Funzioni, calcolo dominio ecc…, Schemi e mappe concettuali di Matematica Generale

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UNITÀ R • funzioni elementari • insiemi • trasformazioni di funzione • dominio e immagine Pagina lasciata vuota intenzionalmente non serve l’equazione associata poiché c’é un’equazione di secondo grado NASCOSTA f(x) = log(2 - x - 2) x2 - x - 2 >0 b X , = 1 xx - a = 0x - 0 = 3/E = X VX - 2 " yA I 12 i - = -2xx = - 2 - -- ! i dom(t) = 1- 0 , -z)U(1 , + 1) f(x) =/5ne + 1) + 353) +3 = IR (x + 5)(x + 1) 20 - I x = -5 x = - 1 + IR dom (f) = ( - 0 , 5) U[-1 , + y) l’insieme é l’insieme dei numeri REALI comprende numeri positivi, negativi, decimali ha la caratteristica della POTENZA DEL CONTINUO in economia é l’insieme prediletto non si può contare del tutto vi sono INFINITI numeri tra a e b si fonda su 3 tipi di strutture • struttura ALGEBRICA • struttura D’ORDINE • struttura METRICA sono diverse tra loro ma INTERAGISCONO e si supportano a vicenda come si rappresentano i numeri reali? retta REALE orientato L’insieme R ha anche dei SOTTOINSIEMI chiamati INTERVALLI • Aperto • Chiuso • Misto • Insieme dei MAGGIORANTI • Insieme dei MINORANTI • Estremo SUPERIORE • esterno INFERIORE • MASSIMO • MINIMO L’insieme di maggioranti è composto numeri reali dell’insieme di riferimento é un maggiorante dell’insieme se per ogni elemento il numero maggiorante é maggiore L’insieme dei minoranti di é costituito da tutti i numeri reali che risultano essere minori o uguali a tutti i nr contenuti in l’estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti di l’estremo inferiore è il più grande dei minoranti di Insemi e proprieta125191 & K1GK115/G I i - - - calcoli e operazionib -> segni di UGUAGLIANZA (=) e DISUGUAGUANzA(I) - x misurare - ↓ - + D ↑ U : unione (insiemi) ⑨ V : unione (elementil - D C : inclusione b F : < ogni · Tale che E : appartenenza o if ni non e compreso 8 : insieme voto · il ni e compreso minore/maggiore stretto soprainsieme ↳ ~ ↳ minore/maggiore uguale ↓ ↳ (a , b) i acx<b (a , b) ⑧ a x -b (a , b) [a, b) acxxbacx < b ESEMPIO I A = (a , b)c(R in melR 1- - , a) d I I A -> [b , +3) A b A 3 b IR FaGA , m = a MEIR a ↓ DD FaCA , a M 1 - 0 + -1) ↓ siMBOLI non NUMERI &D A ↓ ↳ seIR : Sup(A) = b ① VatA , as - maggionante b I② Fs'EA , a s' SIS ↳E IR : b inf(A) = a altro maggionante ↳ CONFRONTO ① fact e a - minonante ② FEE A D'EG Y'E T il massimo é il più grande dei numeri COMPRESI nell’insieme di riferimento il massimo dell’insieme é quel numero contenuto in che risulta essere il più grande qualunque numero esclusivamente all’interno dell’insieme é minore il minimo é il più piccolo dei numeri COMPRESI nell’insieme di riferimento il minimo dell’insieme é quel numero contenuto in che risulta essere il più piccolo qualunque numero esclusivamente all’interno dell’insieme é maggiore Esercizi Questo è un insieme DESCRITTO punti di INTERSEZIONE con la parabola con l’asse X main- La A -> aEIR min (A) = a b = ↑ FaeA , c = a ↓ ↳ A A b ↓ C max e min potrebbero Fatt aca aE IR anche non esistence L i - A = 34 = (x) : x+ 2x c 3 , XE(R3- 1 . x +2x23 * +2x - 30 x2 + 2x - 3 = 0 X = -13= -11 = - 1a) -- 2 . Ix| 48 I 0------ -3xxx1 : (- 3 , 1) " ⑧ 0⑱ -3 0 i x ↳ INSIEME IMMAGINE - (0 , -3)-A = [0 , 3) CIR ↳ ↓VALORI DIY i maggio. = 43 , + & o compreso x i minor . = (-0 , 0] intervallo x sup. (Al = 3 inf(A) = 0 min! - A = {y = xx - 1 : xe[- 1 , 3)3 yA 2x - 1 = z(- 1) - 1 = -2 - 1 = - 3 - A = [- 3 , 5) go---- i maggio . = [5 , + y) i I ⑧ 3 ** 2x - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 inf(A) = - 3 i minor . = (-1 , -3] ⑧ ⑪ sup(A) = 3 O i -- B max(A) =E min (A) = - 3 definizione di funzione COSTANTE definizione di funzione LINEARE definizione di funzione QUADRATICA l’argomento NON cambia ma il VALORE si all’aumentre della potenza la y salirà più RAPIDAMENTE sono usate come MODELLO ECONOMICO per le funzioni di RICAVO e PROFITTO giustifica le quadratiche in economia la si trova FORMA FUNZIONALE: la indica la funzione e all’interno vi é la variabile FORMA DI EQUAZIONE: qualsiasi sia l’argomento x che diamo come IMPUT, il risultato OUTPUT sarà la x che ho dato in ingresso do come argomento 1 il valore output sarà 1 è così via… visualizzazione della RELAZIONE EISSTENTE tra x e y LINEA A 45 3 PUNTI FONDAMENTALI simmetrici rispetto all’asse verticale cambia il VALORE cosa accade nei punti tra -1 e 1? se il valore di é più grande di quello di vuol dire che il grafico del primo é più sopra definizione di funzione CUBICA 3 PUNTI FONDAMENTALI quando si tratta di numero in valore assoluto più alti di 1 si parla di SUPERAMENTO dei valori f(x) = CER Yd b . f e -S eun ni reale GER f(x) = 3 "i i I x * * y = CIR ni reale argomento f(x) = CER · (in economial f(x) = x y = x -x yd b ↳ 3 ⑧ -D 2 · - bisettrice I ; 450 D Arconate ..Si risvet. 123 S 2 2 imput burpur yd ----- f(x) = x = y = x 2 Potenza per i yd parabola - 16 # b ⑧------- ** 6 i i ⑧ D ⑧ &↓ ! I · 0 + ' S x4 I - I 0 I' -D b ↓ d ↳ I10 , 0) = origine - ~I (1 , 1)e(- 1 , 17 -anche ~ i negativi quadmante b b prezzo * =yx * =I - +schACCIATO SUX m : coefficiente di inclinazione R = P . G - quantita b : intersezione asse y ↓ la xa x 4 R(q) = p(q) . q = (mq + b) . q = ma2 + bq ricavi d b conficonto INVERTITO f(x) = x 3 y = x3 - /potenza DISPARI yd ↓ -- D 10 I 0 -+ X 11 , 1) ↳ -1 , - 1) -I ORIZONTALE definizione di funzione IRRAZIONALE definizione di funzione RAZIONALE LINEA DI BUDGET B : budget disponibile x : quantitá primo bene y : quantitá secondo bene Px : prezzo unitario primo bene Py : prezzo unitario secondo bene Esempio: IPERBOLE EQUILATERALE 2 PUNTI FONDAMENTALI 2 PUNTI FONDAMENTALI si avvicina agli assi VERTICALI senza MAI toccarli 2 PUNTI FONDAMENTALI 3 PUNTI FONDAMENTALI Inizia VERTICALMENTE per poi curvarsi e seguire quasi parallelamente l’asse X LEGGE DI MASSIMA SODDISFAZIONE ipotesi del PIÙ e MEGLIO Azienda elettrodomestici che ha un budget di 9000€ per fabbricare tostapane e bollitore & 4 & f(x) = =y = t I - * -y oâtentati ---D ⑧ -I ⑧ + ⑧↓ i .. -- L - i----! e guado dispari - -> grado pari ↓ d - I ↓ +I x Sit SPECULARE (1 , 1) (1 , 1) d NON TOCCA Es I ↓tr S YA YA f(x) = F y =x V v3 X ↓ - ⑧ - + ⑧ + O- -Of +I x +I x grado pari ⑧ - I ↓ -> grado dispari (0 , 01 ( , 1) b 77 10 , 0)(1 , 1)+1 , -1) Px . x + Py . y = B e↓ - 2 beni I B = 9000 => costi : 7 , 30 => tostapane t 18 = bollitore K E d NON SUPERA IL BUDGET 1200 Pt . t + PK . K = B =D +sot · t + 18 . k = 9000 > 7 , 50t + 18k = 9000 7 , 50t = 18k + 9000 7 ,-t = 000 AREE economicamente N- non rilevanti K t = 80 MM 30 t =1k =1 t = 1200 k = 300 Operano sui VALORI della funzione NON sull'ARGOMENTO • TRASLAZIONE • RIBALTAMENTO • VALORE ASSOLUTO • COEFFICIENTI / FATTORI MOLTIPLICATIVI In quale caso ci troviamo davanti una TRASLAZIONE? Qual è il suo effetto? Tramite il loro EFFETTO Sposta il grafico verso l'alto o il basso di tante unità dipendentemente del segno anteposto alla costante K Seguire i passaggi in ordine: • individuare la funzione di partenza, FUNZIONE ELEMENTARE • aggiungere la costante K • disegnare entrambe le funzioni Esempio: L'inclinazione è la MEDESIMA Il punto fondamentale è ZERO I punti fondamentali sono 3 Si spostano Trasformazioni grafiche elementariIl C IIIKVII C1 911115 551151ICI I C ! quali sono ? -> ↑come riconoscerli y S ↳ RD I BO y(Ex + k8 - ke 1Rt am positivi Id - yd - y = x +1y = x +Dx + 1k = 1 I I X x + 1 una sola unita funenfare verso l'alto I -I 0 X ⑳ ** - I " * , 0 + k ↳ 0 + 1 = - y =x 2 - 1 y = x 4 1 + x 2 - 1k= - 1 y= e x 2y= e + e + 2k = +2 41 41 Xe YA ex exta ⑧ -I ⑧ ---- x * 1 -- ! --- ↓ --- t i i - ⑧ " x -8 * x > > ⑧ X X & Le -