FORMULARIO ANALISI 1 E ANALISI 2, Dispense di Matematica Generale

Scarica FORMULARIO ANALISI 1 E ANALISI 2 e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! ANALISI 1 𝑠𝑒𝑛ℎ = (𝑒! − 𝑒"!) 2 ; cosh = (𝑒! + 𝑒"!) 2 ; cosh #(x) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)# = 1 ; 𝑠𝑒𝑛(𝑎) cos(𝑏) = $ # (𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) ; 𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏) = $ # (cos(𝑎 − 𝑏) − cos (𝑎 + 𝑏) |𝑧 + 𝑦| ≤ |𝑧| + |𝑦| ; −(|𝑧| + |𝑦|) ≤ 𝑧 + 𝑦 ≤ |𝑧| + |𝑦| ; cos(𝑎) cos(𝑏) = $ # (cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏) % √'±√) = % √'±√) ∗ √'∓√) √'∓√) = %+√'∓√), '") ; 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)! ; 𝑛! = (./$)! ./$ ; (𝑥 + 𝑎). =< =.2>𝑥 2𝑎."2 . 234 𝑎5 − 𝑏5 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎# + 𝑎𝑏 + 𝑏#) ; 𝑎5 + 𝑏5 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎# − 𝑎𝑏 + 𝑏#) ; 𝑎# − 𝑏# = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) (𝑎 ± 𝑏)5 = 𝑎5 ± 3𝑎#𝑏 + 3𝑎𝑏# ± 𝑏5 ; Formule trigonometriche sin(𝛼 ± 𝛽) = sin𝛼 cos 𝛽 ± sin𝛽 cos 𝛼 cos(𝛼 ± 𝛽) = cos𝛼 cos 𝛽 ∓ sin𝛼 sin𝛽 tan(𝛼 ± 𝛽)= (tan𝛼 ± tan𝛽)/(1 ∓ tan𝛼 tan𝛽) sin 2𝛼 = 2 sin𝛼 cos 𝛼 ; cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠# 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛#𝑎 ; tan 2𝑎 = #6'.(') $"789! ' sin 𝑎 ± sin𝛽 = 2 sin '±) # cos '∓) # cos(a) + cos (b) = 2 cos L'/) # M cos L'") # M cos(𝑎) − cos(𝑏) = −2𝑠𝑒𝑛 L'/) # M 𝑠𝑒𝑛 L'") # M 𝑠𝑒𝑛 L' # M = ±N$":;<' # ; cos L' # M = ± N$/:;<' # ; tan L' # M = ±N$":;<' $/:;<' = <=.' $/:;<' = $":;<' <=.' Limiti notevoli per x-> 0 o ƒx->0 Limiti notevoli per x->+-∞ >?9ƒA ƒA = 1 BCD"($/ƒ!) ƒ! = $ B9(') lim .→F L1 + $ G! M ƒ! = 𝑒 tan(ƒx)/ƒ𝑥 = 1 (𝑎ƒ! − 1)/ƒ𝑥 = ln (𝑎). log' L1 + $ ! M ! = log' 𝑒 $":;<ƒ! ƒ! = 0 (𝑒ƒ! − 1)/ƒ𝑥 = 1 lim !→$ ('H:I;< !)! $"! = 2 8KL789(ƒ!) ƒ! = 1 $":;<ƒ! (ƒ!)! = $ # >?9M(ƒ!) ƒ! = 1 (>?9#$ ƒ!) ƒ! = 1 tan = stesso di sinh (cosh=ƒ𝑥> − 1)/((ƒ𝑥)^2) = 1/2 Derivate |𝑥| = 𝑠𝑔𝑛𝑥 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 |!| ! log' 𝑥 = $ ! O.(') 𝑎! = 𝑎! ln(𝑎) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 tan(𝑥) = 1/ 𝑐𝑜𝑠#(𝑥) 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 1 + tan# 𝑥 𝐶𝑡𝑔(𝑥) = − $ <=.!! 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 − (1 + 𝑐𝑡𝑔#(𝑥)) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = $ P$"!! 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑥) = − $ P$"!! 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔(𝑥) = $ $/!! 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑡𝑔(𝑥) = − $ $/!! Integrali ∫ $! 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥|+c ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 ∫1 + tan# 𝑥 𝑑𝑥 =∫1/(cos# 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫1 + 𝐶𝑡𝑔#𝑥 𝑑𝑥 = ∫ $>?9! ! 𝑑𝑥 = −𝐶𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑒2!𝑑𝑥 = = %& 2 + 𝑐 ∫ 𝑎!𝑑𝑥 = ' & O.' + 𝑐 ∫ $ <=.! 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 a𝑡𝑔 L! # Ma + 𝑐 ∫ $ :;<! 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 a𝑡𝑔 L! # M + Q R a + 𝑐 ∫ $ $/!! 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫ $($"!!)𝑑𝑥 = $ # 𝑙𝑛 a$/! $"! a + 𝑐 ∫ $ P$/!! 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 ln (𝑥 + √1 + 𝑥#) + 𝑐 ∫ $ P!!±'! 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 a𝑥 + d𝑥# ± 𝑎#a + 𝑐 ∫d𝑥# ± 𝑎# 𝑑𝑥 = ! # d𝑥# ± 𝑎# ± ' ! # ln L𝑥 + d𝑥# ± 𝑎#M + 𝑐 ∫ 𝑠𝑒𝑛#𝑥 𝑑𝑥 = $ # (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐 ∫ √𝑎# − 𝑥# 𝑑𝑥 = $ # (𝑎#𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 L! ' M + 𝑥√𝑎# − 𝑥#)+c ∫ cos# 𝑥 𝑑𝑥 = $ # (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐 ∫1 /(cosh# 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑇𝑔ℎ#𝑥)𝑑𝑥 = 𝑡𝑔ℎ𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 = − ln(𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐 ∫ $'!/!! = $ ' arctan L! ' M + 𝑐 ∫ $'!/(!/))! 𝑑𝑥 = $ ' arctan L!/) ' M + 𝑐 Scala degli infinti ln)(𝑛) 𝑏 > 𝑎 𝑛' 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑎. 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1 𝑛 . # 𝑛! 𝑛. (𝑎𝑛)! Integrali riconducibili ad immediati ∫ ƒ .(𝑥) ∗ ƒ ′(𝑥)𝑑𝑥 = ƒ ()$(!) ./$ + 𝑐 ∫ ƒ S(!) ƒ(!) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|ƒ(𝑥)| + 𝑐 ∫ ƒ (𝑥)S cos=ƒ(𝑥)> 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛=ƒ(𝑥)> + 𝑐 ∫ ƒ (𝑥)S 𝑠𝑒𝑛=ƒ (𝑥)> = − cos=ƒ(𝑥)> + 𝑐 ∫ 𝑒ƒ(!) ∗ ƒ ′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒^𝑓(𝑥) + 𝑐 ∫ 𝑎G(!) ∗ ƒ ′(𝑥) 𝑑𝑥 = ' ƒ(&) O.' + 𝑐 ∫ ƒ -(!) $/ƒ!(!) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔=ƒ(𝑥)> + 𝑐 Parti = ∫ ƒ ′(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) − ∫ ƒ(𝑥) ∗ 𝑔 ′(𝑥) 𝑑𝑥 Fratti = N(x)>=D(x) -> ∫ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ T(!) U(!) 𝑑𝑥 N(x)<D(x) e D(x) raccoglibile in = (𝑥 ± 𝑎). = ∫ V(!±')$ . . . +. . . V( (!±')( O se 𝐷(𝑥) = (𝑙𝑥. ± 𝑎)(𝑝𝑥2 ± 𝑏)… → ∫ V O!(±' + W X!%±) … se ∆ D(x)<0 ∫ ( '!/) !!/X!/Y ) = ' # ln(𝑥# + 𝑝𝑥 + 𝑞) + (#)"'X √"∆ )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(#!/Y √"∆ ) Integrali impropri notevoli ∫ $(!"')( 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑠𝑒 𝑛 < 1 [ ' 𝑒/𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑎 = 0 ∫ $ !. 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑠𝑒 𝑏 > 1F' ∫ $!"|B9(!)|. 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑎 < 1 𝑒 𝑏 𝑖𝑛 𝑅 𝑜 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 > 1 ' 4 ∫ $ B9. ! 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑠𝑒 𝑏 < 1'$ ∫ $!" B9. ! 𝑑𝑥 F ' 𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑏 𝑖𝑛 𝑅 𝑜 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 > 1 Volume solidi rotazione 𝑉 = 𝜋 L∫ 𝑓#(𝑥)𝑑𝑥)' M Mc Laurin cosh(𝑥) = 1 + ! ! #! + ! / R! + ! 0 \! … 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 𝑥 + ! 1 5! + ! 2 ]! + ! 3 ^! … arctan(𝑥) = 𝑥 − ! 1 5 + ! 2 ] − ! 3 ^ … tan(𝑥) = 𝑥 + $ 5 𝑥5 + # $] 𝑥]… cos(𝑥) = 1 − ! ! #! + ! / R! − ! 0 \! … sin(𝑥) = 𝑥 − ! 1 5! + ! 2 ]! − ! 3 ^! … ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − ! ! # + ! 1 5 − ! / R … 𝑒"! = 1 − 𝑥 + ! ! #! − ! 1 5! + ! / R! … 𝑒! = 1 + 𝑥 + ! ! #! + ! 1 5! + ! / R! ... (1 + 𝑥)' = 1 + 𝑎𝑥 + '('"$) # 𝑥# + '('"$)('"#) \ 𝑥5+. . +='.>𝑥 . 𝑡𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 𝑓(𝑥) = ∑ G -(%)(!4) 2! (𝑥 − 𝑥4)2."$234 + 𝑅.(𝑥) anche 𝑓(𝑥4 + ℎ) = ∑ ( G-(%)(!4) 2! ℎ2) + 𝑅.(ℎ)."$234 𝑐𝑜𝑛 𝑅.(𝑥) = G-(()$)(_) (./$)! (𝑥 − 𝑥4)./$ Complessi (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) ; (𝑎, 𝑏) ∗ (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ; Inverso (𝑎, 𝑏) = L ' '!/)! , − ) '!/)! M ; 𝑖 = (0,1) ; 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ; 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏 ; |𝑧| = √𝑎# + 𝑏# ; 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑) ; ` a = `∗ac|a|! ; 𝑧$ +∗ 𝑧#xxxxxxxxxxx = 𝑧$y +∗ 𝑧#y ; 𝑧 ∗ 𝑤 = (𝑎 + 𝑖𝑏) ∗ (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ; ` a = '/d) :/de = ':/)e :!/e! + d():"'e) :!/e! ; 𝑧 = r(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝜌𝑒df → 𝜌 = d𝑎# + 𝑏# ; 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎 √𝑎# + 𝑏# ; 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏 √𝑎# + 𝑏# ; 𝜃 = arctan() ' ) 𝑠𝑒 𝑎 > 0 (+𝜋 𝑠𝑒 𝑎 < 0 ) 𝑧 ∗ 𝑤 = 𝜌` ∗ 𝜌a[cos(𝜃` + 𝜃a) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃` + 𝜃a)] ; ` a = g5 g6 [cos(𝜃` − 𝜃a) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃` − 𝜃a)] 𝑧. = 𝜌.[cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)] ; √𝑧( = d𝜌( [cos(𝜑) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜑)] 𝑐𝑜𝑛 𝜑 = f/#2Q. 𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑎 ; 𝑧 ∗ 𝑧̅ = |𝑧|# Valori noti seno coseno tangente grad 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° rad 0 Q \ Q R Q 5 Q # # 5 𝜋 5 R 𝜋 ] \ 𝜋 𝜋 ^ \ 𝜋 ] R 𝜋 R 5 𝜋 5 # 𝜋 ] 5 𝜋 ^ R 𝜋 $$ \ 𝜋 2𝜋 𝑠𝑒𝑛 0 1 2 √2 2 √3 2 1 √3 2 √2 2 1 2 0 − 1 2 − √2 2 − √3 2 − 1 − √3 2 − √2 2 − 1 2 0 cos 1 √3 2 √2 2 1 2 0 − 1 2 − √2 2 − √3 2 − 1 − √3 2 − √2 2 − 1 2 0 1 2 √2 2 √3 2 1 tan 0 √3 3 1 √3 ± ∞ − √3 − 1 − √3 3 0 √3 2 1 √3 ± ∞ − √3 − 1 − √3 3 0 2. Trovo la Jacobiana della trasformazione → ˜𝑋w 𝑋j𝑌w 𝑌j ™ 3. Il pagamento J(u,v) è il DETERMIANTE della matrice Jacobina → (𝑋w𝑌j − 𝑋j𝑌w) Da notare che in coordinate polari la matrice del pagamento è L 𝑥g 𝑥f 𝑦g 𝑦fM il cui DETERMINANTE è 𝜌 Se il cambio di variabili è una traslazione allora il pagamento è sempre 1 COORDINATE CILINDRICHE E SFERICHE NELLO SPAZIO: • Coordinate Cilindriche 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝜌, 𝜃, 𝑧 ° 𝑑𝑧 ) ' ° 𝑑𝜃 f 4 ° 𝑑𝑝 𝑓(𝜌, 𝜃, 𝑧) g 4 ∗ 𝜌 𝑐𝑜𝑛 𝜌 𝑖𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 • Coordinate Sferiche 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝜌, 𝜃, 𝜑 𝜌 = 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑛𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎 d𝑥# + 𝑦# + 𝑧# 𝜃 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑒 𝜑 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 ? 0 ≤ 𝜌 ≤ ∞ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 − 𝜋 2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 2 Formule di passaggio : 𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 cos𝜑 𝑦 = 𝜌 sin 𝜃 cos𝜑 𝑧 = 𝜌 sin𝜑 La Matrice dei pagamenti diventa → ± 𝑥g 𝑥f 𝑥r 𝑦g 𝑦f 𝑦r 𝑧g 𝑧f 𝑧r ² e il pagamento diventa → 𝜌# cos𝜑 BARICENTRI E MOMENTI DI INERZIA: Sia 𝐹 ⊆ 𝑅# una figura piana , e il suo baricentro il punto G di coordinate: 𝑥x = 1 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐹)∬y𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦x = 1 𝑎𝑟𝑒𝑎(𝐹)∬y𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Analogamente per il solido di 𝑆 ⊆ 𝑅5 il baricentro ha coordinate : 𝑥x = $ z'Owp=({) ∭{ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑦x = $ z;Owp=({) ∭{ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑧x = $ z;Owp=({) ∭{ 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Il momento d’inerzia di un solido S rispetto ad una retta r è , a meno di costanti : ∭{ 𝑑𝑖𝑠𝑡 #=(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑟> 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 VOLUME SOLIDI DI ROTAZIONE: Si ottiene ruotando una figura piana intorno ad un asse, solitamente uno dei tre assi coordinati • Formula diretta: 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅5 ∶ 𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑥# + 𝑦# ≤ 𝜑#(𝑧)} 𝑉𝑜𝑙(𝑆) = 𝜋° 𝜑#(𝑧)𝑑𝑧 ) ' • Teorema di Guldino 1 𝑉𝑜𝑙(𝑆) = 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐹) 2𝜋 𝑦x 𝑦x = 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 ⇑ CURVE Una curva nel piano è una qualunque funzione 𝛾 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅# Una curva nello spazio è una qualunque funzione 𝛾 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅5 Si dice sostegno di una curva, la traiettoria della curva , due curve diverse potrebbero avere lo stesso sostegno. Una curva è chiusa se 𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏) , si dice semplice se non ritorna mai in se stessa, non si interseca sola. Velocità (vettore) = vettore tangente : ?̇? = =?̇?(𝑡), ?̇?(𝑡)> “speed”, velocità scalare cioè → ¸|?̇?|¸ = d?̇?# + ?̇?# Retta tangente → 𝛾(𝑡4) + 𝑡?̇?(𝑡4) LUNGHEZZA DI UNA CURVA: LUNGHEZZA CURVA COORDINATE POLARI: lunghezza = ∫ N=?̇?(𝑡)> # + =?̇?(𝑡)># )' 𝑑𝑡 lunghezza = ∫ N𝜌 #̇ + 𝜌#?̇?# 𝑑𝑡)' INTEGRALI CURVILIENI: ∫|𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)>d?̇?#(𝑡) + ?̇?#(𝑡) ) ' 𝑑𝑡 se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 allora stiamo calcolando la lunghezza della curva BARICENTRO DI UNA CURVA: 𝑥x = $ Ow.x}=``' ∫|𝑥𝑑𝑠 𝑦x = $ Ow.x}=``' ∫|𝑦𝑑𝑠 FORME DIFFERENZIALI: Si presenta nella forma 𝜔 = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 i vari pezzi A() B() C() sono detti coefficienti della forma INTEGRALE DI UNA FORMA DIFFERENZIALE LUNGO UNA CURVA: ∫|𝜔 = ° 𝐴=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)> ∗ ?̇?(𝑡)𝑑𝑡 + ° 𝐵=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)> ∗ ?̇?(𝑡)𝑑𝑡 ) ' +° 𝐶=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)> ∗ ?̇?(𝑡)𝑑𝑡 ) ' ) ' DIFFERENZE: integrale di funzione lungo una curva : se due curve percorrono lo stesso sostengo allora l’integrale diventa lo stesso, inoltre i pezzi percorsi più volte danno contributi che si sommano. integrale di una forma : se due curve percorrono lo stesso sostegno una volta sola e con lo stesso verso di percorrenza allora l’integrale e lo stesso, tratti percorsi in senso opposto si cancellano. (si utilizza per descrivere il lavoro, ecco perché il segno) FORME ESATTE E CHIUSE: Una forma si dice esatta se è gradiente di un potenziale cioè se esiste 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝐹!(𝑥, 𝑦) 𝐵(𝑥, 𝑦) = 𝐹i(𝑥, 𝑦) Una forma si dice chiusa se 𝐴i = 𝐵! 𝐴` = 𝐵! 𝐵` = 𝐶i SE E’ ESATTA ALLORA E’ CHIUSA, SE NON E’ CHIUSA NON E ESATTA Sia w una forma esatta e sia F il suo potenziale, allora per ogni curva g …… ∫|𝜔 = 𝐹=𝛾(𝑏)> − 𝐹(𝛾(𝑎)) Sono equivalenti : 𝜔 è 𝑒𝑠𝑎𝑡𝑡𝑎 ↔ ∫g𝜔 = 0 ⟷ ∫|̇𝜔 = ∫|̈𝜔 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 ?̇? 𝑒 ?̈? 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑙𝑖 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 SUPERFICI: • Superficie cartesiana: 𝐴 ⊆ 𝑅# , 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝑅 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜖 𝑅5 ∶ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐴 } • Superficie implicita: 𝑆 ⊆ 𝑅5 𝑖𝑙 𝑙𝑢𝑜𝑔𝑜 𝑑𝑖 𝑧𝑒𝑟𝑖 𝑑𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 3 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜖 𝑅5 ∶ 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 • Superficie parametrica : 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝐴 ⊆ 𝑅#, 𝑑𝑎𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) 𝑖𝑛 𝐴 𝑆 = { 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) ∶ (𝑢, 𝑣) 𝜖 𝐴} PIANO TANGENTE AD UNA SUPERFICIE , VETTORE NORMALE AL PIANO TANGENTE • Superficie cartesiana: 𝑧 = 𝑓(𝑥4, 𝑦4) + 𝑓!(𝑥4, 𝑦4)(𝑥 − 𝑥4) + 𝑓i(𝑥4, 𝑦4)(𝑦 − 𝑦4) • Superficie implicita: 𝑆 = { (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜖 𝑅5 ∶ Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 < ∇Φ(𝑥4, 𝑦4, 𝑧4), (𝑥, 𝑦, 𝑧) > = 𝑑 Vettore normale : ∇Φ(𝑥4, 𝑦4, 𝑧4) • Superficie parametrica: (𝑥4, 𝑦4, 𝑧4) + 𝑡(𝑥w, 𝑦w, 𝑧w) + 𝑠(𝑥j, 𝑦j, 𝑧j) AREA DI UNA SUPERFICIE: • Superfice parametrica : (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)) 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆) = ∬Vd𝑀$ #(𝑢, 𝑣) +𝑀##(𝑢, 𝑣) +𝑀5#(𝑢, 𝑣) 𝑑𝑢𝑑𝑣 L 𝑥w 𝑦w 𝑧w 𝑥j 𝑦j 𝑧jM 𝑀$ = 𝑦w𝑧j − 𝑧w𝑦j 𝑀# = −𝑥w𝑧j + 𝑧w𝑥j 𝑀5 = 𝑥w𝑦j − 𝑦w𝑥j • Superficie cartesiana: 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣) 𝑐𝑜𝑛 (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐴 ⊆ 𝑅# → 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 → (𝑢, 𝑣, 𝑓(𝑢, 𝑣)) L 𝑥w 𝑦w 𝑧w 𝑥j 𝑦j 𝑧jM = ˜ 1 0 𝑓w(𝑢, 𝑣) 0 1 𝑓j(𝑢, 𝑣) ™ → 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆) = ∬Vd1 + 𝑓w# + 𝑓j# 𝑑𝑢𝑑𝑣 • Superficie di rotazione: 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆) = 2𝜋∫ 𝜑(𝑧)N1 + =?̇?(𝑧)> # 𝑑𝑧)' Teorema Guldino 2 : 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆) = 𝑙𝑢𝑛𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎(𝛾) ∗ 2𝜋 ∗ 𝑦x Gradiente, divergenza, rotore, laplaciano: Gradiente : ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓!(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓i(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)) Laplaciano : ∆𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓!! + 𝑓ii + 𝑓 ` 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸À⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧) Rotore : 𝑟𝑜𝑡=𝐸À⃗ > = 𝑠𝑣𝑖𝑙𝑢𝑝𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜 ± 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕! 𝜕i 𝜕` 𝐴 𝐵 𝐶 ² = (𝐶i − 𝐵`, 𝐴` − 𝐶! , 𝐵! − 𝐴i) Divergenza : 𝑑𝑖𝑣 =𝐸À⃗ > = 𝐴!(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐵i(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐶`(𝑥, 𝑦, 𝑧) Criteri utili: 𝑑𝑖𝑣=∇(f)> = ∆𝑓 | ∆𝑓 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑎 𝐻𝑓 | 𝑟𝑜𝑡=∇(𝑓)> = (0,0,0) a 𝑑𝑖𝑣 L𝑟𝑜𝑡=𝐸À⃗ >M = 0 a ∇ L𝑟𝑜𝑡=𝐸À⃗ >M = 𝑁. 𝐸. | 𝑟𝑜𝑡(∆𝑓) = 𝑁. 𝐸. Se 𝐸À⃗ = ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑟𝑜𝑡=𝐸À⃗ > = 0j vale anche il contrario solo se l’insieme è semplicemente connesso Se 𝑑𝑖𝑣=𝐸À⃗ > = 0 e l’insieme è stellato allora 𝐸À⃗ è 𝑢𝑛 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑛 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑖 𝑐𝑢𝑖 𝑟𝑜𝑡 è 0 INTEGRALI DI FLUSSO IN 𝑹𝟐 : flusso : ∫| < 𝐸À⃗ , 𝑛À⃗ > 𝑑𝑠 = ∫ L𝐴=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)>?̇?(𝑡) − 𝐵=𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)>?̇?(𝑡)M ) ' 𝑑𝑡 con vettore normale ruotato in senso orario FORMULA SI GAUSS GREEN : ∫s𝑓 𝑑𝑖𝑣=𝐸À⃗ >𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫hs𝑓 < 𝐸À⃗ , 𝑛À⃗ > 𝑑𝑠 − ∫s < ∇𝑓 , 𝐸À⃗ > 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕Ω 𝑠𝑎𝑟𝑒𝑏𝑏𝑒 𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 Se considero 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 → ∫s 𝑑𝑖𝑣=𝐸À⃗ > 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ls < 𝐸À⃗ , 𝑛À⃗ > 𝑑𝑠 = ∫hs 𝐴𝑑𝑦 − 𝐵𝑑𝑥 INTEGRALI DI FLUSSO IN 𝑹𝟑 : Integrali superficiali : ∫{𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝜎 = ∫s𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣) , 𝑦(𝑢, 𝑣) , 𝑧(𝑢, 𝑣) d𝑀$ # , 𝑀## , 𝑀5# 𝑑𝑢𝑑𝑣 FORMULA SI GAUSS GREEN : ∫s𝑓 𝑑𝑖𝑣=𝐸À⃗ >𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫hs𝑓 < 𝐸À⃗ , 𝑛À⃗ > 𝑑𝜎 − ∫s < ∇𝑓 , 𝐸À⃗ > 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Se considero 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 → ∫s 𝑑𝑖𝑣=𝐸À⃗ > 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ls < 𝐸À⃗ , 𝑛À⃗ > 𝑑𝜎 FORMULA DI STOKES : orientare la superficie, assumendo che abbia un bordo parametrizzare la curva (semisfera su Z ≥ 0 , (𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃, 0) con 𝜃 𝜖 [0,2𝜋]) consideriamo una parametrizzazione Φ(u, v) = =𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)> il versore normale è dato da Φw ∧ Φj formula di Stokes = Teorema del rotore ∫𝑺 < rot EÀ⃗ , nÀ⃗ > dσ = ∫h{ < 𝐸À⃗ , 𝜏 > 𝑑𝑆 = ∫h{ 𝐴 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑑𝑦 + 𝐶 𝑑𝑧 Con 𝜏 versore tangente a 𝜕𝑆 Il flusso del rotore di 𝐸À⃗ attraverso una superficie S è uguale alla circuitazione di 𝐸ÀÀÀ⃗ lungo il bordo di S INTEGRALI IMPROPRI IN PIU’ VARIABILI: Se la zona di integrazione è illimitata e/o la funzione integranda è illimitata 1. Funzioni con problemi in un punto (𝑥4, 𝑦4) 𝜖 𝐴 ∫V𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim‚→4) ∫V\I7𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Come da limite ha 3 possibilità, 1) converge 2) ±∞ 3) non converge 2. Funzioni limitata con zona di integrazione illimitata supponiamo 𝐴 = { (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑅# ∶ 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 } ∫V𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim„→ /F∫%8𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = limT→/F∫{9𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑄„ = [𝐿, 0]x[0, 𝐿] 𝑆T = {𝑥# + 𝑦# ≥ 0: 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0} 3. Se un integrale ha entrambi i problemi , allora si spezza in sotto integrali , ciascuno con un problema solo. Usando formule di riduzione o cambi di variabile ci si riduce ad avere integrali improprio di analisi 1 (Pg. 1) TECNICA DEL PAREGGIAMENTO DEGLI ESPONENTI: l’idea è quella di pareggiare gli esponenti con un cambio di variabile per studiare meglio l’integrale. Es. ∫V $ !!/i/ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) 𝜖 𝑅# ∶ 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥# + 𝑦# ≥ 1} -> ponendo 𝑦# = 𝑧 𝑒 𝑥 = 𝑤 si ottiene ∫W $ a!/`! ∗ $ #√` 𝑐𝑜𝑛 𝐵 = {(𝑤, 𝑧) 𝜖 𝑅#: 𝑤 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0,𝑤# + 𝑧 ≥ 1 } SERIE: 𝑆 = ∑ 𝑎2 = lim.→/F∑ 𝑎2 = lim.→ 𝑆. . 234 /F234 Converge ó 𝑆. Converge Diverge ó 𝑆. E’ irregolare ó 𝑆. non ha limite SERIE GEOEMTRICA: ∑ 𝑞. = +∞ 𝑠𝑒 𝑞 ≥ 1 $ $"Y 𝑠𝑒 |𝑞| < 1 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑞 ≤ −1 /F.34 CRITERIO DEL RAPPORTO : Sia 𝑎. una successione t.c. 𝑎. > 0 (𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒) e lim.→/F '(/$ '( = 𝑙 > 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 lim .→F d𝑎.( = 𝑙 > 0 Allora se 0 < 𝑙 < 1 => ∑𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 se 𝑙 > 1 𝑜 𝑙 = +∞ => ∑𝑎. = +∞ TEOREMA DEL CONFRONTO ASINTOTICO : Siano 𝑎. 𝑒 𝑏. successioni t.c. 𝑎. > 0 (𝑝𝑒𝑟 𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒) 𝑎. ~ 𝑏. Allora ∑ 𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 <=> ∑𝑏. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 ∑𝑎. = +∞ <=> ∑𝑏. = +∞ CRITERIO DEGLI INFINITESIMI : 1. Sia 𝑎. ~ $ .: allora ∑𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 𝑝 > 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 𝑝 ≤ 1 2. Sia 𝑎. ~ $ .:(BCD.); 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 ∑ 𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑒 (𝑝 > 1) 𝑣 (𝑝 = 1 𝑞 > 1) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 ±∞ 𝑠𝑒 𝑝 < 1 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑠𝑒 𝑝 = 1 𝑒 𝑞 ≤ 1 TEOREMA ASSOLUTA CONVERGENZA : Se una serie converge assolutamente allora converge semplicemente. ∑ |𝑎.|𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → ∑𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 /F.34 CRITERIO DI LIEBNITZ : Si consideri ∑ −1.𝑎./F.34 allora se : 1. 𝑎. ≥ 0 | 2. 𝑎. è 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 | → ∑ −1. 𝑎. 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 /F.34 3. 𝑎. → 0 | SCHEMA RIASSUNTIVO Termini Positivi: • Se è dominata da termini di tipo esponenziale (𝑒. 2". 𝑛! 𝑛.) allora si applica il CRITERIO DEL RAPPORTO. • Se è dominata da termini di tipo Polinomiale allora si applica il CONFRONTO ASINTOTICO o CRITERIO ININITESIMI. Termini A Segno Alterno: • E’ del tipo ∑(−1. 𝑎.) 𝑐𝑜𝑛 𝑎. → 𝑙 ≠ 0 è 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 • Assoluta Convergenza (𝑠𝑒 ∑|𝑎.| < + ∞) 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 Σ 𝑎. • Se non funzionano 1 e 2 provo il criterio LIEBENIZ