GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! ↑ ETRIAANALITICA nello SPAZIO vettore geometrico -rettore geometrico orientato op , di primo estremo lorigine 0 - E (2) e secondo estremo Pt S'({") (23 dimensionil - · e caratterizzato da : 1) un numero reale che esprime la 0 no ghezzasdettauto e 2) una direzione , cioè la retta a cui appartiene il vettore 3) un punto in citrato (linizial oss : Se fissiamo l'origine o -E'(E) possiamo definire l'insieme dei vettori geometrici centrati nell'origine V V ↳ rettoriale oss : ogni punto nel piano/spazio identifica un vettore geometrico centrato in o e ogni vettore centrato in o identifica um punto . def : die Vettori non centrati nell'origine Ta e pa si dicono equivalenti se Il = Il , stessa direzion e stesso verso an ↓ ·/yaI quindi possiamo identificarli con lo stessoI I P vettore centrato nell'origine V " = Grettri liberiE2 -v = = (vell berit -di VITTORI CENTRAT IN O ....... *.: + B - ..... - proprietà somma - . associativa : (+ )+ E = F + ( +E) I · elemento neutro : : So /a · elemento opposto : 01 +(-01= 0 = - & o LICAZIONE peL UNO SCALARE . fin* t - R , VoAt Yo definiamo t. A + < 1 - proprieta'- · elemento neutro : t = 1 - 0A . 1 = - · elemento nullo : t = 0 - 0 . 0 = 0 · associativa : s(t.) = st . A · distributiva : to+o = to + t. · distributiva 2 : (s+t) O = SA+ tA · omogeneita : Il t.All = It . Il Ol versore - qualsiasi rettore di norma 1 vers (0) = - Ivers(Alll = 1 COORDINATE " 8 = = = (x = , yz) = (i) o + =( ) + (i?) = linâ) to = t(Y) = i -II OTII = YA i =(0) = =(i) in tre dimensioni : 11 Il =+z L i =(8)i =(8)r = (0) maionedi parallelismo : Ex = 0 > F//w 11 x Il = 1511 . I wIl Sind = Area del parallelogramma costruito -> - So 5 e W --- Ex =fr = Gr . zw-przel : -(rzw-xwelt+lryw - xe ↓ ! -InI I Xryw-XNYO I #nello SPAZIO -> 1 punto e una direzione · z punti · intersezione tra due piani non paralleli -* e una direzione - ........ A + tr , te) + a fa muovere lungo la retta · (E) - (E) ) + e) ! -parametrica xp + xut oss : si può scrivere E = up + yrt z = Ep + Zut ⑳punti B ..................... +(E)b(ii) = r= B- 1 = -A * I*+ +(B - A) - forma parametrica x = 1 + tes : P( I ) -(i) I =23t () = () + +(2) ↓ ponendo t = E ↓ retta in forma - E CARTESIANA - in particolare se XVO yuto e zu O t = 1 40 = 4 = = => - equazione cartesianaI - Se xr = 0 0 45 = 0 0 zu = 0 se due direzioni = 0 ↓ ↓ X =I E . GEY Si tr 1 la retta è parallela all'asse con direzione non nulla #tra rette (2) = (2) + + (2) : (E) = (2) + (2) ~Ils se = x =0 , xtR to (5) = x(i) ~ es distinte = -1s = 0 se trovo tintersezione di (i) = +(s) , In ave rette parte coincidono ↓ se t - rette distinte ~ 3 <(3) · (3) = 0 scalare tra le direzioni I è richiesto che si intersectund RAPPRESENTIMONIdi ANI NELLO SPAZIO · 3 punti non allinati · un punto e una direzione normale POSIZIONE TRA RETA 2 PIANO - , · retta " piano -> -1 r 11 I <) < n , 0 > = 0 · retta 1 piano - 5 /I 7 & = R (d + 0) tc v = An · intersezione : ax+by + <z + d = 0 (1) = (28) + +( ) -> in = a(xp + trx) + b(yp + ti) + c(zp+ +Vz) + d &ONE TRA PIANI I ax + by + cz + d = 0 -> retta in · intersezione tra dur piani ax + bzy + cz + di = 0 -a &esiana i= (5i) rist E = 5. z -tpunto-piano t d -(4) 2 = A + tr azapunto-rettad(P , r) = PH P - ·(H - Axp) + (ya + tr -ya+tzp)" - Ia(t H il minimo di (t) lo trovo con pa e poi (rät = 0 trovo che mi da He poi PH caratta piano sul sia P = md(r , T) = d(P0 , i) ·piano - piano E d(π , πz) = d(P , T2) Pot Te & za retta - retta 2 P = md(r , s) = d(P , s) Po ->1) rette X - - ..... 2) rette syhembe-- trovo dirazione di e es (wevel 2- ↓ ....... / mi costruisco il piano dato da Un e E ↓ & (R , s) = d(r , i) - i contiene s e Il a m It= Sea+ e puntol ->SUPERFICIE SFERIA sia C (Xo , yo , zo) e raggio e Sup . Sterica - (x -y1 + (y - y) + (z - z0) = e stera - (X-xo) + ly- yol + /z - zo) = e x 2 + y + z2 + ax + by + cz + d = P L si risolve con il Icompletamento del quadrato #A e PIAND ty sed( ,i) = 1 oesterni se d(T , c) intervie se d) , c) cr diPIANI · fascio proprio - piari che hanno in comune la retta a I ax + by + cz + d = 0 * n: h(ax + by + cz + d) + k(a . x + bn + c , z +d) = 0 anx + bry + xz + d = 0 v · fascic improprio - piari che hanno i comune 1T Tr = ax + by + cz + k = 0 I S I I I I