Scarica Formulario di Vettori e più Formulari in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! ESERCIZI ALGEBRA LINEARE VETTORI • Somma di due vettori • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘� ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑘𝑘� Calcolo della somma 𝑤𝑤��⃗ = 𝑢𝑢�⃗ + ?⃗?𝑣 = (𝑢𝑢𝑎𝑎 + 𝑣𝑣𝑎𝑎)𝚤𝚤̂+ (𝑢𝑢𝑏𝑏 + 𝑣𝑣𝑏𝑏)𝚥𝚥̂+ (𝑢𝑢𝑐𝑐 + 𝑣𝑣𝑐𝑐)𝑘𝑘� • Calcolo del modulo(norma) di un vettore • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘� Calcolo della norma ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ = �𝑢𝑢𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢𝑏𝑏2 + 𝑢𝑢𝑐𝑐2 • Normalizzare un vettore • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = (𝑢𝑢𝑎𝑎, 𝑢𝑢𝑏𝑏 , 𝑢𝑢𝑐𝑐) Calcolo la norma ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ = �𝑢𝑢𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢𝑏𝑏 + 𝑢𝑢𝑐𝑐2 Normalizzo il vettore 𝑣𝑣� = 𝑢𝑢�⃗ ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ • Prodotto di un vettore per uno scalare • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘� 𝑎𝑎 ∈ ℝ Calcolo del prodotto scalare 𝑤𝑤��⃗ = 𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢�⃗ = 𝑎𝑎(𝑢𝑢𝑎𝑎𝚤𝚤̂ + 𝑢𝑢𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘�) • Combinazione lineare di due vettori • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = � 𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑏𝑏 𝑢𝑢𝑐𝑐 � ?⃗?𝑣 = � 𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑏𝑏 𝑣𝑣𝑐𝑐 � 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ Combinazione lineare 𝑤𝑤��⃗ = 𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢�⃗ + 𝑏𝑏 ∙ ?⃗?𝑣 = 𝑎𝑎 � 𝑢𝑢𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑏𝑏 𝑢𝑢𝑐𝑐 �+ 𝑏𝑏 � 𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑏𝑏 𝑣𝑣𝑐𝑐 � Nota Avendo due vettori dati per trovare la formula generale dei vettori complanari si usa la combinazione lineare. • Prodotto scalare • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = (𝑢𝑢𝑎𝑎 , 𝑢𝑢𝑏𝑏, 𝑢𝑢𝑐𝑐) ?⃗?𝑣 = (𝑣𝑣𝑎𝑎, 𝑣𝑣𝑏𝑏, 𝑣𝑣𝑐𝑐) Calcolo la norma ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ = �𝑢𝑢𝑎𝑎2 + 𝑢𝑢𝑏𝑏 + 𝑢𝑢𝑐𝑐2 ‖?⃗?𝑣‖ = �𝑣𝑣𝑎𝑎2 + 𝑣𝑣𝑏𝑏2 + 𝑣𝑣𝑐𝑐2 Calcolo il prodotto scalare 〈𝑢𝑢�⃗ , ?⃗?𝑣〉 = 𝑢𝑢�⃗ ∙ ?⃗?𝑣 → ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ ∙ ‖?⃗?𝑣‖ ∙ cos (𝑢𝑢�⃗ ?⃗?𝑣) Nota 1. Bisogna prendere l’angolo più piccolo. 2. 〈𝑢𝑢�⃗ ,𝑢𝑢�⃗ 〉 = ‖𝑢𝑢�⃗ ‖2 3. 〈𝑢𝑢�⃗ , ?⃗?𝑣〉 = 0 → Condizione di ortogonalità Inoltre cos�𝑢𝑢�⃗ ?⃗?𝑣� = 〈𝑢𝑢�⃗ , ?⃗?𝑣〉 ‖𝑢𝑢�⃗ ‖ ∙ ‖?⃗?𝑣‖ Nota 1. (𝑢𝑢�⃗ + ?⃗?𝑣)2 = 1 se 𝑢𝑢�⃗ , 𝑢𝑢�⃗ e 𝑢𝑢�⃗ + ?⃗?𝑣 sono versori 2. Angolo acuto < 90 3. Angolo ottuso > 90 • Prodotto scalare in componenti • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘� ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣𝑎𝑎𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣𝑏𝑏𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑘𝑘� Calcolo del prodotto scalare in componenti 〈𝑢𝑢�⃗ , ?⃗?𝑣〉 = 𝑢𝑢𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 + 𝑢𝑢𝑏𝑏𝑣𝑣𝑏𝑏 + 𝑢𝑢𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐 • Calcolo dell’area di un triangolo avente le sue coordinate • Dati: 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥𝐴𝐴, 𝑦𝑦𝐴𝐴, 𝑧𝑧𝐴𝐴) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥𝐵𝐵 ,𝑦𝑦𝐵𝐵 , 𝑧𝑧𝐵𝐵) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥𝐶𝐶 ,𝑦𝑦𝐶𝐶 , 𝑧𝑧𝐶𝐶) Calcolo i lati 𝐴𝐴𝐵𝐵���� e 𝐴𝐴𝐶𝐶���� 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = (𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)𝚤𝚤̂+ (𝑦𝑦𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)𝚥𝚥̂ + (𝑧𝑧𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑘𝑘� → 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢1𝚤𝚤̂ + 𝑢𝑢2𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢3𝑘𝑘� 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = (𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)𝚤𝚤̂+ (𝑦𝑦𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)𝚥𝚥̂+ (𝑧𝑧𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑘𝑘� → 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣1𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣2𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣3𝑘𝑘� Calcolo il prodotto vettoriale 𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣 = � 𝚤𝚤̂ 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 𝚥𝚥̂ 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑘𝑘� 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3 � = 𝚤𝚤̂ � 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3� − 𝚥𝚥̂ � 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3� + 𝑘𝑘 � � 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2� = (𝑢𝑢2𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣2𝑢𝑢3)𝚤𝚤̂ − (𝑢𝑢1𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣1𝑢𝑢3)𝚥𝚥̂ + (𝑢𝑢1𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1𝑢𝑢2)𝑘𝑘� Calcolo dell’area del triangolo utilizzando la norma ‖𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣‖ = �𝑢𝑢2𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣2𝑢𝑢32 + 𝑢𝑢1𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣1𝑢𝑢32 + 𝑢𝑢1𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1𝑢𝑢22 • Calcolo del volume di un tetraedro avente le sue coordinate • Dati: 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥𝐴𝐴, 𝑦𝑦𝐴𝐴, 𝑧𝑧𝐴𝐴) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥𝐵𝐵 ,𝑦𝑦𝐵𝐵 , 𝑧𝑧𝐵𝐵) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥𝐶𝐶 ,𝑦𝑦𝐶𝐶 , 𝑧𝑧𝐶𝐶) 𝐷𝐷 = (𝑥𝑥𝐷𝐷,𝑦𝑦𝐷𝐷 , 𝑧𝑧𝐷𝐷) Calcolo i lati 𝐴𝐴𝐵𝐵����, 𝐴𝐴𝐶𝐶���� e 𝐴𝐴𝐷𝐷���� 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = (𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)𝚤𝚤̂+ (𝑦𝑦𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)𝚥𝚥̂ + (𝑧𝑧𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑘𝑘� → 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢1𝚤𝚤̂ + 𝑢𝑢2𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢3𝑘𝑘� 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = (𝑥𝑥𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)𝚤𝚤̂+ (𝑦𝑦𝐶𝐶 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)𝚥𝚥̂+ (𝑧𝑧𝐶𝐶 − 𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑘𝑘� → 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣1𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣2𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣3𝑘𝑘� 𝐴𝐴𝐷𝐷���� = (𝑥𝑥𝐷𝐷 − 𝑥𝑥𝐴𝐴)𝚤𝚤̂+ (𝑦𝑦𝐷𝐷 − 𝑦𝑦𝐴𝐴)𝚥𝚥̂ + (𝑧𝑧𝐷𝐷 − 𝑥𝑥𝑧𝑧)𝑘𝑘� → 𝐴𝐴𝐷𝐷���� = 𝑤𝑤��⃗ = 𝑤𝑤1𝚤𝚤̂+𝑤𝑤2𝚥𝚥̂ + 𝑤𝑤3𝑘𝑘� Calcolo il volume del tetraedro con il prodotto misto 〈𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣,𝑤𝑤��⃗ 〉 = � 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 𝑤𝑤1 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑤𝑤2 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3 𝑤𝑤3 � = 𝑢𝑢1 � 𝑣𝑣2 𝑤𝑤2 𝑣𝑣3 𝑤𝑤3� − 𝑣𝑣1 � 𝑢𝑢2 𝑤𝑤2 𝑢𝑢3 𝑤𝑤3� + 𝑤𝑤1 � 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3� = 𝑢𝑢1 (𝑣𝑣2𝑤𝑤3 −𝑤𝑤2𝑣𝑣3)− 𝑣𝑣1(𝑢𝑢2𝑤𝑤3 − 𝑤𝑤2𝑢𝑢3) + 𝑤𝑤1(𝑢𝑢2𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣2𝑢𝑢3) Il risultato va diviso per 6 • Determinare un valore α tale che i tre vettori siano complanari • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢1𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢2𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢3𝑘𝑘� ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣1𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣2𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣3𝑘𝑘� 𝑤𝑤��⃗ = 𝛼𝛼𝚤𝚤̂+ 𝑤𝑤2𝚥𝚥̂ + 𝑤𝑤3𝑘𝑘� Prodotto misto 〈𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣,𝑤𝑤��⃗ 〉 = � 𝑢𝑢1 𝑣𝑣1 𝛼𝛼 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑤𝑤2 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3 𝑤𝑤3 � = 𝑢𝑢1 � 𝑣𝑣2 𝑤𝑤2 𝑣𝑣3 𝑤𝑤3� − 𝑣𝑣1 � 𝑢𝑢2 𝑤𝑤2 𝑢𝑢3 𝑤𝑤3� + 𝛼𝛼 � 𝑢𝑢2 𝑣𝑣2 𝑢𝑢3 𝑣𝑣3� = 𝑢𝑢1 (𝑣𝑣2𝑤𝑤3 − 𝑤𝑤2𝑣𝑣3) − 𝑣𝑣1(𝑢𝑢2𝑤𝑤3 − 𝑤𝑤2𝑢𝑢3) + 𝛼𝛼(𝑢𝑢2𝑣𝑣3 − 𝑣𝑣2𝑢𝑢3) → Ricavo 𝛼𝛼 • Determinare il vettore proiezione ortogonale di 𝑤𝑤��⃗ sul piano di 𝑢𝑢�⃗ e ?⃗?𝑣 • Dati: 𝑢𝑢�⃗ = 𝑢𝑢1𝚤𝚤̂+ 𝑢𝑢2𝚥𝚥̂ + 𝑢𝑢3𝑘𝑘� ?⃗?𝑣 = 𝑣𝑣1𝚤𝚤̂+ 𝑣𝑣2𝚥𝚥̂ + 𝑣𝑣3𝑘𝑘� 𝑤𝑤��⃗ = 𝑤𝑤1𝚤𝚤̂+ 𝑤𝑤2𝚥𝚥̂ + 𝑤𝑤3𝑘𝑘� Calcolo della proiezione ortogonale del vettore 𝑤𝑤��⃗ lungo la direzione di 𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣 𝑃𝑃𝑤𝑤��⃗ (𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣) = 〈𝑢𝑢�⃗ ,𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣〉 ‖𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣‖2 ∙ 𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣 Calcolo della proiezione ortogonale del vettore 𝑤𝑤��⃗ sul piano 𝑃𝑃𝜋𝜋 = 𝑤𝑤��⃗ − 𝑃𝑃𝑤𝑤��⃗ (𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣) • Inoltre • Se 𝑢𝑢�⃗ e ?⃗?𝑣 non sono paralleli 〈𝑢𝑢�⃗ × ?⃗?𝑣,𝑢𝑢�⃗ − ?⃗?𝑣〉 = 0 Sia ?⃗?𝑣 un vettore non nullo se 𝑤𝑤��⃗ è un vettore, allora ?⃗?𝑣 − 𝑤𝑤��⃗ e ?⃗?𝑣 + 𝑤𝑤��⃗ sono perpendicolari se e solo se |?⃗?𝑣| = |𝑤𝑤��⃗ | Nello spazio ordinario sia dato il vettore ?⃗?𝑣 ≠ 0 Esistono infiniti vettori 𝑤𝑤��⃗ tali che ?⃗?𝑣 ×𝑤𝑤��⃗ = 𝜆𝜆𝑤𝑤��⃗ per qualche 𝜆𝜆 ∈ ℝ
