Formulario Fisica 2 - Completo, Formulari di Fisica

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ELETTROSTATICA Forza elettrostatica tra cariche puntiformi (Legge Coulomb) 𝑭12 = 𝑘 𝑞1𝑞2 𝑟12 3 𝒓12 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 𝑟12 3 𝒓12 Forza agente sulla carica q in campo E: 𝑭 = 𝑞𝐄; 𝒂 = 𝑞𝐄 𝑚 Campo elettrostatico di una carica puntiforme: 𝐄 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟3 𝒓 Campo elettrostatico di una distribuzione continua di carica elettrica 𝐄 = 1 4𝜋𝜀0𝑟2 ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑉 ; 𝐄 = 1 4𝜋𝜀0 ∫ 𝒓 − 𝒓′ |𝒓 − 𝒓′|3 𝜌(𝒓′)𝑑𝑉′ Equazione della circuitazione; Legge di Gauss Γ = ∮𝐄 ∙ 𝑑𝑙 = ∮𝐄 ∙ 𝑑𝒓 = 0; 𝜙(𝑬) = ∮ 𝐄 ∙ 𝒏 𝑑𝑆 𝑆 = ∑ 𝑞𝑖 𝑖𝑛𝑡 𝑖 𝜀 = 𝑞𝑡𝑜𝑡 𝑖𝑛𝑡 𝜀 Equazione della divergenza (di Gauss); Equazione del rotazionale (campo conservativo): 𝛻 ∙ 𝐄 = 𝜌 𝜀0 ; 𝛻 × 𝐄 = 𝟎 Potenziale elettrostatico di una carica puntiforme 𝑉𝑃 = −∫ 𝑞 𝑟2 𝑑𝒓 𝑃 ∞ = 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟 𝑉(∞) = 0 Potenziale elettrostatico di una distribuzione volumica di carica 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 4𝜋𝜀0𝑟 ∫ 𝜌(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) 𝑉 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′ 𝑉(𝒓) = 1 4𝜋𝜀0 ∫ 𝜌(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) |𝒓 − 𝒓′| 𝑑𝑉′ = 1 4𝜋𝜀0 ∫ 𝑑𝑞 |𝒓 − 𝒓′| Potenziale al centro sfera: 𝑉 = −∫ 𝐄 0 ∞ 𝑑𝑙 − ∫ 𝐄𝑒𝑠𝑡 𝑅 ∞ 𝑑𝒓 − ∫ 𝐄𝑖𝑛𝑡𝑑𝒓 0 𝑅 Differenza di potenziale tra due punti A e B: 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝒓 𝐵 𝐴 Relazione tra campo e potenziale: 𝐄 = −∇ ∙ 𝑉 Momento delle forze esercitate su un dipolo p da un campo elettrico E 𝑴 = 𝐩× 𝐄; 𝑀 = 𝑝𝐸 sin(𝛼) Energia di un dipolo in un campo elettrostatico: 𝑈𝐸 = −𝐩 ∙ 𝐄 Energia elettrostatica di un sistema di cariche puntiformi 𝑈𝐸 = 1 2 ∑ 1 4𝜋𝜀0 𝑛 𝑖≠𝑗 𝑞𝑖𝑞𝑗 |𝒓𝑖 − 𝒓𝑗| ; 𝑈𝐸 = 1 2 ∑𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑉𝑖; Distribuzione continua di cariche descritta da una densità di carica 𝜌: 𝑈𝐸 = 1 2 ∫ 𝜌(𝒓) 𝑉 𝑉(𝒓)⏟ 𝑝𝑜𝑡. 𝑑𝑉 Densità di energia del campo elettrico: 𝑢𝐸 = 1 2 𝜀𝐸2 oppure 1 2 𝜀𝐸𝐷 Energia associata a campo elettrostatico: 𝑈𝑒 = 1 2 𝜀 ∫ 𝐸2𝑑𝑉 𝑉 = ∫ 𝑢𝑒𝑑𝑉𝑉 Esempio. Energia elettrostatica sfera carica: 𝑈 = 1 2 𝜀0∫ 𝐸(𝑟) 24𝜋𝑟2 𝑅 0 𝑑𝑟 + 𝜀0 2 ∫ 𝑄2 (4𝜋𝜀0)2𝑟4 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 ∞ 𝑅⏟ 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑙𝑙′𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Nota: nel caso ci siano due sfere bisogna sommare anche l’energia di interinazione tre esse, 𝑈12 = 𝑞1𝑞2 4𝜋𝜀0𝑑 . all’energia delle singole sfere. Energia elettrostatica sfera uniformemente carica: 𝑈 = 3 5 𝑞2 4𝜋𝜀0𝑅 ; inoltre se le sfere sono uguali e più di una si ha: 𝑈𝑡𝑜𝑡 = 3 5 𝑞2 4𝜋𝜀0𝑅 ∗ 𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒 Carica elettrica 𝑞 𝐶 Densità vol di carica elettrica 𝜌 [𝑄/𝑉] 𝐶/𝑚3 Densità sup. di carica elettrica 𝜎 [𝑄/𝑆] 𝐶/𝑚2 Densità lin. di carica elettrica 𝜆 [𝑄/𝑑] 𝐶/𝑚 Potenziale elettrostatico 𝑉 𝑉 Campo elettrico 𝐸 𝑉/𝑚 Costante dielettrica del vuoto 𝜀0 = 8.85418 ∙ 10 −12 𝜀0 𝐹 𝑚 = 𝐶 𝑉𝑚 = 𝐶2 𝑁𝑚2 Altre formule prese dagli esercizi di elettrostatica Cariche in equilibrio: perché un terza carica sia in equilibro bisogna che la risultate delle forze agenti su essa sia nulla 𝒇12 + 𝒇23 = 0. Bisogna ragionare sul segno delle cariche e trovare la posizione accettabile. Teorema delle forze vive ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝒓 𝑑′ 𝑑 = ∫ 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 𝑑′ 𝑑 𝑑𝑟 𝑟2 = 1 2 𝑚𝑣2 ⇒ − 𝑞𝑄 4𝜋𝜀0 [ 1 𝑑′ − 1 𝑑 ] = 1 2 𝑚𝑣2 𝐿 = 𝐹(𝑑 − 𝑑′) = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 𝐾𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝑈𝑓 Energia potenziale di una carica rispetto ad un'altra: 𝑈 = 𝑞 𝑄 4𝜋𝜀0𝐷 , D=dist. Conoscendo il pot. nel punto finale: 𝑈𝑓 = 𝑞 ∙ 𝑉; 𝐸𝑠: 1 2 𝑚𝑣2 = 𝑞∆𝑉 Campo elettrico di un piano uniformemente carico: 𝐸 = 𝜎 2 𝜀0 = 𝑄 2 𝜀0 𝑆 Campo elettrostatico lamina con spessore d: 𝐸𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎 = 𝜎 𝜀0 = 𝜌𝑑 𝜀0 Disco carico: 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑆 = 𝜎(2𝜋𝑟 𝑑𝑟) 𝑄 = ∫ 𝜎(2𝜋𝑟 𝑑𝑟) 𝑅 0 𝐸 = 𝜎 2𝜀0 (1 − 𝑧 √𝑧2 + 𝑅2 ) Campo superficie sferica: 𝐸𝑒𝑠𝑡 = 4𝜋𝜎𝑅2 4𝜋𝜀0𝑟 2 = 𝜎𝑅2 𝜀0𝑟 2 Sfera uniformemente carica: 𝑄 = 𝜌 4 3 𝜋𝑟3 → 𝜌 = 𝑄 4 3 𝜋𝑅3 Densità carica guscio sferico: 𝜎 = 𝑞 4𝜋𝑟2 Densità di carica gusci sferico uniformemente carico: 𝜌 = 𝑄 4 3 𝜋(𝑟1 3−𝑟1 3) Campo elettrico guscio sferico: 𝐸 = 1 3𝜀0 𝜌(𝑟3−𝑟1 3) 𝑟2 = 𝜌 3𝜀0 − 𝜌𝑟1 3 3𝜀0 1 𝑟2 Sferica carica. Q  somma delle cariche contenute in gusci sferici di raggio r e spessore infinitesimo dr, il cui volume è 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟. Carica infinitesima del guscio: 𝑑𝑞 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = (𝑘 ∙ 𝑟) ∙ (4𝜋𝑟2𝑑𝑟) 𝑄 = ∫ 𝑑𝑞 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = ∫ 𝑘 𝑟 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑅 0 Sfera isolante carica Φ𝑟(𝑬) = ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠 4𝜋𝑟2 = 𝐸(𝑟)4𝜋𝑟2 = 𝑄𝑟 𝜀0 𝒓 ≥ 𝑹  𝐸(𝑟) = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟 2 ; 𝒓 ≤ 𝑹  𝐸(𝑟) = ∫ 𝜌(𝑟)4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑟 0 4𝜋𝜀0𝑟 2 Sfera conduttrice carica: 𝑬𝒊𝒏𝒕 = 𝟎 Sfera carica con densità di carica superficiale 𝜎: 𝐸 = 4𝜋𝑅2𝜎 4𝜋𝜀0𝑟 2 “Il potenziale in un punto si determina sommando i contributi dovuti alle singole cariche” 𝑆𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑞(𝑟) 𝑜 𝐸(𝑟): 𝜌 = 𝑑𝑞 𝑑𝑉 = ( 𝑑𝑞 𝑑𝑟 ) /4𝜋𝑟2 CONDUTTORI E DIELETTRICI Campo elettrico nelle immediate vicinanze di una superficie conduttrice (indefinita) carica con densità superficiale 𝜎: 𝐄 = 𝜎 𝜀0 𝒏 𝑞∆𝑉 = 1 2 𝑚𝑣𝑓 2 → ∆𝑉 = 𝑚𝑣𝑓 2 2𝑞 Pressione elettrostatica sulla carica distribuita con densità 𝜎, sulla superficie di un conduttore : 𝑝 = 𝜎2 2𝜀0 Equazione di Laplace: ∇2 ∙ 𝑉 = 0 Capacità condensatori vari: Piano: 𝐶 = 𝜀 𝑆 𝑑 ; Cilindrico: 𝐶 = 2𝜋𝜀 ℎ log( 𝑟2 𝑟1 ) ; Sferico: 4𝜋𝜀 ( 𝑅1𝑅2 𝑅2−𝑅1 ) Sfera singola: 𝐶 = 4𝜋𝜀𝑅1; Cilindri paralleli: 𝐶 = 𝜋𝜀 𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑑 2𝑅 ) Energia elettrostatica di un condensatore: 𝑈 = 1 2 𝐶∆𝑉2 = 1 2 𝑄2 𝐶 Capacità di un sistema di n condensatori in serie 𝐶 = ∏ 𝐶𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ ∏ 𝐶𝑖𝑖≠𝑘 𝑛 𝑘=1 ; 1 𝐶 = ∑ 1 𝐶𝑖 𝑛 𝑖=1 ; 𝐶𝑡𝑜𝑡 = 𝐶1𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 Capacità di un sistema di n condensatori i parallelo: 𝐶 = ∑ 𝐶𝑖 𝑛 𝑖=1 Polarizzazione dielettrica, (vettore polarizzazione) 𝐏 = 𝑝𝐝 Densità superficiale di carica di polarizzazione: 𝜎𝑝𝑜𝑙 = 𝐏 ∙ 𝐧 = 𝜀0(𝜀𝑟 − 1)𝐸 ∙ 𝑛 = ( 𝜀𝑟 − 1 𝜀𝑟 ) 𝑞 4𝜋𝑟2⏟ 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 Suscettività elettrica 𝜒(𝐸): 𝐏 = 𝜀0𝜒(𝐸)𝐄 Permettività elettrica 𝜀𝑟(𝐸): 𝜀(𝐸) = 1 + 𝜒(𝐸) Costante dielettrica relativa nei materiali dielettrici lineari 𝜀𝑟 = 1 + 𝜒 Equazioni del campo 𝐏: ∮ 𝐏 ∙ 𝒏 𝑑𝑆 𝑆 = −∫ 𝜌𝑝𝑜𝑙𝑑𝑉𝑉 ∇ ∙ 𝐏 = −𝜌𝑝𝑜𝑙 ; ∇ × 𝐏 = 𝜀0[∇𝜒(𝐸)] × 𝐄 Equazioni del campo 𝐄 nel dielettrico { ∮ 𝐄 ∙ 𝒏 𝑑𝑆 𝑆 = ∫ 𝜌 + 𝜌𝑝𝑜𝑙 𝜀0 𝑑𝑉 𝑉 ∮ 𝐄 𝑑𝑙 𝑙 = 0 ; { ∇ ∙ 𝐄 = 𝜌 + 𝜌𝑝𝑜𝑙 𝜀0 ∇ × 𝐄 = 0 Campo elettrico di una distribuzione di carica sferica nel dielettrico 𝐄 = 𝑞 4𝜋𝜀𝑟𝜀0𝑟2 ; 𝐄 = 𝑞 + 𝑞𝑝𝑜𝑙 4𝜋𝜀0𝑟2 Induzione elettrica 𝐃: { 𝐃 = 𝜀0𝐄 + 𝐏 𝐃 = 𝜀𝑟𝜀0𝐄 Equazioni del campo 𝐃 { ∮ 𝐃 ∙ 𝑑𝑙 𝑙 = ∮ 𝐏 𝑑𝑙 𝑙 ∮ 𝐃 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = ∫ 𝜌 𝑑𝑉 𝑉 = 𝑄 ⟹ 𝐷 = 𝑄 4𝜋𝑟3 𝒓 ; { ∇ × 𝐃 = ∇ × 𝐏 ∇ ∙ 𝐃 = 𝜌 Densità di energia elettrostatica nel dielettrico 𝑢𝐸 = 𝑈 𝑉 = 1 2 𝜀𝑟𝜀0𝐸 2 = 1 2 𝐄 ∙ 𝐃 [𝐽/𝑚2] Capacità 𝐶 𝐹 Momento elettrico di dipolo 𝐩 𝐶/𝑚 Polarizzazione 𝐏 𝐶/𝑚2 Induzione elettrica 𝐃 𝐶/𝑚2 Altre formule prese dagli esercizi sui conduttori e dielettrici 𝐶 = 𝑄 𝑉 ;𝑉 = 𝑄 𝐶 ; 𝑄 = 𝑉𝐶 /// 𝑈 = 1 2 𝑄 𝐶 𝑄 = 1 2 𝑉𝑄 → 𝑄 = 2𝑈 𝑉 Campo elettrico in un condensatore a facce piane parallele: 𝐸 = 𝑉′ 𝑑 Campo elettrico tra le piastre di un condensatore: 𝐸 = 𝜎 𝜀0 ; Singolo strato: 𝐸 = 𝜎 2𝜖 Campo strato infinito carico densità sup. 𝜎: 𝐸 = 𝜎 2𝜀0𝜀𝑟 Il campo elettrico all’interno del dielettrico si può esprimere in funzione della cost. dielettrica relativa: 𝐸 = 𝑄𝑡𝑜𝑡 4𝜋𝜀𝑟𝜀0𝑟 2 e attraverso la carica di polarizzazione sulla sup. del dielettrico: 𝐸 = 𝑄𝑡𝑜𝑡−𝑞𝑝𝑜𝑙 4𝜋𝜀0𝑟 2 . E quindi 𝑞𝑝𝑜𝑙 = ( 1 𝜀𝑟 − 1)𝑄𝑡𝑜𝑡; 𝜎𝑝𝑜𝑙 = 𝑞𝑝𝑜𝑙 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑞𝑝𝑜𝑙 = ∫ 𝜌𝑝𝑜𝑙 𝑉 𝑑𝑉 +∫ 𝜎𝑝𝑜𝑙 𝑆 𝑑𝑆 l campo elettrico all’interno del dielettrico si può esprimere: 𝐸𝑑 = 𝜎𝑙𝑖𝑏 + 𝜎𝑝𝑜𝑙 𝜀0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝐸𝑑 = 𝜎𝑙𝑖𝑏 𝜀0𝜀𝑟 → 𝜎𝑝𝑜𝑙 = 𝐸𝑑𝜀0 − 𝜎𝑙𝑖𝑏 Una sfera di raggio r1 è carica uniformemente con un carica q, il campo 𝐸𝑖𝑛𝑡 all’interno della sfera: 4𝜋𝑟2𝐸𝑖𝑛𝑡 = 1 𝜀0 𝜌𝑉 = 1 𝜀0 𝑞 4 3𝜋𝑟1 2 4 3 𝜋𝑟3; 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑞𝑟 4𝜋𝜀0𝑟1 3 Densità carica libera armature: 𝜎𝑙𝑖𝑏 = 𝑞𝑙𝑖𝑏 𝑆 = 𝐶′𝑉 𝑆 [𝐶/𝑚2] La differenza di potenziale fra A e B è uguale all’energia cinetica acquistata dal corpo: 𝑞∆𝑉 = 1 2 𝑚𝑣𝐵 2 Sfere conduttrici 𝑞1 e 𝑞2 cariche che vengono collegate con un filo: { 𝑞1 ′ + 𝑞2 ′ = 𝑞1 + 𝑞2 𝑉′1 = 𝑉 ′ 2 → { 𝑞1 ′ + 𝑞2 ′ = 𝑞1 + 𝑞2 𝑞1 ′ 4𝜋𝜀0𝑟1 = 𝑞2 ′ 4𝜋𝜀0𝑟2 Nota: il potenziale è uguale dopo la distribuzione delle cariche. Carica di polarizzazione conoscendo 𝜌𝑝𝑜𝑙 e 𝜎𝑝𝑜𝑙: 𝑄𝑝𝑜𝑙 = ∫ 𝜌𝑝𝑜𝑙 𝑉 𝑑𝑉 +∫ 𝜎𝑝𝑜𝑙 𝑆 𝑑𝑆 Condensatore formato da armature cilindriche coassiali, resistività di un liquido con 𝜀𝑟 interposto tra le armature: 𝑅 = 𝜀0𝜀𝑟𝜌 𝐶 , 𝜌 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑖𝑣𝑖𝑡à Moto elettrone all’interno del condensatore: 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑞𝐸 → 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑞 𝑚 𝐸; 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 Velocità con cui un elettrone (e) va da una armatura all’altra di un condensatore: 1 2 𝑚𝑣2 = 𝑒∆𝑉 Velocità con cui elettrone (e) ruota su orbita circolare: 1 4𝜋𝜀0 𝑒𝑄 𝑟2 = 𝑚𝑣2 𝑟 → 𝑣 = √ 𝑒𝑄 4𝜋𝜀0𝑚𝑟 CORRENTI ELETTIRCHE Corrente elettrica di conduzione 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 → 𝑞 = ∫ 𝑖(𝑡) 𝑡 𝑡0 𝑑𝑡 Vettore densità di corrente: 𝐉 = 𝑁 𝑞 𝐯 Principio di conservazione della carica elettrica: 𝑖 = − 𝑑𝑞′ 𝑑𝑡 𝑖 = ∮ 𝐉 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = − 𝑑 𝑑𝑡 ∫ 𝜌′𝑑𝑉 𝑉 ; ∇ ∙ 𝐉 = − 𝜕𝜌′ 𝜕𝑡 Equazione di continuità ∮ (𝐉 + 𝜀0 𝜕𝐄 𝜕𝑡 ) ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = 0; ∇ ∙ (𝐉 + 𝜀0 𝜕𝐄 𝜕𝑡 ) = 0 Principio di conservazione della carica per regimi stazionari ∮ 𝐉 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = 0; ∇ ∙ 𝐉 = 𝟎 Legge di ohm: ∆𝑉 = 𝑅𝑖; 𝐄 + 𝐄(𝑖) = 𝐉 𝜎 → 𝐉 = σ𝐄 Forza elettromagnetica (f.e.m) impressa: ℰ = ∮ 𝐄(𝑖) 𝑙 ∙ 𝑑𝑙 Resistenza di conduttori in serie: 𝑅 = ∑ 𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1 Resistenza di conduttori in parallelo: 𝑅 = ∏ 𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ ∏ 𝑅𝑖𝑖≠𝑘 𝑛 𝑘=1 ; 1 𝑅 = ∑ 1 𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1 Legge di Kirchhoff per i nodi: ∑ 𝑖𝑘𝑘 = 0 Legge di Kirchhoff per le maglie: ∑ (ℰ𝑘 − 𝑖𝑘𝑅𝑘) 𝑛 𝑖=1 = 0 Legge di Joule: 𝑑2𝑊 𝑑𝑉𝑑𝑡 = 𝐽2 𝜎 ; (potenza disspiata) 𝒫 = 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑅𝑖2 = 𝑉2 𝑅 [𝑊] Energia dissipata: 𝑊 = ∫ 𝒫𝑑𝑡 𝑡1 𝑡0 (non dimenticare t nell’integrale) [𝐽] Intensità di corrente elettrica 𝑖 𝐴 Densità di corrente 𝑗 𝐴/𝑚2 Forza elettromotrice (f.e.m) ℰ 𝑉 Resistenza elettrica 𝑅 Ω Conducibilità elettrica 𝜎 1/(Ω𝑚) Altre formule prese dagli esercizi sulle correnti elettriche Condensatore che si scarica con il tempo (isolante non perfetto): 𝐸(𝑡) = 𝑄(𝑡) 𝑆𝜀0𝜀𝑟 ; densità di corrente: 𝐽(𝑡) = 𝜎𝐸(𝑡) = 𝜎 𝑄(𝑡) 𝑆𝜀0𝜀𝑟 → 𝑖(𝑡) = 𝑆 𝐽(𝑡) 𝑄(𝑡) 𝑆𝜀0𝜀𝑟 = 𝜎 𝑄(𝑡) 𝑆𝜀0𝜀𝑟 && 𝑖(𝑡) = − 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝜎 𝑄(𝑡) 𝑆𝜀0𝜀𝑟 → 𝑄(𝑡) = 𝑄0𝑒 − 𝜎 𝜀0𝜀𝑟 𝑡 e derivando rispetto al tempo: 𝑖(𝑡) = − 𝑄0𝜎 𝜀0𝜀𝑟 𝑒 − 𝜎 𝜀0𝜀𝑟 𝑡 . Densità di corrente spostamento: (𝛾->conducibilità elettrica [Ω−1𝑚−1]): 𝐽𝑆 = 𝜎0 (− 𝛾 𝜀0𝜀𝑟 ) 𝑒 − 𝛾 𝜀0𝜀𝑟 𝑡 Forza che si esercita tra le armature: 𝐹 = 𝑄 1 2 𝐸 Potenza media necessaria per caricare i condensatori: 〈𝑃〉 = 𝑈 𝑡∗ = 𝐶∆𝑉2 2𝑡∗ Trovare resistiva 𝜌: 𝑖 = 𝑉 𝑅 = 𝜎 𝑄 𝜀0𝜀𝑟 = 𝜎 𝐶𝑉 𝜀0𝜀𝑟 = 𝐶𝑉 𝜌𝜀0𝜀𝑟 da cui 𝜌. Costante di tempo (𝜏) circuito RC: 𝜏 = 𝑅𝐶 [𝑠] → 𝑖(𝜏) = 1/𝑒 Circuito RC: 𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶; ); 𝑖(𝑡) = 𝑖0𝑒 −𝑡 𝑅𝐶; dove 𝑖0 = 𝑣0 𝑅 = 𝑄0 𝑅𝐶 − 𝑞 𝐶 = 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 → 𝑑𝑞 𝑞 = − 1 𝑅𝐶 𝑑𝑡 → { 𝑞 = 𝑞0𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 𝑖 = − 𝑞0 𝑅𝐶 𝑒− 𝑡 𝑅𝐶 𝑖 = ∫ 𝐉 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 = 𝜎∫𝐄 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 = 𝜎 𝑄 𝜀0𝜀𝑟 Ad esempio: Dalla legge di ohm: 𝑖 = 𝑉 𝑅 = 𝜎 𝑄 𝜀0𝜀𝑟 = 𝜎 𝐶𝑉 𝜀0𝜀𝑟 = 𝐶𝑉 𝜌⏟ Ω𝑚 𝜀0𝜀𝑟 Energia dissipata per effetto Joule (data la tensione): ∆𝑊 = 𝑊𝑓𝑖𝑛 −𝑊𝑖𝑛 = 1 2 𝐶𝑉1 2 − 1 2 𝐶𝑉0 2 Circuito RC con generatore: ∆𝑉 = ℰ − 𝑅𝑖; ∆𝑉(𝑡) = ℰ (1 − 𝑒− 𝑡 𝑅𝐶) 𝑉0 − 𝑞 𝐶 = 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = − 1 𝑅𝐶 𝑡 → 𝑞 = 𝑘𝑒− 𝑡 𝑅𝐶 + 𝐶𝑉0 𝑞(𝑡) = 𝐶𝑉0 (1 − 𝑒 −𝑡 𝑅𝐶) 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣𝑐(𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑣𝑐(0) − 𝑉0 𝑅 𝑒 −𝑡 𝑅𝐶 Energia accumulata nel condensatore: 𝑈𝐶(𝑡) = 𝑄(𝑡)2 2𝐶 = 𝑉0 2𝐶 2 (1 − 𝑒 −2𝑡 𝑅𝐶 ) 2 Energia dissipata per effetto Joule (dato intervallo tempo): 𝑈𝑑𝑖𝑠𝑠(𝑡) = ∫ 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) 2𝑑𝑡 𝑡 0 = ∫ 𝑅 𝑉0 2 𝑅2 𝑒− 2𝑡 𝑅𝐶𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑉0 2𝐶 2 (1 − 𝑒 −2𝑡 𝑅𝐶 ) Energia fornita dal generatore: 𝑈𝑔(𝑡) = ∫ 𝑉0 ∙ 𝑑𝑄 = ∫ 𝑉 ∙ 𝑖𝑑𝑡 = 𝑡 0 𝑉0 2𝐶 (1 − 𝑒 −𝑡 𝑅𝐶) 𝑡 0 Carica sul condensatore/campo E: 𝑞 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 𝑡 0 → 𝑣 = 𝑞 𝐶 → 𝐸 = 𝑣/𝑑 CAMPI MAGNETICI STAZIONARI Legge di Biot-Savart: 𝐁(𝑙) = 𝜇0 4𝜋 𝒊2 ∮ 𝑑𝑙2×𝒓21 𝑟21 2𝑙2 ; 𝑑𝐁 = 𝜇0𝑑𝑖 4𝜋 𝑑𝑙 𝑟2 Esempi: Campo magnetico sull’asse, spira piana: 𝐵 = 𝜇0 𝑖 𝑟 2 2(𝑧2+𝑟2)3/2 Campo magnetico al centro spira piana: 𝐵 = 𝜇 𝑖 2𝜋𝑟 4𝜋𝑟2 = 𝜇𝑖 2𝑟 Campo magnetico al centro del solenoide: 𝐵𝑖𝑛𝑡 = 𝜇 𝑛 𝑖 = 𝜇 𝑁 𝑖 𝑙 Dove N = n ∙ l; n = num. spire per unità di lunghezza; l = lun. solenoide. Campo al centro del solenoide: se l’approssimazione precedente non vale (è dato il dimetro del filo) la formula di un solenoide infinito: (D = diametro filo; L = lunghezza solenoide) 𝐵 = 𝜇0𝑛 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ; 𝑛 = 𝑁 𝐿 ; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐿 2 √(𝐿/2)2 + (𝐷/2)2 ; Campo magnetico filo percorso da corrente: 𝐵 = 𝜇0 ∙ 𝑖 2𝜋𝑑 d= distanza dal filo (o dall’asse del filo) Se il filo ha lunghezza L non grande abbastanza: 𝐵 = 𝜇0 ∙𝑖 2𝜋𝑑 𝐿 √𝑑2+𝐿2 Campo magnetico lamina piana indefinita: 𝐵 = 𝜇0𝑗𝑙 2 ; 𝑗𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛. 𝑑𝑖 𝑖 [ 𝐴 𝑚 ] Forza di Lorentz: 𝐹 = 𝑞𝐯 × 𝐁; |𝐅| = 𝑞𝑣𝐵 sin(𝛼) → 𝐸 = 𝐹 𝑑𝑞 = 𝑣𝐵 Campo di Lorentz(sbarra rotante): 𝐸𝐿 = 𝑣(𝑟)𝐵 → ℰ = ∫ 𝐸𝐿𝑑𝑟 𝑟 0 = 𝜔 𝐵 𝑟2 2 Forza agente su un elemento di corrente 𝑖𝑑𝑙: 𝑑𝐅 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐁 Potenziale vettore: 𝐵 = ∇× 𝐀; ∇ ∙ 𝐀 = 0 Trasformazione di gauge: 𝐀′ = 𝐀 + ∇Φ Equazioni del campo induzione magnetica 𝐁: { ∇ ∙ 𝐁 = 0 ∇ × 𝐁 = 𝜇0𝐉 ; { ∮ 𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = 0 ∮ 𝐁 𝑑𝑙 𝑙 = 𝜇0∮ 𝐉 ∙ 𝐧 𝑑𝑆 𝑆 = 𝜇0𝑖 Momento magnetico di una spira percorsa da corrente: 𝐦 = 𝑖𝑆?̂? Momento meccanico di un dipolo magnetico: 𝛕 = 𝐦× 𝐁; 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝐵 Magnetizzazione: 𝐌 = 𝑑𝐦 𝑑𝑉 ; |𝐌| = 𝑚 𝑉 [ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ] Equazioni del campo M: { ∇ × 𝐌 = 𝐉mag ∇ ∙ 𝐌 = 0 Equazioni del campo B: { ∇ × 𝐁 = 𝜇0(𝐉 + 𝐉mag) ∇ ∙ 𝐁 = 0 Equazioni del campo H: { ∇ × 𝐇 = 𝐉 ∇ ∙ 𝐇 = −∇ ∙ 𝐌 ; ∮𝐇𝑑𝑙 = 𝑖 → 𝐻 = 𝑖 2𝜋𝑑 𝑁𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑖 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑛𝑠𝑡𝑜𝑟𝑒: ∮ 𝐇𝑑𝑙 𝑙 = ∫ (𝐉 + 𝜕𝐃 𝜕𝑡 ) 𝑆 𝐧𝑑𝑆 𝑑𝑜𝑣𝑒: