vettore e’ la variazione del vettore per una variazione t’-t della variabile indipendente ( ) ( )v t ' v t⎡ ⎤−⎣ ⎦ v ( ) ( )v t ' v t t ' t − ⇒ − rapporto incrementale di nell’intervallo (t,t’)v ( ) ( ) t ' t v t ' v tdv lim dt t ' t→ − = − 2 2 2 2 d v d v vanalogamente tdt dt ∂ ∂ K PR O PR IE T A ’ co m e pe r sc al ar i ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1n n i i i 1 i 1 1 2 1 2 2 1 yx z dv dvd3) v v v vdvd dt dt dt1) v dt dt dv dvd4) v v v v dt dt dtd nv dn dv2) v n dvdv dvdvdt dt dt 5) i j k dt dt dt dt = = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × = × + × = + = + + ∑ ∑ Fisica Generale LA 34 Significato di gradiente Esempio : temperatura ( ) costante nel tempo (equilibrio) campo scalare x,y,z varia da punto a punto (non bruscamente) θ isoterme: superfici in cui la temperatura assume lo stesso valore Se ci spostiamo di un tratto infinitesimo dP su una isoterma S Se ci spostiamo di un tratto dn = dP ⊥ S nello stesso verso di ∇θ GRADIENTE: derivata del campo scalare nella direzione normale alla superficie isoterma d 0 d dP 0⇒ θ = ⇒ θ = ∇θ⋅ = 0 dP dP 0 ∇θ ≠ ⇒ ⇒ ∇θ ⊥ ≠ dd dn dn dn dn θ ⎡ ⎤θ = ∇θ⋅ = ∇θ ⇒ ∇θ = ⊥ ∇θ⎣ ⎦ Fisica Generale LA 35 Significato di gradiente Se prendiamo uno spostamento in una qualsiasi direzione cos cos cos max 1d d min 0dP d cosn ϕ =θ θ ⇒ = ∇θ ϕ = ϕ ϕ = ∇θ rappresenta la variazione del campo nella direzione in cui è massima VALE PER QUALUNQUE CAMPO SCALARE Problema inverso: campo vettoriale campo scalare ( ) ( )Dato v v P v x, y, z ? v= = ∃ ϕ ∋ = ∇ϕ x y zv ; v ; vx y z ⎛ ⎞∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ? d = dP dP angolo c fos ra e dPθ ∇θ⋅ = ∇θ ϕ ϕ ∇θ Fisica Generale LA 36 CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE φ funzione potenziale del campo vettoriale v v ammette potenziale φ non è univocamente determinata ( ) Se è una funzione potenziale x, y, z k è potenziale con k costante scalare ϕ ′⇒ ϕ = ϕ + x x y y z z ′ ′ ′∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Potenziale y yx x z zv vv v v v0 0 0 x z z z 0 x y v ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − = − = − = ⇔ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× ∂ = ∂ v v rotazionale (vetr tot ore)∇× =