Formulario completo per l'esame di meccanica statistica, Formulari di Meccanica Quantistica

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FORMULARIO MECCANICA STATISTICA Indice 1 PARTE MATEMATICA 2 1.1 Cambi di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 DERIVATE NOTEVOLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 FUNZIONI IPERBOLICHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 INTEGRALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.1 INTEGRALI NOTEVOLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.2 INTEGRALI DI GAUSS E SIMILI . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 FUNZIONE Γ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 FUNZIONE ζ(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 MECCANICA STATISTICA CLASSICA 4 2.1 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 ENERGIA LIBERA DI HELMOLTZ . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 ENTROPIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 ENERGIA MEDIA DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5 POTENZIALE CHIMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.6 PRESSIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.7 PROBABILITA’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.8 VALORE MEDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.9 NUMERO DI PARTICELLE CON UNA CERTA PROPRIETÀ 7 2.10 CALORE SPECIFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 MECCANICA STATISTICA: BOSONI 8 3.1 CONDENSATO BOSE-EINSTEIN . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 POTENZIALE CHIMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 NUMERO DI PARTICELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 TEMPERATURA CRITICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.5 ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.6 VALORI MEDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 4 MECCANICA STATISTICA: FERMIONI 10 4.1 NUMERO DI PARTICELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 DENSITÀ DELLE PARTICELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3 ENERGIA DI FERMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.4 ENERGIA MEDIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.5 PRESSIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.6 VALORI MEDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 PARTE MATEMATICA 1.1 Cambi di coordinate • Caso standard: ∫ d2q = ∫ x ∫ y dxdy • Coordinate polari: ∫ d2q = 2π ∫ +∞ 0 rdr • Coordinate sferiche:∫ d3q = 2π ∫ π 0 sin(ϕ)dϕ ∫ +∞ 0 ρ2dρ = 4π ∫ +∞ 0 ρ2dρ • Coordinate cilindriche: ∫ d3q = 2π ∫ +∞ 0 ρdρ • Casi particolari: Se abbiamo un H del tipo: H = 1 2m (p21+p22)+ k 2 |q⃗1−q⃗2|2 biosogna sfruttare le seguenti relazioni.{ q⃗ = 1 2 (q⃗1 + q⃗2) r⃗ = q⃗1 − q⃗2 =⇒ { H = 1 2m (p21 + p22) + k 2 r 2 d2q1d 2q2 = d2qd2r 1.2 DERIVATE NOTEVOLI sec = 1 cos 1.3 FUNZIONI IPERBOLICHE{ 2sinh(x) = ex − e−x 2cosh(x) = ex + e−x 2 ATTENZIONE Se nell’ H appare un termine discretizzato allora la formula per Z1 diventa: Z1 = ∑ σ ∫ e−βH dDpdDq hD ATTENZIONE Se il gas è biatomico Z1 diventa: Z1 = ∫ e−βH dDp1d Dp2d Dq1d Dq2 2h2D = ∫ e−βH dDp1d Dp2d DqdDr 2h2D Dove q ed r sono definite nel paragrafo 1.1. Importante tenere separate le variabili p1 e p2 e ricordare che se vi sono limi- tazioni sulle q queste non influenzano r, il quale andrà da 0 a +∞ una volta eseguito il cambio di variabili. 2.2 ENERGIA LIBERA DI HELMOLTZ F = −T ln(ZN ) = −NTln (Z1e N ) 2.3 ENTROPIA S = − (∂F ∂T ) V,N = U − F T ATTENZIONE Nel caso di Bosoni per T < T0 si avrà: CV = T ∂S(T ) ∂T =⇒ S(T ) = ∫ T 0 Cv(T ) T dT ATTENZIONE Se viene richiesta l’entropia microcanonica la formula diventa la seguente e si ricava dalla trasformata di Legendre:{ S(E) = βE − βF E = ∂ ∂β (βF ) = −N ∂ ∂β [ln(Z1)] 2.4 ENERGIA MEDIA DEL SISTEMA E(T ) N = − 1 N ∂ ∂β [ln(ZN )] = − ∂ ∂β [ln(Z1)] 5 2.5 POTENZIALE CHIMICO µ = ( ∂F ∂N ) V,T = −T ∂ ∂N [ln(ZN )] = −T [ ln (Z1e N ) +Nln(Z1)−1 ] = −T [ ln (Z1 N ) +Nln(Z1) ] 2.6 PRESSIONE In questo caso con V(q) si intende il potenziale dell’H, per cui non si deve inserire né il termine cinetico, né eventuali costanti. Inoltre il potenziale al numeratore resta generico, mentre quello al denominatore deve essere integrato sull’intero dominio delle q. P = (∂U ∂V ) = (∂F ∂V ) = kT Ne−βV (q)∫ e−βV (q)dnq 2.7 PROBABILITA’ • Densità di probabilità di singola particella dell’energia: ρ(ϵ) = 1 Z1 ∫ e−βHδ(ϵ−H) dnpdnq hn = G(ϵ)e−βϵ∫∞ −∞ G(ϵ)e−βϵdϵ • Probabilità che ϵ assuma un certo valore: ρ(ϵ < x) = ∫ ∞ −∞ ρ(ϵ)Θ(x− ϵ)dϵ • Probabilità di una variabile discreta: In questo caso per calcolare Z1 effettuo la sommatoria sui vari valori di ν, mentre nell’integrale ∫ e−βH dnpdnq hn lascio ν come valore generico. P (ν) = 1 Z1 ∫ e−βH dnpdnq hn • Probabilità di singola particella per una grandezza generica: P (f < 0) = 1 Z1 ∫ e−βHΘ(−f) dnpdnq hn Si evince da questa formula che nel caso stia valutando le q otterrò: P (q < x) = ∫ x qmin e−βV (q)dnq∫ qmax qmin e−βV (q)dnq • Probabilità che n su N particelle posseggano una certa proprietà: P (n;N) = N ! n!(N − n)! P (f)n[1− P (f)]N−n • Probabilità per singola particella con vincolo sulle q e sulle p: P (p < y|q < x) = 1 Z1 ∫ e−βHΘ(y − p)Θ(x− q) dnpdnq hn 6 2.8 VALORE MEDIO • Valor medio dell’energia: < ϵ >= ∫ ∞ −∞ ϵρ(ϵ)dϵ • Valor medio di una variabile discreta: < a >= 1 Z1 ∑ a (∫ ae−βH dnqdnp hn ) • Valor medio di q: < qn >= 1 Z1 ∫ qne−βH dnqdnp hn • Valor medio di p: < pn >= 1 Z1 ∫ pne−βH dnqdnp hn • Valor medio di f(q,p): < f(q, p)n >= 1 Z1 ∫ f(q, p)ne−βH dnqdnp hn 2.9 NUMERODI PARTICELLE CONUNACERTA PRO- PRIETÀ • Numero di particelle con q < R: N(q < R) = N 1 Z1 ∫ e−βHΘ(R− q) dnqdnp hn • Numero di particelle con ϵ < ϵ′: N(ϵ < ϵ′) = N ∫ ϵ′ −∞ ρ(ϵ)dϵ 2.10 CALORE SPECIFICO • Calore specifico a volume costante: CV = ∂U ∂T • Calore specifico a pressione costante: CP = ∂H ∂T = ∂ ∂T [E + PV ] 7 • Valor medio di p: < pn >= g N ∫ +∞ −∞ dϵ ∫ pnδ(ϵ−H) dnpdnq hn • Valor medio di una variabile discreta: < νn >= g N ∑ ν νn ∫ +∞ −∞ dϵ ∫ δ(ϵ−H) dnpdnq hn ATTENZIONE La formula è esattamente questa, la sommatoria sulle ν va eseguita al ter- mine del calcolo del nuovo integrale. G(ϵ, ν) ̸= G(ϵ) Mentre per il calcolo di N si può utilizzare il risultato, presumibilmente, ottenuto al punto precedente. 4 MECCANICA STATISTICA: FERMIONI 4.1 NUMERO DI PARTICELLE N(T = 0) = ∫ ϵF −∞ G(ϵ)dϵ ATTENZIONE In questo tipo di problemi troveremo spesso N in funzione di Θ, per cui avremo più risultati sia per N che per ϵF in base agli intervalli considerati. ATTENZIONE Se viene richiesto il valore NMAX affinché tutte le particelle abbiano una cer- ta proprietà, bisogna calcolare N normalmente e vedere poi se varia ϵF = H inserendo la restrizione in H e vedere se cambia ϵmin. 4.2 DENSITÀ DELLE PARTICELLE La formula cambia in base alla dimensione in cui mi trovo. ρ = N LTOT = N STOT = N VTOT Con L = a−b 2 , S = 2πR2 (piano con 0 ≤ q ≤ R), V = 4 3πR 3 (cerchio) ecc. ATTENZIONE 10 Se abbiamo un potenziale del tipo seguente, STOT sarà semplicemente S = π2R2 MAX : V (q) = { A 0 ≤ q ≤ Rmin B Rmin ≤ q ≤ RMAX ATTENZIONE Se viene richiesto ρ0 tale che ϵF sia nullo, basta calcolarsi ρ con le formule classiche e porre ϵF = 0. ATTENZIONE Se rho = nρ0, in questo caso si avrà: ρ = N VTOT ρ0 = N(ϵF=0) VTOT =⇒ N VTOT = nρ0 = n N VTOT Da questa si può ricavare il valore di ϵF per ρ = nρ0. 4.3 ENERGIA DI FERMI Questa si ricava risolvendo l’equazione seguente ed esplicitando il valore di ϵF : N(T = 0) = ∫ ϵF −∞ G(ϵ)dϵ ATTENZIONE In questo tipo di problemi troveremo spesso N in funzione di Θ, per cui avremo più risultati sia per N che per ϵF in base agli intervalli considerati. 4.4 ENERGIA MEDIA E(T = 0) = ∫ ϵG(ϵ)dϵ 4.5 PRESSIONE PV = −Ω = T ∫ +∞ ϵmin G(ϵ)ln(1 + ze−βϵ)dϵ 4.6 VALORI MEDI • Valor medio di q: < qn >= g N ∫ ϵF −∞ dϵ ∫ rnδ(ϵ−H) dnpdnq hn 11 • Valor medio di p: < pn >= g N ∫ ϵF −∞ dϵ ∫ pnδ(ϵ−H) dnpdnq hn ATTENZIONE Se viene richiesto il valore pMAX , bisogna ricordare che ϵF = H, e da questa ricavare il valore di p, il quale coinciderà con pMAX , imponendo anche la condizione Θ(ϵF − ϵmin). • Valor medio di una variabile discreta: < νn >= g N ∑ ν νn ∫ ϵF −∞ dϵ ∫ δ(ϵ−H) dnpdnq hn ATTENZIONE La formula è esattamente questa, la sommatoria sulle ν va eseguita al ter- mine del calcolo del nuovo integrale. G(ϵ, ν) ̸= G(ϵ) Mentre per il calcolo di N si può utilizzare il risultato, presumibilmente, ottenuto al punto precedente. 12