Scarica Principi di algebra degli eventi e probabilità e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Statistica solo su Docsity! Eventi e algebra degli eventi FORMULA NOTE NEGAZIONE (POSTULATO 1) • di un evento A, ossia Ā INTERSEZIONE (POSTULATO 1) • tra due eventi A e B, ossia A ∩ B Tutti e due gli eventi si verificano contemporaneamente UNIONE (POSTULATO 1) • tra due eventi A e B, ossia A ∪ B Si verifica uno o l’altro evento SPAZIO CAMPIONARIO • E ⊂ Ω L’insieme di tutti i possibili eventi elementari EVENTO IMPOSSIBILE • A ∩ Ā= ∅ È impossibile che si verifichi un determinato evento e contestualmente la sua negazione EVENTO CERTO • ∅ ≣ Ω È l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento INCOMPATIBILI • A ∩ B= ∅ Il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro INCLUSIONE • A ∪ B= A→ B ⊂ A L’evento B è totalmente contenuto in A Postulati FORMULA NOTE POSTULATO 2 • P(A)≥ 0 POSTULATO 3 • P(Ω)= 1 POSTULATO 4 • A ∩ B= ∅→ P(A ∪ B)= P(A)+P(B) Proprietà FORMULA NOTE 1 • P(A ∪ B)= P(A)+P(B)–P(A ∩ B) 2 • 0 ≤P(A)≤ 1 3 • P(∅)= 0 4 • B ⊂ A→ P(B) ≤P(A) 5 • P(Ā)= 1–P(A) 6 • P(B)= 1→ P(B ∩ A)= P(A) 7 • P(B)= 0→ P(B ∪ A)= P(A) Probabilità FORMULA NOTE DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ • P(E)= 𝑛.𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖 𝑛.𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖 PROBABILITÀ CONDIZIONATA • P(A| B)= P(A ∩ B) 𝑃(𝐵) • P(B | A)= P(A ∩ B) 𝑃(𝐴) P(A ∩ B) indica il numero di casi favorevoli sia ad A che a B e NON considera nessuno dei due come un evento certo, per cui nel calcolo occorre tenere conto del numero di casi favorevoli totali. P(B) indica il numero dei casi favorevoli solo a B INDIPENDENZA TRA EVENTI • P(A | B)= P(A) e P(B | A)= P(B) • P(A ∩ B)= P(A)*P(B) P(A ∩ B)= P(A)*P(B) non è una formula di calcolo ma rappresenta un’uguaglianza che deve essere verificata TEOREMA DI BAYES • P(Ai | B)= 𝑃(𝐴𝑖)∗𝑃(𝐵 |𝐴𝑖) 𝑃(𝐴1)∗𝑃(𝐵 |𝐴1)+𝑃(𝐴2)∗𝑃(𝐵 |𝐴2)+⋯+𝑃(𝐴𝑘)∗𝑃(𝐵 |𝐴𝑘) Da rivedere Variabili causali FORMULA NOTE VARIABILE CAUSALE DISCRETA Può assumere un insieme discreto di numeri reali VALORE ATTESO • E(X,Y)= ∑x∑y (x*y)P(x,y) • E(X)= ∑x x*P(x) • E(Y)= ∑x y*P(y) • E(X+Y)= E(X)+E(Y) • E(X-Y)= E(X)-E(Y) COVARIANZA • σxy= E(X,Y) - E(X)*E(Y) VARIANZA • VAR(X+Y)= VAR(X)+(VAR Y)+2 COV(X,Y) • VAR(X-Y)= VAR(X)+(VAR Y)-2 COV(X,Y) Campionamento FORMULA NOTE MEDIA DELLA POPOLAZIONE (FINITA) • μ= 1/N ∑i=1 N xi N indica il numero di unità della popolazione VARIANZA DELLA POPOLAZIONE • σ2= 1/N ∑i=1 N (xi-μ)2 MEDIA DELLA POPOLAZIONE (INFINITA) DI UNA V.C. DISCRETA • μ= E(X)= ∑j=1 k xj*p(xj) VARIANZA DELLA POPOLAZIONE DI UNA V.C. DISCRETA • σ2= Var(X)= ∑j=1 k (xj-μ)2 *p(xj) MEDIA CAMPIONARIA • Mx= 1/n ∑i=1 n Xi n indica il numero di unità del campione VARIANZA CAMPIONARIA • σ2= 1/n ∑i=1 n (Xi-Mx)2 VALORE ATTESO DELLA MEDIA CAMPIONARIA (Popolazioni infinite) • E(Mx)= μ VARIANZA DELLA MEDIA CAMPIONARIA (Popolazioni infinite) • Var(Mx)= σ2/n VALORE ATTESO DELLA MEDIA CAMPIONARIA (Popolazioni finite) • E(Mx)= μ VARIANZA DELLA MEDIA CAMPIONARIA (Popolazioni finite) • Var(Mx)= ( 𝑁−𝑛 𝑁−1 ) *σ2/n Stima FORMULA NOTE STIMATORE • Θ= T= t(X1, …, Xn) STIMATORE CORRETTO • E(T)= Θ Se lo stimatore T è corretto, allora MSE(T)=Var(T) DISTORSIONE • B(T)= E(T)-Θ ERRORE QUADRATICO MEDIO • MSE(T)= E[(T-Θ)2] • MSE(T)= Var(T)+B(T)2 Var(T)= E[(T-E(T))2] è la varianza di T STIMATORE EFFICIENTE • MSE(T1) <MSE(T2) • Var(T1) <Var(T2) VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA • S2= 1/(n-1) ∑i=1 n (Xi-Mx)2 Lo stimatore S2 è uno stimatore corretto della varianza della popolazione Stima per intervallo FORMULA NOTE STIMA DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA • Mx-Z1-(α/2) *√(σ2/n); Mx+Z1- (α/2) *√(σ2/n) Per trovare Z: • Calcolare 1-(α/2) • Consultare la tabella sotto la tavola, alla riga 1-a e considerare il valore trovato • Prendere il corrispondente valore za STIMA DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA • Mx-Z(α/2) *√(σ2/n); Mx+Z(α/2) *√(σ2/n) Per trovare Z: • Calcolare (α/2) • Consultare la tabella sotto la tavola, alla riga 1-a e considerare il valore trovato • Prendere il corrispondente valore za STIMA DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA (σ2 INCOGNITO) • Mx-t(α/2) *√(S2/n); Mx+t(α/2) *√(S2/n); S2= 1/(n-1) ∑i=1 n (Xi-Mx)2 Per trovare t: • Calcolare (α/2) • Consultare la tavola t- Student e considerare il valore corrisponde al grado di libertà (n-1) • Prendere il corrispondente valore (α/2) STIMA DELL’INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA PROPORZIONE • Mx-z(α/2) *√ 𝑀𝑥(1−𝑀𝑥) 𝑛 ; Mx+z(α/2) *√ 𝑀𝑥(1−𝑀𝑥) 𝑛 Z= Mx-𝝅0 /√[𝝅0(1-𝝅0)/n] DIMENSIONE CAMPIONARIA • n= (z(α/2) *σ/∂)2 Se il valore ottenuto non è intero, si prenderà il primo numero intero superiore DIMENSIONE CAMPIONARIA (σ2 INCOGNITO) • n= (z(α/2) *s/∂)2 Formulazione delle ipotesi FORMULA NOTE IPOTESI NULLA • H0 IPOTESI ALTERNATIVA • H1 IPOTESI SEMPLICE • H0:μ= μ0 • H1:μ= μ1 IPOTESI COMPOSTA • H0:μ> μ0 • H1:μ <μ1 N.B se la regione di rifiuto è una, il valore critico è solo α. FORMULA NOTE STATISTICA TEST (z) • z= Mx-μ0 /√(σ2/n)
