Formulario di Elettrotecnica, Formulari di Elettrotecnica

Scarica Formulario di Elettrotecnica e più Formulari in PDF di Elettrotecnica solo su Docsity! Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      1 Convenzioni  Le variabili scritte in minuscolo presentano una dipendenza dal tempo.  Le variabili scritta in maiuscolo non presentano dipendenza dal tempo.  Regime sinusoidale  Per poter compiere operazioni e quindi analizzare il circuito tutte le  sinusoidi dovranno essere isofrequenziali, quindi possiamo omettere la  frequenza   dai fasori.  Per passare dal regime sinusoidale al regime fasoriale bisogna avere la  sinusoide espressa tramite il coseno e l’ampiezza della sinusoide deve  essere moltiplicata per √2.  cos   √2 √2 cos   Il fasore che si ricava è  √2     Le lettere utilizzate significano:  Ampiezza della sinusoide    Pulsazione della sinusoide    Sfasamento della sinusoide    Unità immaginaria  Fasore associato alla sinusoide      Il valore efficace sarà dato da  √   Questa relazione vale sia per la tensione sia per la corrente.    Quando si trovano equazioni differenziali nel regime sinusoidale, per  passare al regime fasoriale si possono effettuare le seguenti  sostituzioni:        1     Se la sinusoide fosse espressa tramite il seno per trasformarla in  coseno si utilizzerebbe la seguente relazione  sin cos 2     Definizioni  Unità immaginaria:   (in analisi matematica)  Frequenza:      Pulsazione:  2   Impedenza:    Ω   Ammettenza:     (Siemens)  In un circuito RCL  1   La parte immaginaria si annulla.  1   Il sistema è in risonanza.  1   Si ha un’impedenza ohmico  induttiva.  1   Si ha un’impedenza ohmico  capacitiva.      Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      2 Concetto di Potenza  Alimentando un circuito in corrente alternata si introduce il concetto  di potenza complessa:    dove   è il fasore coniugato della corrente.    con   detto sfasamento.  Può essere espressa in base all’ampiezza delle sinusoidi di corrente e  tensione:  1 √2 1 √2 1 2   Si può esprimere infine anche in forma trigonometrica:  cos sin     Il modulo della potenza complessa è la potenza apparente  1 2     Riassumendo  Potenza attiva  cos Potenza reattiva  sin Potenza complessa  Potenza apparente  Fattore di potenza  cos   Sfasamento  arctan   Potenza attiva  cos Potenza reattiva  sin     Teoremi sulla Potenza  Per il principio di conservazione della potenza, la somma delle potenze  complesse deve essere zero.  0  Per il teorema di Boucherot si ottiene che sia la somma delle potenze  attive, sia quella delle potenze reattive, è uguale a zero.  0 ; 0    Potenze dei componenti circuitali    Potenza  attiva  Potenza reattiva    Fattore di  potenza    Resistore        Induttore        Condensatore        Il resistore assorbe potenza attiva.  L’induttore immagazzina potenza reattiva positiva.  Il condensatore immagazzina potenza reattiva negativa.      Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      5 fasori.  1 1   L’impedenza del condensatore è    La reattanza capacitiva, misurata in Ohm, utilizzata come resistenza  immaginaria per il calcolo nei circuiti, è data da:  1     Nella sostituzione nel circuito si utilizza l’impedenza.    Il condensatore a regime stazionario si comporta come circuito aperto.    Interruttore  Rappresenta un interruttore aperto da un tempo  infinito che all’istante t0 si chiude.    Resistore    cos cos     La potenza assorbita dal resistore si calcola come:      Induttore    L è l’induttanza dell’induttore e si misura in Henry (H).  La tensione che attraversa il condensatore in un  intervallo infinitesimo si ottiene con:    sin ωt φI cos ωt φI π 2   Il flusso magnetico concatenato misurato in Weber  (Wb) si ottiene da:    La corrente che attraversa l’induttore è data da:  1   cos   Per evitare di studiare il circuito nel dominio del tempo  si passa ai fasori:    Impedenza dell’induttore è  .  La reattanza induttiva, misurata in Ohm, utilizzata come  resistenza immaginaria per il calcolo nei circuiti, è data  da:      Nella sostituzione nel circuito si utilizza l’impedenza.    L’induttore a regime stazionario si comporta come  cortocircuito.      t0 R V I LV Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      6 Parallelo di generatori    Non esiste il circuito, poiché viola la legge di  Kirchhoff alle correnti.  Potrebbe esistere se ci fosse almeno una  resistenza attaccata tra E1 ed E2.        Trasformazione generatori    Per passare dal generatore di corrente al generatore di tensione, E1 = A*R1  Trasformazione stella‐triangolo resistori  Caso particolare.  3   1 3         A numeratore si ha la moltiplicazione  tra le resistenze connesse al nodo, in  questo caso A.    A denominatore la somma di tutte e  tre le resistenze del circuito.                  I E1 E2 2 1 A1 A2 2 1 I I E1 R1 V I R1 VA=E/R1 1 2 Rs Rs Rs B CA Rt Rt Rt B C A Rb Rc Ra A CB Rbc Rac Rab A C B Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      7 Teorema di Millman  In una rete a due nodi, con componenti collegati in parallelo    ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1     Dove Ei/Ri è la somma dei generatori di tensione con collegato in serie una resistenza.  Aj è la somma dei generatori di corrente senza le relative resistenze attaccate in serie.  1/Rk è la somma di tutte le resistenze che compaiono nel circuito ad eccezione di quelle  collegate in serie ad un generatore di corrente.    I segni dipendono dal verso della corrente, ovvero se la corrente è concorde con il verso di Vm  allora avrà segno positivo.  Si assume come convenzione il verso del primo nodo, quindi verso il nodo 1.        NOTA: Quando si crea un cortocircuito la tensione è nulla su quel ramo.  Teorema di Thévenin  Un circuito lineare, comunque complesso, visto da due punti, è equivalente ad un generatore  reale di tensione in cui la tensione impressa assume il valore della tensione a vuoto misurata ai  morsetti mentre la resistenza è uguale al rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto  circuito.  Formula basata sulla convenzione dei generatori:          Compare il segno meno davanti alla resistenza per via della convenzione utilizzata.  La resistenza   nel caso particolare in cui non vi siano generatori controllati nel bipolo  esaminato, può essere calcolata come la resistenza equivalente ai morsetti del bipolo, A e B,  dopo aver disattivato tutti i generatori presenti.  Teorema di Norton  Un circuito lineare, è equivalente ad un generatore reale di corrente, in cui il generatore  assume il valore della corrente di corto circuito misurata ai morsetti del bipolo e la resistenza è  uguale al rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito.  Per la convenzione dei generatori la corrente di cortocircuito deve andare dal nodo A al nodo B,  altrimenti avrà segno meno.    R3 Vm A1 R2 A2 E1 R1 1 2 Eth Rth A B I V A B I V Int Rnt Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      10 Trasformatore reale    Il funzionamento del trasformatore  reale è influenzato dai campi  elettromagnetici.  Viene studiato con la convenzione degli  utilizzatori.  La parte del circuito identificata con la  lettera A si chiama parte primaria,  quella di B secondaria.  : 1:    è il rapporto di trasformazione  Direttamente proporzionale al rapporto  di trasformazione.  : : 1  Inversamente proporzionale al  rapporto di trasformazione.  0  0  Il trasformatore non assorbe potenza.    Il segno meno della   è dato dal suo  verso, se non fosse entrante non ci  sarebbe il meno.    Trasformazione circuitale da secondario (B) a primario (A)  Per la trasformazione fare attenzione al rapporto di trasformazione riportato  nel disegno.  1   Gen. di corrente ‐> Moltiplico per t  Gen. di tensione ‐> Divido per t  Resistori ‐> Divido per t2  1   Gen. di corrente ‐> Divido per t  Gen. di tensione ‐> Moltiplico per t Resistori ‐> Moltiplico per t2    Se si ha un rapporto del tipo:    si pone    ottenendo così 1     Se si passa da primario a secondario le formule sono le inverse.  Equazioni differenziali per i circuiti transitori (RC o RL)  Sono caratterizzati da equazioni differenziali    Dove   è detta forzante.  Il grado dell’equazione differenziale è data dall’ordine della derivata, in  questo caso è di primo grado, poiché si ha  .    Per poter risolvere i circuiti si passa alla forma omogenea associata, che  si ottiene nel seguente modo   e    nel nostro caso avremmo  0   nella quale ci interessa calcolare  .    Integrando si ottiene  Poniamo delle condizioni iniziali e finali  lim lim lim lim   Si ricava che     è denominata variabile si stato e descrive l’andamento nel tempo del  circuito.  Per i condensatori:    Dove  , la tensione, è la variabile  di stato.  Per gli induttori:    Dove  , la corrente, è la  variabile di stato.  1 : t I2I1 V2V1 A B Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      11 Metodo risolutivo circuiti transitori (RC o RL)  Introduciamo  1   Dove   è la costante di tempo che identifica la curva caratteristica del  circuito, nel fascio di curve di tipo esponenziale.         è la variabile di stato del circuito transitorio, determinata dai  componenti che lo compongono.  Per convenzione, un condensatore o induttore, si può considerare a  regime, scarico o carico, dopo un periodo di tempo di  5  o 4  dove avrà raggiunto rispettivamente il 99% o 98% della propria  carica o scarica.  La risoluzione dei circuiti transitori, che presentano quindi un  interruttore che fa variare il comportamento del circuito nel tempo a  partire dall’istante  , si può suddividere in tre parti:    Parte 1    Si analizza il circuito prima del cambiamento di comportamento, ad  esempio della chiusura di un interruttore.  Si determina la variabile di stato dei componenti transitori, detta  costante iniziale, per i condensatori la   e per gli induttori la  .  I transitori sono a regime stazionario.    Parte 2:      Si analizza la dinamica del circuito, andando a calcolare  .  Si calcola la resistenza equivalente vista dal componente transitorio,  spegnendo i generatori.  Nel caso del condensatore si calcola come   mentre per  l’induttore come  .  Se il circuito viene riaperto o richiuso, è necessario ricalcolare  .    Parte 3:  ∞  Si analizza il circuito in un tempo infinito, quindi senza ulteriori  variazioni.  Si calcola la variabile di stato dei componenti, detta costante finale, per  i condensatori   e per gli induttori  .  I transitori sono a regime stazionario.    NOTA:  Si può dire che:        questo perché le variabili di stato in natura sono sempre delle funzioni  continue e non presentano discontinuità.       Formulario di elettrotecnica  Matteo Guarnerio      12 Prefissi per le potenze del 10  10  yocto [y]  10  deca [da]  10  zepto [z]  10  etto [h]  10  atto [a]  10  chilo [k]  10  fento [f]  10  mega [M]  10  pico [p]  10  giga [G]  10  novo [n]  10  tera [T]  10  micro [ ]  10  peta [P]  10  milli [m]  10  exa [E]  10  centi [c]  10  zetta [Z]  10  deci [d]  10  yotta [Y]      Momgi: petti pela. 13 DIEZAZA L& ISTE golTo Mk UlLATA 2, Ceri La ammetroeE (DSALE Di TENDONE NOT& il aenseerte TÈ DET AVERE IL porseTo — Messo f& TS#2k, Nodo 2560, CR CA Î 6EE ONT to i‘ NAaThcE 1 LUNT | A G&G © | «& , & | e A # { | { 1 Vv | CI sn se Î —_ “i LV Ka Ra fe | Dr od WAS ; | e Pia 0 832. | Bi 5 Va Lu | o 7 ; o ° © -& LL (E'kk | o è 2, | V3 | _| | La 1 mi | G | QUARTA | uv O | & | Î 0 i ciccio merende EA NEUA RAR E tom RAGIURA VERE SNO IL vate 4. AL No0o pr CUL PomtA IL Toessito + DEL GENERATARE € ) TORT Gt AU NOA Jarieoas fsi a Pero | Ì |Pzaxfos +| he _ E -1-V\a=-E _— Put asc NERA DAL f#ONOT TRA NATRLCI  CRCU Ito IC PUSS UD Ro FAR CENCI , ERMESTE. DA POCtA SUENZUA CPANIZZZE DBA CALCLARET SNO > LE forostà , i TRWNO0E È CA CogRRsTE. GPANISZIE UIL > Forama GORUESSE USEEST Lasi RA calcaLi Sa P+ 44 qT,x PETEDZA PRBOEAS USA il VRLRE EFICACE ai CALOLI S-TP Lat (Ve) | NES -d4, -J i | a T pe i ne» = fu Biz s& [ Liotho LE - AU Bye VR°+ 7 O Tr Lo fa Ve Ba,= Ageh&à > Va = Raq 7 È 7 A ) 4 - fa ha= leaf Ra, = fiz+is4g > (a _ { fia Bu Bi tat+oto Au ie Rea > Vee 3  AnttuTicatori PELIZLARALI w o ventina Ci —: ERA VU Lr {fata $ L © Ì Ig > Ti) TRASECENO TUO la FASO = Taito su di 6) & Ae cos (tè fb) E sa lo e Ti fra A_fa Rie o ATTIT IR E red Da Ta ce tot 0 DeRiJA DÀ U Re> Èa I € da VEVIS $ Dede AaLl'ineabzaza i Ni wecoss Mo eusvsva (co) Es +10 Con (©) 2504 (Ww4) Cu = e 400 vad/s IN OANTE , Ve, (4), Tx d, da, n da, SENTI il cei er- Ta (E) co(et -S1 er 2 ci JI Tae 25 6 2 Vv xc= WL Ke a 4. We eu oferauoad le 2. Affuco LE frofterà E Wcogn tt B, ZENO Tia Cia€- dir À nta LIne ieixe fa 7 (te &) LAT- HauLia 2 _ L-Es (-deî)= 0 Wa (or) +î2° No € SE Vee Î2 Vo ca(uti Pe) ISU ' OPEL RONALE Cad -d