Analisi di spazi vettoriali: prodotti cartesiani, base e dimensioni - Prof. Adamo, Dispense di Geometria

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Geometria   I  lezione  del  27  febbraio  2019   Presentazione  del  corso.     Nozioni  e  notazioni:    concetti  primitivi  di  insieme,  elemento  ed  appartenenza.     Insiemi  numerici:  i  numeri  naturali  ℕ,  gli  interi  ℤ,  i  numeri  razionali  ℚ,  i  numeri  reali  ℝ  e  l’insieme  dei   numeri  complessi  ℂ.  Prodotto  cartesiano  di  due  insiemi.   Spazio  vettoriale  sui  reali.  Il  prodotto  cartesiano  ℝ!.   Sottospazi.  Esempi.  Legge  di  annullamento  del  prodotto  negli  spazi  vettoriali  ed  applicazioni.       Esercizi  proposti       1) Quali  dei  seguenti  sottoinsiemi  del  campo  dei  numeri  reali  ℝ  sono  sottospazi  vettoriali?   a) 𝑊! = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖  𝑑𝑖   ! !   b) 𝑊! = 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒  𝑑𝑒𝑖  𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖   c) 𝑊! = 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒  𝑑𝑒𝑖  𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖  𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖 .     2) Quali  dei  seguenti  sottoinsiemi  di  ℝ!  sono  sottospazi  vettoriali?   i) 𝑉! = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 = 𝑦   ii) 𝑉! = 𝑥, 𝑦 : 𝑦 = 𝑥 + 2   iii) 𝑉! = 𝑥, 𝑦 : 𝑥, 𝑦 = 𝑎 1,2 , 𝑎  𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒  𝑎𝑙  𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜  𝑑𝑒𝑖  𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖  𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖 ,  ossia  le   coppie  (a,2a)  con  a  variabile  in  ℝ.   iv) 𝑉! = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0     3) Si  consideri  il  vettore  v=(1,2)  di  ℝ!  e  si  trovi  un  vettore  w  tale  che  123•(v+w)=(0,0).     4) Consideriamo  l’insieme  ℝ!  costituito  dalle  terne  ordinate  di  numeri  reali.   (a) Verificare  che  ℝ!    è  uno  spazio  vettoriale  rispetto  alle  operazioni  di  addizione  e  di   moltiplicazione  per  uno  scalare,  così  definite:   (x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’)  ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 , (𝑥!, 𝑦!, 𝑧!) ∈ ℝ!   𝑎 ∙ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧    ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ!,∀𝑎 ∈ ℝ.   (b) Verificare  che  ℝ!    𝑛𝑜𝑛  è  uno  spazio  vettoriale  rispetto  alle  operazioni  di  addizione  e  di   moltiplicazione  per  uno  scalare,  così  definite:   (x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’+1,y+y’,z+z’)  ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 , (𝑥!, 𝑦!, 𝑧!) ∈ ℝ!   𝑎 ∙ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧    ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ!,∀𝑎 ∈ ℝ.         II  lezione  28  febbraio  2019     Argomenti  della  seconda  lezione  di  Geometria:  Operazioni  con  i  sottospazi:  intersezione,  unione  e  somma   di  sottospazi.   Combinazione  lineare  di  vettori.  Vettori  linearmente  indipendenti  (l.i.)  e  l.d.  Generatori  di  uno  spazio   vettoriale.  Base  di  uno  spazio  vettoriale.  Componenti  di  un  vettore  rispetto  ad  una  base.  Basi  canoniche.   Criterio  per  la  lineare  indipendenza.  Dimensione  di  uno  spazio  vettoriale.   Esercizi  proposti   1) Si  considerino  i  due  sottospazi  di  ℝ!:   𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑥 = 𝑦 ,   𝑊 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑦 = 𝑧 .   Si  descriva  il  sottospazio  intersezione     𝑍 = 𝑉 ∩𝑊.   Si  descriva  il  sottospazio  somma  V+W.     2) Esiste  un  sottospazio  di  ℝ!  che  non  contiene  nessuno  dei  seguenti  vettori:   v=(1,0)  e  w(0,1)?     3) Si  stabilisca  per  quali  valori  di  a  reale  i  vettori  (5,5)  e  (2,a)  sono  linearmente  dipendenti.     4) Si  trovi  la  dimensione  del  sottospazio  vettoriale  di  ℝ!     𝑉 = ℒ 1,1,1 , 2,0,0 , 3,1,1 .     5)  Si  trovi  una  base  di  ℝ!  che  non  contiene  nessuno  dei  seguenti  vettori:   v=(1,0)  e  w(0,1).     6) Si  trovino  le  componenti  del  vettore  v=(5,2)  rispetto  alla  base  trovata  nell’esercizio  5.   7) Si  provi  che  i  vettori  (1,5,5)  e  (2,2,-­‐1)  non  formano  una  base  di  ℝ!.   8) Si  provi  che  i  vettori  (1,5,5),  (2,0,0),  (0,1,0)  e  (2,2,-­‐1)  non  formano  una  base  di  ℝ!.   9) I  vettori  v=(1,1,0)  e  w=(0,4,-­‐1)  formano  una  base  del  sottospazio  vettoriale  V  di  ℝ!  definito   dall’equazione  x-­‐y=4z?   10) Si  trovino  due  sottospazi  distinti  V  e  W  di  ℝ!  contenenti  entrambi  i  due  vettori  v=(1,1,1)  e   w=(0,0,3).   11) Si  stabilisca  per  quali  valori  reali  di  h  i  vettori  v=i-­‐hj  e  w=2i-­‐hj  sono  linearmente  indipendenti.           2)  Stabilire  se  i  seguenti  sistemi  lineari  sono  risolubili  e  trovare  le  eventuali  soluzioni:   a)   3x + 2y = −1 2 5 x − y = 3 " # $ %$ ;    b) x − 2y+ 5z = 0 3x − y+ z = 0 " # $ ; c) x − y = 2 2x + y =1 3x − 2y = 5 x + y = 0 " # $ $ % $ $ ;   3)  Stabilire  se  i  seguenti  sistemi  lineari  sono  risolubili  e  trovare  le  eventuali  soluzioni:   d)   x − 2y+3z = 6 3x − 2y+ z = 2 " # $ ;    e) x + y = 2 3x + 2y =1 x + 2y = 0 ! " # $ # ; f ) x − y+ 2z+w = 0 x + y− z+ 2w = 0 " # $ .   4)  Stabilire  se  i  seguenti  sistemi  lineari  sono  risolubili  e  trovare  le  eventuali  soluzioni:   g)   x + 2y+3z =1 4x + 5y+ 6z = 2 7x +8y+ 9z = 3 ! " # $ # ;    h) x − y+3z = 0 −3x − y− 7z = 4 5x + 2y+ 9z = −10 x + 1 2 y+ z = −3 " # $ $ % $ $ ; i) x − y− z+ 2w = 5 2x − y− z+w = −4 −x + 2 3 y+ 2 3 z−w = −1 3 5x −3y−3z+ 4w = −3 " # $ $ % $ $ .   5)  Per  ciascuno  dei  seguenti  sistemi  lineari  seguenti,  determinare,  se  possibile,  i  valori  del  parametro  reale  k   per  cui  esso  è  compatibile:   1)   x = 3 3x − 5y = 4 x + y+ z = k " # $ % $ ;    2) x + 2y+3z =1+ k 4x + 5y+ 6z = k 7x +8y+ 9z = k +1 ! " # $ # ; 3) 5x −3y =1 2x + y = 7 8x +3y = k2 " # $ % $ .   6)  Stabilire  se  i  seguenti  sistemi  lineari  sono  risolubili  e  trovare  le  eventuali  soluzioni:   i)   x + 2y =1 3x + 7y = 2 5x + 9y = 6 ! " # $ # ;     ii) x + 2y− z+ 5w = 7 2x − 4y− z− 2w = −1 5x − 6y−3z+w = 0 " # $ % $ ; iii) x + 2y−8z+w+3t = 0 2x − 7y−3z− 2w+ 2t = 0 −3x + 27y−15z+ 9w+3t = 0 3x −16y+ 2z− 5w+ t = 0 " # $ $ % $ $ .     VI  lezione  marzo  2019     Equazioni   matriciali.   Calcolo   dell’inversa   di   una  matrice   utilizzando   un’equazione  matriciale.   Teorema   di   Rouchè-­‐Capelli   per   le   equazioni   matriciali.   Determinante   di   una   matrice   di   ordine   1,   2   e   3.   Teorema   di   Laplace.   Regola   di   Sarrus.   Proprietà   dei   determinanti.   Complemento   algebrico   di   un   elemento.   Matrice   aggiunta.  Inversa  di  una  matrice  tramite  la  matrice  aggiunta.  Criterio  di  invertibilità  di  una  matrice.  Utilizzo   del  determinante  per  calcolare  la  lineare  indipendenza  di  n  vettori  in  spazio  vettoriale  di  dimensione  n.     1) Stabilire   se   la   seguente   matrice   è   invertibile   𝐴 = 1 −2 0 0 3 2 1 1 0   e   calcolare   la   sua   inversa   𝐴!!   utilizzando  le  equazioni  matriciali  ed  il  metodo  della  matrice  aggiunta.  Verificare  che  il  prodotto  di   A  per  la  sua  inversa  è  uguale  alla  matrice  identica.   2) Calcolare  i  seguenti  determinanti   2 5 3 −3 , 0 0 1 3 , 2 3 4 6 , 1 2 3 0 4 5 0 0 6 , 1 0 0 2 3 0 4 5 6 , 1 0 0 0 −1 0 0 0 6 , 1 2 3 0 4 5 2 4 6 , 2 2 3 0 4 5 0 3 6 .   3) Calcolare  l’inversa  della  matrice  𝐴!!  dell’esercizio  (1)   4) Calcolare   per   quali   valori   del   parametro   reale   k   la   matrice   𝐴 = 1 −2 0 0 3 𝑘 1 1 0   è   invertibile   e   calcolare  l’inversa  di  A  per  k=3.   5) Stabilire  se  i  vettori  (1,2,3)  (0,4,0)  e  (1,1,5)  sono  linearmente  indipendenti.   VII  lezione  marzo  2019     Matrici  triangolari  alte  e  basse.  Proprietà  dei  determinanti.  Teorema  di  Binet.  Determinante  della   trasposta.  Determinante  di  una  matrice  triangolare.  Matrici  ortogonali.  Determinante  di  una   matrice  ortogonale  (con  dimostrazione).  Regola  di  Cramer.  Studio  di  sistemi  lineari  parametrici.   Teorema  di  Kronecher.   Esercizi   1)  Stabilire  quali  delle  seguenti  matrici  sono  triangolari,  quali  simmetriche,  quali  antisimmetriche,  quali   diagonali,  quali  ortogonali  e  calcolare  il  determinante:   𝐴 = 1 44 2 ,𝐵 = 1 0 0 −2 2 0 0 1 3 ,𝐶 = 0 5−5 0 ,𝐷 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ,     𝐸 =   0 1 1 0 2 4 0 0 −2 ,  F= 0 0 0 0 2 0 0 0 −2 .   2)  Calcolare  il  determinante  dei  seguenti  matrici  prodotto:  𝐴 ∙ 𝐶,𝐴 ∙ 𝐷,𝐶 ∙ 𝐷, 𝑒  𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐷,𝐸 ∙ 𝐹,𝐵 ∙ 𝐹.     3)  Studiare  il  seguente  sistema  lineare  𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵  con  la  regola  di  Cramer:   dove    𝐴 = 1 0 0 −2 2 0 0 1 3  e  𝐵 = 1 −1 2 .     5) Studiare  i  seguenti  sistemi  lineari  al  variare  del  parametro  reale  k:    (a)     x + ky+3z+ (k −1)t = 0 3x + 5y+ 2z+ 2t = 0 4x +3y+ t = 0 2x + z = 0 " # $ $ % $ $   (b)   (k −3)x − y+ 5z =1 (3− k)y+ 6z = 3 (k −3)z = 3− k " # $ % $     c)   (k + 5)x = −k − 5 x + 2y = −3 7x − y+ (k + 5)z =1 " # $ % $       d)   2𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1 4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2     VIII  lezione       Applicazioni  al  teorema  di  Kronecher.  Calcolo  del  rango.  Determinante  di  una  matrice  di  ordine  4.   Applicazioni  lineari.  Esempi.  Proprietà  delle  applicazioni  lineari.   Esercizi   1) Calcolare  il  rango  delle  seguenti  matrici   𝐴 = 1 2 −2 3 3 −1 1 0 −1 ,𝐵 = 1 1 0 0 2 2 1 2 0 −1 2 3 ,𝐶 = 6 6 7 1 1 −1 0 0 −1 3 −1 2 .   2)  Calcolare  il  rango  delle  seguenti  matrici  al  variare  del  parametro  reale  k:   = 1 2 −2 𝑘 0 −5 1 0 −1 ,𝐵 = 1 1 0 0 𝑘 − 2 2          1 2            0 −1          𝑘 − 1 0 ,𝐶 = 0 𝑘 + 1 0 0 1 −1 0 𝑘 − 1 −1 3 𝑘 − 1 2 .   3) Calcolare  il  determinante  delle  seguenti  matrici:   𝐴 = 1 0 0 6 0 1 0 1 0 0 3 2 0 0 0 8 ,𝐵 = 1 0 0 0 1 2 0 0 0 9 3 2 0 1 0 8 ,𝐶 = 1 0 2 3 1 2 0 0 0 9 3 0 1 1 0 8   4) Stabilire  se  le  seguenti  applicazioni  sono  lineari  motivando  la  risposta: