Algebra Lineare e Geometria Analitica: Vettori, Matrici, Rette e Piani nello Spazio, Dispense di Geometria

Scarica Algebra Lineare e Geometria Analitica: Vettori, Matrici, Rette e Piani nello Spazio e più Dispense in PDF di Geometria solo su Docsity! www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 1 di 106 Algebra lineare e geometria analitica Vettori, matrici, rette e piani nello spazio Luciano Battaia 16 gennaio 2019 www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 2 di 106 Premessa Questa nota contiene una introduzione alla geometria analitica delle rette e dei piani nel piano e nello spazio, utilizzando estesamente la teoria delle matrici e il calcolo vettoriale. I destinatari sono principalmente studenti del triennio terminale del liceo scientifico, indi- rizzo sperimentale PNI o Brocca, ma l’introduzione può essere utile anche a chi si appresta a affrontare il corso di geometria del primo anno universitario. Lo scopo di questi appunti è essenzialmente pratico e di riepilogo dei concetti fondamen- tali: pertanto non sono inserite le dimostrazioni dei risultati via via ottenuti. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 5 di 106 6.8.2 Piano per tre punti non allineati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.8.3 Piano per un punto e parallelo a un piano dato . . . . . . . . . . . . 94 6.8.4 Distanza di un punto da un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.9 Intersezione di piani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.10 Rette nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.11 Esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.13 Un esercizio conclusivo risolto e commentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 6 di 106 1 Richiami sui sistemi lineari in due incognite Questo capitolo ha carattere introduttivo e serve solo a richiamare i concetti fondamentali relativi ai sistemi di equazioni in due incognite, argomento che dovrebbe essere già ben noto al lettore. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 7 di 106 1.1. Equazioni lineari in una o due incognite La più generale equazione lineare (cioé di primo grado) in un’incognita è del tipo ax = b , a 6= 0 . Essa ammette sempre una e una sola soluzione: x = b a . Se si prescinde dalla condizione a 6= 0, occorre distinguere tre casi nella valutazione delle soluzioni di un’equazione come quella considerata, e precisamente: — a 6= 0: l’equazione ha, come già detto, solo la soluzione b/a; — a = 0 ∧ b 6= 0: l’equazione non ha alcuna soluzione; — a = 0 ∧ b = 0: l’equazione ammette infinite soluzioni (tutti i numeri reali). È molto importante tenere conto dell’osservazione contenuta nelle righe precedenti, in particolare nella risoluzione di equazioni parametriche. Chiariamo il concetto con un esem- pio. Discutere ed eventualmente risolvere l’equazione seguente: (a2 − 1)x = a+ 1 . Tenendo conto di quanto detto si conclude che: — se a 6= ±1, l’equazione ha la sola soluzione x = (a+ 1)/(a2 − 1) = 1/(a− 1) ; — se a = −1, l’equazione ha come soluzioni tutti i numeri reali; — se a = 1, l’equazione non ha soluzioni. La più generale equazione lineare in due incognite è del tipo ax+ by = c , (a, b) 6= (0, 0) . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 10 di 106 1.3. Il metodo di Cramer Un metodo alternativo di risoluzione dei sistemi, poco pratico nel caso in esame, ma di enorme importanza per quanto segue, è il metodo di Cramer. Per semplificare il discorso conviene introdurre alcuni nuovi concetti. Definizione 1.1 (Matrice quadrata di ordine 2). Una tabella di numeri reali con due righe e due colonne, indicata con uno dei simboli seguenti: a b c d , Ç a b c d å , ñ a b c d ô , si chiama una matrice quadrata di ordine 2, o matrice 2× 2. Avremo bisogno di considerare tabelle con più di due righe e più di due colonne e ci sarà utile avere un simbolo unico per queste tabelle: di solito si usa una lettera corsiva maiuscola, cioè si scrive (usando il simbolo con le parentesi tonde, come si farà sempre in seguito): A = Ç a b c d å . Definizione 1.2 (Determinante di una matrice 2× 2). Data la matrice A = Ç a b c d å , si chiama determinante di A, il numero ad− bc, indicato con uno dei seguenti simboli: |A| = det(A) = ∣∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣∣ = ad− bc . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 11 di 106 Definizione 1.3 (Matrice incompleta o matrice dei coefficienti). Dato un sistema lineare di due equazioni in due incognite, ® ax+ by = p cx+ dy = q , la matrice A = Ç a b c d å si chiama matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema. Per la risoluzione del sistema in questione vale il seguente Teorema 1.4. Il sistema lineare ® ax+ by = p cx+ dy = q , è determinato se, e soltanto se, det(A) = ∣∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣∣ = ad− bc 6= 0 . In questo caso la soluzione del sistema è x = ∣∣∣∣∣ p bq d ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣∣ , y = ∣∣∣∣∣ a pc q ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a bc d ∣∣∣∣∣ www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 12 di 106 1.4. Esercizi Risolvi, sia con il metodo di Cramer che per sostituzione, i seguenti sistemi. 1. ® 2x− y = 3 x− 3y = 4 2. ® x− 3y = 5 3x+ 4y = 12 Discuti e risolvi, applicando se possibile anche il metodo di Cramer, i seguenti sistemi. 3. ® ax+ y = 1 x+ ay = 3 4. ® x+ (a− 1)y = −2 x+ ay = 4 www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 15 di 106 Definizione 2.2 (Matrice trasposta). Data una matrice Am,n, la matrice n ×m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne si chiama la trasposta, AT , di A: A = à a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn í , AT = à a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 ... ... . . . ... a1n a2n · · · amn í . Per esempio se A = Ç 1 2 3 4 5 6 7 8 å , si ha AT = á 1 5 2 6 3 7 4 8 ë . In particolare la matrice trasposta di un vettore colonna è un vettore riga e viceversa. Poiché avremo spesso bisogno di utilizzare vettori colonna, questa osservazione può facilitare le scritture: invece di scrivere A = à 1 2 ... n í , si può scrivere A = Ä 1 2 . . . n äT . Per evitare confusioni, se i vettori colonna sono rappresentati con la trasposta di un vettore riga si usano spesso delle virgole per separare i singoli elementi. I vettori colonna si indicano usualmente con lettere minuscole in grassetto o sormontate da una freccia: v = ~v = à 1 2 ... n í = Ä 1 2 . . . n äT = Ä 1, 2, . . . , n äT . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 16 di 106 Casi particolari di matrici quadrate: — matrice simmetrica: aij = aji (gli elementi sopra la diagonale principale sono uguali a quelli sotto la diagonale stessa); — matrice diagonale: aij = 0 se i 6= j (gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli); — matrice triangolare superiore: gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli; — matrice triangolare inferiore: gli elementi sopra la diagonale principale sono nulli; — matrice unità o matrice identica: gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1, mentre gli altri sono nulli; essa sarà indicata con Id o semplicemente con I. La matrice con tutti gli elementi nulli si chiama anche matrice nulla e si può indicare con O. La matrice i cui elementi sono gli opposti degli elementi di A si chiama opposta di A e si indica con −A. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 17 di 106 2.2. Operazioni tra matrici Definizione 2.3 (Somma di matrici). Date due matrici A e B, entrambe m×n, si chiama somma di A e B, A+B, la matrice C ottenuta sommando gli elementi corrispondenti: A+B = à a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n ... ... . . . ... am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn í . Definizione 2.4 (Prodotto di una matrice per uno scalare). Data una matrice A e un reale c, si chiama prodotto di A per c la matrice, cA, ottenuta moltiplicando per c tutti gli elementi di A: cA = à ca11 ca12 · · · ca1n ca21 ca22 · · · ca2n ... ... . . . ... cam1 cam2 · · · camn í . Le operazioni ora introdotte godono delle seguenti proprietà, di immediata verifica: — (A+B) + C = A+ (B + C): proprietà associativa della somma; — A+B = B +A: proprietà commutativa della somma; — A+O = A: la matrice nulla è elemento neutro della somma; — A+ (−A) = O: esistenza dell’opposto per la somma; — c(A+B) = cA+ cB; — (c+ d)A = cA+ dA; — 0A = O; — −1A = −A. Definizione 2.5. Date due matrici Am,p e Bp,n si chiama loro prodotto righe per colonne la matrice Cm,n i cui elementi cij sono ottenuti moltiplicando ordinatamente gli elementi www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 20 di 106 Si deve dunque avere: x+ 2z = 1 y + 2t = 0 2x− z = 0 2y − t = 1 ⇔ ® x+ 2z = 1 2x− z = 0 ∧ ® y + 2t = 0 2y − t = 1 La risoluzione dei due sistemi può essere fatta con la regola di Cramer e si ottiene: x = ∣∣∣∣∣1 20 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 22 −1 ∣∣∣∣∣ = 1 5 , z = ∣∣∣∣∣1 12 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 22 −1 ∣∣∣∣∣ = 2 5 , y = ∣∣∣∣∣0 21 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 22 −1 ∣∣∣∣∣ = 2 5 , t = ∣∣∣∣∣1 02 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 22 −1 ∣∣∣∣∣ = −1 5 . La matrice cercata esiste ed è: Ç 1/5 2/5 2/5 −1/5 å . È facile ora verificare che si ha non solo AB = I, ma anche BA = I. La matrice inversa di una data matrice A, se esiste, si indica con A−1 : AA−1 = A−1A = I . È molto importante la proprietà seguente: se A e B sono due matrici invertibili allora (AB)−1 = B−1A−1 . Come conseguenza della definizione di prodotto tra matrici, si possono definire anche le potenze di una matrice: A2 = AA , A3 = AAA , ecc. , e si può convenire che A1 = A , A0 = I . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 21 di 106 2.3. Determinante di una matrice quadrata Daremo una definizione ricorsiva di determinante, basata su un teorema dovuto a La- place: data la definizione per la matrici di ordine 1, la definizione per matrici di ordine superiore si riconduce, mediante passaggi successivi al caso n = 1. Ricordo che abbiamo già definito il determinante per una matrice di ordine 2: naturalmente la definizione che daremo comprenderà quella già nota come caso particolare. Per il determinante di una matrice A useremo ancora le notazioni |A| = det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn . ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Definizione 2.6 (Minori di una matrice). Data una matrice A si chiama sottomatrice di A ogni matrice ottenuta da A sopprimendo un certo numero di righe e un certo numero di colonne (anche non consecutive). Si chiama minore di A una sottomatrice quadrata di A. A volte si usa il termine minore anche per indicare il determinante del minore stesso. Definizione 2.7 (Complemento algebrico o cofattore). Dato un elemento aij di una ma- trice quadrata A si chiama suo complemento algebrico o cofattore, e si indica con Aij, il determinante, moltiplicato per (−1)i+j, del minore che si ottiene sopprimendo la riga e la colonna di A che si intersecano in aij; questo minore è anche detto minore complementare www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 22 di 106 di aij. A =  a1,1 · · · a1,j−1 a1,j a1,j+1 · · · a1,n ... . . . ... ... ... . . . ... ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 · · · ai−1,n ai,1 · · · ai,j−1 ai,j ai,j+1 · · · ai,n ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 · · · ai+1,n ... . . . ... ... ... . . . ... am,1 · · · am,j−1 mm,j am,j+1 · · · am,n  Aij = (−1)i+j ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1,1 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,n ... . . . ... ... . . . ... ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n ... . . . ... ... . . . ... am,1 · · · am,j−1 am,j+1 · · · am,n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Definizione 2.8 (Determinante). Data una matrice quadrata A di ordine n e considerata una sua riga o colonna qualunque, il determinante di A è il numero ottenuto moltiplican- do gli elementi della riga o colonna scelta per i rispettivi cofattori e sommando i risultati ottenuti: data la riga r-esima di A si ha |A| = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn ; data la colonna p-esima di A si ha |A| = a1pA1p + a2pA2p + · · ·+ anpAnp . In sostanza, per calcolare il determinante una matrice di ordine n si devono calcolare n determinanti di matrici di ordine n − 1, per calcolare i quali si devono calcolare n − 1 determinanti di matrici di ordine n−2, e così via. Naturalmente si prova che nella definizione data la scelta della riga o colonna è ininfluente ai fini del risultato. È immediato che per www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 25 di 106 2.5. Rango di una matrice Data una matrice (in genere rettangolare) Am,n, da essa possiamo estrarre minori di ordine 1, 2, . . . , r, con 1 ≤ r ≤ min(m,n). Definizione 2.12 (Rango). Il rango di una matrice Am,n, rg(A), è il massimo ordine dei suoi minori con determinante non nullo (brevemente il massimo ordine dei suoi minori non nulli). In sostanza la definizione data implica che se rg(A) = p — esiste almeno un minore di ordine p non nullo (cioè con determinante diverso da zero); — tutti gli eventuali minori di ordine p+ 1 sono nulli. Per la matrice nulla si pone rg(A) = 0. Se A è una matrice quadrata di ordine n allora rg(A) = n ⇔ det(A) 6= 0 ⇔ A è invertibile . Esempio La matrice A = Ö −1 3 2 5 6 −2 4 3 −2 6 4 10 è ha 4 minori di ordine 3, e precisamente:Ö −1 3 2 6 −2 4 −2 6 4 è , Ö −1 3 5 6 −2 3 −2 6 10 è , Ö −1 2 5 6 4 3 −2 4 10 è , Ö 3 2 5 −2 4 3 6 4 10 è , e tutti i loro determinanti sono nulli. Essa ha inoltre 18 minori di ordine 2 e si verifica subito che il minore Ç 3 2 −2 4 å ha determinante diverso da 0. Se ne conclude che la matrice data ha rango 2. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 26 di 106 2.6. Esercizi 1. Dimostra che (A+B)T = AT +BT . 2. Dimostra che (cA)T = cAT . 3. Trova tutte le potenze della matrice A = ( 1 10 0 ) . 4. Date A = ( 0 10 0 ) e B = ( 1 00 0 ), verifica se (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 . 5. Calcola il determinante ed eventualmente l’inversa della matrice A = á 1 0 2 −1 2 1 1 −2 3 2 0 −1 4 −1 3 2 ë . 6. Calcola il rango della matrice A = Ö 1 0 3 −1 2 −1 1 −2 2 −1 3 4 è . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 27 di 106 3 Sistemi lineari La risoluzione di sistemi di equazioni lineari in n incognite si fa generalizzando il metodo già visto per i sistemi di due equazioni in due incognite. Esistono altri metodi risolutivi, anche più efficienti dal punto di vista dei tempi di calcolo; tra essi molto importante il metodo di riduzione o eliminazione di Gauss. Qui ci occuperemo però unicamente del metodo di Cramer. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 30 di 106 visto che di solito le scelte possono essere infinite): si dovranno piuttosto esaminare solo alcuni casi tipo. Nell’esempio sopra riportato basterà considerare solo due casi: t = −1: l’equazione non ha alcuna soluzione; t 6= −1: x = 3t t+ 1 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 31 di 106 3.2. Risoluzione del sistema Il teorema fondamentale sui sistemi lineari è quello di Rouché-Capelli, che fornisce una condizione sulla risolubilità basata unicamente sulle caratteristiche delle matrici A e A|b, estendendo quanto già detto a proposito dell’equazione ax = b, la cui risolubilità dipende dai valori di a e b. Teorema 3.1 (Rouchè-Capelli). Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è com- patibile se e soltanto se le matrici incompleta e completa hanno lo stesso rango. Il valore comune di questo rango è detto rango del sistema. Una volta controllata la compatibilità del sistema si può procedere alla sua risoluzione seguendo il percorso che segue. Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite e supponiamo che il rango comune delle due matrici completa e incompleta sia r (≤ min(m,n)). Consideriamo inoltre il minore (di ordine r) della matrice incompleta che abbiamo usato per determinarne il rango e che quindi ha determinante non nullo. Allora: 1. si sopprimono le eventuali equazioni le cui righe dei coefficienti non compaiono nel minore detto; 2. si portano a secondo membro i termini contenenti le eventuali incognite le cui colonne dei coefficienti non compaiono nel minore detto (queste incognite assumeranno il ruolo di parametri, cioè non saranno sottoposte ad alcuna condizione: potrebbe essere utile indicarle anche formalmente con un opportuno nome, di solito t, u, . . .); 3. si ottiene così un sistema quadrato di r equazioni in r incognite, che si risolve con la regola di Cramer che vedremo a breve e che estende quanto già detto per i sistemi di due equazioni in due incognite. Teorema 3.2 (Regola di Cramer). Sia dato un sistema di r equazioni in r incognite, con matrice dei coefficienti, A, a determinante non nullo1. Si considerino inoltre le matrici Ai 1Un sistema siffatto è sicuramente compatibile in quanto la matrice completa, avendo le stesse righe di www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 32 di 106 ottenute sostituendo alla prima, seconda, ecc., colonna, la colonna dei termini noti. Si ha: xi = det(Ai) det(A) , i = 1, 2, . . . , n . Esempio e ulteriori considerazioni Risolvere il sistema  x1 + x2 − x3 + x4 = 1 x1 + 2x3 − 2x4 = 1 4x1 + 3x2 − x3 + x4 = 4 2x1 + x2 + x3 − x4 = 2 . La matrice A|b è: A|b = á 1 1 −1 1 1 1 0 2 −1 1 4 3 −1 1 4 2 1 1 −1 2 ë . Con un po’ di pazienza (e magari con un po’ d’occhio nel semplificare la matrice!), si trova che il determinante di A è nullo, e così pure tutti quelli dei minori di ordine 4 della matrice completa. Stesso discorso per i minori di ordine 3, sia della matrice incompleta che di quella completa. Ci sono invece molti minori di ordine 2 della matrice incompleta che sono non nulli. Dunque il rango del sistema è 2. Scegliamo, per esempio, il minoreÇ a22 a23 a32 a33 å = Ç 0 2 3 −1 å , che ha determinante −6. La prima e la quarta equazione possono essere eliminate; i termini contenenti la prima e la quarta incognita si portano a secondo membro. Ponendo x1 = t e quella incompleta, non può avere rango maggiore di r, né, d’altro canto può avere rango minore di r, in quanto è una “sopramatrice” della matrice incompleta. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 35 di 106 4 Vettori nello spazio ordinario www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 36 di 106 4.1. Definizioni Consideriamo nello spazio ordinario le coppie ordinate di punti (A,B), ove A è detto primo estremo e B secondo estremo. Le coppie (A,B) sono anche dette segmenti orientati o vettori applicati e indicate con −−→ AB, o con B−A1. A volte, se il discorso risulta chiaro dal contesto, si può anche scrivere semplicemente AB, anche se questa notazione è preferibil- mente applicata ai segmenti ordinari della geometria euclidea. La lunghezza del segmento orientato −−→ AB (rispetto ad una prefissata unità di misura) indica la distanza tra i punti A e B e si rappresenta con ‖ −−→ AB‖ o anche, più semplicemente, con ‖AB‖. Per la lunghezza dei segmenti ordinari della geometria euclidea continuiamo a usare il simbolo tradizionale AB, anche se a volte, quando il contesto rende chiaro il significato dei simboli, potremo usare semplicemente AB. La direzione della retta individuata da A e B si chiama direzione del segmento orientato −−→ AB. Il segmento orientato individua anche, sulla retta AB, un verso: quello in cui A precede B. Nell’insieme dei segmenti orientati si introduce una relazione di equivalenza, detta di equipollenza −−→ AB è equipollente a −−→ CD se — ‖AB‖ = ‖CD‖; — le rette AB e CD sono parallele; — i versi di −−→ AB e −−→ CD sono uguali. 1La notazione B − A per indicare un segmento orientato è stata introdotta da William Rowan Hamilton (1805-1865), matematico irlandese. Si tratta di una notazione particolarmente felice e utile, come vedre- mo in seguito. Qui segnaliamo solo che la scrittura di un segmento orientato come differenza di due punti rende palese il diverso ruolo dei due estremi del segmento, esattamente come succede nella sottrazione ordinaria di numeri. Occorre tenere ben presente che da questa notazione non si può dedurre alcun concetto di somma di due punti: B − A ha un ben preciso significato, nessun significato si attribuisce alla scrittura B +A. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 37 di 106 Un modo equivalente, e più compatto, per dare la definizione di equipollenza è il seguente: −−→ AB è equipollente a −−→ CD se i punti medi di AD e BC coincidono. b B b C b D b A −−→ AB −−→ CD b M Figura 4.1: Segmenti orientati equipollenti Trattandosi di una relazione di equivalenza, essa ripartisce l’insieme di tutti i segmen- ti orientati dello spazio in classi di equivalenza: come è d’uso, la classe di equivalenza individuata dal segmento orientato −−→ AB è indicata con [ −−→ AB]. Si dà ora la seguente definizione: Definizione 4.1 (Vettore). Si chiama vettore libero o, semplicemente, vettore una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti. I vettori saranno indicati con una lettera minuscola in grassetto, o sormontata da una freccia (come già fatto per le matrici ad una sola colonna, i vettori colonna, e vedremo in seguito il perché di questa coincidenza di notazioni), cioè si pone: u = ~u = [ −−→ AB] . È evidente che se −−→ AB e −−→ CD sono segmenti orientati equipollenti, si avrà u = [ −−→ AB] = [ −−→ CD] . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 40 di 106 4.2. Operazioni lineari tra vettori Nell’insieme V3 dei vettori dello spazio si possono introdurre le operazioni di somma e prodotto per un numero. Per quanto riguarda la somma si possono dare due definizioni, perfettamente equivalenti. Definizione 4.2 (Regola del parallelogramma). Dati due vettori u e v, e considerati due rappresentanti aventi la stessa origine A, u = B − A e v = D − A, si ha D + u = B + v. Posto C = D + u = B + v, si dice somma dei vettori u e v il vettore w w = u + v = C −A . Definizione 4.3 (Regola del “testa-coda”). Dati due vettori u e v, e considerati due rappresentanti u = B −A e v = C −B, si dice somma dei vettori u e v il vettore w w = u + v = C −A . Naturalmente, in entrambi i casi, si prova che la scelta dei rappresentanti è ininfluente ai fini del risultato. b A b B b C b D u = B −A v = D −A u v w b A b B b C u = B −A v = C −B w = u+ v Figura 4.3: Somma di vettori: regola del parallelogramma e regola del “testa-coda” www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 41 di 106 Definizione 4.4 (Opposto). Dato un vettore u = B −A si chiama suo opposto il vettore −u = A−B , cioè il vettore che ha lo stesso modulo, la stessa direzione e verso opposto. Definizione 4.5 (Differenza di due vettori). Dati due vettori u e v, si chiama loro diffe- renza il vettore w = u + Ä − v ä = u− v . Se u = B −A e v = D −A, si ha −v = A−D, da cui u− v = (B −A) + (A−D) = (B −A)− (D −A) = B −D . Anche se nella precedente uguaglianza non si devono sciogliere le parentesi applicando le usuali regole dei segni (si otterrebbe una somma di punti che non abbiamo definito), tutto funziona come se si “semplificasse il punto A”. b A b B b D u = B −A v = D −A w = u− v Figura 4.4: Differenza di vettori Definizione 4.6 (Prodotto di un vettore per un numero). Dato un vettore u e un numero reale λ, si chiama prodotto del vettore u per λ il vettore w così definito: 1. se λ = 0 oppure u = 0, w = λu = 0; www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 42 di 106 2. se λ 6= 0 e u 6= 0, w = λu è il vettore che ha — modulo uguale al modulo di λ per il modulo di u, ‖λu‖ = |λ|‖u‖; — direzione uguale a quella di u; — verso concorde o discorde a quello di u a seconda che λ sia positivo o negativo. Le operazioni di somma e prodotto per un numero appena introdotte godono delle seguenti proprietà, per ogni u, v, w e per ogni λ, µ: 1. (u + v) + w = u + (v + w) : proprietà associativa della somma; 2. v + 0 = v : esistenza dell’elemento neutro della somma; 3. v + (−v) = 0 : esistenza dell’opposto; 4. u + v = v + u : proprietà commutativa della somma; 5. λ(µu) = (λµ)u; 6. (λ+ µ)u = λu + µu; 7. λ(u + v) = λu + λv 8. 1u = u; 9. −1u = −u; 10. 0u = 0. Si noti che l’operazione di somma tra due vettori è un’operazione interna nell’insieme V3: a una coppia di vettori fa corrispondere un terzo vettore; per contro l’operazione di prodotto per un numero è un’operazione esterna: ad una coppia costituita da un numero e un vettore fa corrispondere un vettore. L’insieme V3 con le operazioni ora introdotte è un esempio di una struttura algebrica di grande importanza in tutte le applicazioni, detta Spazio vettoriale. Definizione 4.7 (Combinazione lineare di vettori). Dati n vettori v1, v2, . . . , vn e n nu- meri reali λ1, λ2, , . . . , λn, si chiama combinazione lineare dei vettori dati, con coefficienti i numeri reali dati, il vettore w = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 45 di 106 b O b A b B v ”uv b B′ u b O b A b B v b B′ u Figura 4.7: Proiezione di un vettore su un altro Definizione 4.9 (Prodotto scalare di due vettori). Dati due vettori u e v, si chiama loro prodotto scalare, e si indica con u · v , il numero reale definito in uno dei seguenti tre modi equivalenti: — u · v = ‖u‖ · ‖v‖ · cos(”uv). — u · v = ‖u‖ · vu. — u · v = ‖v‖ · uv. Il prodotto scalare di due vettori non nulli è nullo se e soltanto se i due vettori sono ortogonali. Osservazione 4.10 (Notazioni sul prodotto scalare). Sono in uso diverse notazioni per il prodotto scalare, oltre a quella qui adottata. Tra le altre citiamo: u× v , 〈u,v〉 , 〈u|v〉 . La prima di queste è da sconsigliare in quanto, in particolare nei testi americani, è utilizzata per il prodotto vettoriale, che definiremo tra poco. L’ultima è particolarmente usata dai fisici nei testi di meccanica quantistica, ed è nota come notazione di Dirac: la parte sinistra www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 46 di 106 del simbolo, 〈u|, si chiama vettore bra, la parte di destra, |v〉, vettore ket, il simbolo completo (che denota in generale uno stato), si chiama bracket. Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà, per ogni u,v,w e per ogni λ: — u · v = v · u : proprietà commutativa; — (λu) · v = u · (λv) = λ(u · v) — u · (v + w) = u · v + u ·w : proprietà distributiva; — u · v = 0 ⇔ u ⊥ v (con la convenzione che un vettore nullo possa essere considerato perpendicolare a ogni altro vettore). Naturalmente parlando di perpendicolarità tra due vettori intendiamo riferirci a due rappresentanti dei vettori aventi la stessa origine. Si noti che l’operazione di prodotto scalare è un’operazione esterna nell’insieme V3: ad una coppia di vettori fa corrispondere un numero reale. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 47 di 106 4.4. Prodotto vettoriale La definizione di prodotto vettoriale non è così semplice come le altre tre operazioni introdotte nell’insieme dei vettori dello spazio e richiede l’uso di un concetto (quello di verso orario o antiorario) di non facile spiegazione formale, anche se intuitivamente evidente. Daremo quindi solo una definizione “elementare” di questa importante operazione. È però molto importante segnalare subito una differenza fondamentale con le operazioni precedenti, in particolare le operazioni lineari: una combinazione lineare di due vettori paralleli è ancora un vettore parallelo ai dati, una combinazione lineare di due vettori è un vettore complanare ai vettori dati. Ciò significa, come abbiamo già osservato, che si potrebbe anche operare, senza cambiare nulla, in V1 o V2, anziché in V3. Il prodotto vettoriale, come noi lo definiremo, è invece una operazione intrinsecamente tridimensionale, cioè non ha senso in V1 o V2. Definizione 4.11 (Prodotto vettoriale o esterno). Dati due vettori u e v si dice loro prodotto vettoriale o esterno il vettore w, che si indica con u ∧ v, e si legge u vettore v o u esterno v, definito come segue: — se u e v sono paralleli u ∧ v = 0; — se u e v non sono paralleli – il suo modulo è dato da ‖w‖ = ‖u ∧ v‖ = ‖u‖‖v‖ sin”uv – la direzione è perpendicolare sia a u che a v; – il verso è quello di avanzamento di una vite detrorsa (cavatappi) che ruoti nel senso in cui u ruota per sovrapporsi a v, compiendo il minimo angolo. È immediato che il modulo di u∧v è uguale all’area del parallelogramma di lati consecutivi AB e AC, dove A è un punto qualunque e B = A + u e C = A + v. Per quanto riguarda il verso si può anche, in maniera equivalente (ma sempre un po’ azzardata dal punto di vista del rigore), dire che il verso è quello testa-piedi di un osservatore che, posto sul piano per i punti A,B,C appena considerati, veda la minima rotazione di u per sovrapporsi a v www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 50 di 106 4.5. Prodotto misto Dati tre vettori u, v, w, e considerato il prodotto vettoriale, z, di due dei tre, ha senso calcolare il prodotto scalare di z con il terzo vettore, per esempio (u∧v)·w. In considerazione delle caratteristiche dei due prodotti, le parentesi sono inutili: nella scrittura u ∧ v · w si deve eseguire prima il prodotto vettoriale e poi quello scalare, altrimenti la scrittura sarebbe priva di senso. Si prova facilmente che il modulo del prodotto misto di tre vettori uguaglia il volume del prisma costruito sui tre vettori, come nella figura 4.10: basta solo tenere conto che il prodotto vettoriale ha per modulo l’area del parallelogramma “di base”, mentre il successivo prodotto scalare (a parte il segno) rappresenta il prodotto tra questa area di base e l’altezza. b u b v b w b u ∧ v Figura 4.10: Prodotto misto di tre vettori Dal fatto che il prodotto misto rappresenta, a meno del segno, il volume del prisma costruito sui tre vettori si possono dedurre le seguenti proprietà: — il modulo del prodotto misto non dipende dall’ordine in cui i vettori sono scritti, nè www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 51 di 106 dall’ordine in cui si eseguono i due prodotti, ovvero |u ∧ v ·w| = |u · v ∧w| = |w · u ∧ v| = . . . ; — il prodotto misto è nullo se e solo se i tre vettori sono complanari, con la convenzione di considerare complanari tre vettori di cui uno o più siano nulli. Naturalmente parlando di complanarità di tre vettori intendiamo riferirci a tre rappresentanti dei vettori che abbiano la stessa origine. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 52 di 106 4.6. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità Considerata l’importanza dei concetti di parallelismo, perpendicolarità, complanarità, richiamiamo qui le relazioni, già menzionate, che intercorrono tra essi e le operazioni tra vettori. — Due vettori sono paralleli se e soltanto se il loro prodotto vettoriale è nullo. — Due vettori sono perpendicolari se e soltanto se il loro prodotto scalare è nullo. — Tre vettori sono complanari se e soltanto se il loro prodotto misto è nullo. In tutti i casi si comprende la possibilità che uno o più dei vettori sia nullo, con la convenzione che il vettore nullo sia parallelo oppure perpendicolare a ogni altro vettore, e che sia complanare a ogni altra coppia di vettori. Vedremo come la verifica del parallelismo, perpendicolarità, o complanarità di rette e piani si faccia proprio tenendo conto di queste proprietà. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 55 di 106 Su ciascuna delle tre rette si sceglie un’unità di misura e un verso e, quindi, un sistema di ascisse. Per ragioni di semplicità si sceglie di solito la stessa unità sulle tre rette e allora si parla di sistema cartesiano monometrico. Nel seguito useremo sempre un sistema carte- siano ortogonale e monometrico. Il punto di intersezione delle tre rette si chiama origine del sistema di coordinate. Le tre rette, dette anche assi, si indicano con Ox, Oy, Oz, o, semplicemente con x, y, z, se non ci sono possibilità di equivoci. I piani Oxy, Oxz, Oyz, o, semplicemente, xy, xz, yz, si chiamano piani coordinati. Naturalmente nel piano bastano solo due assi e in questo caso l’asse Ox si chiama anche asse delle ascisse, l’asse Oy asse delle ordinate. Un sistema del tipo detto si indica con Oxy nel piano e con Oxyz nello spazio. Una volta scelto il sistema Oxyz, ad ogni punto P dello spazio si può far corrispondere una terna di numeri reali (una coppia nel piano), con la costruzione indicata in figura 5.1. Per indicare le coordinate del punto P si scrive P (x, y, z) (P (x, y) nel piano), o anche, a volte, P = (x, y, z) (P = (x, y) nel piano). www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 56 di 106 5.2. Le formule fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio Dati, nello spazio riferito al sistema Oxyz, due punti A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB), la distanza tra i due punti AB (nell’ipotesi che il sistema di coordinate cartesiane sia ortogonale e monometrico) è data da AB = » (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 . Nel piano basteranno ovviamente due coordinate, ma la formula rimane identica. Poiché questa formula è legata all’applicazione del teorema di Pitagora, la ortogonalità del sistema di coordinate è essenziale. Lo si può agevolmente controllare nel piano, con riferimento alla figura 5.2, ma la situazione è identica nello spazio. O x y A B C b xA b xB byA byB AC = xC − xA = xB − xA BC = yB − yC = yB − yA Figura 5.2: Distanza tra due punti e teorema di Pitagora Le coordinate del punto medio M del segmento AB sono invece date dalla media delle coordinate degli estremi: xM = xA + xB 2 , yM = yA + yB 2 , zM = zA + zB 2 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 57 di 106 Tra le formule fondamentali riportiamo anche quella del baricentro G di un triangolo di vertici A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC , yC , zC), che è sempre dato dalla media delle coordinate degli estremi: xG = xA + xB + xC 3 , yG = yA + yB + yC 3 , zG = zA + zB + zC 3 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 60 di 106 — In V3 dati 3 vettori v1, v2 e v3 , per ogni altro vettore u vale la scomposizione u = λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 . I numeri λ1, λ2, λ3 si chiamano coordinate o componenti del vettore u rispetto alla base data; i vettori λ1v1, λ2v2, λ3v3 si chiamano vettori componenti del vettore u rispetto alla base data. Si scrive anche u = (λ1, λ2, λ3). Se nello spazio S3 è dato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometrico, si può, in maniera naturale, associare a esso una base di V3, scegliendo tre vettori di modulo 1, paralleli ed equiversi ai tre assi coordinati. Tre vettori come quelli indicati si indicano di solito con i, j, k, o anche c1, c2, c3 o, ancora, e1, e2, e3. x y z b P (xP , yP , zP ) xP yP zP O x y z b u = (xP , yP , zP ) O Figura 5.4: Coordinate cartesiane di un punto e componenti di un vettore www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 61 di 106 O x y b P b xP byP O x y P O x y A B Figura 5.5: Coordinate di punti e componenti di vettori, nel piano Facendo una scelta come questa si ha la seguente importante conseguenza, di facile verifica: Teorema 5.2 (Componenti dei vettori e coordinate dei punti). Dato nello spazio un sistema cartesiano ortogonale monometrico Oxyz e considerata la base i, j, k di V3 naturalmente associata a esso, le componenti di ogni vettore u e le coordinate del punto P = O + u coincidono: se P = (xP , yP , zP ) anche u = (xP , yP , zP ). Considerati poi un punto A arbitrario e il punto B = A+ u, si ha u = (xB − xA, yB − yA, zB − zA) , con ovvio significato dei simboli. In S2 e V2 valgono considerazioni identiche, con una coordinata in meno. L’introduzione delle componenti facilita grandemente la trattazione di tutti i problemi connessi ai vettori: come vedremo, le operazioni introdotte sui vettori possono essere eseguite lavorando direttamente sulle componenti. Inoltre l’uso delle componenti consente facili generalizzazioni dei concetti introdotti nello spazio ordinario a casi di spazi con un numero arbitrario di dimensioni. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 62 di 106 Osservazione 5.3 (Coordinate, componenti, vettori riga e vettori colonna). I concetti di coordinate di un punto e di componenti di un vettore ci hanno permesso di associare ai punti dello spazio e ai vettori liberi terne di numeri reali. Vedremo fra breve che le ordinarie operazioni tra vettori si possono eseguire mediante operazioni sulle terne, come fatto nelle operazioni tra matrici. Per uniformità di linguaggio le terne associate ai punti e ai vettori andrebbero scritte come vettori colonna, ma ciò comporterebbe ovvie difficoltà tipografiche. Si potrebbe far ricorso alla notazione con le matrici trasposte, ma si avrebbe un inutile appesantimento delle scritture. Rappresenteremo dunque le terne di coordinate dei punti e dei vettori con vettori riga, secondo la tradizione, tenendo però in mente che, quando avremo bisogno di usare la teoria delle matrici, queste terne sono in realtà vettori colonna. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 65 di 106 5.5. Esempi Esempio 5.1. Calcola l’angolo tra i due vettori u = (1, 0, 2) e v = (−1, 1, 1) Si ha (teorema di Pitagora) ‖u‖ = √ 12 + 02 + 22 = √ 5 , ‖v‖ = » (−1)2 + 12 + 12 = √ 3 . Dunque u · v = ‖u‖‖v‖ cos(”uv) = √5√3 cos(”uv) = 1 · (−1) + 0 · 1 + 2 · 1 = 1 , e quindi cos(”uv) = 1√ 15 ⇒ ”uv = arccosÇ 1√ 15 å ≈ 75◦ . Esempio 5.2. Calcola i prodotti scalari e vettoriali tra le coppie di vettori della base canonica. Basta tenere conto delle condizioni di parallelismo e perpendicolarità e delle proprietà dei due prodotti per concludere che: — i · i = 1 , j · j = 1 , k · k = 1 ; — i · j = 0 , j · k = 0 , i · k = 0 ; — i ∧ i = 0 , j ∧ j = 0 , k ∧ k = 0 ; — i ∧ j = k , j ∧ k = i , k ∧ i = j ; — j ∧ i = −k , k ∧ j = −i , i ∧ k = −j . Esempio 5.3. Utilizzando i risultati dell’esempio 5.2 e le proprietà dei prodotti scalare e vettoriale, ritrova le formule per il calcolo di questi prodotti, mediante le componenti. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 66 di 106 Dati due vettori u e v si ha: u = u1i + u2j + u3k , v = v1i + v2j + v3k . Dunque u · v = (u1i + u2j + u3k) · (v1i + v2j + v3k) = = u1v1i · i + u1v2i · j + u1v3i · k + u2v1j · i+ + u2v2j · j + u2v3j · k + u3v1k · i + u3v2k · j + u3v3k · k = = u1v1 + u2v2 + u3v3 . Inoltre u ∧ v = (u1i + u2j + u3k) ∧ (v1i + v2j + v3k) = = u1v1i ∧ i + u1v2i ∧ j + u1v3i ∧ k + u2v1j ∧ i+ + u2v2j ∧ j + u2v3j ∧ k + u3v1k ∧ i + u3v2k ∧ j + u3v3k ∧ k = = u1v2k − u1v3j − u2v1k + u2v3i + u3v1j − u3v2i = = (u2v3 − u3v2)i− (u1v3 − u3v1)j + (u1v2 − u2v1)k . Esempio 5.4. Usando le proprietà dei determinanti verifica la proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale. La cosa è una semplice conseguenza del fatto che, nel calcolo del determinante, uno scambio di righe produce un cambio di segno. Esempio 5.5. Verifica se i tre vettori u = (1, 2, 1), v = (−2, 0, 3), w = (−1, 2, 4) sono complanari. Basta calcolare il prodotto misto (in un ordine qualunque): u·v∧w = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 −2 0 3 −1 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+22 Ç −2 3 −1 4 å +(−1)3+22 Ç 1 1 −2 3 å = (−2)(−5)+(−2)(+5) = 0 : www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 67 di 106 i vettori sono complanari. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 70 di 106 6.1. Equazioni, sistemi di equazioni e loro grafico Se consideriamo un’equazione o un sistema di equazioni in due incognite, le loro eventuali soluzioni sono coppie di numeri reali; se l’equazione o il sistema di equazioni sono in tre incognite, le loro eventuali soluzioni sono terne di numeri reali. Avendo introdotto nel piano S2, o nello spazio S3, un sistema cartesiano, possiamo rappresentare le coppie o terne come punti e chiederci se è possibile stabilire, esaminando le caratteristiche algebriche delle equazioni, le proprietà dell’insieme di tutte le soluzioni. La risposta è affermativa in un gran numero di casi di interesse applicativo, e qui esamineremo i più semplici. Consideriamo alcuni esempi per chiarire il problema. Esempio 6.1. Tenendo conto della formula per la distanza tra due punti, si vede facilmente che le soluzioni dell’equazione (x− 2)2 + (y − 3)2 = 1 sono tutti i punti P (x, y) che hanno distanza 1 dal punto C(2, 3): tutti questi punti stanno naturalmente sulla circonferenza di centro C e raggio 1. Esempio 6.2. Con le stesse considerazioni dell’esempio 6.1 si conclude facilmente che l’equazione Ä (x− 2)2 + (y − 3)2 − 1 ä · Ä (x− 1)2 + (y − 2)2 − 4 ä = 0 ha come soluzioni l’unione dei punti delle due circonferenze di centro (2, 3) e (1, 2) e raggi rispettivamente 1 e 2. Esempio 6.3. L’equazioneÄ (x− 2)2 + (y − 3)2 ä · Ä (x− 1)2 + (y − 2)2 ä = 0 ha invece come soluzioni solo i punti (2, 3) e (1, 2). www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 71 di 106 Esempio 6.4. L’equazione xy = 0 ha come soluzione tutti i punti del piano in cui almeno una delle due coordinate si annulla, ovvero tutti i punti dei due assi coordinati. Esempio 6.5. L’equazione |x| = |y| ha come soluzioni tutti i punti che hanno coordinate uguali o opposte: si tratta delle due bisettrici degli angoli individuati dagli assi cartesiani. Esempio 6.6. Tenendo conto della formula per la distanza tra due punti nello spazio, si vede facilmente che le soluzioni dell’equazione (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 1 sono tutti i punti P (x, y, z) che hanno distanza 1 dal punto C(2, 3, 1): tutti questi punti stanno naturalmente sulla superficie sferica di centro C e raggio 1. Esempio 6.7. L’equazione xyz = 0 ha come soluzione tutti i punti dello spazio in cui almeno una delle tre coordinate si annulla, ovvero tutti i punti dei tre piani coordinati. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 72 di 106 6.2. Grafici non cartesiani I sistemi di coordinate cartesiane ortogonali monometrici (nel piano e nello spazio) non costituiscono l’unico metodo possibile, e spesso nemmeno il più semplice, per associare coppie di reali a punti del piano, o terne di reali a punti dello spazio. Per limitarci al piano, uno dei sistemi alternativi più importanti è quello delle coordinate polari. Ce ne occupiamo brevemente e solo nelle linee essenziali. Fissato nel piano un punto O, che sarà detto polo, e una semiretta r per O, che sarà l’origine degli angoli, ad ogni punto P del piano si può far corrispondere la coppia di reali (%;ϑ), data dalla distanza % di P da O, e dall’angolo, misurato “in senso antiorario” e ob- bligatoriamente in radianti, tra le semirette r e OP . Fissati O ed r si può considerare il sistema di coordinate cartesiane che ha come semiasse positivo delle ascisse la semiretta r, e come semiasse positivo delle ordinate la semiretta OP , con P = (1; π/2). I due sistemi, polare e cartesiano, si dicono anche associati. Quando si usano, come spesso accade, con- temporaneamente i due sistemi di coordinate occorre distinguere tra le coppie di reali che rappresentano lo stesso punto P nei due sistemi. Esistono varie convenzioni, tra cui quella di usare le parentesi quadre, anziché le tonde, per le coordinate polari. Riteniamo che questo possa ingenerare confusione con la notazione usata per gli intervalli di reali. Preferiamo, ma è una scelta strettamente personale, usare la scrittura con le parentesi tonde, ma con il punto e virgola al posto della virgola, come abbiamo fatto sopra. Il sistema polare ha alcuni inconvenienti, tra cui importanti: — al punto O risulta associato il numero % = 0, ma nessun angolo; — l’angolo ϑ può assumere valori solo tra nell’intervallo [0, 2π[ (o altro analogo di am- piezza 2π). Il secondo inconveniente è particolarmente fastidioso, perché se consideriamo, per esempio, un punto che si muova in senso antiorario sulla circonferenza di centro O e raggio 1, a partire dal punto (1; 0), troveremo che quando “riattraversa” la semiretta origine, la sua seconda coordinata passa bruscamente da valori vicini a 2π a 0. Si può risolvere questo inconveniente introducendo angoli generalizzati, cioè maggiori di 2π, ma questo comporta www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 75 di 106 6.3. La retta nel piano cartesiano Consideriamo la più generale equazione di primo grado in due incognite: ax+ by + c = 0. (6.1) Perché sia effettivamente un’equazione di primo grado occorre che i coefficienti a e b non siano contemporaneamente nulli. In formule questa condizione si può scrivere, per esempio, a2 + b2 > 0 oppure |a|+ |b| > 0. Poiché vogliamo usare la teoria delle matrici, consideriamo la matrice incompleta e la matrice completa, scrivendo l’equazione nella forma, tipica dei sistemi, ax + by = −c, cioè con il termine noto a secondo membro: A|b = Ä a b −c ä . Poiché è ovvio che i tre coefficienti non devono essere contemporaneamente nulli, la condi- zione sopradetta coincide allora con la condizione di risolubilità del “sistema” (costituito da una sola equazione) Ä a b äÇx y å = Ä −c ä , che è la condizione rg(A) = rg(A|b) = 1 . Tenendo conto della teoria generale dei sistemi lineari, possiamo affermare che in queste condizioni l’equazione ha ∞1 soluzioni, dipendenti da un parametro. Precisamente — se a 6= 0, allora si scrive ax = −by − c, da cui® x = − ba t− c a y = t ; www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 76 di 106 — se b 6= 0, allora si scrive by = −ax− c, da cui® x = t y = −ab t− c b ; — se a 6= 0 ∧ b 6= 0, si può scegliere indifferentemente una o l’altra forma. Volendo considerare una formulazione generale che comprenda i casi visti, si usa scrivere la soluzione nella forma: ® x = λt+ α y = µt+ β ; (6.2) In un sistema cartesiano ortogonale monometrico Oxy, l’insieme delle soluzioni di un’e- quazione di primo grado in due incognite ha sempre come grafico una retta r e, viceversa, ad ogni retta r del piano corrisponde una sola equazione di primo grado in due incognite le cui soluzioni sono proprio tutti e soli i punti della retta. Ebbene 1. un’equazione del tipo 6.1 si dice equazione implicita della retta; 2. un sistema di equazioni del tipo 6.2 si dice (sistema di) equazioni parametriche della retta, o semplicemente equazione parametrica della retta. Se b 6= 0 l’equazione 6.1 si può anche scrivere nella forma y = −a b x− c b = mx+ q , (6.3) che viene detta equazione esplicita della retta. Si noti che la condizione b 6= 0 implica che la retta non sia “verticale”, cioè parallela all’asse Oy. È ovvio che l’equazione esplicita si può sempre scrivere in forma implicita (mx−y+q = 0) oppure parametrica (x = t ; y = mt+ q). Valgono le seguenti proprietà: — equazione implicita: il vettore v = (a, b) è perpendicolare alla retta; www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 77 di 106 — equazione parametrica: il vettore u = (λ, µ) è parallelo alla retta, esso è anche detto vettore direttore della retta; il punto P (α, β) è un punto della retta; — equazione esplicita: il numero m, detto coefficiente angolare, è la tangente trigono- metrica dell’angolo ϕ della figura 6.2 (considerato nullo se la retta è parallela all’asse delle ascisse). In considerazione di quanto sopra detto possiamo affermare che il vetto- re v = (m,−1) è perpendicolare alla retta, mentre il vettore u = (1,m) le è parallelo (e in effetti si vede subito che v ·u = 0, in accordo con la condizione di perpendicolarità tra due vettori). Il numero q è anche detto ordinata all’origine, in quanto rappresenta l’ordinata del punto di ascissa 0. O x y ϕ Figura 6.2: Coefficiente angolare di una retta Il coefficiente angolare di una retta (non verticale!) ha un importante significato geome- trico: se A(xA, yA) e B(xB, yB) dono due punti della retta si ha m = yB − yA xB − xA = ∆y ∆x . In sostanza il coefficiente angolare dà la variazione verticale (cioè di quota) in rapporto alla variazione orizzontale: è per questo motivo che si chiama anche pendenza. L’ultima forma dell’equazione di una retta, utile in alcune circostanze, è la cosiddetta equazione segmentaria, che si può scrivere nel caso in cui sia a che b che c siano diversi da zero (retta non parallela a nessuno dei due assi e non passante per l’origine). In questo caso si ottiene: www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 80 di 106 6.4. Applicazioni Utilizzando la teoria dei vettori e le osservazioni sopra riportate è facile ricavare le più importanti formule riguardanti la geometria analitica della retta nel piano. In sostanza tutte le formule che otterremo, molto importanti nelle applicazioni, possono essere considerate degli esercizi di calcolo vettoriale: per questo svolgeremo quasi sempre i calcoli in dettaglio. In quanto segue r ed s denoteranno due rette, rispettivamente di equazioni — implicite: a1x+ b1y + c1 = 0 e a2x+ b2y + c2 = 0; — parametriche: x = λ1t+ α1, ; y = µ1t+ β1 e x = λ2t+ α2, ; y = µ2t+ β2; — esplicite: y = m1x+ q1 e y = m2x+ q2. 6.4.1. Condizioni di parallelismo Due rette r ed s sono parallele se e solo se lo sono due loro vettori normali o due loro vettori direttori. Dunque r ‖ s ⇔ n1 = Ç a1 b1 å ‖ n2 = Ç a2 b2 å , oppure r ‖ s ⇔ Ç λ1 µ1 å ‖ Ç λ2 µ2 å . Si può usare la condizione di parallelismo espressa tramite prodotto vettoriale e si ottiene, nel caso dell’equazione implicita,∣∣∣∣∣∣∣ i j k a1 b1 0 a2 b2 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ a1b2 − a2b1 = 0 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 81 di 106 Operando nello stesso modo con le equazioni parametriche si ottiene:∣∣∣∣∣∣∣ i j k λ1 µ1 0 λ2 µ2 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣λ1 µ1λ2 µ2 ∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ1µ2 − λ2µ1 = 0 . Ancora più semplice la situazione nel caso dell’equazione esplicita:∣∣∣∣∣∣∣ i j k m1 −1 0 m2 −1 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣m1 −1m2 −1 ∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −m1 +m2 ⇔ m1 = m2 . 6.4.2. Condizione di perpendicolarità In questo caso si tratta di utilizzare la condizione di perpendicolarità esprimibile mediante l’annullamento del prodotto scalare. Si ottiene subito: — equazione implicita: a1a2 + b1b2 = 0; — equazione parametrica: λ1λ2 + µ1µ2 = 0; — equazione esplicita: m1m2 + 1 = 0 ,⇔ ,m1m2 = −1 (in questo caso occorre supporre che le due rette non siano né verticali né orizzontali). 6.4.3. Retta per due punti Dati due punti distinti A(xA, yA) e B(xB, yB), vogliamo trovare l’equazione della retta da essi univocamente individuata. Cominciamo con l’osservare che il vettore u = (xB − xA, yB − yA) è parallelo alla retta. Questo ci consente di scrivere immediatamente le equazioni parametriche della retta cercata:® x = (xB − xA)t+ xA y = (yB − yA)t+ yA , www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 82 di 106 che sono della forma 6.2. Per scrivere l’equazione implicita basta osservare che un punto P (x, y) del piano Oxy appartiene alla retta se e soltanto se il vettore −→ AP risulta parallelo al vettore u. Scri- viamo la condizione di parallelismo (direttamente col prodotto vettoriale, senza tentare di memorizzare la formula che pure abbiamo appena ricavato!):∣∣∣∣∣∣∣ i j k xB − xA yB − yA 0 x− xA y − yA 0 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ ∣∣∣∣∣xB − xA yB − yAx− xA y − yA ∣∣∣∣∣ = 0 , condizione che si può scrivere anche (x− xA)(yB − yA) = (y − yA)(xB − xA) . Spesso nei testi questa formula si trova scritta nella forma x− xA xB − xA = y − yA yB − yA . Ne sconsigliamo l’uso, in quanto in quest’ultima forma occorre che i denominatori siano diversi da zero, ovvero che la retta non sia parallela a nessuno dei due assi, la qual cosa non è sempre verificata nelle applicazioni che interessano. 6.4.4. Retta per un punto e parallela (o perpendicolare) a una retta data Se la retta data è non verticale, si può, come già noto, scrivere in forma esplicita: y = mx + q, cioè mx − y + q = 0, con vettore perpendicolare v = (m,−1), o parametrica x = t ; y = mt + q, con vettore parallelo u = (1,m). Procediamo intanto a trovare la parallela a una retta data. Detto A(xA, yA) il punto assegnato, un punto P (x, y) appartiene alla retta se e solo se −→ AP è parallelo a u. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 85 di 106 Si conclude che d(A, r) = AH = ‖ −→ AP‖ · | cos(ϕ)| = ‖ −→ AP‖ |axP + byP + c|√ a2 + b2 ∥∥∥−→AP∥∥∥ = |axP + byP + c|√a2 + b2 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 86 di 106 6.5. Intersezioni di rette nel piano Date due o più rette nel piano ci possiamo chiedere se esse hanno o no punti in comune. Dal punto di vista algebrico il problema si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni in due incognite, a cui si potranno applicare tutte le tecniche già viste. È particolarmente importante, per il suo significato geometrico, il caso di due rette: a1x+ b1y + c1 = 0 e a2x+ b2y + c2 = 0. Il sistema formato dalle due equazioni è® a1x+ b1y = −c1 a2x+ b2y = −c2 , con le matrici completa e incompleta seguenti A|b = Ç a1 b1 −c1 a2 b2 −c2 å . Si possono presentare tre possibilità. — rg(A) = 2 (e quindi a fortiori rg(A|b) = 2), ovvero∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣ 6= 0 . In questo caso il sistema ha una sola soluzione, il punto di intersezione delle due rette. Si può notare che la condizione appena scritta non è altro che la condizione che le due rette non siano parallele. In questo caso le due rette appartengono a un fascio proprio di rette. — rg(A) = 1 e rg(A|b) = 2, ovvero∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣ = 0 , ma ∣∣∣∣∣a1 −c1a2 −c2 ∣∣∣∣∣ 6= 0 ∨ ∣∣∣∣∣b1 −c1b2 −c2 ∣∣∣∣∣ 6= 0 . www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 87 di 106 In questo caso il sistema non ha soluzioni. Le condizioni appena scritte esprimono il fatto che le due rette sono parallele, ma distinte. Le due rette appartengono dunque a un fascio improprio di rette. — rg(A) = 1 e rg(A|b) = 1, ovvero∣∣∣∣∣a1 b1a2 b2 ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣a1 −c1a2 −c2 ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣b1 −c1b2 −c2 ∣∣∣∣∣ = 0 . In questo caso il sistema ha infinite (∞1) soluzioni. Le condizioni appena scritte esprimono il fatto che le due rette sono parallele e coincidenti. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 90 di 106 — se a 6= 0, allora si scrive ax = −by − cz − d, da cui x = − ba u− c a v − d a y = u z = v ; — se b 6= 0, allora si scrive by = −ax− cz − d, da cui x = u y = −ab u− c b v − d b z = v ; — se c 6= 0, allora si scrive cz = −ax− by − d, da cui x = u y = v y = −ac u− b c v − d c ; — se a 6= 0 ∧ b 6= 0 ∧ c 6= 0, si può scegliere indifferentemente una o l’altra forma. Volendo considerare una formulazione generale che comprenda i casi visti, si usa scrivere la soluzione nella forma:  x = λ1u+ λ2v + α y = µ1u+ µ2v + β z = ν1u+ ν2v + γ ; (6.5) In un sistema cartesiano ortogonale monometrico Oxyz, l’insieme delle soluzioni di un’e- quazione di primo grado in tre incognite ha sempre come grafico un piano π e, viceversa, ad ogni piano π dello spazio corrisponde una sola equazione di primo grado in due incognite le cui soluzioni sono proprio tutti e soli i punti del piano. Ebbene 1. un’equazione del tipo 6.4 si dice equazione implicita del piano; www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 91 di 106 2. un sistema di equazioni del tipo 6.5 si dice (sistema di) equazioni parametriche del piano, o, semplicemente equazione parametrica del piano; Se c 6= 0 l’equazione 6.4 si può anche scrivere nella forma z = −a c x− b c y − d c = mx+ ny + q , (6.6) che viene detta equazione esplicita del piano. Si noti che la condizione c 6= 0 implica che il piano non sia “verticale”, cioè parallelo all’asse Oz, o, il che è lo stesso, perpendicolare al piano Oxy. È ovvio che l’equazione esplicita si può sempre scrivere in forma implicita (mx+ny− z+ q = 0) oppure parametrica (x = u ; y = v ; z = mu+ nv + q). Valgono le seguenti proprietà: — equazione implicita: il vettore v = (a, b, c) è perpendicolare al piano; — equazione parametrica: i vettori u1 = (λ1, µ1, ν1) e u2 = (λ2, µ2, ν2) sono paralleli al piano, e non paralleli tra di loro, e si dicono anche vettori di giacitura del piano; il punto P (α, β, γ) è un punto del piano; — equazione esplicita: in considerazione di quanto appena detto possiamo affermare che il vettore v = (m,n,−1) è perpendicolare al piano, mentre i vettori u1 = (1, 0,m) e u2 = (0, 1, n) sono paralleli al piano (e in effetti si può facilmente controllare che i vettori v = (m,n,−1) e u = u1 ∧ u2 sono tra di loro paralleli). L’ultima forma dell’equazione di un piano, utile in alcune circostanze, è la cosiddetta equazione segmentaria, che si può scrivere nel caso in cui a, b, c e d sono diversi da zero (piano non parallelo a nessuno dei tre assi e non passante per l’origine). In questo caso si ottiene: ax+ by + cz = −d ⇒ x −d/a + y −d/b + z −d/c = 1 ⇒ x p + y q + z r = 1 . I numeri p, q ed r rappresentano la coordinata non nulla dei punti di intersezione del piano con gli assi. www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 92 di 106 x y z (0, q, 0) (0, 0, r) (p, 0, 0) Figura 6.5: Equazione segmentaria del piano www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 95 di 106 6.8.4. Distanza di un punto da un piano È un utile esercizio ripetere, quasi con le stesse parole, quanto già detto per la distanza di un punto da una retta. Detto A(xA, yA, zA) un punto e π un piano di equazione implicita ax + by + cz + d = 0 (anche in questo caso l’equazione implicita è la più conveniente) si ottiene facilmente: d(A, π) = |axA + byA + czA + d|√ a2 + b2 + c2 . x y z b b b A(xA, yA, zA) ϕ H P Figura 6.6: Distanza di un punto da un piano www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 96 di 106 6.9. Intersezione di piani nello spazio Dati due o più piani nello spazio ci possiamo chiedere se essi hanno o no punti in comune. Dal punto di vista algebrico il problema si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni in tre incognite, a cui si potranno applicare tutte le tecniche già viste. Sono particolarmente importanti, per il loro significato geometrico, il caso di due e quello di tre piani: a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, a2x+ b2y + c2z + d2 = 0 e a3x+ b3y + c3z + d3 = 0. Nel caso di tre piani, il sistema formato dalle loro equazioni è a1x+ b1y + c1z = −d1 a2x+ b2y + c2z = −d2 a3x+ b3y + c3z = −d3 , con le matrici completa e incompleta seguenti A|b = Ö a1 b1 c1 −d1 a2 b2 c2 −d2 a3 b3 c3 −d3 è . Se la matrice A ha rango massimo, 3, il sistema è sicuramente compatibile e ha una e una sola soluzione: i tre piani passano per uno stesso punto, ovvero appartengono a quella che sia chiama una stella di piani. Se la matrice A ha rango minore di 3 allora il sistema può essere compatibile o incom- patibile, a seconda che A|b abbia o no lo stesso rango di A. Se il sistema è compatibile e A ha rango 2, allora una delle tre equazioni è superflua e il sistema formato dalle altre due ha infinite (∞1) soluzioni, dipendenti da un parametro t: si tratta di tre piani che hanno in comune una retta, cioè appartengono ad un fascio di piani. Se il sistema è compatibile e A ha rango 1, allora due delle tre equazioni sono superflue e il sistema ha infinite (∞2) soluzioni, dipendenti da due parametri u e v: si tratta di tre piani coincidenti. Se il sistema è incompatibile si possono presentare varie situazioni. Per esempio se i piani sono distinti possono essere tutti tra di loro paralleli, due tra di loro paralleli e uno no, a due a due www.batmath.it L.Battaia Algebra lineare e geometria analitica Indice JJ II J I Pag. 97 di 106 incidenti in rette parallele. È un utile esercizio discutere le varie possibilità alla luce dei ranghi rispettivi di A e A|b. Consideriamo ora un sistema formato da due sole equazioni.® a1x+ b1y + c1z = −d1 a2x+ b2y + c2z = −d2 , con le matrici completa e incompleta seguenti A|b = Ç a1 b1 c1 −d1 a2 b2 c2 −d2 å . Se il rango di A, e quindi a fortiori di A|b, è 2, il sistema ha infinite (∞1) soluzioni dipendenti da un parametro t: si tratta, come già più sopra osservato, dei punti appartenenti alla retta intersezione dei due piani, che, in ragione del valore del rango della matrice incompleta, non sono paralleli. Anzi, nello spazio, è proprio come intersezione di due piani non paralleli che si scrive una retta in equazione cartesiana. Se il rango di A è 1 e il sistema è compatibile, il sistema ha ∞2 soluzioni, cioè i due piani coincidono; se il sistema non è compatibile, i due piani sono paralleli. Il fatto che il rango di A sia 1 è difatti espresso proprio dalla condizione di parallelismo dei due vettori (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2).