Fondamenti di automatica paniere, Panieri di Fondamenti di informatica

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Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Domanda Risposta Ad un sistema lineare e stazionario, con condizioni iniziali nulle, viene applicato un ingresso limitato nel tempo: Se presenta una risposta limitata allora è stabile Ai fini della realizzabilità fisica di un sistema: L'ordine massimo dell'equazione differenziale non è minore dell'ordine massimo delle derivate dell'ingresso Al nodo sommatore proprio degli schemi a blocchi, corrisponde, nei diagrammi di flusso: Un nodo in cui affluiscono più rami di ingresso e con un solo ramo di uscita Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s) = s3+7s2+16s+12 si può affermare che il sistema associato è stabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=-1/5s2-5*100s- 100 si può affermare che il sistema associato è stabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=-s+1 Si può affermare che il sistema associato è instabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=2s3+5s2+5/4s+1 si può affermare che il sistema associato è stabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=3/4s4+5/6s3+1/4s2+s+1 si può affermare che il sistema associato è stabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=3s3+(1/4-3/4)s2+(- 1/4+3/4)s+100 si può affermare che il sistema associato è instabile Applicando il criterio di Routh al polinomio caratteristico Q(s)=s3+2*10-1s2+1/3s+100 si può affermare che il sistema associato è stabile Applicando il criterio di Routh all'equazione caratteristica associata ad un sistema a controreazione, è possibile definire: L'intervallo di variazione in cui è compreso il parametro k in modo tale che il sistema risulti stabile Applicando il criterio di Routh per i sistemi a tempo continuo, il numero di righe che caratterizzano la tabella di Routh è pari: al grado del polinomio a denominatore della funzione di trasferimento, più uno Applicando il criterio di Routh per i sistemi a tempo continuo, l'elemento b_(n- 2) della tabella si calcola come (a_n-1*_n-2 - a_n*a_n-3)/a_n-1 Applicando il criterio di Routh per i sistemi a tempo continuo, nelle prime due righe della tabella di Routh: si inseriscono i coefficienti del polinomio a denominatore della funzione di trasferimento Applicando il criterio di Routh per sistemi a tempo continuo, il numero di righe caratterizzano la tabella è pari al grado del polinomio a denominatore della funzione di trasferimento, più uno Applicando l'antitrasformata Z ad una funzione X(z) si può conoscere l'andamento della funzione a tempo continuo associata: solo in specifici istanti di tempo Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Applicare il metodo diretto per la sintesi di un controllore C(z) a tempo discerto consiste nel: definire la legge di controllo nel piano w per poi trasformarla nel piano z Aumenta all'aumentare della tensione del generatore esterno dei semiconduttori Considerando il sistema Massa-Molla- Smorzatore, la forza agenti sulla massa M, a seguito di uno spostamento x dallo stato di quiete è data da finerzia−fattrito−felastica Considerando l'espressione generale delle reti di compensazione nel piano w (1+wτ_0)/(1+wτ_p), si ha una rete ritardatrice quando: τ_0 < τ_p Considerando la funzione di trasferimento a tempo discreto tra il disturbo e l'uscita di un generico sistema G_d(z)=(HG(z))/(1+C(z)HG(z)), in cui HG(z) è la funzione di trasferimento del processo e C(z) del controllore: allora l'effetto di un disturbo D(z) sul sistema viene ridotto del fattore C(z) Considerando la rappresentazione dei sistemi mediante grafi di flusso, un autoanello associato ad un nodo e caratterizzato dalla trasmittanza t può essere eliminato: Applicando il fattore 1/(1-t) ai coefficienti di tutti i rami Considerando la relazione fondamentale che lega il piano s al piano z: ogni punto del piano z è in corrispondenza con infiniti punti del piano s Considerando la relazione fondamentale che lega il piano s con il piano z: l'origine del piano s, s=0, corrisponde con il punto z=1 Considerando la struttura analitica di una rete compensatrice D(z) nel piano z, si ottiene la corrispondente rete compensatrice nel piano w esprimibile come: D(w)=(1+wτ_0)/(1+wτ_p) Considerando un generico sistema, l'equazione di transizione dello stato a partire da un qualsiasi istante iniziale t0 è: x(t)=Φ(t-t0)x(t0)+∫Φ(t-τ)bu(τ)dτ Considerando un sistema di tipo 0, il guadagno a ciclo aperto prende il nome di Costante di posizione kp Considerando un sistema dinamico caratterizzato da una funzione di trasferimento del secondo ordine, in cui ζ è il coefficiente di smorzamento, allora la risposta del sistema: presenterà oscillazioni troppo accentuate per valori 0 Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Dato un sistema lineare e stazionario, la rappresentazione della risposta armonica G(jω) mediante diagrammi di Nyquist: Prevede un diagramma in cui si traccia in ascissa la parte reale Re[G(jω)] e in ordinata la parte immaginaria Im[G(jω)] Dato un sistema lineare e stazionario: Ponendo a zero l'ingresso si ottiene l'evoluzione libera Dato un sistema lineare, stazionario, causale, e con condizioni iniziali nulle, al quale si applica il segnale di ingresso sinusoidale u(t)=Usin(ωt): Esaurito il periodo transitorio, l’uscita può essere espressa tramite la relazione y(t)=Y(ω)sin(ωt+φ(ω)) Diagramma asintotico dei moduli della funzione G2N Una semiretta coincidente con l'asse delle ascisse per valori della pulsazione maggiori del punto di rottura e un segmento di pendenza - 40db per valori della pulsazione compresi tra 0 e il punto di rottura Due polinomi si dicono coprimi qundo: non esiste nessun polinomio, di grado almeno uno, che sia divisore comune Durante la prima fase di tuning di un regolatore PID si deve scegliere: il tempo di campionamento T/(10*B_(-3db)) Durante la prima fase di tuning di un regolatore PID si devono calcolare: i parametri che lo caratterizzano utilizzando modelli noti del controllore e criteri di ottimizzazione della risposta Durante la prima fase di tuning di un regolatore PID, per determinare i parametri che lo caratterizzano si può usare: il criterio di Ziegler-Nichols Durante la procedura di analisi e sintesi grafica dei sistemi a tempo continuo, si utilizza le reti correttrici Durante la procedura di analisi grafica dei sistemi a tempo continuo, sul diagramma di Bode si traccia: la funzione di trasferimento a ciclo aperto del sistema È possibile determinare l'integrale particolare dell'equazione non omogenea Imponendo che verifichi l'equazione non omogenea y"+ay'+by=c(x) E' possibile notare una stretta analogia tra la sequenza ponderatrice e: la funzione di trasferimento continua E' Possibile Ottenere La Rappresentazione Di Un Sistema Tramite Schema A Blocchi: A partire dal modello matematico del sistema stesso Effettuando la trasformazione bilineare utilizzata nel metodo diretto di sintesi dei controllori discreti, la regione di stabilità del piano z: viene trasformata nel semipiano a sinistra dell'asse immaginario del piano w Generalizzando la corrispondenza esistente tra piano s e piano z, si può affermare che: i punti del piano s a parte reale negativa (σ < 0) sono in corrispondenza con i punti del piano z all'interno del cerchio di raggio unitario Generalmente, nel progetto di sistemi di controllo digitali, si esprime la dinamica dei sistemi tramite espressioni del tipo: Y(z)/X(z)=G(z)=Numeratore_G(z)/Denominatore_G(z ) Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Gli integrali di convoluzione associati alla risposta impulsiva di un sistema: Esprimono la risposta forzata del sistema a qualunque segnale di ingresso Grazie alla proprietà della trasformazione bilineare utilizzata nel criterio di Routh- Hurwitz a tempo discreto: i punti a parte reale positiva del piano w corrispondono con i punti del piano z che hanno modulo maggiore di uno Grazie alla rappresentazione analitica della risposta armonica tramite logaritmi si ha che per il tracciamento dei diagrammi di Bode: |GxD(jω)|dB = -|GxN(jω)|dB Grazie alla risposta impulsiva è possibile ottenere un'espressione che comprende Tutte le informazioni necessarie per determinare la risposta di un sistema, caratterizzato da condizioni iniziali nulle, a qualunque segnale di ingresso Grazie alla risposta indiciale di un sistema è possibile definirne : Il tempo di assestamento Ta Grazie alla trasformata di Laplace: Le equazioni differenziali possono essere trasformate in equazioni algebriche che sono di più agevole soluzione I dati di specifica che riguardano la precisione sono: gli errori a regime in risposta ai segnali canonici e il comportamento a regime in presenza di disturbi I dati di specifica che riguardano la prontezza sono: il tempo di ritardo e di salita della risposta, e il suo tempo di assestamento I dati di specifica su cui si basa il progetto di un sistema di controllo riguardano i seguenti elementi fondamentali: precisione, prontezza e stabilità I dispositivi special purpose, o embedded, sono progettati appositamente per un’applicazione o tipo di controllo I disturbi che agiscono sulla catena di controreazione di un sistema Non sono controllabili. I disturbi in un controllo automatico di temperatura sono: L'ingresso e l'uscita dell'acqua I disturbi: Sono trattati come ingressi di cui non si ha alcuna informazione I modelli matematici: Sono costituiti da equazioni che descrivono in modo semplificato i fenomeni del mondo reale I nodi sono: I punti in cui si incontrano almeno tre rami di una rete I poli a parte reale strettamente negativa nel piano di Laplace corrispondo nel piano z: Ai punti che si trovano all'interno del cerchio di raggio unitario e centrato nell'origine degli assi I punti del piano polare e i punti del piano di Gauss coincidono quando: L’origine dei due piani è la stessa e l'orientamento dell'asse reale del piano di Gauss corrisponde ad un valore nullo della fase nel piano polare I regolatori PID: Hanno una struttura standard in grado di realizzare tre tipologie di azione, ossia proporzionale, integrativa e derivativa Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum I ricostruttori di segnale si possono rappresentare tramite una funzione di trasferimento continua nel dominio di Laplace H_r(s): solamente se la sequenza x(kT) di valori in ingresso viene interpretata come una sequenza di impulsi di Dirac aventi ampiezza pari ai valori assunti in quegli istanti da x(kT) I ricostruttori reali di segnale più utilizzati: si ottengono tramite espansione in serie di Taylor del segnale x(t) nell'intorno del punto t=kT I sistemi di controllo digitali si distinguono dai sistemi di controllo a tempo continuo: per la tipologia di elaborazione che viene effettuata sui segnali all'interno del regolatore Idiagrammi di flusso di segnale per la rappresentazione dei sistemi complessi Sono un mezzo alternativo agli schemi a blocchi Il campionamento impulsivo di un segnale analogico x(t): Si può interpretare come il prodotto del segnale x(t) con un segnale T-periodico formato da impulsi di Dirac unitari Il campionamento impulsivo è: un modello ideale di convertitore A/D Il campionamento impulsivo permette il passaggio da: un segnale a tempo continuo a una sequenza di valori a tempo discreto Il Comortamento Dei Sistemi Lineari E Stazionari A Fronte Di Una Perturbazione: Non dipende dalle caratteristiche della perturbazione Il condensatore è un componente elettrico che: Immagazzina l'energia in un campo elettrostatico Il criterio di Hurwitz è utile nell'automatica per capire se, nella funzione di trasferimento che descrive un sistema: Esistono poli a parte reale positiva Il criterio di Jury per determinare la stabilità di un sistema a tempo discreto prevede di: creare una tabella e verificare delle condizioni Il criterio di Routh-Hurwitz per determinare la stabilità dei sistemi a tempo discreto prevede l'utilizzo di una trasformazione bilineare che permette di passare: dal piano z al piano w Il criterio di Routh: E' una semplificazione del criterio di Hurwitz Il denominatore della trasformata di Laplace della risposta di un sistema è caratterizzato da: I poli della funzione di trasferimento e i poli della funzione in ingresso Il diagramma di Bode del modulo della funzione G0 è dato da: Una retta orizzontale che interseca l’asse delle ordinate in corrispondenza ad un valore pari a 20log|K| dB Il diagramma di Bode del modulo della funzione G1D è dato da: Una retta di pendenza pari a -20dB/dec che interseca l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione ω=1rad/sec Il diagramma di Bode del modulo della funzione G1N è dato da: Una retta di pendenza pari a 20dB/dec che interseca l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione ω=1rad/sec Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Il modello del primo ordine, del processo da controllare P(s), utilizzato per la definizione dei parametri di un regolatore PID è: G(s)=K[(e^(-θs))/(1+τs)] Il modo più agevole per tracciare il diagramma di Nyquist di un sistema è quello di: partire dalla rappresentazione grafica esplicita in modulo e fase della funzione di trasferimento Il nome di rete integratrice è dovuto al fatto che: per pulsazioni elevate rispetto al punto di rottura 1/τ il segnale di uscita approssima l'integrale nel tempo del segnale di ingresso Il parametro Kp che caratterizza un regolatore PID riguarda la costante di sensibilità proporzionale Il polinomio caratteristico di un sistema a tempo discreto: corrisponde all'equazione polinomiale che si ottiene a seguito della sostituzione u_k=z^k nell'equazione lineare alle differenze che caratterizza il sistema Il principio di bilancio termico afferma che: La somma algebrica del calore entrante, di quello uscente e di quello accumulato dal sistema sia zero Il principio di bilancio termico: E' utile per rappresentare le equazioni di equilibrio di un sistema termico Il principio di equilibrio delle forze: E' utile per rappresentare le equazioni di equilibrio di un sistema meccanico Il problema di Cauchy associato ad un'equazione differenziale di ordine n: Presenta n condizioni iniziali Il problema di Cauchy: Consiste nel porre delle condizioni iniziali o delle condizioni al contorno dell'equazione Il processo di analisi e controllo di un sistema dinamico: Prevede le fasi di modellazione, esplorazione e ricerca delle metodologie Il punto critico di un diagramma di Nyquist ha coordinate: (-1;+j0) Il punto di rottura necessario per il tracciamento dei diagrammi di bode è: 1/|τ| Il regolatore PID è: un controllore a struttura fissa Il ricostruttore ad uscita continua si utilizza quando: si vuole avere un segnale continuo in uscita in modo da non sollecitare eccessivamente l'attuatore Il ricostruttore di ordine frazionario è: È una variante matematica del ricostruttore di ordine uno Il ricostruttore di ordine uno fornisce in uscita un segnale x(t) che risulta essere funzione: del campione x(kT) e del campione all'istante precedente x((k-1)T) Il Ricostruttore Di Ordine Zero È Caratterizzato Dalla Seguente Relazione Ingresso-Uscita: x_0(t)=x(kT) per kT≤t≤(k+1)T Il ricostruttore più utilizzato nelle applicazioni pratiche grazie alla sua semplicità di realizzazione è: il ricostruttore di ordine zero Il segnale di riferimento: Corrisponde all'uscita che si desidera ottenere Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Il segnale treno di impulsi di Dirac si rappresenta analiticamente come: δ_T(t)=∑δ_0(t-kT) Il sistema a tempo continuo H(s)=(2s+1)/(s^2+2s+10) può essere ottenuto in Matlab utilizzando l'istruzione tf([2 1],[1 2 10]) Il sistema di controllo di un processo a tempo continuo deve essere tarato in funzione: delle trasferenze presenti nel sistema e degli eventuali disturbi al sistema Il tempo di ritardo Tr è un dato di specifica che riguarda: la prontezza di un sistema Il termine trinomio che può comparire nella funzione risposta armonica si può rappresentare come In base al criterio di Routh la condizione necessaria e sufficiente affinché tutte le radici dell’equazione caratteristica abbiano parte reale negativa è che: I coefficienti dell’equazione siano tutti strettamente positivi e che gli elementi della prima colonna della tabella di Routh siano tutti strettamente positivi In base alla natura delle equazioni che caratterizzano il modello matematico di un sistema reale si può affermare che se i legami tra le varie grandezze sono In base alla proprietà della trasformata di Laplace di moltiplicazione per una costante è uguale al prodotto della trasformata della funzione per la costante stessa descritti da equazioni algebriche, il sistema è statico In base alle definizioni di trasformata e antitrasformata Z si ha che: L'operazione di antitrasformazione non è univoca In Matlab, partendo dalla rappresentazione tramite equazioni di stato, è possibile definire un sistema a tempo discreto utilizzando la sintassi SYS=ss(A,B.C,D,Ts) In Matlab, partendo dalla rappresentazione tramite funzione di trasferimento, è possibile definire un sistema a tempo continuo utilizzando la sintassi: SYS=zpk(Z,P,K) In Matlab, utilizzando il comando roots su un polinomio: se ne ottengono le radici In un grafo di flusso i nodi dipendenti: Sono nodi in cui giunge almeno un ramo In un grafo di flusso i nodi indipendenti: Sono nodi in cui non giunge alcun ramo In un grafo di flusso i nodi sorgente rappresentano: I termini noti dell'equazione algebrica descritta dal grafo In un modello a parametri distribuiti: Viene considerata sia la dipendenza temporale sia quella spaziale delle variabili In un modello causale: Il segnale di uscita all'istante t dipende dal valore del segnale di ingresso all’istante t e dai valori negli istanti precedenti a t Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum In un modello deterministico: Sono noti le condizioni iniziali e l’ingresso ed è possibile determinare univocamente l’uscita In un modello stazionario: E' possibile trascurare le variazioni che dipendono dal tempo dei parametri del sistema In un sistema a tempo discreto, l'uscita all'istante k corrisponde a: Una sequenza esprimibile tramite la sommatoria di convoluzione tra la sequenza ponderatrice e la sequenza di ingresso In un sistema causale: Ponendo a zero l’ingresso, l’evoluzione futura dipende solo dallo stato iniziale In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G sul ramo diretto e una trasferenza H nel ramo inverso, la relazione che lega la funzione di trasferimento a ciclo aperto con quella a ciclo chiuso è: W(s)=G(s)/[1+F(s)] In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G(s) sul ramo diretto e una trasferenza H(s) nel ramo inverso: La funzione di trasferimento a ciclo aperto corrisponde alla relazione F(s)=G(s)H(s) In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G(s) sul ramo diretto e una trasferenza H(s) nel ramo inverso: La funzione di trasferimento a ciclo chiuso corrisponde alla relazione W(s)=Y(s)/U(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)] In un sistema di controllo a controreazione istantanea si definisce l'errore nel piano di Laplace come: E(s)=(k_d)U(s)-W(s)U(s) In un sistema di controllo a controreazione istantanea, la funzione di trasferimento dell'errore si definisce come: Il rapporto tra l'errore e il segnale di ingresso al sistema In un sistema di controllo a controreazione istantanea, la funzione di trasferimento dell'errore si scrive come:: W_e(s)=(k_d^2)/(k_d+G(s)) In un sistema di controllo digitale: Il convertitore A/D riceve in ingresso un segnale analogico e restituisce in uscita una sequenza di valori quantizzati In un sistema di controllo digitale: L'attuatore prevede in ingresso un segnale analogico e restituisce in uscita un segnale analogico In un sistema di controllo si definisce guadagno a ciclo aperto: Il limite, per s che tende a zero, di (s^h)F(s) In un sistema di tipo 0, aumentando il guadagno a ciclo aperto: Si riduce l'errore a regime per un ingresso a gradino In un sistema dinamico: Il valore assunto dalle uscite al tempo t dipende dalla storia degli ingressi Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum L'induttore è un componente elettrico che: Genera un campo magnetico al passaggio di corrente L'interfaccia di Matlab prevede una sezione chiamata Command Window: tramite la quale è possibile scrivere i comandi o lanciare i programmi elaborati L'interfaccia di Matlab prevede una sezione chiamata Workspace: ossia la finestra che visualizza il contenuto dell'area di memoria utilizzata L'obiettivo di un sistema di controllo è: Di mantenere l’andamento temporale delle variabili controllate il più simile possibile all’andamento dei segnali di riferimento L'operazione di regolazione dei parametri interni di un PID è detta: tuning L'operazione di ricostruzione di un segnale analogico a partire da una sequenza di campioni risulta essere: non univocamente definita L'uscita a regime di un sistema di tipo 0 a fronte di un ingresso a rampa corrisponde a: Un segnale a rampa con pendenza inferiore a quella d'ingresso L'uscita complessiva di un sistema soggetto a disturbi si ottiene Sommando i contributi sull'uscita apportati dall'ingresso effettivo e da ogni disturbo agente sul sistema. L'uscita permanente del disturbo si definisce come il limite, con s che tende a zero, di sW_z(s)Z(s) L'uscita permanente di un sistema, valutata rispetto all'ingresso, è definita dall'equazione: y_p(t)=u(t)K_d-e_r|u(t)| L'uso dei vettori in Matlab: permette la rappresentazione dei polinomi e dei segnali L’errore a regime per un sistema di tipo 1 a fronte di un ingresso a gradino unitario è: Nullo L’integrale generale di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea è dato: Dall'integrale particolare dell'equazione non omogenea e dall'integrale generale dell'equazione omogenea associabile L’uscita complessiva di un sistema soggetto a disturbi si ottiene: Sommando i contributi sull'uscita apportati dall'ingresso effettivo e da ogni disturbo agente sul sistema La condizione necessaria affinché le radici di un’equazione algebrica abbiano tutte parte reale negativa è che: Tutti i coefficienti dell’equazione siano strettamente positivi La condizione necessaria e sufficiente affinché le radici dell’equazione algebrica siano tutte a parte reale negativa è che: I determinanti di Hurwitz siano tutti positivi La condizione necessaria e sufficiente per la stabilità asintotica di un sistema lineare e stazionario è che: Tutti i poli della funzione di trasferimento sono a parte reale strettamente negativa La controreazione è: Il processo con cui l’ingresso di un elemento viene alterato dalla sua uscita Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum La controreazione nei sistemi di controllo: Ne aumenta la robustezza La corrispondenza tra il piano di Gauss e il piano polare è espressa dalle relazioni: σ=ρcosφ e ω=ρsinφ La corrispondenza tra piano complesso z e piano complesso s è data dalla relazione: z=e^sT La costante di accelerazione utilizzata nel calcolo dell'errore di accelerazione a regime nel piano w si ottiene come: Kp = lim┬(w)w^2 (C(w)) La costante di posizione utilizzata nel calcolo dell'errore di posizione a regime nel piano w si ottiene come: Kp = lim┬(w)C(w) La costante di velocità utilizzata nel calcolo dell'errore di velocità a regime nel piano w si ottiene come: Kp = lim┬(w)wC(w) La decomposizione funzionale di un sistema: Evidenzia le relazioni causa-effetto esistenti tra gli elementi del sistema La decomposizione gerarchica di un sistema: Non definisce il comportamento del sistema La definizione di stabilità asintotica a tempo discreto può essere applicata: a sistemi caratterizzati da una funzione di trasferimento del tipo G(z)=Y(z)/X(z) oppure G_0(z)=D(z)G(z)/(1+D(z)G(z)) La differenza che esiste tra il piano s e il piano w fa si che le tecniche di analisi frequenziale nei due piani: porta a risultati leggermente diversi, per quanto riguarda la risposta armonica La discretizzazione ha l'obiettivo di: sintetizzare la legge di controllo per la realizzazione di un controllore a tempo discreto La formula generale utilizzata per la trasformata di Laplace di un qualsiasi segnale di ingresso è: N!/[(s-a)^(n+1)] La frazione algebrica impropria A(x)/B(x) si può sempre esprimere come: Somma di polinomi che presentano una frazione algebrica propria La funzione di errore si definisce come: a differenza tra l'uscita desiderata Y_d(s) e l'uscita effettivamente misurata Y(s) La funzione di Trasferimento a ciclo chiuso di un sistema a controreazione caratterizzato dal guadagno k in catena diretta e la funzione H(s) in catena inversa, si può scrivere come: W(s)=kG(s)/[1+kG(s)H(s)] La funzione di trasferimento continua del ricostruttore ad uscita continua si esprime come: H_c(s)=(1/T)((1-e^(-sT))/s)^2 La funzione di trasferimento continua del ricostruttore di ordine uno si esprime come: H_1(s)=((1+Ts)/T)((1-e^(-sT))/s)^2 Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum La funzione di trasferimento continua del ricostruttore di ordine zero si esprime come: H_0(s)=(1-e^(-sT))/s La funzione di trasferimento D(z) che caratterizza un sistema dinamico a tempo discreto: mette in relazione la Z-trasformata della sequenza di valori in ingresso con la Z-trasformata della sequenza di valori in uscita dal sistema stesso La funzione di trasferimento del sistema massa-smorzatore, in cui la forza esterna corrisponde ad un segnale a gradino, è: 1/[s^2(Ms+D)] La funzione di trasferimento di un generico sistema a tempo discreto si può esprimere come: G(z)=Y(z)/X(z) La funzione di trasferimento di un sistema dinamico presenta Uno zero reale, un polo reale e un polo nell’origine La Funzione di Trasferimento di un sistema: E' il rapporto tra la trasformata di Laplace dell’uscita e la trasformata di Laplace dell’ingresso La funzione di trasferimento di una generica rete di compensazione di anticipo/ritardo nel piano w è caratterizzata da: due zeri e due poli reali La funzione di trasferimento G(s)= s s(s+10)/(s+1)(s+6) di un sistema dinamico presenta due poli reali, uno zero reale e due zeri nell'origine La funzione di trasferimento G(s)=(s+1)(s+10)/s(s+5) Gs = 0120123 di un 0014 sistema dinamico presenta un polo reale, due zeri reali e un polo nell’origine La funzione di trasferimento G(s)=s s+10/s+5 di un sistema dinamico presenta un polo reale, uno zero reale e uno zero nell'origine La funzione di trasferimento G(s)=s2 s+3/(s+2)(s+34) di un sistema dinamico presenta due poli reali, uno zero reale e due zeri nell'origine La funzione G1N che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e stazionario: Rappresenta uno zero nell'origine del piano complesso s=jω La funzione G2N che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e stazionario: Rappresenta una radice reale nel polinomio a numeratore della funzione La funzione G3D che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e stazionario: Rappresenta una coppia di radici complesse coniugate nel polinomio a denominatore della funzione La funzione incognità dipende da più variabili, quindi: Le derivate da cui è caratterizzata sono derivate parziali La funzione matematica per descrivere il comportamento di un induttore è *+,=+- , Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum La rete correttrice ritardatrice: effettua un ritardo di fase per tutte le pulsazioni finite La ricostruzione del segnale a tempo continuo x(t) tramite ricostruttore di Shannon avviene filtrando il segnale campionato x*(t) mediante: un filtro ideale La riduzione di due blocchi inparallelo, le cui costanti di proporzionalità sono rispettivamente K1 e K2, prevede che: K1 sia sommata a K2 La risposta di un sistema dinamico, a tempo discreto e asintoticamente stabile, ad un ingresso sinusoidale sin(ωkT) di ampiezza unitaria è: una sinusoide Asin(ωkT+φ) in cui A e φ sono dati dal modulo e dalla fase della funzione risposta armonica discreta La risposta di un sistema è data dal prodotto di convoluzione tra: L'antitrasformata della funzione di trasferimento e la funzione di ingresso espressa nel dominio del tempo La risposta impulsiva si ottiene: Antitrasformando, secondo Laplace, la funzione di trasferimento del sistema La risposta, non divergente, di un sistema nel dominio del tempo può essere espressa come: La somma di risposta permanente e risposta in transitorio La seguente funzione G(s)=(Ga(s)/1+GaGb 56 = 789 rappresenta La funzione di trasferimento risultante dalla interconnessione di due sistemi a e b in retroazione negativa. La sequenza di valori x*(t), ottenuta a seguito del campionamento impulsivo di un segnale a tempo continuo x(t), si può calcolare come: x*(t)=x(t)δ_T(t) La sequenza di valori x*(t), ottenuta a seguito del campionamento impulsivo di un segnale a tempo continuo x(t), si può esprimere, tramite la trasformata Z, come X*(z)=Σx(kT)z^(-k) La sequenza ponderatrice che caratterizza un sistema discreto può essere ottenuta come: L'antitrasformata Z dell'uscita del sistema in risposta alla funzione impulso di Dirac La stabilità di un sistema a controreazione dipende: Dalla posizione dei poli a ciclo aperto e dal valore e segno del guadagno k La stabilità di un sistema a controreazione: Dipende solo dalla posizione, nel piano s, delle radici dell’equazione caratteristica relativa alla funzione di trasferimento a ciclo chiuso La struttura analitica di una rete compensatrice nel piano z assume la forma: D(z)=(k_d(z-z_0))/(z-z_p) La struttura della scomposizione in fratti semplici: Dipende solo dal denominatore della funzione di Trasferimento Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum La tecnica di antitrasformazione Z utilizzata quando non si ha a disposizione espressioni in forma chiusa della sequenza di valori è: il metodo della lunga divisione La tecnica di antitrasformazione Z utilizzata quando si vuole programmare un elaboratore digitale è: il metodo computazionale La teoria del Controllo Digitale fa riferimento all'analisi e alla sintesi: Di sistemi di controllo in retroazione in cui la legge di controllo viene elaborata a tempo discreto La traformata di Laplace del segnale a rampa unitaria del secondo ordine vale: 1/s^2 La traformata di Laplace del segnale impulso unitario vale: 1 La Traformata Di Laplace Della Rampa Unitaria Di Ordine K Vale: 1/s^k La trasformata di Fourier di una funzione del tempo f(t) è data dall'espressione: F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt La trasformata di Laplace dell'uscita di un sistema: Corrisponde alla trasformata della risposta in evoluzione forzata La trasformata di Laplace della derivata generalizzata è definita come: L[(d/dt)f(t)]=sF(s)-f(0^-) La trasformata di Laplace di un ingresso canonico nella forma generale si può scrivere come: U(s)=1/s^(i+1) La trasformazione bilineare utilizzata nel criterio di Routh-Hurwitz a tempo discreto fa corrispondere: il cerchio unitario del piano z al semipiano sinistro del piano w La trasformazione che si effettua per discretizzare un filtro analogico col metodo della Trasformata Z mappa la regione di stabilità nel piano s: nella regione interna al cerchio di raggio unitario centrato nell'origine del piano z La trasformazione che si effettua per discretizzare un filtro analogico col metodo della trasformazione bilineare di Tustin trasforma la regione di stabilità in s: in una circonferenza sul piano z con centro nell'origine degli assi e raggio unitario La trasformazione che si effettua per discretizzare un filtro analogico col metodo delle differenze all'indietro trasforma la regione di stabilità in s: in una circonferenza sul piano z con centro nel punto (1/2;0) e raggio 1/2 La trasformazione che si effettua per discretizzare un filtro analogico col metodo delle differenze in avanti trasforma la regione di stabilità in s: nel semipiano a sinistra della retta σ=1 La trasformazione da effettuare per discretizzare un filtro analogico col metodo della Trasformata Z è: s=1/Tlnz Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum La Z-trasformata del segnale funzione potenza a^k è uguale a: z/z-a La Z-trasformata del segnale gradino unitario è uguale a: 1/z-1 La Z-trasformata del segnale impulso unitario è uguale a: 1 La Z-trasformata è definita: In una regione del piano complesso z detta dominio di convergenza Le caratteristiche della risposta di un sistema dipendono: Dalla posizione dei poli dell’ingresso e dei poli del sistema Le curve che si vedono tracciate sulla carta di Nichols rappresentano: i luoghi a modulo e fase a ciclo chiuso costanti Le equazioni differenziali a variabili separabili sono nella forma: Y'=f(x)g(y) Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine sono nella forma: Y'=f(x,y) Le equazioni differenziali: Racchiudono tutte le caratteristiche fondamentali del comportamento di un sistema Le grandezze che figurano negli schemi a blocchi si considerano: Funzioni della variabile di Laplace così che la grandezza uscente dal blocco si calcola come il prodotto tra la grandezza entrante e la trasferenza del blocco Le informazioni scambiate all'interno del sistema fabbrica: Consistono in dati funzionali, di prodotto, operativi e di performance Le leggi di Kirchhoff: Rappresentano le equazioni di equilibrio di un sistema elettrico Le n condizioni iniziali di un problema di Cauchy: Corrispondono ai valori della funzione incognita e delle sue derivate fino all'ordine n-1 Le principali specifiche di progetto per la stabilità a ciclo chiuso di un sistema sono: il modulo di risonanza e la banda passante a -3dB Le radici del polinomio caratteristico a ciclo chiuso di un sistema a controreazione con guadagno k in catena diretta: Si spostano verso gli zeri del sistema a ciclo aperto Le specifiche che riguardano il comportamento nel periodo transitorio possono essere date: nel dominio temporale, con riferimento alla risposta al segnale a gradino, e nel dominio della frequenza Le specifiche di comportamento di un sistema a ciclo aperto: Corrispondono alle specifiche di progetto riguardanti il margine di fase, il margine di guadagno e la pulsazione di attraversamento Le specifiche di progetto per i sistemi a tempo discreto riguardano il comportamento del sistema: a regime e durante il transitorio Le specifiche di progetto per i sistemi a tempo discreto: si dicono dinamiche se riguardano il comportamento del sistema durante il transitorio Le specifiche di progetto per i sistemi a tempo discreto: si dicono statiche se riguardano il comportamento del sistema a regime Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Nel progetto di una rete compensatrice a tempo discreto D(z) utilizzando il metodo diretto, si sfrutta la trasformazione bilineare: w=2(1-z^(-1))/T(1+z^(-1)) per passare al piano ausiliario w Nel regolatore di Watt per motori a vapore: Ad un aumento della velocità del motore corrisponde un aumento della forza centrifuga agente sulle sfere metalliche Nel sistema di controllo della temperatura corporea: L'elemento di controreazione fornisce i valori rilevati dai ricettori termici Nel sistema di controllo della velocità di una motocicletta L'azione di controreazione consiste nella misura della velocità tramite il tachimetro e nella sua acquisizione da parte dell'occhio umano Nel sistema di puntamento dei mulini a vento: Il rotore di supporto viene istallato con le pale in direzione perpendicolare con le pale del mulino Nel sistema massa-molla-smorzatore la forza elastica: Si oppone alla forza in ingresso Nel tracciamento completo dei diagrammi di Bode: La pulsazione di attraversamento ωt corrisponde al punto di intersezione tra l'asse delle ascisse e l'andamento del modulo Nel tracciamento completo dei diagrammi di Bode: La pulsazione ω(-π) corrisponde al punto di intersezione tra la retta parallela all’asse delle ascisse, che interseca le ordinate in -180°, e l'andamento della fase Nel tracciamento completo della Risposta Armonica G(jω) di un sistema tramite diagrammi di Bode, il guadagno statico si calcola come: K=G(jω) per jω=0 Nel tracciamento dei diagrammi di Bode della funzione G3D: Per valori di ω/ωn minori di uno il modulo vale circa 0dB Nel tracciamento dei diagrammi di Bode della funzione G3N: Per valori di ω che tende a zero la fase vale circa 0° Nel tracciamento di una qualsiasi trasferenza tramite diagrammi di Bode: Si riportano, sull'asse delle ascisse del diagramma delle fasi, i valori corrispondenti ad una decade prima ed una decade dopo, per ogni punto di rottura in valore assoluto Nel tracciamento di una qualsiasi trasferenza tramite diagrammi di Bode: Si riportano i punti di rottura in valore assoluto sull'asse delle ascisse Nell'algebra degli schemi a blocchi, lo spostamento di un nodo di diramazione a monte di un blocco K: Prevede che in ogni ramo in uscita dalla diramazione sia presente il blocco K Nell'algebra degli schemi a blocchi, lo spostamento di un nodo sommatore a valle di un blocco K: Prevede che in ogni ramo in ingresso al nodo sia presente il blocco K Nell'analisi dei sistemi si ha che: Un medesimo sistema di controllo, se sollecitato da ingressi diversi, presenta uscite diverse Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Nell'Industria 4.0: L'approccio ai sistemi di controllo risulta essere ibrido Nell'orologio ad acqua di Ctesibio: Il controllo consiste nel regolare in modo automatico il flusso d'acqua Nella costruzione del diagramma di flusso relativo al modello matematico di un sistema Si devono seguire regole ben precise Nella costruzione della tabella di Jury: gli elementi della prima riga sono i coefficienti del polinomio caratteristico del sistema disposti in ordine crescente delle potenze di z Nella definizione dei parametri di un controllore a tempo continuo, per determinare i valori che può assumere il guadagno K_c del controllore affinchè il sistema risulta stabile a ciclo chiuso: si applica il criterio di Routh all'equazione caratteristica della funzione di trasferimento a ciclo chiuso del sistema Nella descrizione dei sistemi di controllo: La rappresentazione con relazioni matematiche descrive quantitativamente il comportamento del sistema Nella funzione di trasferimento dei sistemi del secondo ordine, ζ prende il nome di coefficiente di smorzamento Nella funzione di trasferimento dei sistemi del secondo ordine, ζ, prende il nome di Coefficiente di smorzamento. Nella prima colonna della tabella di Routh: La presenza di coefficienti nulli permette di proseguire il procedimento solo a seguito di predefinite sostituzioni Nella procedura per la progettazione di un sistema di controllo La fase di simulazione del sistema controllato consiste nel testare il comportamento del controllo sia in condizioni reali che ideali Nella progettazione dei sistemi di controllo, data la funzione di sensiyvità associata Σ ad un sistema dinamico: per valori di 0 Nella progettazione dei sistemi di controllo, il margine di fase è: una specifica frequenziale sul transitorio Nella progettazione dei sistemi di controllo, le specifiche frequenziali sono: un modo alternativo di esprimere le specifiche dinamiche nel dominio della frequenza Nella progettazione dei sistemi di controllo, lo studio della sensiyvità parametrica è necessario per: valutare l'influenza, sull'uscita del sistema, da parte di variazioni interne alla funzione di trasferimento del sistema da controllare Nella progettazione dei sistemi di controllo, se il disturbo che agisce sul sistema: È associabile ad un segnale a gradino, allora un integratore posto a monte del disturbo sarà in grado di reiettarlo completamente a regime Nella progettazione di un sistema di controllo La definizione delle specifiche di progetto consiste nello stabilire gli obiettivi, la qualità del controllo e i costi previsti Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Nella rappresentazione dei sistemi di controllo tramite schemi a blocchi, grazie al principio di sovrapposizione degli effetti: E' possibile analizzare il contributo di ogni singolo ingresso per volta, per poi sommare i contributi ed ottenere l'uscita del sistema Nella rappresentazione dei sistemi di controllo tramite schemi a blocchi, per ottenere un sistema in forma minima non esiste una procedura univoca di applicazione delle regole di manipolazione Nella rappresentazione dei sistemi mediante diagrammi di flusso, se n rami, ognuno dei quali caratterizzato da una trasmittanza a_i con i=1,...,n, vengono connessi in parallelo: Equivalgono ad un unico ramo avente per trasmittanza la somma delle trasmittanze associate ai rami componenti Nella rappresentazione dei sistemi mediante diagrammi di flusso, se n rami, ognuno dei quali caratterizzato da una trasmittanza a_i con i=1,...,n, vengono connessi in serie: Equivalgono ad un unico ramo avente per trasmittanza il prodotto delle trasmittanze associate ai rami componenti Nella rappresentazione dei sistemi tramite schemi a blocchi, la trasferenza: Associata ad un blocco corrisponde al legame matematico esistente tra le grandezze entranti e quelle uscenti dal blocco stesso Nella rappresentazione dei sistemi tramite schemi a blocchi, secondo la procedura standard per arrivare alla forma canonica minima di un sistema Per motivi pratici è opportuno non sovrapporre gli anelli di controrazione Nella rappresentazione dei sistemi tramite schemi a blocchi: La funzione di trasferimento del sistema non dipende dalla particolare procedura di riduzione dello schema Nella rappresentazione di un sistema mediante schema a blocchi, ogni blocco è caratterizzato da: Un solo ingresso e una sola uscita Nella rappresentazione di un sistema mediante schema a blocchi, ogni nodo sommatore è caratterizzato dalla proprietà che: La variabile associata al ramo di uscita è data dalla somma algebrica delle variabili associate ai rami entranti Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode del fattore G2D, il modulo coincide con Una semiretta coincidente con l'asse delle ascisse per valori delle pulsazioni maggiori del punto di rottura e un segmento di pendenza -20db per valori della pulsazione compresi tra 0 e il punto di rottura Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode del fattore G2N, il modulo vale: 20log√(1+ω^2τ^2) Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode del fattore G3N, il modulo vale Un segmento coincidente con l'asse delle ascisse per valori della pulsazione compresi tra 0 e il punto di rottura e una semiretta di pendenza +40db per valori della pulsazione maggiori del punto di rottura Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Osservando il diagramma completo di Nyquist di un sistema si può affermare che: se il punto critico è all'esterno del diagramma il sistema è stabile Per analizzare un sistema applicando il criterio di Routh: Si costruisce la tabella di Routh utilizzando i coefficienti del polinomio a denominatore della funzione di trasferimento che descrive il sistema Per associare ad ogni ricostruttore la propria funzione di trasferimento continua nel dominio di Laplace H_r(s): si calcola la trasformata di Laplace della risposta del costruttore al segnale impulso Per calcolare l'uscita permanente di un sistema di controllo, valutata rispetto all'ingresso, si devono considerare: l'indice relativo all'ingresso canonico e il numero di poli nell'origine in catena diretta Per calcolare l'uscita permenente di un sistema, valutata rispetto ad un disturbo che interviene in catena diretta, si devono considerare: l'indice relativo al disturbo e il numero di poli nell'origine in catena diretta a monte del disturbo Per calcolare la soluzione delle equazioni lineari alle differenze di ordine n e a coefficienti costanti è necessario conoscere: i valori iniziali che assumono i segnali coinvolti e l'istante iniziale di elaborazione Per convenzione si considera che: Le radici del denominatore della funzione di trasferimento sono dette poli Per definire i margini di stabilità di un sistema a ciclo aperto tramite diagrammi di bode è necessario tenere in considerazione l'andamento della fase e l'andamento del modulo. Per definire il concetto di funzione di trasferimento a tempo discreto si utilizza un'importante strumento matematico, ossia: la Z-trasformata Per definire il tipo di sistema di controllo si considera: il numero di poli nell'origine presenti in catena diretta Per disturbo si intende: Un ingresso non noto che si sovrappone all'ingresso effettivo al sistema provocando un'uscita indesiderata Per i sistemi caratterizzati da una funzione di trasferimento che presenta un eccesso poli-zeri pari o inferiore a due, può accadere che: non sia possibile definire numericamente il margine di guadagno Per i sistemi di tipo 1 si ha un errore a regime esprimibile come: e_r=k_d/k_v Per i sistemi di tipo 2 si ha un errore a regime esprimibile come e_r=frac{k_d}{k_a}. Per la proprietà di convoluzione nel tempo della trasformata di Fourier si ha che: ∫f1(τ)f2(t-τ)dτ↔F1(ω)F2(ω) Per lo studio dei sistemi discreti è di fondamentale importanza: la trasformata Z Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Per lo studio della risposta di un sistema a controreazione: Si considerano come ingressi canonici al sistema quelli con indice i ≤ 2 Per ottenere i diagrammi di Bode complessivi che descrivono la Risposta Armonica di un sistema: Si sommano graficamente i contributi di ogni termine elementare che compare nella Risposta Armonica Per poter definire la stabilità di un sistema discreto descritto dalla generica funzione di Trasferimento G(z), tramite il criterio di Routh-Hurwitz: Si utilizza la trasformazione bilineare z=(1+w)/(1-w) Per poter integrare in forma compatta un'equazione differenziale, si deve conoscere: Le condizioni iniziali e il segnale di ingresso Per studiare la stabilita a tempo discreto di un sistema dinamico il cui polinomio caratteristico è di grado elevato: si possono utilizzare o il metodo di Routh-Hurwitz con trasformazione bilineare o il metodo di Jury Per tarare i parametri di un regolatore PID si deve tenere in considerazione: la dinamica del processo da controllare Per un ingresso a gradino L’errore a regime del sistema è nullo. Quando si rappresenta un qualsiasi processo utilizzando la Funzione di Trasferimento: non si riesce a tenere conto dei fenomeni che avvengono internamente al sistema in cui il processo è inserito Quando, nel piano w, si utilizza una rete ritardatrice come azione di compensazione, si osserva: uno sfasamento in ritardo della risposta armonica in una certa banda di frequenza Quando, nel piano w, si utilizza una rete ritardatrice come azione di compensazione: si osserva un'attenuazione del modulo della risposta armonica del sistema alle alte frequenze Se il termine forzante non è nullo: Allora l'equazione differenziale non è a variabili separabili Se in ingresso ad un sistema dinamico a tempo continuo, caratterizzato dalla trasferenza G(s), è presente un campionatore: la risposta del sistema si può scrivere come Y(s)=G(s)X*(s) Se in ingresso ad un sistema dinamico a tempo continuo, caratterizzato dalla trasferenza G(s), è presente un campionatore: è possibile definirne la funzione di trasferimento discreta Se in ingresso ad un sistema dinamico a tempo continuo, caratterizzato dalla trasferenza G(s), non è presente un campionatore: la risposta del sistema si può scrivere come Y(s)=G(s)X(s) Se in ingresso ad un sistema dinamico G(s) a tempo continuo è presente una sequenza di impulsi del tipo x*(t)=x(kT)δ_0(t-kT), in cui δ_0(t) è l'impulso di Dirac: allora la risposta y(t) è data dalla somma delle risposte ai singoli impulsi in ingresso Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Se in ingresso ad un sistema dinamico G(s) a tempo continuo è presente una sequenza di impulsi del tipo x*(t)=x(kT)δ_0(t-kT), in cui δ_0(t) è l'impulso di Dirac: la risposta del sistema è discontinua quando il grado relativo della funzione G(s) è uguale a 1 Se la funzione di trasferimento di un sistema presenta un polo a parte reale negativa e due poli complessi coniugati a parte reale positiva La risposta del sistema diverge Se le specifiche di un sistema impongono un valore della costante di guadagno molto elevato è opportuno: utilizzare una compensazione ad azione diretta Se le specifiche di un sistema impongono un valore della costante di guadagno molto elevato e si utilizza una compensazione diretta: si riduce di circa il 15% l'errore a regime del sistema Se per una funzione nella variabile del tempo f(t), sono verificate le condizioni di Dirichlet: La funzione f(t) può essere rappresentata tramite lo sviluppo in serie di Fourier Se si considera solo la striscia primaria del piano s allora le trasformazioni per muoversi tra i piani w e s mettono in corrispondenza biunivoca: il semipiano a sinistra dell'asse immaginario del piano s con il il semipiano a sinistra dell'asse immaginario del piano w Se si considera un sistema dinamico a tempo discreto descritto dalla funzione di trasferimento G(z)=3/(z+a): allora l'uscita presenta delle oscillazioni periodiche crescenti per a>1 Se si considera un sistema dinamico a tempo discreto descritto dalla funzione di trasferimento G(z)=3/(z+a): allora l'uscita diverge per valori del modulo di a |a|>1 Se si considera un sistema dinamico a tempo discreto descritto dalla funzione di trasferimento G(z)=3/(z+a): allora l'uscita converge per valori del modulo di a |a| < 1 Se un'equazione differenziale è omogenea: Allora il termine forzante è nullo Secondo il criterio di Bode per la stabilità di un sistema a ciclo chiuso: La condizione necessaria e sufficiente è che i diagrammi di Bode associati presentino mg → da 3dB a 5dB e mφ → da 30° a 60° Secondo il criterio di Routh: Ad ogni variazione di segno che presentano i termini della prima colonna della tabella di Routh, considerati consecutivamente, corrisponde una radice con parte reale positiva Secondo il metodo dell'analogia: Uno stesso modello può rappresentare fenomeni diversi, fra i quali esiste una omologia strutturale e di funzionamento Secondo il principio di sovrapposizione degli effetti: E' possibile risolvere un problema lineare analizzando separatamente ciascuna delle componenti Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Si considera l'espressione della sommatoria di convoluzione y(kT)=x(kT)*g(kT), allora la sequenza ponderatrice del sistema è: g(kT) Si considera un sistema a cui è stato impresso un ingresso sinusoidale: L’uscita del sistema a regime è un segnale sinusoidale con stessa frequenza della sinusoide di ingresso, ampiezza diversa e fase diversa rispetto all’ingresso Si definisce integrale di Laplace la seguente relazione: F(s)=L[f(t)]=∫[f(t)e^(-st)]dt Si definisce margine di guadagno: Una grandezza adimensionale che indica di quanto aumentare il guadagno per portare un sistema al limite della stabilità Si definisce Risposta Armonica la funzione: [Y(ω)/U][cosφ(ω)+jsinφ(ω)] Si definisce sistema a fase minima, quel sistema in cui: nella funzione di traferimento a ciclo aperto presenta solo poli e zeri a parte reale negativa Si definisce sistema a fase non minima, quel sistema in cui: Nella funzione di traferimento a ciclo aperto presenta uno o più poli e/o zeri a parte reale positiva Si definisce sistema a stabilità regolare un sistema per cui vale: 0 < K < K_L ≤ ∞ Si definisce striscia primaria: la striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s=(jω_s)/2 e s=-(jω_s)/2 Sia K il guadagno statico di un sistema, allora il guadagno a ciclo aperto Kg si può calcolare come: Kg=K/Kd Sia ωs la pulsazione di campionamento e sia ωc la più alta componente spettrale del segnale a tempo continuo da campionare, in base al teorema di Shannon: Deve essere rispettata la condizione ω_s>2ω_c Siano, h il numero di poli nell'origine presenti nella funzione di trasferimento a ciclo aperto di un generico sistema e i l'indice relativo all'ingresso applicato tali che h> i , allora l'errore a regime è nullo Sistema a ciclo chiuso a controreazione In un sistema di controllo a controreazione l’ingresso interagisce con l’uscita per mantenerla ad un valore desiderato. Su un sistema immerso in una realtà operativa agiscono: ingressi noti e disturbi non noti poiché si opera in condizioni non ideali Supponendo che un sistema dinamico a tempo discreto soddisfi le condizioni di Shannon sul campionamento: allora le caratteristiche del segnale campionato sono le stesse di quelle del segnale prima del campionamento Tracciando sul piano di Gauss il numero complesso 3+2j, questo si trova Nel primo quadrante Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Tramite la programmazione in Matlab è possibile simulare la risposta di un sistema ad un qualsiasi segnale di ingresso utilizzando il comando: lsim Tramite la programmazione in Matlab è possibile simulare la risposta di un sistema discreto ad un qualsiasi segnale di ingresso utilizzando l'istruzione: [y,t]=lsim(sistema,u,t) Tramite la trasformazione bilineare, che si usa nel criterio di Routh-Hurwitz per definire la stabilità dei sistemi a tempo discreto: i poli stabili della funzione di trasferimento a tempo discreto G(z) vengono trasformati in poli stabili della funzione G(w) Tutte le radici del polinomio caratteristico sono poli semplici se Si verifica che p_i`"p_j per qualsiasi coppia di indici i e j, con ' ≠ ) Tutte le radici del polinomio caratteristico sono poli semplici se: Si verifica che p_i≠p_j per qualsiasi coppia di indici i e j, con i≠j Un impianto industriale: E' un insieme coordinato di elementi che cooperano per ottenere un prodotto finito Un ingresso canonico nella forma generale si può scrivere nel dominio del tempo come: u(t)=(t^i/i!)δ_(-1)(t) Un modello comportamentale: Può essere una descrizione a parole del processo Un modello, che rappresenta un processo può avere una funzione descrittiva quando definisce il comportamento del processo in termini qualitativi Un modello: Descrive un oggetto, o un processo, della realtà tramite un linguaggio simbolico Un processo industriale: E' l'insieme coordinato di trasformazioni e trasmissione di energia, materiali e informazioni finalizzato alla realizzazione di un prodotto Un qualsiasi numero complesso s può essere rappresentato in: Forma cartesiana come s=σ+jω, con σ parte reale e ω parte immaginaria Un rete ritardatrice è caratterizzata da: Una sequenza polo-zero Un segnale di tipo discreto è associabile: ad una funzione discreta del tempo u(kT) Un sistema a controreazione: Monitora la grandezza in uscita e la prende come riferimento per l’azione di controllo Un sistema a stabilità regolare: È stabile per valori del guadagno compresi tra zero e un valore limite superiore Un sistema descrivibile dal modello matematico yi = f(xi) viene detto lineare se Per ogni ingresso del tipo ax_1+bx_2, l'uscita vale ay_1+by_2 Un sistema descrivibile dal modello matematico yi = f(xi) viene detto lineare se Per ogni ingresso del tipo ax1 + bx2 l'uscita vale ay1 + by2 Un sistema di controllo a controreazione è di tipo 2 se: Nella funzione di trasferimento ingresso-uscita in catena diretta, G(s), sono presenti due poli nell’origine Un sistema di controllo è di tipo 1 quando: Nella funzione in catena diretta G(s) è presente un polo nell'origine Fondamenti di Automatica Universita' Mercatorum Un sistema di controllo è robusto se: Presenta una buona reiezione ai disturbi e una bassa sensibilità alle variazioni parametriche Un sistema di controllo industriale: Deve essere in grado di interagire con il processo da controllare tramite sensori e attuatori Un sistema di controllo: E' la fusione tra strategia e tecnologia necessarie affinchè il sistema svolga il suo compito Un sistema di tipo 1 è caratterizzato da Errore nullo a regime a fronte di un ingresso a gradino. Un sistema dinamico a tempo discreto si dice stabile asintoticamente se: riesce a tornare nello stato di quiete in risposta a perturbazioni dello stato iniziale Un sistema dinamico a tempo discreto si dice stabile BIBO se: riesce a mantenere la propria uscita limitata a fronte di variazioni limitate del segnale di ingresso Un sistema dinamico a tempo discreto si dice stabile semplicemente se: riesce a mantenere l'uscita limitata in risposta a perturbazioni dello stato iniziale Un sistema è: Un insieme di componenti che agiscono in modo coordinato per ottenere un determinato comportamento non ottenibile dai singoli componenti isolati Un sistema lineare e stazionario è instabile se: Presenta almeno un polo della sua funzione di trasferimento nel semi-piano complesso destro o almeno due nell'origine Un sistema lineare e stazionario è stabile BIBO se: E' asintoticamente stabile Un sistema lineare e stazionario è stabile se: L’uscita rimane limitata in corrispondenza di qualsiasi ingresso limitato Un sistema lineare e stazionario si trova al limite della stabilità se: La funzione di trasferimento ha solo poli a parte reale negativa e un polo a parte reale nulla Un sistema lineare e stazionario, con condizioni iniziali nulle, è stabile BIBO se ad un ingresso |u(t)| ≤ N≤ ∞ corrisponde un'uscita t ≥0 per t≥0 Un sistema lineare e stazionario, con condizioni iniziali nulle, è stabile BIBO se: Ad un ingresso |u(t)|≤ N ≤∞ corrisponde un'uscita |y(t)|≤ M ≤∞ per t ≥ 0 Un sistema SCADA: E' un dispositivo utilizzato per differenti applicazioni di controllo industriale Un Sistema Si Dice Astatico Rispetto Al Punto Di Applicazione Del Disturbo Costante Se: A monte del punto in cui si presume agisca il disturbo c'è almeno un polo nell'origine Un sistema si dice astatico rispetto al punto di applicazione del disturbo se: A monte del punto in cui si presume agisca il disturbo c’è almeno un polo nell’origine Un sistema si dice astatico rispetto all'ingresso costante quando: il disturbo a gradino viene completamente reiettato Un sistema si dice stabile quando: Se a fronte di una perturbazione il sistema torna nelle sue condizioni inziali Un un sistema di controllo a controreazione, passando dalla configurazione a ciclo aperto alla configurazione a ciclo chiuso, si osserva: Che i poli del sistema variano la loro posizione nel piano complesso di Laplace