Formulario sintetico matematica e geometria, Formulari di Matematica Generale

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GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Assiomi vign — Af'è un insieme vuoto contiene almeno 0 — successione ( funzione ) vne N u s(n)e N ni a SAD A 012345678910 + 0 come primo elemento den AP ={0, 1, 2, 3.) numeri interi positivi non negpalLi [vneN,s(n)=0] Assiomi di Peano = 0 è un numero neturale QeN = il successore di un numero naturale è un numero naturale = Qnonéil successore di alcun numero = numeri diversi hanno successori diversi = NESSUN NUMERO PUÒ'ESSERE DIVISO PERO X = sì può moltiplicare per zero Den=0 - 0° non rappresenta nessun numero nigneri primi da Ta 1000 I numeri primi : 20003 3 dI ar de mar AA SPO aci ica io? ion nia 17 dai i n 3 So widget Per numeri primi si intendono tutti quei numeri interi positivi che hanno solo due II 1 es i ie 23 I divsori.Inaltre parole è possibile definire numero primo, o semplicemente primo, oe e I Sci Ae Se ee ieri: dm sv: umnumeronoturale maggiore di 1 divisibile per 1 e per se stesso 399OLOT d07 613 dI7 419 601 cd1 deG cer 65 459 Reni reali a SI OLta ev Cao ari s01 360 vis sar 793 720 243 Esistono infiniti numeri primi; divisibili solo per sé stesso e per 1 251 (5) %61 r60 I79 dos 267 mon an eni m2a 827 Gad BIp ASS hs7 asP @s0 #77 Bb 863 887 907 dIf DID (929 937 val 94) 963 Dez 971 377 sa wi SH7 Massimo tra i divisori comuni Minimo fra i multipli comuni E: Minimo esponente Es: massimo esponente se mon ci sono divisori comuni MCO - 1 mem (3,b)=( axb):MCO(a.b) Î MCO (a,b)=MCO(a-b,b)  Successioni di numeri ceoin (n-e+xma. } Una successione è una sequenza ordinata di numeri appartenenti ad un insieme assegnato: ad esempio, si possono avere successioni di numeri interi, razionali, reali, complessi. Il primo elemento della sequenza viene, convenzionalmente, chiamato 00 il secondo al e così via; an è il termine generale. | modi in cui vengano di norma descritte le successioni sono due: 1 con una legge: ciascun termine an è assegnato mediante uno funzione che, în generale, dipende da n. Ad esempio, a.-: au. CON neN, è la successione dei numeri dispari; 2. ricorsivamente: ciascun termine on è assegnato mediante una funzione ricorsiva che, in generale, dipende cai termini precedenti a.., a1»,...a1,a. SCn)=2(n-1)-1 £FINSA 3A EV] sì Wo \ndicoce come ma, me, m /5(1,5(2),56). { du a Progressioni In matematica: progressione aritmetica, successione (finita 0 infinita) di numeri tali che la differenza tra un numero e quello immediatamente precedente sia una costante, si ricava aggiungendo una quentità fissa (k) a quello che lo precede. K TOWrTe S(M=n ,S(1n+1)=S(m+k i ji eonsetuttus eli S(mM=S(1)+(n-1)+(n-1)k e Ampiezza, NUMERI INTERI Nell'insieme N dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l'addizione ( + e la IL moltiplicazione. Con l'aggiunta di “nuovi” numeri, e quindi con la formazione di un nuovo ++ ter 4-3 2 1 0 +1 +2 +43 #4 A insieme, è possibile fare in modo che anche la sottrazione diventi un'operazione interna: Numeri negativi È. Numeri positivi tale insieme è l'insieme 7 dei numeri interi relativi. Definizione : Si definisce insieme dei numeri interi positivi 2» l'insieme di tutti i numeri e Zero > naturali ad eccezione dello 0. Lo © non è né positivo né negativo, non ha segno. Menta Neutro NB: sottrarre è uguale a sommare l'opposto LA DIVISIONE CON IL RESTO X:y=qonilresto dir Costouite ali Vegloto qaorente xè icivisitle pery solo ser = MOT Tra due mer NUMERI RAZIONALI». L'insieme Q rappresenta l'insieme dei numeri razionali relativi, ossia l'insieme di tutti i numeri che possono essere espressi tramite frazione e che sono preceduti da segno positivo (+), negativo (-) o nullo. Per l'esattezza l'unico elemento di segno nullo è lo zero. ER ARUNÈ Tra, lord Pi tut vuo #4 LA RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI DECIMALI “frazioni eomori finct eu, n 9 terre e” / be 5 n abeZ b=0 hi 9 6 m_ pf denominatore Sere n_3g decimali periodici è un numero razionale che espresso in natazione decimale ha una stringa di cifre dopo la virgola che, da un certo punto in poi, si ripete all'infinito. Qutipettodo 0,33333..-03 + porte intera, pertodo PRODOTTI NOTEVOLI Caeb)(a-b) = 2% b° prodotto di una somma per una differenza (asblhaf zabehÈ quadrato di un binomio (asb)Zatsib- sante bÈ cubo di un binomio (a=b]a'4îh e Gib dat quarta potenza di un binomio (asbl-atesihe 13h" 10,80% 5 alter quinta potenza di un binomio Casbec)® + b% cè 2ab+2ar 2h quadrato di un trinomio (asbec)l albe ch3abeGabe Jac Sace3b ce 3bc* fabc cubo di un trinomio (ab)(et abb) 33 b° Ca-bita fab e) 1° particolari prodotti notevoli SCOMPOSIZIONI ab-ac=a(b-c) raccoglimento totale a fattore comune ab-acenbenc=a(b+c)enfb+c)=(a-m)(be0) raccoglimento parziale a fattore comune a-b=(a-b)(a-b) differenza di due quadrati deb (a+b)(a" 0-0) somme di cubi 3,3 a-bÈ(a-b) (abb) differenza di cubi dia) (it hit -at 1) somma di due potenze di esponente 5 a-b°(a-b) Gab db ab? 6) differenza di due potenze di esponente 5 ad (ab) ($i somma di due potenze di esponente 7 d-b=(a-b](atabe bha beata differenza di due potenze di esponente 7 m-n=s/man-ap sì sostituiste sx mi - mx ax* mx + Nk + po <sî effettua un raccoglimento parziale de2abeb>(a:b) trinomio notevole con esponente pari x*sxepe(x*m)(x>n) mons mxn=p trinomio con somma e prodotto caso 0 = 1 alstp trovare due numeri med ntali che: trinomio con somma e prodotto caso = 1 ae deb 3 ab b> (3-6)? cubo di binomio de2abe bce (a bce (a be (ab 0) Cat dab-bi=C-(a+b]-(asb+ 0)" riduzione a differenza di quadrati able za Zac babe) quadrato di un trinomio decisa dadi dact+ 30 + 300 Gab = (ab) cubo di un trinomio A puoi scomporre (a b') come( a- b)( a+ b)  cp ee0f \esd rconomia pura Spuria ‘completa © are atte | ato ac4bre=0 SISTEMI DI 1° Xx byac=0 eauertione cà dbe puo sul piano GRADO: Lt by + =0 di 49, cem#tn' Ba risoluzione con îl metodo la macdent di sostituzione onto EQUAZIONI DI 1° GRADO mi Espres \ sowaroni) |> determainot i’'nsiome oli soluzioni S DISEQUAZIONI DI 1° GRADO ate 4 cona>0 axchibxc-4 conaco SISTEMI LINEARI duo piu ini Te da eSponented Cox+by+0=0 Bisogno ti iolvete Ù atstema, Su tbyac, VALORE ASSOLUTO sempre positivo boy lt = Ixbi\yl e \el=0 «52 \ol= miociolo | | 4 Si cloro asd “a \Ibl RADICALI ALGEBRICI ma sn semplificazione Sax = y mr b= va fivione indie "VE riduzione allo stesso indie “vol e © ma , tc > vb ai dar e 0 A . prodono di ati VOLT VT ES Rf > {oa no seg DE vb certe VE. be "Yara Stone rapporto di radicali Ja: Vbe l a . x meo» D VISTI vaspono di fatore VSS potenza di radicali (Ja pe WEA rie diracie VIT ya e a somma algebrica di radicali ASTE + ba = (0ab)"» va b _ be RAZIONALIZZAZIONE | st 2 = & a DEI RADICALI cs _X a x(0-45) Rezionalizare un CONS ese DEKOMMATORE gia = | gi93 renderlo RAZIONALE = Sat VI a  EQUAZIONI DI 2° GRADO COMPLETE achiece0 A » bloc dea Pornomi di 2°ggo0to #9 77 DIE UMINONTE formula risolutiva completa formula risolutiva ridotta Eauazione pi 2° GRADO art +hr+ec=0 cometa - conv 130 => ueBtf Zsclvaroni disvme Sura A<0 > ressa saune © Nessuno. SSIUTIONE 7 xER b 50 dDonsnet : A la Asd vitone cente DOpp\A EQUAZIONI DI 2° semere dlue fadi& reoli ole GRADO spuio 0X°+bx=0 xioxAb)=9 INCOMPLETE Gi vuo Noa Relazione tra coefficienti e (A>0) radici e scomposizione puo ox%ie-o it a EQUAZIONI DI 9 cutCini GRADO SUPERIORE AL2° / semplificare © nd og lore ——® stom posiatone / ÎNfattori domuni EQUAZIONI sono equazioni caratterizzate dal fetto che per ogni soluzione esiste sempre come soluzione anche la sua reciproca RECIPROCHE ( senza considerare il seana ) 0x3+bx*+ bx+q=0 O\x4 +65x3+ ex 24 bx +09.=9 EQUAZIONI BINOMIE la soluzione è ndispari nOn xa ax'4b=0( abconcordì x P O eES0 _ lequazione - \ # appare nonammetta «© E Lo \ / acdebso) soluzioni o n pari ( “a,b discordi fono __ "*Sojuzioni oppuro ac0 o b>0) nl 4 EQUAZIONI TRINOMIE ax xbx*+c=0 TE o LS Ot*+bt + c=0  LA PROBABILITA' > uno coteno di eventi; PAIA) - Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il dino o dei casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili. Teoria della probabilità Ingenua ISPPOCtO Ato ge P/A) = hA —D numero lì al. di A d 2 Menti fuotardi È qui possi iu nu 25 numero dii elementi di U Permutazioni Una permutazione è uno scambio dell'ordine di una sequenza di elementi che possono essere di qualunque tipo. L'obiettivo è trovare il numero di Nel formare i raggruppamenti | ordine ha importanza? tutte le permutazioni (cioè tutte le sequenze con ordine) possibili dato un certo numero n di elementi 23: Arorlfonigmi LUMI veu _ | SI D Suv 6 pesmutonioni N tuenl Mou. 0) ) ou ) Disposizioni uo 3 Disposizioni Combinazioni ] Nel calcolo combinatorio, dati due numeri interi non negativi e, si Pemutzion pei = Cn Uno stesso elemento, î] definisce disposizione di elementi a ogni sottoinsieme ordinato di elementi estratti da un insieme di elementi tale che i sottoinsiemi differiscono almeno in un elemento oppure, in presenza degli stessi elementi, nel modo în cui sono ordinati ogni raggruppamer può essere ripetuto? 1 Tioagpi Damned). (n-K44) = N a n » da j Permutazioni ]_{ Disposizioni (Combinazioni | combinazioni lin) IT y Con n Ripetizione | | Semplici [Uno stesso elemento, in ogni raggruppamento, : può essere ripetuto? 1k (= n) elementi son tutti disi Nel calcolo combinatorio, dati n e due interi positivi, si definisce combinazione di n elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe - Koppure di n elementi a Ka K) ogni sottoinsieme di K elementi estratti da un ae insieme di nelementi. Si parla di combinazione semplice se essa non può Die] [ N 0 ] avere elementi che si ripetono e di combinazione con ripetizione 4 altrimenti. Nel caso di combinazioni semplici deve. risultare Permutazioni | | "tazioni || Disposizioni necessariamente k n Semplici | | nipsizione | Ripetizione | Combinazioni | | Disposizioni |_Semplici Cons = SI — KI éa- K)I Az d Nessuno. posso: CALCOLO COMBINATORIO A=U evento cesto studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regple giei elementi di un insieme finito di oggetti Fortore nl => es: 3 = +.6:5:4:3:2:4 da GEOMETRIA Enti Geometra nn : Ipunto: è ciò che non hé parti (dimensionare) . 7 hi Una linea : è una lunghezza senza larghezza Un piano : è privo di materia e di spessore ed è caratterizzato da 2 dimensioni: punto I retta piano lunghezza e larghezza Due sottoinsiemi A e B del piano si definiscono congruenti se esiste un movimento rigido del piano che porta uno all'altro, devo essere sovrapponibili. traslazione rotazione simmetria FIGURE NEL PIANO no «+ una parte di retta delimitata da due punti è detta segmento ogni punto P si dice origine o estremo «+ ogni punto P su una retta la divide in 2 parti ciascuna delle quali si dice semiretta è ogni retta divide il piano in due semipiani che hanno in comune solo r « la parte del piano compresa tra due semirette si dice angolo + dato un segmento AB e un unto C del piana l'insieme dei punti P tali che il segmento CP è congruente ac AB si dice circonferenza, e la parte di piano contenuta si dice cerchio. [ centro C raggio AB) ZI + una qualsiasi figura tale che esiste un cerchio che la include si dice LIMITATA i TZ 8 Assiomi Euclidei tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta si può prolungare un segmento oltre i due estremi indefinitamente dato un punto Pe un segmento r, è possibile tracciare un cerchio con centro in P e raggio r. tutti gli angoli retti sono uguali se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella dei due angoli retti allora, prolungando le due rette esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti data una retta nel piano e un punto fuorî da essa per il punto passa una e una sola retta parallela alla retta data Rette + due rette si dicono parallele se non si incontrano mai + due rette si dicono incidenti se hanno un unico punto in comune + due rette si dicono perpendicolari se formano 4 angoli di 90° 4,3 5,3 5900 squali zo 20678 figura convessa FIGURE CONVESSE : Una figura è convessa se presi due punti nel sottoinsieme A il segmento che li unisce è tutto contenuto in A FIGURE CONCAVE : Una figura è concava se, presi due dei suoi punti A e 8, i punti sono estremi di un segmento che non è tutto contenuto all'interno della figura. figura concava e La retta è una figura convessa alri Zbca __« Una linea non retta è concava ANGOLI nullo retto piatto giro 0° 90°, 180° 360° acuto ottuso = convesso concavo se ta comma. cei angai e 360° si giuorno esplementoci Angoli complementari 4° Angoli supplementari \S0° B_ZT a d ca POLIGONO un poligono è la parte di piano comune a un numero finito di semipiani che sia limitata e non sia né una retta né una semirettà né un segmento. sî dicono lati di un poligono i segmenti che gli appartengono dati dalle rette che definiscono i semipiani di cui è intersezione si dicono vertici del poligono i punti dove due dei suoi lati si incontrano e angoli interni del poligono gli angoli convessi formati da due suoi lati aventi un vertice in comune ( lati consecutivi ] lati = ( n - 2 ) angoli piatti = parte di piano racchiusa da una linea spezzata chiusa. parte di piano comune a un numero infinito di semipiani che sia limitata e non sia né una retta né una semiretta né un segmento = la somma degli angoli è sempre 160° P@Nì vato e > Samia cteghi Arci due TRIANGOLI 13 somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto nr egquio-tero (BOSUOLO soleno semamnaslo ottusa AAt= h go acotongolo LO Aa POLIGONO DI N LATI somma degli angali internî = (n- 2) x 180° angolo di un poligono regolare ( lati e angoli uguali) = tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati - è Cè il centro del poligono aèé l'altezzo — opotema IL CERCHIO cas In geometria piana il cerchio è la parte di piano delimitata da una ì A circonferenza ed è costituito dall'insieme infinito dei punti che distano da Siccizaar” un punto dato, detto centro, non più di una distanza fissata detta raggio. POLIGONI SIMILI Que poligoni si dicono simili quando : hanno gli angoli ordinatamente congruenti; le coppie di lati che comprendono angoli corrispondenti sono proporzionali - due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono sempre simili CIRCONFERENZA Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza data. In questo caso la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza data. Ogni triangolo formato dagli estremi del diametro è un triangolo rettangolo. CONVERSIONI MISURE E ANGOLI misure angoli interni nlati ( n-2) x 180° i Tm ® radianti x radianti 2x radian 1° grado = 60' primi (o minuti) ? PTT puttane 1’ primo = 60" secondi 90° qradi 180° gradi 360° gradi 1° grado = 3600" secondi 1/6 30/2 ! Ga ED se (N 1/3 |r/2 n/2 e Arod 180. . a T 7n/5 47/3 5/4 Xrod + 0°. TT (80 n/4 27/5 fr/3 | 3n/5 2n/3 3n/4 seno —? Y 5% Woseno QUADRILATERI NOTEVOLI TRAPEZIO p SSA SSR. i = ha 4lati, di cui almeno due sono paralleli = due dei lati paralleli sono detti basi. Yo prendono il nome di base maggiore o base minare a seconda della lunghezza. = untrapezio rettangolo è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi, n quindi forma un angolo di 90° _ - untrapezio isoscele è un trapezio con i /ati obliqui congruenti e gli angoli adiacenti alle basi rispettivamente congruenti Ti LIMA atversi prolungando i cateti del trapezio isoscele si può tracciare un triangolo isoscele = untrapezio è scaleno se ha lati di diversa funghezza e angoli di diversa ampiezza SCALENO ISOSCELE RETTANGOLO C PARALLELOGRAMMA = @ un quadrilatero con i lati opposti paralleli. | lati e gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti. D c - le diagonali lo dividono in triangoli congruenti tra loro. = La congruenza dei lati e degli angoli opposti è una diretta conseguenza del V° postulato di Euclide, relativo agli angoli interni determinati da una retta che ne taglia due. nessuna delle caratteristiche del quadrilatero può essere dimostrata A KH BH senza ricorrere al postulato di Euclide o a una delle sue formulazioni equivalenti. = IIparallelagramma è un caso particolare di trapezio. ha due possibili altezze, a seconda di quale lato viene considerato come base. = Unquadrilatero è un parallelogramme se e solo se le sue diagonali si bisecano, cioè ciascuna divide l'altra in due segmenti congruenti. Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se tutte le coppie di angoli interni consecutivi sono costituite da angoli supplementari. - Unquadrilatero è un parallelogramma se e solo se le due coppie di angoli interni opposti sono costituite da angoli congruenti. RETTANGOLO D = ha 4 lati paralleli due a due e 4 angoli di 90° a = la diagonale taglia il rettangolo in due metà, che corrispondono a due triangoli di rettangoli uguali tra loro. A b Bi Da questa definizione si evince che in un rettangolo ciascuna delle due coppie di lati opposti è costituita da lati congruenti; in altre parole i rettangoli sono particolari parallelosrammi. ROMBO = un poligono di quattro lati che ha tutti i lati della stessa lunghezza (congruenti) - ilrombo ha due diagonali; esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti. Le due diagonali costituiscono anche le bisettrici degli angoli eFR: certe = Oltre ad avere tutti i lati congruenti, ha anche tutte le diagonali congruenti e gli AB= BC angoli anch'essi congruenti.4 angoli uguali di 90° ( retti) - Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2: POLIGONI REGOLARI : Un poligono si dice regolare se tutti i suoi angoli interni sono congruenti fra loro (equiangolo ) e i suoi lati sono congruenti tra loro ( equilatero ). | poligoni regolari si possono inscrivere in una circonferenza. i raggi dividono i poligoni in tanti triangoli isosteli. Triangolo equilatero _ Quadrato Pentagono Esagono LE EQUIVALENZE Misura di Misura di Misura di lunghezza peso capacità Hi esso dal le aLe mot 18 1) nio Acee AREE DI FIGURE PIANE E PERIMETRI Formula Formula Formula Figura PERIMETRO AREA inversa perimetro Ì area I pesta È 2p=4xf Pak wa © | 2p=2x(h+b) R i bat | 2p=a+b*c , b. Î bath 2xA anOz [°* ga: a hoÈ A=sbxbh | » A SOLIDI E LO SPAZIO In Geometria il piano è privo di materia e di spessore ed è caratterizzato da 2 dimensioni: la lunghezza e la larghezza. Il piano viene indicato con le lettere dell'alfabeto greco: alfa, i Qpobeta gamma, delta ec. <— Caratteristiche: Il piano contiene infiniti punti e infinite rette. Piani Piani Piani coincidenti paralleli incidenti VOLUMI E SUPERFICI ca0970.284 parallelepipedo Tellangglo Ab ob y=a-b-c Ag: 200 Sb = 2ab Arsziacrobi) Sr = 2(04b)c ut devoz+b?40* prisma prisma. covo At=ze.h At: Ag42AL Va Ab-n piramide = 8 P Ae- p ° pi 25° A:40,45 cilindro zr* MS = 27 ch Tee? Ato 2tte (has) c= VG Sr=St2A Acme cono sfera coba » » Axa <= 65 d= $ 3 f d-vV3e* GEOMETRIA ANALITICA DISTANZA e PUNTO Coordinate vengono da Cartesio — piano certesiano AS MEDIO TRA 2 PUNTI ‘B - esi (e ADV) AB lex fAS | Mia Slyiyl Blx;y) is et (I I) ® EQUAZIONE DELLA forma implicita axebxec=0 RETTA forma esplicito y=mx-q coefficiente angolare n = — 2 intercetta q= £ Si o il coefficiente angolare | m=Y:Y_ = MO mo ma meo fi E o v N PARALLELISMO e remo mate-A PERPENDICOLARITÀ poeta re À pespendimaotà è sv ati Ye xo RETTA PASSANTE PER 2 | *99-SS9ST9 SSs Pot = sn PUNTI + PAGNIO RIOGRO YA Val aiti fasci di rette 1 fosso mboetio ox +by+K= O Ya Mmxik DISTANZA PUNTO- RETTA CIRCONFERENZA 4 CIRCONFERENZA E y tangente secon dr Aso RETTA x TommenTE. dlec A=O Saterno SSTEmMma dov Aco secanià PARABOLA 40 v(ib.-&) con asse // asse y “> 3 a 0 concavità verso l'alto f \ a c0 concavità verso il basso / \ I PARABOLA con asse // pcsstanere v(-& È) asse x #7] do d 2 0 concavità verso destra a 60 concavità verso sinistra