Geometria Analitica nello Spazio, Dispense di Geometria

Scarica Geometria Analitica nello Spazio e più Dispense in PDF di Geometria solo su Docsity! GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 1 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO RIFERIMENTO CARTESIANO Preso un punto O, chiamato ORIGINE prendiamo 3 rette, a due a due perpendicolari per creare quello che è il nostro riferimento cartesiano nello spazio. Possiamo notare come ci sia una corrispondenza biunivoca tra un punto dello spazio e una terna ordinata di numeri reali (x=ascissa, y=ordinata, z=quota) appartenente allo spazio vettoriale R3. P(x, y, z) dove z non è che la distanza tra il punto P e il piano xy. ⚠ dati 2 punti A e B si chiama SEGMENTO ORIENTATO AB la coppia ordinata A, B ⚠ due segmenti orientati AB e CD si dicono EQUIPOLLENTI se valgono le seguenti proprietà: 1. la lunghezza di AB  alla lunghezza di CD STESSO MODULO 2. AB // CD (i due segmenti giacciono su rette parallele) (STESSA DIREZIONE 3. AB e CD sono orientati allo stesso modo STESSO VERSO 📎 essendo la coppia ordinata  AB / BA tranne nel caso in cui AB in quel caso abbiamo un punto SEGMENTO NULLO ⚠ dati due punti A e B chiamiamo VETTORE GEOMETRICO AB lʼinsieme di tutti i segmenti orientati equipollenti ad AB, dove AB si dice RAPPRESENTATNTE DI v APPLICATO IN A B viene chiamato ESTREMO LIBERO GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 2 sia V lʼinsieme di tutti i vettori geometrici, allora possiamo definire le operazioni: somma tra vettori Dati due vettori geometrici u e v definisco la loro somma u + v il vettore ottenibile come segue. Sia A un punto qualsiasi dello spazio, e sia AB il rappresentante di u applicato in A. Sia BC il rappresentante di v applicato in B, allora definiamo u + v  AC (composizione di spostamenti astratti) moltiplicazione di uno scalare per un vettore sia α ∈ R e sia v ∈ V. Sia A un punto qualsiasi dello spazio e sia v  AB, allora αv è il vettore geometrico i cui rappresentanti hanno le seguenti caratteristiche: lunghezza uguale a AB * |α| direzione di AB stesso verso di AB se α>0 CONCORDE), verso opposto di AB se α<0 (DISCORDE) possiamo inoltre dimostrare che tramite queste 2 operazioni è possibile verificare gli 8 assiomi fondamentali per gli spazi vettoriali. Possiamo quindi concludere che lo spazio vettori geometrici V è uno spazio vettoriale. riprendendo i concetti di algebra lineare possiamo definire quando due vettori geometrici si dicono linearmente dipendenti o indipendenti nb. un vettore geometrico da solo è sempre linearmente indipendente tranne per il vettore geometrico nullo ⚠ due vettori geometrici sono linearmente dipendenti se e solo se i loro rappresentanti hanno la stessa direzione (giacciono su rette parallele) ⚠ tre vettori geometrici si dicono linearmente dipendenti se e solo se i loro rappresentanti applicati in un stesso punto sono COMPLANARI, ovvero stanno sullo stesso piano GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 5 Viceversa ogni equazione di questo tipo rappresenta un piano. dimostrazione Sia π un piano dello spazio. Fissiamo a piacere 3 punti A, B, C di π non allineati. Un generico punto P (xp, yp, zp) giace su π se e solo se AP, AB, AC sono complanari, ovvero se i rispettori vettori AP, AB, AC sono linearmente dipendenti in V. per dimostrarlo possiamo sfruttare il teorema fondamentale di isomorfismo per cui R3 è isomorfo a V. Per questo teorema abbiamo che ogni elemento di V ai + bj + ck corrisponde alla terna ordinata di R3 (a, b, c). Tramite ciò possiamo riscrivere i vettori AP, AB, AC come terne di R3. le terne sono corrispettivamente: AP  (xp - xa), (yp - ya), (zp - za) ) AB  (xb - xa), (yb - ya), (zb - za) ) AC  (xc - xa), (yc - ya), (zc - za) ) dobbiamo quindi dimostrare che questi sono linearmente dipendenti, che equivale a dire che il determinante della matrice è uguale a zero → tenendo il considerazione la definizione di rango per minori e per righe. Per fare il determinante sfruttiamo lo sviluppo di Laplace (xp - xa) det (blu) - (yp-ya) det (verde) + (zp-za) det (rosso)  0 i minori sono dei numeri reali per cui possono essere sostituiti da a, b, c a (xp - xa) + b (yp - ya) + c (zp - za) 0  a xp + b yp + c zp - a xa - b ya- c za 0  → ax + by + cz + d=0 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 6 lo sviluppo di Laplace e il calcolo del determinante ci da la formula con cui è possibile trovare un piano passante per 3 punti. se (a, b, c) = (0, 0, 0 la sottomatrice formata dalla seconda e terza riga sarebbe formata da minori di ordine 2 nulli e quindi il rango di questa matrice sarebbe 1, che equivale anche a dire che le due righe sono linearmente dipendenti e quindi che i 3 punti dovrebbero essere allineati, ma per ipotesi li ho presi non allineati e ho quindi trovato dellʼassurdo. Alcuni piani particolari sono: a=0  π // asse x a=b=0  π // xy b=0  π // asse y a=c=0  π // xz c=0  π // asse z b=c=0  π // yz Due piani π: ax + by + cz + d  0 e π :̓ aʼx + bʼy + cʼz + dʼ  0 sono paralleli se e solo se il rango della matrice dei coefficienti e uguale a 1, ovvero se la terna (a, b, c) è proporzionale a (a ,̓ b ,̓ cʼ) dimostrazione consideriamo il sistema: π: ax + by + cz + d  0 π :̓ aʼx + bʼy + cʼz + dʼ  0 le sue soluzioni rappresentano i punti di π ∩ π .̓ la matrice dei coefficienti è: A mentre la matrice completa è: A|B GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 7 si hanno quindi i seguenti casi, tenendo presente il Teorema di Ruchè- Capelli:  rg A  rg A|B  2  infinito alla 1 soluzioni → i due piani sono incidenti e la loro intersezione da una retta  rg A  rg A|B  1  infinito alla 2 soluzioni → i due piani sono coincidenti  rg A 1 e rg A|B  2  non ha soluzioni → i due piani sono paralleli e distinti ⚠ si chiama STELLA di PIANI di centro un punto P, lʼinsieme ∑ P di tutti i piani passanti per P | ∑P a (x-xp) + b (y-yp) + c (z-zp)  0 al variare di (a, b, c) ∈ R3 \ 0, 0, 0 RETTE abbiamo già visto che lʼintersezione tra due piani genera una retta. La rappresentazione in questo modo della retta è detta rappresentazione CARTESIANA. Oltre a questa esiste una rappresentazione maggiormente efficacie chiamata rappresentazione PARAMETRICA. ⚠ si chiama PARAMETRI DIRETTORI di una retta r le componenti (l, m, n) di un qualunque vettore geometrico (li + mj + nk) non nullo che ha la stessa direzione di r la retta r di parametri direttori (l, m, n) passante per il punto A (xo, yo, zo) ha le seguenti EQUAZIONI PARAMETRICHE x= lt + xo y= mt + yo GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 10 date due rette definite da equazioni cartesiane, esse sono complanari se e solo se PRODOTTO SCALARE TRA VETTORI u * v  |u|*|v| * cos (α) prodotto dei moduli per il coseno dellʼangolo individuato tra due rappresentanti di u e v applicati nello stesso punto. Proprietà: u * v = v * u → commutativa u * (v + w) = u * v + u * w → distributiva α (u * v) = (αu) * v = u * (αv) u * v  0  u perpendicolare a v (nota bene: il vettore nullo è parallelo e perpendicolare a tutti i vettori per convenzione) Lemma v * v  |v|^2 dimostrazione in base alla definizione possiamo infatti scrivere v*v=|v|^2 * cos 0 |v|^21 (perché lʼangolo che sussiste tra un vettore e se stesso è 0 Teorema di Carnot AC^2  AB^2  BC^2  2AB*BC*cos(α) GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 11 (teorema di Pitagora generalizzato) dimostrazione AC  |AC|^2  AC * AC  AB  BC * AB  BC  AB*AB  AB*BC  BC*BC + AB * BC   |AB|^2  |BC|^2  2 AB * BC ma AB * BC devono essere applicati nello stesso punto per usufruire del prodotto scalare, quindi dobbiamo prendere un altro rappresentatanti di AB e applicarlo in B (ovvero AD che avrà modulo di AB per definizione di vettore di conseguenza lʼangolo che avremmo sarà π - α il cui coseno è -cos(α) →  |AB|^2  |BC|^2  2 |AB| * |BC| * cos (α) Se u = ux * i + uy * j + uz * k e v = vx * i + vy * j + vz * k, dove (i, j, k) sono i versori, allora: u * v = uxvx + uyvy + uzvz ovvero è la somma dei prodotti delle componenti omonime dimostrazione u * v = (uxi + uyj + uzk) * (vxi + vyj + vzk)= applico la proprietà distributiva = uxivxi + uyjvyj + … + uzkvzk ma tutti i termini misti sono in realtà nulli in quanto i e j e k sono perpendicolari tra di loro perchè versori particolari del piano cartesiano (proprietà 4. I termini rimanenti sono quindi: = uxivxi + uyjvyj + uzkvzk = per il Lemma precedente pero sappiamo che i * i  |i|^2  1, perchè il modulo di versori è unitario, e lo stesso vale per j e k = uxvx + uyvy + uzvz ne deriva da questa proposizione che |v|  sqrt(vx^2  vy^2  vz^2 Un corollario di questo è la distanza tra due punti nello spazio che ha formula: AB  sqrt((xb - xa)^2  (yb - ya)^2  (zb - za)^2) dove vediamo il segmento AB come il modulo di un vettore v. dimostrazione GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 12 AB  |AB|^2  sqrt(AB *AB RELAZIONI TRA RETTE E PIANI se r è una retta di parametri direttori (l, m, n) allora i versori di r sono: +- (li + mj + nk) / sqrt(l^2  m^2  n^2 dimostrazione v = li + mj + nk ha la stessa direzione di r per definizione di parametri direttori. quindi 1/|v| * v è un versore di r con la sua stessa direzione. Ma |v| = sqrt(l^2  m^2  n^2 ovvero arriviamo proprio alla tesi della proposizione dato un piano π: ax + by + cz +d  0 si ha che v = ai + bj + ck è perpendicolare a π dimostrazione Basta provare che v è perpendicolare a qualunque segmento PQ, dove P e Q ∈ π. Vale a dire che v è perpendicolare al vettore PQ ꓯ P, Q ∈ π e quindi che v*PQ  0 ꓯ P, Q ∈ π. presi P e Q sul piano si ha: v*PQ  a(xq-xp) + b (yb-yp) + c(zq-zp) = (axq + byq + czq) - (axp + byp + czp) = d-d= 0 una diretta conseguenza di questa proposizione è che una retta e un piano sono perpendicolari se e solo se i parametri direttori della retta e i coefficienti di giacitura del piano sono PROPORZIONALI, in particolare uguali ANGOLI sia σ uno dei 4 angoli formati dalle rette r e rʼ di parametri direttori (l, m, n) e (l ,̓ m ,̓ nʼ) rispettivi. Allora si ha: cos σ = +- (llʼ + mmʼ + nnʼ)/sqrt((l^2  m^2  n^2)(lʼ^2  mʼ^2 + nʼ^2 corollario: condizione di perpendicolarità tra rette GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 15 distanza punto-retta: dato Po e data la retta r la distanza d(Po, r) può determinarsi come segue: 1 Determinare il piano π passante per Po e perpendicolare a r 2 determinare il punto H di intersezione tra r e π 3) fare la distanza tra Po e H la distanza tra due oggetti geometrici è la distanza minima con un estremo A e un estremo B d(A, B) = min{PQ P∈ A, Q ∈ B esistono però casi in cui il minimo non esiste infatti la formula corretta prevede non tanto il minimo, quanto lʼestremo inferiore. Un esempio è la tangenza tra A e B che rappresentano i punti interni ad una circonferenza. Il minimo non esiste ma il loro estremo inferiore si che è proprio 0. distanza tra due rette: se le due rette r e s sono incidenti la loro distanza è 0 se le due rette r e s sono parallele prendo un piano π perprendicolare a s che lo è per costruzione anche a r, faccio lʼintersezione tra il piano e le due rette e trovo i punti P e Q, faccio poi la distanza tra i due punti Se le due rette r e s sono sghembe prendiamo un piano che contiene la retta s ed è parallela a r, prendo poi a piacere un punto P ∈ r e faccio la distanza tra P e π PRODOTTO VETTORIALE GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 16 💡 u^v è il vettore con le seguenti caratteristiche 1 |u^v|  |u| * |v| * sen σ (angolo compreso tra due rappresentati di u e v applicati nello stesso punto O) (se u e v sono allineati il loro prodotto è il vettore nullo) 2 direzione perpendicolare al piano individuato da due rappresentanti di u e v applicati nello stesso punto 3) verso tale che il rappresentante di u^v applicato in o e personificato veda il rappresentante di u applicato in o ruotare intorno a σ in sento antiorario proprietà: v^u = - u^v (verso opposto)  ANTICOMMUTATIVA i^j = k k^i = j j^k = i u ^ (v+w) = u^v + u^w DISTRIBUTIVA α (u^v) = αu ^ v = u ^ (αv) u^v = o ↔ u//v (sin 0  0 NON vale la proprietà associativa se u = uxi + uyj + uzk e v = vxi + vyj + vzk allora: u^v = (ujvz + uzvj)i + (uzvx + uxvz)j + (uxvy + uyvx)k ovvero lo sviluppo del determinante simbolico di questa matrice secondo la prima riga la dimostrazione è analoga alla proposizione per il prodotto scalare CALCOLO DELLE AREE GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 17 se ABCD è un parallelogramma allora AABCD  |AB ^ BC| (due lati consecutivi) dimostrazione essendo ABCD un parallelogramma sappiamo che A ABCD  BC AH  BC AB sen σ  |AB^BC| come corollario abbiamo anche il calcolo dellʼarea del triangolo ovvero |AB ^ BC| /2. Da qui quindi sappiamo calcolare lʼarea di qualsiasi poligono se note le coordinate dei suoi vertici. Un poligono di n lati può essere diviso infatti in n-2 triangoli. PRODOTTO MISTO 💡 u * v ^ w = det |A| (prima va fatto il prodotto vettoriale sennò lʼoperazione non ha senso) dimostrazione se sviluppassimo il determinante lungo la prima riga arriviamo a ux |(vy vz)(wy wz)|  uy |(vz vx)(wz wx)|  uz |(vx vy)(wx wy)| ma questi tre piccoli determinanti non sono altro che (v^w)x , (v^w)y, (v^w)z ovvero i minori del determinante simbolico del prodotto vettoriale tra v e w abbiamo quindi la somma dei prodotti delle componenti del vetture u e v^w corollario: un prodotto misto è nullo ↔ i 3 vettori sono linearmente dipendenti ↔ se i 3 vettori sono COMPLANARI il modulo del prodotto misto esprime il volume del parallelepipedo costruito da 3 rappresentanti applicati nello stesso punto