Formulario completo di meccanica quantistica, Formulari di Meccanica Quantistica

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FORMULARIO QUANTISTICA 27 Dicembre 2020 Indice 1 RAPPRESENTAZIONI 3 2 CONDIZIONI DI NORMALIZZAZIONE 4 2.1 NEL NOSTRO SPAZIO DI HILBERT L2 . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 NORMALIZZAZIONE NELLO SPAZIO DELLE DISTRIBUZIO- NI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 INTRODUZIONE AI POSTULATI DELLA MECCANICA QUAN- TISTICA 5 3.1 MATRICI HERMITIANE EDOPERATORE HERMITIANOAG- GIUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 TEOREMA DELL’ HERMITICITA’ . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 TEOREMA BASE ORTONORMALE . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4 MATRICE UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.5 DECOMPOSIZIONE DELL’IDENTITA’ . . . . . . . . . . . . . 5 4 OSSERVABILE E PROBABILITA’ 6 4.1 ALTRI COMMUTATORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 ESPONENZIALE DI UNA MATRICE 6 5.1 MATRICE DIAGONALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.2 MATRICE NON DIAGONALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.3 PROPRIETA’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 PARITÀ 7 6.1 UNA DIMENSIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6.2 TRE DIMENSIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7 EVOLUZIONE TEMPORALE NELLE DUE RAPPRESEN- TAZIONI 8 8 MECCANICA QUANTISTICA IN 3 DIMENSIONI 8 1 9 TEORIA DEL MOMENTO ANGOLARE 9 9.1 MOMENTO ANGOLARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9.2 OPERATORI DI SALITA E DISCESA PER L . . . . . . . . . . 9 10 OPERATORI DI ROTAZIONE 10 10.1 DUE DIMENSIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10.2 TRE DIMENSIONI INTORNO AD UN ASSE . . . . . . . . . . 10 11 ARMONICHE SFERICHE 11 12 ATOMO DI IDROGENO 11 12.1 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12.2 NUMERI QUANTICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13 OSCILLATORE ARMONICO 12 13.1 OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE . . . . . . 12 13.1.1 VALORI MEDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13.1.2 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI . . . . . . . . . . . . 12 13.1.3 NUMERI QUANTICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13.2 OSCILLATORE ISOTROPO BIDIMENSIONALE . . . . . . . . 13 13.2.1 AUTOVALORI E AUTOVETTORI . . . . . . . . . . . . 13 13.2.2 NUMERI QUANTICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13.3 OSCILLATORE ISOTROPO TRIDIMENSIONALE . . . . . . . 14 13.3.1 AUTOVALORI E AUTOVETTORI . . . . . . . . . . . . 14 13.4 OSCILLATORE ISOTROPO FORMALISMO DI V = 1 R IN 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 PARTICELLA LIBERA 14 14.1 AUTOVALORI E AUTOSTATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 BUCA DI POTENZIALE 15 15.1 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15.2 NUMERI QUANTICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 PARTICELLA SU UN CERCHIO 15 16.1 AUTOFUNZIONI E SPETTRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 17 PARTICELLA SUL CILINDRO 16 17.1 SPETTRO ED AUTOVALORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 18 SPIN E J 16 18.1 RAPPRESENTAZIONE DELLO SPIN = 1 2 LUNGO UN ASSE . 17 18.2 AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI S⃗ . . . . . . . . . . . . . 17 18.3 PARITA’ DELLE FUNZIONI DI SPIN . . . . . . . . . . . . . . 17 19 RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DEGLI OPERATORI L E S 18 2 3 INTRODUZIONE AI POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA 3.1 MATRICI HERMITIANE ED OPERATORE HER- MITIANO AGGIUNTO Definizione : Una matrice si dice hermitiana se : A = A+ =⇒ aij = a∗ij Questa matrice è sempre diagonalizzabile. Definizione : Definiremo operatore hermitiano aggiunto : (v,Aw) = (A+v, w) 3.2 TEOREMA DELL’ HERMITICITA’ A rispetta tutte le proprietà ⇔ è Hermitiana. Proprietà : • I valori medi di un operatore hermitiano sono reali: (v,Av) = (v,Av)∗ • Presi v e w tali che :{ Av = λv Aw = µw Con λ ̸= µ Allora avrò (v, w) = 0, gli autovettori sono ortogonali. 3.3 TEOREMA BASE ORTONORMALE Per un operatore hermitiano esisterà sempre una base di vettori ortonormali (norma 1). 3.4 MATRICE UNITARIA U+U = UU+ = 1 3.5 DECOMPOSIZIONE DELL’IDENTITA’∑ i v(i)a v (i) b = δab = ∑ i |v(i) >< v(i)| 5 4 OSSERVABILE E PROBABILITA’ 1. La probabilità di misurare un certo valore su un autostato sarà data dalla formule : P (ϵisu|A >) = | < ϵ (α) i |A > |2 (Caso non degenere normalizzato) P (ϵisu|A >) = |<ϵ (α) i |A>|2 <ϵi|ϵi><A|A> (Caso non degenere non normalizzato) P (ϵisu|A >) = ∑ α | < ϵ (α) i |A > |2 (Caso degenere normalizzato) Inoltre moltiplicare moltiplicare |ϵi > ed |A > per una costante non varia il risultato della misura. La P non dipende dalla base con la quale la sii misura. Se mi viene richiesto quanto vale la probabilità di misurare il valore di En sul generico stato ψ questa sarà: P (En|ψ >) = | < n|ψ > |2 Dove —n¿ rappresenta l’autofunzione relativa all’autovalore En. 2. Teorema della misura : dopo la misura il sistema si trova in un auto- stato dell’autovalore misurato (concettualmente sbagliato). 3. Principio di indeterminazione : { ∆ϵ∆ν ≥ 1 2 |R̄| R̄ =< A|i[ϵ, ν]|A > 4. Ultimo postulato : [q, p] = iℏI Ci sono altre cose da aggiungere ma sono inutili ai fini della prova scritta. 4.1 ALTRI COMMUTATORI • [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B • [A,BC] = B[A,C] + [A,B]C • [q, pn] = niℏpn−1 • [qn, p] = niℏqn−1 • [f(q), p] = iℏ∂f ∂q • [q, f(p)] = iℏ∂f ∂p Le ultime due valgono solo se le due f sono funzioni di una sola variabile tra p e q e non di entrambe. 5 ESPONENZIALE DI UNA MATRICE eA = ∑ n An n! 6 5.1 MATRICE DIAGONALE A = ( λ1 0 0 λ2 ) =⇒ eA = ∑ n An n! = I +A+ 1 2! ( λ21 0 0 λ22 ) + ...+ 1 n! ( λn1 0 0 λn2 ) =( 1 + λ1 + λ2 1 2 + ...+ λn 1 n! 0 0 1 + λ2 + λ2 2 2 + ...+ λn 2 n! ) 5.2 MATRICE NON DIAGONALE Vedendo quanto è facile risolvere questo tipo di conti per delle matrici diagonali l’idea è quella di diagonalizzare qualunque matrice per semplificare i conti : A = V AdV −1 =⇒ eA = V eAdV −1 5.3 PROPRIETA’ • (eA)−1 = e−A • (eA)+ = eA + • (eA)∗ = eA ∗ • d dt [e A(t)] ̸= (dAdt )e A(t) A meno che [dAdt , A] = 0. • [A, eA] = 0 • deA(x) dx = A′(x)eA(x) • etABe−tA = B + [A,B]t+ 1 2 [A, [A,B] + ... • eA+B = eAeBe− 1 2 [A,B] Questo solo se [B, [A,B]] = 0 . 6 PARITÀ 6.1 UNA DIMENSIONE Chiamato I l’operatore di parità si ha che : I(x) = ψ(−x) IpI = −p IqI = −q Tuttavia se il potenziale di H è pari si ottiene che : 7 Per calcolarci le matrici L− ed L+ dobbiamo prendere una base e calcolarci tutti gli elementi di matrice ad esempio : B = |11 >, |10 >, |1− 1 > nella base |llz > < 11|L+|10 >= ℏ √ l(l + 1)−m(m+ 1) = √ 2ℏ < 10|L+|1− 1 >= ℏ √ l(l + 1)−m(m+ 1) = √ 2ℏ m è riferito ad lz del ket a destra, per cui : L+|11 >= 0 L+|10 >= ℏ √ 2|11 > ecc. Per cui si ottengono : L+ = ℏ 0 √ 2 0 0 0 √ 2 0 0 0  L− = ℏ  0 0 0√ 2 0 0 0 √ 2 0  Ly = − i 2 (L+ − L−) 10 OPERATORI DI ROTAZIONE 10.1 DUE DIMENSIONI( x′ y′ ) = ( cosθ −sinθ sinθ cosθ ) ( x y ) 10.2 TRE DIMENSIONI INTORNO AD UN ASSE1 0 0 0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 1  cosθ 0 sinθ 0 1 0 −sinθ 0 cosθ 2 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 3 1Lungo l’asse x 2Lungo l’asse y 3Lungo z 10 11 ARMONICHE SFERICHE Ricordiamo che l ≥ |m|. L2Y l m(θ, ϕ) = ℏ2l(l + 1)Y l m LzY l m(θ, ϕ) = ℏmY l m < Y l m|Y l m >= ∫ |Y l m|2dΩ L−Y l m = ℏ √ l(l + 1)−m(m− 1)Y l m−1 L+Y l m = ℏ √ l(l + 1)−m(m+ 1)Y l m+1 Y 0 0 = 1√ 4π Ricordiamo che per le armoniche sferiche si ha la relazione: Y −m l = (−1)mY m∗ l Inoltre abbiamo che le armoniche sferiche descrivo lo spazio dei polinomi di ordine n secondo la formula:{ rlY lz l ; r2(rl−2Y lz l−2); r 4(rl−4Y lz l−4) } 12 ATOMO DI IDROGENO H = p2 2m − α r 12.1 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI En = − α 2ab 1 n2 = -EI n2 ab = ℏ2 µα Le autofunzioni sono esprimibili come: ψn = Rnl(r)Y m l (θ, ϕ) = |nllz > • R10(r) = 2a − 3 2 b e − r ab • R20(r) = 1 2 √ 2 a − 3 2 b (2− r ab )e − r 2ab • R21(r) = 1 2 √ 6 a − 3 2 b r ab e − r 2ab • R30(r) = 2(3a − 3 2 b )(1− 2r 3ab + 2r2 27a2 b )e − r 3ab • R31(r) = 4 √ 2 9 (3a − 3 2 b )( r ab − r2 6ab )e − r 3ab • R32(r) = 2 √ 2 27 √ 5 (3a − 3 2 b )( r ab )2e − r 3ab 11 12.2 NUMERI QUANTICI Per l’atomo di idrogeno i numeri quantici di riferimento sono: n ∈ [1, N ] l ∈ [0, N − 1] lz ∈ [−l, l] 13 OSCILLATORE ARMONICO Per qualunque oscillatore armonico la parità è data dalla formula: ψn = (−1)nψn 13.1 OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONA- LE H = p2 2m + 1 2 mω2x2 13.1.1 VALORI MEDI Ampiezza oscillatore armonico E = ℏω 2 = 1 2mω 2A2 =⇒ A2 = ℏ mω 13.1.2 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI E = ℏω(n+ 1 2 ) = ℏω(a+a+ 1 2 ) • c0 = (mω ℏπ ) 1 4 • ϕ0 = c0e −mx2ω 2ℏ • ϕ1 = c0 √ 2mω ℏ xe −mx2ω 2ℏ • ϕ2 = c0√ 2 ( 2mx2ω ℏ − 1)e −mx2ω 2ℏ • ϕ3 = c0√ 3 [2(mω ℏ ) 3 2x3 − 3 √ mω ℏ x]e −mx2ω 2ℏ • ϕn = √ 1 2nn! ( mω ℏϕ ) 1 4Hn( √ mω ℏ x)e −mx2ω 2ℏ 13.1.3 NUMERI QUANTICI In questo caso gli autovettori sono caratterizzati dal solo numero quantico n (ψ = |n >) con: n ∈ [0, N ] In questo caso essendo unidimensionale l e lz non appaino perchè in una dimen- sione non vi è alcun asse intorno al quale ruotare. 12 14.1 AUTOVALORI E AUTOSTATI E = p2 2m • Hψ = Eψ Da questa equazione è possibile ricavare gli autostati di H. 15 BUCA DI POTENZIALE H = p2 2m + V (q) con V(q) = { 0 0 ≤ x ≤ L +∞ —x— ≥ L La parità per potenziali pari è data da: ψn = (−1)nψn 15.1 AUTOVALORI E AUTOFUNZIONI En = ℏ2π2 2mL n2ψn(x) = √ 2 Lsin( nπx L ) Se n è pari ψn(x) = √ 2 Lcos( nπx L ) Se n è dispari Questo vale solo se la buca è simmetrica rispetto all’origine, altrimenti le auto- funzioni hanno solo il seno. 15.2 NUMERI QUANTICI l’unico numero quantico rilevante è n e parte da 1. 16 PARTICELLA SU UN CERCHIO R = cost per cui le funzioni d’onda saranno dipendenti solo dall’angolo ϕ. 16.1 AUTOFUNZIONI E SPETTRO L’equazione di Schrodinger per un potenziale esterno nullo sarà : ∂2ψ ∂ϕ2 + ( 2mR2 ℏ2 E)ψ = 0 La soluzione sarà del tipo: ψ(ϕ) = Aeiλϕ per cui imponendo la periodicità del tipo eiλϕ = eiλ(ϕ+2π) si ottengono i valori dell’energia: 15 • En = ℏ2n2 2mR2 con n che parte da 0 • Lo stato n eccitato corrisponderà alle autofunzioni : ψ±n = { ψ−n = 1√ 2π e−inϕ ψn = 1√ 2π einϕ Dunque lo spettro è discreto e tutti gli stati sono 2 volte degeneri . 17 PARTICELLA SUL CILINDRO Per questa si effettua un’analisi identica a quella della particella sul cerchio, ri- cordando però che questa volta il potenziale è quello di un oscillatore armonico, per cui non è più 0. H = p2 2m + 1 2 Mω2z2 = − ℏ2 2m ∂2 ∂z2 + L2 z 2mR2 + 1 2 mω2z2 Con R costante ed H separabile come :{ H(z) = − ℏ2 2m ∂2 ∂z2 + 1 2mω 2z2 Oscillatore armonico H(R) = L2 z 2mR2 Particella su un cerchio Per cui abbiamo trovato uno spettro di energia pari a quella dell’oscillatore armonico più quello di una particella su un cerchio. 17.1 SPETTRO ED AUTOVALORI • En = ℏ(n+ 1 2 ) + ℏ2m2 z 2mR2 con { n ∈ N m ∈ Z • ψn,mz (z, ϕ) = 1√ 2π ψnOscillatore eimzϕ 18 SPIN E J • [q, S] = [p, S] = [L, S] = 0 • [Ji, L · S] = 0 • S+|SSz >= √ S(S + 1)− Sz(Sz + 1)|SSz + 1 > Se S è massimo (ad esempio 1 per due particelle con spin 1/2) allora farà 0. • S−|SSz >= √ S(S + 1)− Sz(Sz − 1)|SSz − 1 > • J+ = (L+ + S+) Si applica come S± e L±, in generale per ogni operatore di salita e discesa applicati sulla propria base vale che : • A±|lm >= √ l(l + 1)−m(m± 1)|lm± 1 > 16 18.1 RAPPRESENTAZIONE DELLO SPIN =1 2 LUNGO UN ASSE S⃗ = ℏ 2 σ⃗ Con σ matrice di Pauli. Sx = ℏ 2σx Sy = ℏ 2σy =⇒  σx = ( 0 1 1 0 ) σy = ( 0 −i i 0 ) σz = ( 1 0 0 −1 ) Sz = ℏ 2σz 18.2 AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI S⃗ In ogni caso gli autovalori di qualunque proiezione di S saranno : λ = ±mℏ Mentre per trovare gli autovettori ( a b ) bisogna risolvere l’equazione : ℏ 2 (S⃗ · n⃗) = (σ⃗ · n⃗) =⇒  MATRICE DI PROIEZIONE (a b ) = ( a b ) Di solito per risolvere il sistema che si viene a trovare basta risolvere una sola equazione sfruttando le formule di bisezione : sin( θ2 ) = ± √ 1−cosθ 2 cos( θ2 ) = ± √ 1+cosθ 2 tg( θ2 ) = ± √ 1−cosθ 1+cosθ = sinθ 1+cosθ = 1−cosθ sinθ sinθ = 2sin θ 2cos θ 2 18.3 PARITA’ DELLE FUNZIONI DI SPIN La parità per le funzioni di spin è data dalla formula: • 2Stot è pari • 2Stot − 1 è dispari • 2Stot − 2 è pari ecc. 17 Noi sappiamo che ad esempio:|n = 1, l = 1, Lz = 1 >= √ 3 8πR 1 1(r) 1 r (x+ iy) 1√ 2 (|nx = 1, ny = 0, nz = 0 > +i|nx = 0, ny = 1, nz = 0 >) = A2B√ 2 (x+ iy)e−βr2 Da questo sistema siamo in grado di ricavare R1 1(r). 24 SUGGERIMENTI 24.1 PROIEZIONE La proiezione di u⃗ su V⃗ sarà: { Pv|u >= |v >< v|u > Pv|u >= u⃗ · v⃗ 24.2 OPERAZIONI TRA BRA E KET |1 >= ( 1 0 ) =⇒ |1 >< 2| = ( 1, 0 )+(0 1 ) |2 >= ( 0 1 ) 24.3 ESPONENZIALE DI MATRICE eA =MeAdM−1 Ad = ( MATRICE AUTOV ALORI ) eA =M−1eAdM M−1 = 1 det(A) ( cof(a11)cof(a12) cof(a21)cof(a22) )+ cof(aij) = (−1)i+jCij Cij =determinate del blocco della matrice originaria ottenuto eliminando la i- esima riga e la j-esima colonna. eA = ( MATRICE AUTOV ETTORI )−1( MATRICE AUTOV ALORI )( MATRICE AUTOV ETTORI ) 24.4 HAMILTONIANA DA RISCRIVERE Se abbiamo un H in cui i termini relativi alle due particelle sono correlati si procede con un cambio di variabili; esempio: H = 1 2m (p21 + p22) + 1 2 mω2(x21 + x22)− qϵ(x1 + x2) Il sistema oscilla intorno alla posizione d’equilibrio per cui ∂V ∂x = 0 da questa si ricava la xeq = qϵ mω2 . 20 Ora si definisce una nuova variabile con una trasformazione canonica del tipo: X = x− xeq. Ora H dovrebbe essere riscrivibile come un’H nota ad una sola variabile X e un termine costante che anche se è 1 2mω 2xeq essendo costante contribuisce all’ener- gia con il termine En = ...+ 1 2mω 2xeq . Tutte le operazioni si effettuano con le nuove variabili anche se più di una, effet- tuando le sostituzioni corrette, esempio: (x1 −x2) 2 = (X1 +xeq −X2 −xeq) 2 = (X1 −X2) 2. Dunque i risultati per le due rappresentazioni saranno uguali. Se ho a che fare con due particelle l’energia relativa a: H = p2 2m + 1 2mω 2X2 − 1 2mω 2xeq En = ℏω(n+m+ 1)− 2 1 2mω 2xeq = ℏω(n+m+ 1)−mω2xeq 25 ARMONICHE SFERICHE < nl1lz1 |z|nl2lz2 >= ∫ rcos(θ)Rnl1(r)Rnl2(r)Y lz1 l1 ∗Y lz2 l2 r2drdΩ = Il1l2 ∫ Y lz1 l1 ∗cos(θ)Y lz2 l2 dΩ = = Il1l2 ∫ 1 −1 Fl1lz1 (θ)cos(θ)Fl2lz2 (θ)dcos(θ) ∫ 2π 0 e−i(lz1−lz2 )ϕ = Il1l2 ∫ 1 −1 Fl1lz1 (θ)cos(θ)Fl2lz2 (θ)dcos(θ)δlz1 lz2 Quindi da questa formula sappiamo ad esempio che se n = 2 allora l = 0, 1 nel caso di un atomo di H, per cui gli unici stati sui quali bisognerà eseguire un calcolo sarann0 (—l lz¿): ¡1± 1|cos(θ)|1± 1 >;< 10|cos(θ)|10 >;< 00|cos(θ)|00 >;< 00|cos(θ)|10 >; < 10|cos(θ)|00 >. 26 TRE PARTICELLE INTERAGENTI DA COM- PLETARE 27 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 27.1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL I ORDINE x′(t) + a0(t)x(t) = g(t){ x(t) = e−A(t)[c1 + ∫ g(t)eA(t)dt] A(t) = ∫ a0(t)dt 27.2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL II ORDINE x ′′ (t) + a1(t)x ′ (t) + a0x(t) = 0 λ2 + a1λ+ a0 • ∆ > 0 =⇒ x(t) = c1e λ1t + c2e λ2t 21 • ∆ = 0 =⇒ x(t) = c1e λ0t + tc2e λ0t • ∆ < 0 =⇒ x(t) = c1e iλt + c−iλt 2 28 SVILUPPI IN SERIE DI TAYLOR-MC LAU- RIN • ex = ∑ n=0 xn n! • ln(1 + x) = ∑ n=1(−1)n+1 xn n Solo se —x— ¡ 1 • (1 + x)a = 1 + ax+ a(a−1) 2 x2 + a(a−1)(a−2) 3! x3 + ... • 1 1−x = ∑ n=0 x n Solo se —x—¡1. • 1 1+x2 = ∑ n=0(−1)nx2n Solo se —x—¡1. • sin(x) = ∑ n=0 (−1)n (2n+1)!x2n+ 1 • cos(x) ∑ n=0 (−1)n (2n)! x 2n • tan(x) = x+ x3 3 + 2 15x 5 • sec(x) = 1 + x3 6 + 5 24x 4 • arcsin(x)x+ x3 6 + 3 40x 5 • arccos(x) = π 2 − x− x3 6 − 3 40x 5 • arctan(x) = x− x3 3 + x5 5 • sinh(x) = x+ x3 6 + x5 120 • cosh(x) = 1 + x2 2 + x4 24 • arctanh(x) = x+ x3 3 + x5 5 • arcsinh(x) = x− x3 6 + 3 40x 5 29 INTEGRALI∫ − ae−bx2+cx+d = a √ π b e c2 4b+d ∫ π 2 0 x2cosn(x)dx = In =  I1 = 1 4 (π 2 − 8) I2 = π 48 (π 2 − 6) I3 = 1 54 (9π 2 − 80) I4 = π 128 (2π 2 − 15) 22 Figura 3: BISEZIONE Figura 4: PARAMETRICHE Figura 5: DUPLICAZIONE Figura 6: SOMMAZIONE 25 sin(5- a) = cos(a): cos (È — a) = sin (0) sin(Z+a) = cos(a); cos(T+a) = —sin(a) sin(m-a)=sin(a); cos(i— a) =-— cos(a) sin(1+a)=-—sin(a); cos(r +0) = —cos(a) sa (310) to) cs (352) = sn 26