Geometria vettoriale: segmenti orientati, vettori liberi, risultante, prodotto scalare - P, Schemi e mappe concettuali di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Geometria vettoriale: segmenti orientati, vettori liberi, risultante, prodotto scalare - P e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! SEGMENTO ORIENTATO Consideriamo la copia ordinata(A;B), si definisce segmento orientato lente analitico che ha una direzione, un modulo e un verso. Più precisamente, la direzione è quella della retta sulla quale giace il segmento AB, il verso è quello che da A porta a B, il modulo coincide con la lunghezza del segmento AB. RELAZIONE DI EQUIPOLLENZA Due segmenti orientati si definiscono equipollenti se hanno stessa direzione, modulo e verso. CLASSI DI EQUIPOLLENZA Insieme costituito da tutti i segmenti orientati equipollenti fra di loro. Così si crea una partizione tra i segmenti, ossia un segmento appartiene ad una ed una sola classe di equipollenza VETTORE LIBERO Insieme di infiniti segmenti orientati equipollenti fra loro. NOTAZIONE DI GRASSMAN Ho segnato un vettore scelgo un punto O arbitrario nello spazio, e a partire da questo riporto graficamente modulo, direzione e verso del segmento rappresentativo del vettore v. Resterà univocamente determinato l’estremo P e X =P-O Se consideriamo n vettori liberi, La risultante degli n vettori è il vettore libero dato dalla somma degli n vettori: RISULTANTE La somma di due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma i cui lati sono rappresentati da vettori stessi La risultante coincide con la diagonale del parallelepipedo (A; B) · A U , W , W · O F X= P-0 Up As Er Az 7 7 Wr 2 ... - Us = As - Ao Ao -Alm-1) R = An-Ao R Vc = Az - As R Un = An-A(n-1) · An * ↓ +d R= Us + vi + Un R= Vs + Ez <As = - Es- R= Es + Ez+ EsArrestaV - As Es Consideriamo una terna ordinata di vettori,uscenti tutti da un punto in comune O. Una terna si definisce levogira se a un osservatore, posto con i piedi nell’ origine e la testa rivolta nel verso positivo del terzo vettore, appare antioraria la rotazione che deve compiere il primo vettore per sovrapporsi al secondo formando un angolo minore di pi greco. Se ciò non avviene la terna è detta destrogira. Si definisce prodotto vettoriale il vettore libero che ha come: MODULO il prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso DIREZIONE ortogonale al piano individuato tra i due vettori; VERSO tale che la terna ( , , ) sia levogira di un vettore applicato individuato da una coppia di vettori PRODOTTO VETTORIALE MOMENTO POLARE MOMENTO TORCENTE vettore che appartiene al piano u e v,più precisamente si scompone: Per esso vale la suddetta legge ciclica: DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE PRODOTTO MISTO Prendiamo in considerazione la terna COMBINAZIONI TRA TRE VETTORI TERNA LEVOGIRA (DESTROGIRA) a W ⑦ 1 0 ~ e - L * Iux = Iul151 senx uvu+ - au + V >F * esempi : Mo = 0 x /0 - P) A (n , z , w) ~in quanto scolore UXV . W u + v . w = wxM . = 0xw . ll u + v (M +v) + w ( x 2)xw = (w -u)r - (w - v(u Una base costituita da e1,e2,e3 si dice ortonormale se i suoi elementi sono a due a due ortogonali tra di loro e hanno modulo unitario Una terna si definisce cartesiana quando ad essa è associata una base ortonormale. Le componenti di un vettore espresse in questa terna vengono dette componenti cartesiane. somma dei prodotti delle componenti omologone vettore individuato da questo determinante In generale,assegnata una base B ortonormale considereremo sempre delle terne levogire tali per cui PRODOTTO VETTORIALE PRODOTTO SCALARE Consideriamo un terna cartesiana BASE ORTONORMALE TERNA CARTESIANA B = 3 es , e , es} -> enVenere e ses 12 . 13 = 0 er by + e = es est ↑es es + es = 12 l2 + by = l1 (u,,w( -> M = 1x + + Myez + le es - U= Ux + + vyez + We es W = wx ex + Wyez + We es ⑧ b . 8 = 1x 0x + dy vy +ME . VE ⑧ C e e L e + v= ex sty Ut = es(Myve-UzUy) -ec (M , Ve - Ue4) -es/uxVy-My5x) Ux By We è ortogonale ad ‘a’ e a ‘b’, dunque nel piano di ‘a’ e di ‘y’ => a, y, axy sono complanari Essendo complanari, posso scrivere y come combinazione lineare degli altri due vettori RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE VETTORIALE Siano a e b due vettori assegnati,voglio determinare il vettore y per il quale: Allora è necessario che essendo b un prodotto vettoriale; CONDIZIONE DI COMPATIBILITÀ quindi… (nello stesso piano) Inoltre so che y devi soddisfare l’equazione , allora: applico il metodo di sostituzione al sistema doppio prodotto vettoriale Sostituisco nella combinazione lineare che descrive y, la λ: Assegnati a e B perché valga la condizione di compatibilità, esistono infiniti vettori y tali che A y + a = b 1 - b1y ab b1a ↳ a . b = 0 ! ax - a ~ y L V y = x(ax) + w= 1 ( = x(axb) + ka = !(a+b) + a . +Ma= b = [X(a - alb - x(ab)a = b = Xab= b => X = 2 xa = b 9 ↳ a . b = 0 e Xa = 1 (xv)xw = (w - u)=- (w - v(u y = x(ax) + Ma = (ax ) + Ma I y + a = b 1 y = a(ax ) + Ma , ER 2 In cinematica classica la seguente formula diventa l’equazione che caratterizza i postulati del tempo e dello spazio della cinematica classica: In cinematica rigida tutti i punti del corpo mantengono inalterate le distanze tra di loro e si mantengono inalterate anche gli angoli; per tanto è possibile determinare una cosiddetta terna solidale al corpo, rispetto alla quale cioè il corpo rimane fermo. Tale terna solidale é una terna mobile che ruota e trasla e nel nostro schema può essere assunta come la terna con l’origine in O’ p. Ciò ci dice che L’osservatire O’,identifica il punto P mediante il vettore Y che durante tutto il moto rimane costante,perché P è O’ si muovono insieme CINEMATICA RIGIDA Ci accorgiamo che X di O’ indica la posizione dell’origine della terna solidale ed essendo un punto nello spazio presenta tre coordinate,quindi il grado di libert è tre.La matrice A indica la rotazione della terna solidale ed essendo A una matrice ortonormale solo tre dei nuovi parametri sono liberi di assumere qualsiasi valore;per tanto deduciamo che dalla matrice i gradi di libertà. Un corpo rigido libero nello spazio ha 6 gradi di libertà. Si intende per gradi di libertà il numero dei parametri indipendenti atti a determinare univocamente il moto x(t)= x(t) + A T(t) y(t) S* (t)= x(t) + A (t) eticleMor