Proprietà di spazi vettoriali, basi e applicazioni lineari, Schemi e mappe concettuali di Geometria II

Scarica Proprietà di spazi vettoriali, basi e applicazioni lineari e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Geometria II solo su Docsity! STRUTTURA DI SPAZIO VETTORIALE Sottospazio intersezione S1 E S2 SONO SOTTOSPAZI DI VR SI CONSIDERI L’INSIEME INTERSEZIONE FORMATO DA ELEMENTI COMUNI. SE S 1 2S S∩ 1 E S2 SONO SOTTOSPAZI ALLORA E’ SOTTOSPAZIO. 1 2S S∩ Dim: -Se è non vuoto c’è almeno un elemento che è il vettore nullo poiché il vettore nullo appartiene sia a S 1S S∩ 2 S S∩ 2 1 E S2. -u,v ∈ u+v∈ : dire che u,v appartengono al sottoinsieme intersezione significa che appartengono sia a S 1 2 ⇒ 1S S∩ 1 sia a S2 che però sono sottospazi: allora sia in S1 sia in S2 c’è anche il vettore somma; allora u+v∈ 1 2S S∩ . -u ∈ λ∈1 2S S∩ uλ⇒ ∈ 1S S∩ 2 :se u appartiene sia a S1 sia a S2 allora se sono sottospazi contengono anche il prodotto;c.v.d. Sottospazio somma SIA DATO VR E SIANO ASSEGNATI 1....... PS S IN VR SOTTOSPAZI; CONSIDERIAMO IL SOTTOINSIEME S = { }1, | ...i i ps V s S s s s∈ ∈ = + + . ANCH’ESSO E’ SOTTOSPAZIO. Dim: -è non vuoto infatti sottospazi contengono tutti il vettore nullo. - e t dove ,1 ... ps s s+ + = 1 ... pt t+ + = is it iS∈ allora s+t S∈ infatti 1 1 ... p ps t s t s t+ = + + + + dove . i is t S+ ∈ i - s Sα ∈ ? Si perché ( )1 ... ps s sα α= + + 1 ... ps sα α= + + e is Siα ∈ c.v.d. S = 1 ........ PS ⊕ ⊕ S E’ DETTA SOMMA DIRETTA. Esistono dei criteri equivalenti tra loro per scoprire se la somma di sottospazi è diretta o meno: si dimostrano per p=2: 1. Ogni elemento di S si scrive in modo unico 2. { }1 2 0S S∩ = 3. prese 1 1B S⊂ e 2 2B S⊂ l’unione disgiunta è un sottoinsieme indipendente Dim: 1) 2)⇒ mettiamo che nel sottospazio intersezione ci sia anche un altro vettore t; allora esiste anche -t: il vettore s può essere scritto come 1 2s s s t t= + + − e quindi non più in forma unica. 2) 3)⇒ λ1v1+……+λnvn + 1 1 ... 0m mw wµ µ+ + = ma λ1v1+……+λnvn = - 1 1 ... 0m mw wµ µ− − = Se è vera l’uguaglianza appartengono a che a ; ma poiché sono due basi i 1S 2S coefficienti devono essere necessariamente tutti nulli. c.v.d. 3) 1)⇒ supponiamo che s non si scriva in modo unico: 1 2 1s s s t t2= + = + ognuno di questi vettori si può esprimere come C.L. dei vettori delle basi assegnate ma essendo basi i coefficienti sono necessariamente nulli c.v.d. Per un numero di sottospazi maggiore di due in generale si usa utilizzare la terza condizione poiché la seconda non è del tutto scontata. Inoltre se l’unione disgiunta non è un insieme indipendente comunque costituiscono un sistema di generatori. La dimensione di S è maggiore o uguale alla somma delle dimensioni ed è uguale se e solo se la somma è diretta. SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO Definizione SI DEFINISCE PRODOTTO SCALARE EUCLIDEO UN’APPLICAZIONE CHE AD OGNI COPPIA DI VETTORI E ASSOCIA UN NUMERO REALE E SODDISFA LE PROPRIETA’: :f V V× → 1v 2v 1. COMMUTATIVA 2. LINEARITA’ RISPETTO ALLA SOMMA DI VETTORI 3. LINEARITA’ RISPETTO AL PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE 4. POSITIVITA’ Conseguenza: DICESI SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO UNO SPAZIO VETTORIALE DOTATO DI PRODOTTO SCALARE EUCLIDEO Può essere scritto in forma matriciale come XTY 1 n x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 n y y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ ( ) 1 1 T n n y x x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ -per le funzioni si definisce: ( ) ( )( ) ( ) ( ), b a f x g x f x g x dx= ∫ rispettando tutte le proprietà gia definite. -come si calcola? 1. prodotto scalare rispetto alla base canonica SOMMA DEI PRODOTTI TRA LE COORDINATE OMONIME 2. prodotto scalare rispetto ai cambi di base Data una base B in uno spazio vettoriale euclideo il prodotto scalare tra i vettori rispetto a tale base si può fare solo conoscendo il prodotto scalare tra i vettori della base; in forma matriciale si può scrivere come: XTAY -X,Y:le coordinate dei vettori rispetto alla base assegnata -A:la matrice che ha come elemento generico aij i prodotti scalari tra i vettori della base assegnata. Il prodotto scalare tra vettori espressi secondo la base canonica può essere scritto anche secondo questa notazione, ma chiaramente la matrice A risulta essere la matrice identica. -proprietà di A: • SIMMETRICA • GLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE PRINCIPALE SONO TUTTI POSITIVI • LA MATRICE A E’ DEFINITA POSITIVA POICHE’: ( ) 0Tv v X AY⋅ = > Modulo o norma ( )v v v= ⋅ È =0 se e solo se v=0 -L’IMMAGINE DEL VETTORE SOMMA E’ LA SOMMA DELLE IMMAGINI -L’IMMAGINE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE E’ IL PRODOTTO DELLO SCALARE PER L’IMMAGINE V W DOMINIO CODOMINIO Nucleo DICESI NUCLEO UN SOTTOINSIEME DEL DOMINIO CHE CONTIENE TUTTI I VETTORI CHE HANNO COME IMMAGINE IL VETTORE NULLO. E’ UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE. Dim: - non vuoto: perchè il vettore nullo c’è -somma: 1 2 1 2, ker kerv v f v v f∈ ⇒ + ∈ ( )1 0wf v = ( )2 0wf v = ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0 0 0w wf v v f v f v w+ = + = + = -prodotto: ( )ker 0wv f f vλ λ∈ ⇒ = -proprietà: Il nucleo serve per descrivere alcune proprietà dell’applicazione: C.N.e S. AFFINCHE’ UN’APPLICAZIONE SIA INIETTIVA E’ CHE IL NUCLEO CONTENGA SOLO IL VETTORE NULLO. Dim: supponiamo che due vettori distinti abbiano la stessa immagine allora: ( ) ( )1 2f v f v= ( ) ( )1 2 0wf v f v− = 1 2 kerv v f− ∈ c.v.d. Immagine DICESI IMMAGINE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE IL SOTTOSPAZIO DEL CODOMINIO I CUI ELEMENTI SONO LE IMMAGINI DI UN VETTORE DEL DOMINIO. E’ UN SOTTOSPAZIO. Dim:-non vuoto:contiene il vettore il nullo -somma: 1 2 1 2, Im Imw w f w w f∈ ⇒ + ∈ ( )1 1 1|v V f v w∃ ∈ = ( )2 2 2|v V f v w∃ ∈ = allora ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2w w f v f v f v v+ = + = + -prodotto: ( )Imw f f v wλ λ∈ ⇒ = λ allora ( ) ( )w f v f vλ λ λ= = -proprietà: 1. SI DICE CHE f E’ SURIETTIVA SE Imf COINCIDE CON W. 2. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1....... ....n nw f v f x v x v x f v x f v= = + + = + + n n n cioè al variare dei coefficienti della combinazione lineare si hanno tutti vettori del codominio. 3. L’APPLICAZIONE LINEARE TRA DUE SPAZI VETTORIALI E’ UNICA:infatti se sono note le immagini dei vettori di una base di V è possibile determinare l’immagine di un arbitrario vettore e se f e g sono due applicazioni lineari tali che: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ....... nf v g v f v g v= = allora f e g coincidono. 4. L’APPLICAZIONE LINEARE ESISTE ED E’ UNICA SE I VETTORI DI CUI SI HA L’IMMAGINE SONO VETTORI DI UNA BASE. Matrice associata ad una applicazione lineare Sia : n m R Rf V W→ { }1......w nB w w= e { }1 2......vB v v poi sia dato v V∀ ∈ che si scrive come 1 1 ...... n nv x v x v= + + . Assegnati ( )1f v e ( )nf v si possono scrivere come C.L. dei vettori della base del codominio: ( ) 1 1 1 1 1...... n nf v a v a v= + ( ) 1 2 2 1 2...... n nf v a v a v= + ( ) 1 1 ...... n n n n nf v a v a v= + Allora è possibile attere le coordinate dell’immagine del generico vettore del dominio rispetto alla base del codominio: ( ) 1 1 ...... n nf v y w y w= + ma secondo quanto scritto è possibile fare le seguenti sostituzioni: ( ) ( ) ( ) (1 1 1 1 1 1...... .... ....n n n n )n nf v y w y w f x v x v x f v x f v= + = + + = + + . Quindi: e con un sistema diventa: 11 1 1 1 2 22 2 1 21 2 1 2 .... n n n n nn n n aa a y aa a x x x y aa a ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 ...... ...... ...... n n n n n n n n n y a x a x y a x a x y a x a x ⎧ = + + ⎪ = + +⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = + +⎩ eq. Dell’applicazione lineare rispetto alle due basi TRASFORMAZIONE LINEARE:esprime con le coordinate l’azione di f con funzioni di primo grado lineari e omogenee. Dal sistema si ricava la matrice associata: A = 1 1 1 1 n n n n a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Fissate due basi non possono esserci più applicazioni lineari associate alla stesse matrice; tra F e A esiste una corrispondenza biunivoca. Il sistema dell’applicazione lineare può essere scritto in forma matriciale: Y=AX -Y: le coordinate di v risp alla base del codominio -A:porta sulle colonne le coordinate delle immagini dei vettori della base del dominio rispetto alla base del codominio. Rango e nullità Sia : n m R Rf V W→ { }1......w nB w w= e { }1 2......vB v v e data la matrice A associata all’applicazione lineare: -si definisce RANGO la dim im f = rg(A) -NULLITA’: la dim ker f. Dim ker f = n - rg(A) = n – p Teorema della dimensione SE : n mf V W→ E’ UN’ APPLICAZIONE LINEARE TRA SPAZI VETTORIALI DI DIMENSIONE FINITA ALLORA: n = dim ker f + dim im f -osservazioni: - f è iniettiva se n = p rg(A) = n ( se m = n) -f è suriettiva ( Im f = W) se rg(A) = m p = m Isomorfismi UN’ APPLICAZIONE LINEARE SI DICE ISOMORFISMO SE INIETTIVA E SURIETTIVA. VALE IL VICEVERSA. DATI DUE SPAZI V E W, SI DICONO ISOMORFI SE HANNO LA STESSA DIMENSIONE. Dim: se iniettiva rg(A)=n p = n ma è anche suriettiva p = m e cioè n = m. In definitiva non si avranno mai isomorfismi tra spazi di dim diversa e si dice che tra i due spazi vettoriali esiste una biezione. Matrici di un isomorfismo Dati due spazi della stessa dimensione la matrice A è quadrata e non singolare: -se rg(A)=n è un isomorfismo? Dim: se rg(A)=n dim im f = n allora im f = W e quindi certamente suriettiva. Ma n = dim im f + dim ker f dim ker f = 0 -dal precedente teorema allora f è iniettiva e suriettiva e viceversa -allora f è obiettiva. Se si effettua un cambio di base sia nel dominio che nel codominio ricordando le formule del cambio di base e la forma matriciale dell’ applicazione lineare risulta: Y’ = M-1 A N X’ - Y’= coordinate del vettore dato rispetto alla nuova base nel codominio - M-1 = porta sulle colonne le coordinate dei vettori della nuova base del codominio risp ai vettori della vecchia base del codominio - A = porta sulle colonne le coordinate delle immagini rispetto ai vettori della vecchia base del codominio. - N = matrice che porta sulle colonne le coordinate dei vettori della nuova base del dominio rispetto alla vecchie base del codominio. - X’ =coordinate del vettore rispetto alla base del dominio. Endomorfismo DICESI ENDOMORFISMO DI V OGNI APPLICAZIONE LINEARE NELLO SPAZIO VETTORIALE IN SE;E’ DETTO ANCHE OPERATORE LINEARE. Matrici associate ad un endomorfismo Se dominio e codominio coincidono è naturale scegliere una sola base rispetto alla quale rappresentare l’applicazione lineare, in definitiva: OGNI ENDOMORFISMO SI RAPPRESENTA CON LA Y=AX FISSATA UNA BASE, LA MATRICE ASSOCIATA E’ QUADRATA. Se si volesse effettuare un cambio di base da B a B’ tenendo conto che sono due basi di V : univocamente determinato. Dimostriamo per assurdo che w si scriva in due modi diversi: ma poiché sono linearmente indipendenti 1 1' ................ ' ...............pw w w+ = + pw+ ( ) ( )1 1' .......... ' 0p pw w w w− + + − = gli addendi devono essere nulli e lo sono se e solo se …… 1 1 'w w= 'pw w p= . C. v. d. ALLORA SE L’ENDOMORFISMO APPARTIENE AD UNO SPAZIO VETTORIALE DI DIM n ALLORA ESISTONO n AUTOVALORI DISTINTI E REALI A CUI SI ASSOCIANO n VETTORI L.I. E FORMANTI UNA BASE DI V E QUINDI f E’ DIAGONALIZZABILE. Ma in generale non sempre è possibile trovare n autovalori distinti: DICESI MOLTEPLICITA’ ALGEBRICA m.a. LA MOLTEPLICITA’ DI λ COME RADICE DEL POLINOMIO CARATTERISTICO. DICESI MOLTEPLICITA’ ALGEBRICA m.g. LA DIMENSIONE DELL’AUTOSPAZIO RELATIVO ALL’AUTOVALORE λ. SE λ E’ UN AUTOVALORE DI UN ENDOMORFISMO ALLORA ( ) ( ). . . .m g m aλ λ≤ Dim:sia data una base B { }1,...., nu u= A è la matrice associata ad f rispetto a B: supponiamo che allora ( ). .m a sλ = ( ) ( ) (0det sA I p )λ λ λ λ− = − supponiamo che m.g. (λ)=r allora una B dell’autospazio è costituita da r autovettori ma se la dim è n la base deve essere completata allora la matrice associata sarà: ( ) 0 0 A q λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … Allora il det è ( ) ( ) ( )( )0det 'A I qλ λ λ λ− = − poiché sono matrici simili risulta r s ≤ TEOREMA DELLA DIAGONALIZZAZIONE C.N.e S. AFFINCHE’ UN ENDOMORFISMO DI V SIA DIAGONALIZZABILE E’ CHE : 1. IL POLINOMIO CARATTERISTICO DI f AMMETTA SOLO RADICI REALI E DISTINTE: . ( ) 1 . . n i i m a nλ = =∑ 2. PER OGNI AUTOVALORE λ m.a.(λ)=m.g. (λ) . Dim: se f è diagonalizzabile il polinomio caratteristico di f ha solo radici reali e se 1......... pλ λ sono gli autovalori di f reali e distinti si ha ( ) 1 . . n i i m a nλ = =∑ . Esiste una base di autovettori: ( ) ( )1 ................ nE Eλ λ⊕ ⊕ e cioè allora c. v. d. m.a.(λ)=m.g. (λ) . ( ) ( )1. . .............. . . pm g m g nλ + + λ = Viceversa: se il polinomio caratteristico ha solo radici reali e 1......... pλ λ radici reali e distinte risulta ( ) ( )1. . ................. . . pm a m a nλ + + λ = ma se vale la seconda condizione allora ( ) ( )1. . .............. . . pm g m g nλ + + λ = E e allora il sottospazio somma diretta ( ) ( )1 ................ nE λ λ⊕ ⊕ ha dim n e coincide con V. esiste una base formata da autovalori e f è diagonalizzabile. SE f ENDOMORFISMO DI V CON DIM n AMMETTE n AUTOVALORI REALI E DISTINTI f E’ DIAGONALIZZBILE. Endomorfismo simmetrici DATO E DATA A MATRICE QUADRATA ASSOCIATA ALL’ENDOMORFISMO RISPETTO ALLA BASE CANONICA ESISTE UNA BASE ORTONORMANALE DI AUTOVETTORI SE E’ DATA UNA MATRICE O TALE CHE: : nf → n 1O AO D− = 1 TO O− = L’endomorfismo f si dice ortogonalmente diagonalizzabile A è detta matrice simile ad una matrice diagonale. TEOREMA SPETTRALE REALE C.N.e S. AFFINCHE’ A SIA ORTOGONALMENTE SIMILE AD UNA MATRICE DIAGONALE E’ CHE A SIA SIMMETRICA. Dim: ricavare A : 1O AO D− = 1OO AO OD− = 1 1AOO ODO− −= 1A ODO−= MA E’ SIMMETRICA INFATTI ( ) ( )TT T T T TA ODO O D O ODO= = = T La matrice A rispetta una proprietà che definisce l’endomorfismo simmetrico: sia data una matrice simmetrica tale che: ij jia a= allora consideriamo il trasformato attraverso A di due vettori qualsiasi X e Y : AX = AY = 1i i i ni i i a x a x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 1 j j j nj j j a y a y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ (AX,Y)= = =(X,AY) ij i j ij a x y∑ ji i j ij a x y∑ Allora tramite questa proprietà si dimostra che il polinomio caratteristico ha radici reali e distinti allora l’endomorfismo simmetrico è sempre diagonalizzabile. SE LA MATRICE A ASSOCIATA ALL’ENDOMORFISMO E’ SIMMETRICA SI TROVA UNA BASE ORTONORMALE FORMATA DA AUTOVETTORI. Dim:teniamo conto della proprietà degli endomorfismi simmetrici e diamo due autovalori distinti hλ kλ ( ) ( ) ( ), ,h h ,AX Y X Y X Yλ λ= = ( ) ( ) ( ), , k k ,X AY X Y X Yλ λ= = la differenza è: ( )( ),h k X Yλ λ 0− = che vale se e Solo se: ( e cioè ),X Y = 0 X Y⊥ . I corrispondenti autospazi sono ortogonali. Quindi in R3 è lo stesso concetto; ma non sempre è possibile trovare autovalori distinti allora non è detto che sono ortogonali i relativi autovettori: la base ortonormale può essere costruita con il metodo di Graam Schimtd. UN ENDOMORFISMO E’ SIMMETRICO SE (AX,Y) =(X,AY) . UN ENDOMORFISMO DI Rn E’ SIMMETRICO SE E SOLO SE RISPETTO AD UNA BASE ORTONORMALE SI RAPPRESENTA CON UNA MATRICE SIMMETRICA. FORME QUADRATICHE REALI SI DEFINISCE FORAMA QUADRATICA REALE UNA FUNZIONE RAPPRESENTATA DA UN POLINOMIO OMOGENEO DI 2° GRADO IN n VARIABILI REALI NON TUTTI NULLI, CHE AD OGNI VETTORE ASSOCIA IL NUMERO : : nϕ → Nx∈ ( )z xϕ= ( ) 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 ....... 2 ... ........... 2 ... n n n n nn n x a x a x x a x x a x a x x a x ϕ = + + + + + + + + + A cui è possibile associare una matrice: 11 1 1 n n n a a A a a ⎛ ⎞ ⎜= ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … n ⎟ ⎟ che è simmetrica detta matrice della forma quadratica L’espressione matriciale è: TX AX e vale il viceversa. DATA UNA FORMA QUADRATICA E’ ASSOCIATA A E SCRITTA IN FORMA MATRICIALE SI DICE CHE: 1. DEFINITA POSITIVA SE TX AX >0 E =0 SE E SOLO SE X=0 2. DEFINITA NEGATIVA SE TX AX <0 3. SEMIDEFINITA POSITIVA SE TX AX ≥ 0 4. SEMIDEFINITA NEGATIVA SE TX AX ≤ 0 5. INDEFINITA SE NON E’ NE’ DEFINITA NE’ SEMIDEFINITA. Matrici congruenti Data TX AX essa può essere vista in uno spazio vettoriale; in esso è possibile effettuare un cambio di base dalla canonica B alla B’ allora risulta: T T TX AX Y C ACY= TC AC E’ SIMMETRICA E CON LA MATRICE A SI DICE CHE ESISTE UNA RELAZIONE DI CONGRUENZA. Invarianti per congruenza Esisto delle proprietà che non variano nonostante sia stata effettuato un cambio di base er congruenza: 1. AUTOVALORI NON SONO INVARIANTI PER CONGRUENZA 2. SIMMETRIA E’ INVARIANTE PER CONGRUENZA 3. NUMERO DI AUTOVALORI NULLLI E’ UN INVARIANTE PER CONGRUENZA Il numero di autovalori nulli si chiama nullità ed è la dimensione del kerf. 4. IL NUMERO DI AUTOVALORI POSITIVI E NEGATIVI E’ UN INVARIANTE PER CONGRUENZA È compresa in un rettangolo di lati –a a e –b e b e le intersezioni con gli assi sono: (–a,0), (a,0) (0,-b), (0,b). È simmetrica e quindi si possono usare le tecniche dell’analisi per studiarla; riducendola al primo quadrante. L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano l’equazione: 1 2 2PF PF a+ = Dove F1 e F2 sono i punti detti fuochi e P è un punto della curva (costruzione del giardiniere). L’asse delle X è detto asse maggiore;l’asse delle Y è detto asse minore ( se a>b). IPERBOLE 2 2 2 2 1X Y a b − = -a a |x|>a La simmetria è rispetto all’asse x e y e all’origine :X e Y sono detti assi della conica di cui X è l’asse traverso e Y è detto asse traverso. Le intersezioni sono: (-a,0) (a,0)detti vertici; anche qui si parla di fuochi: l’iperbole è il luogo geometrico i cui punti soddisfano l’equazione : 1 2| |PF PF a− = 2 possiede asintoti di equazione: by a = ± Radionavigazione iperbolica Se in F1 e F2 si posizionano radiotrasmettitori sincronizzati che inviano contemporaneamente un segnale, essi arriveranno in tempi diversi. Se si conosce la velocità della trasmissione del segnale, dalla differenza di tempi si conosce la differenza delle distanza e dalla 1 2| si trova l’equazione dell’iperbole. | 2PF PF a− = Presi altri punti che fungono da fuochi si ripete il procedimento e si trova un’altra iperbole: più iperboli si trovano e più intersezioni è possibile fare e più è chiara la posizione della nave. PARABOLA 2 2 232 ' 0 2hX a Y X pY+ = → = Y=-p/2 2py è necessariamente positivo. È simmetrica rispetto all’asse x ma non all’origine, non ha asintoti ed è crescente. Y è detto asse di simmetria e l’origine è detto vertice della parabola. Y=-p/2 è detta direttrice. La parabola è il luogo geometrico di punti del piano euclideo che hanno uguale distanza da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice. Proprietà focale Preso un punto P e la retta tangente se dall’infinito arriva un segnale l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione e tutti i raggi si dirigono nel fuoco. Le antenne sono superfici ottenute dalla rotazione delle parabole. Coniche degeneri 2 0hX d+ = Generalizzazione ELLISSE: detA e 0≠ 33det 0A > IPERBOLE: detA e 0≠ 33det 0A < PARABOLA: detA e 0≠ 33det 0A = CONICHE DEGENERI:detA=0 e 33det 0A = SUPERFICI SI DEFINISCONO QUADRICHE LE SUPERFICI LUOGO DI ∞² PUNTI LE CUI COORDINATE VERIFICANO UN’EQUAZIONE A COEFFICIENTI COSTANTI REALI DI SECONDO GRADO NELLE VARIABILI x, y, z DEL TIPO: 2 2 2 11 22 33 12 13 23 14 24 34 442 2 2 2 2 2a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + = 0 Si dicono algebriche e equazioni proporzionali rappresentano la stessa superficie. Classificazione delle coniche Per poter ricavare le proprietà delle coniche dalla loro equazione è necessario trovarne un’ altra più semplice: il processo è lo stesso delle comiche: si associa la matrice della forma quadratica ed essendo simmetrica è possibile diagonalizzarla. Si trovano quindi gli autovalori e con il completamento del quadrato è possibile fare una traslazione ritrovando la forma canonica della quadrica. 1. h, k, l, m - h,k,l,m, stesso segno: ELLISSOIDE A PUNTI IMMAGINARI 0≠ - h,k,l,m, segno opposto:ELLISSOIDE IPERBOLOIDE ELLITTICO IPERBOLOIDE IPERBOLICO 2. c=0 h,k,l, stesso segno CONO 3. h k c 1 autovalore nullo: PARABOLOIDE ELLITICO 0≠ 4. h k c segni opposti:PARABOLOIDE IPERBOLICO(SELLA) 0≠ 5. 2 autovalori nulli:CILINDRO(cinica nel piano) ELLISSOIDE 2 2 2 2 2 2 0X Y Z a b c + + = 1. 2 2 2 2 1 2 2 X Y a b c + = − Z c z c− ≤ ≤ 2. 2 2 2 2 1 2 2 X Z a c b + = − Y b y b− ≤ ≤ 3. 2 2 2 2 21Y Z X b c a + = − 2 a x a− ≤ ≤ 4. presi dei punti simmetrici rispetto agli assi e all’origine, essi soddisfano l’equazione allora: gli assi coordinati sono chiamati assi della quadrica e l’origine è detto centro della quadrica. 5. tagliandola con i piani coordinati si ottengono ellissi, con piani paralleli ai piani coordinati si ottengono sempre ellissi ma con gli assi che via via diminuiscono man mano che cresce la distanza dal centro. IPERBOLOIDE ELLITTICO 1. 2 2 2 2 2 21 0X Y Z a b c = + + > | |x a> 2. gli assi, i piani e il centro sono ancora punti di simmetria, inoltre solo l’asse delle X taglia la superficie quindi viene detto asse traverso e gli altri assi non traversi. 3. tagliando con Z=0 si ottiene una iperbole 4. con X=0 non si hanno punti 5. Y=0 ancora una iperbole 6. con X =K un ellissi i cui assi aumentano all’aumentare di K. IPERBOLOIDE IPERBOLICO 2 2 2 2 2 2 1X Y Z a b c + − = I coni e i cilindri hanno come curve direttrici molti tipi di curve. Ammesso che le curve su una superficie hanno tg in un punto, le equazioni si trovano su un piano tg alla superficie. SUPERFICI DI ROTAZIONE SUPERFICI OTTENUTE DALLA ROTAZIONE DI UNA CURVA INTORNO ALLA RETTA r. UN PUNTO DI UNA CURVA DESCRIVE INTORNO ALLA RETTA UNA CIRCONFERENZA LA CUI EQUAZIONE PUO’ ESSERE TROVATA TAGLIANDO LA SUPERFICIE CON UN PIANO PERPENDICOLARE ALLA RETTA. I piani paralleli si chiamano paralleli. I piani paralleli alla retta e che intersecano la superficie si chiamano meridiani. PROPRIETA’ DIFFERENZIALI CURVA: è un’applicazione per cui ad ogni valore del parametro corrisponde un punto. La curva è un insieme di punti data da x=x(t), y=y(t), z=z(t). -rappresentazione parametrica Per una stessa curva ci sono molte rappresentazioni parametriche, ma affinché si possa parametrizzare bisogna porre delle condizioni. LE EQUAZIONI x=x(t), y=y(t), z=z(t) SI DICONO UNA PARAMETRIZZAZIONE REGOLARE DI UN ARCO DI CURVA SE: 1. LE FUNZIONI x(t), y(t), z(t) SONO DI CLASSE k>1. 2. LE DERIVATE x’(t), y’(t), z’(t) NON SI ANNULLANO MMAI SIMULTANEAMENTE [ ] [ ] [ ]'( ) '( ) '( ) 0x t y t z t+ + > 3. TRA t E I PUNTI DELLA CURVA C’E’ UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA. Le condizioni sono verificate in t0 e in un suo intorno, allora per tutti i punti dell’intorno la curva è regolare. Retta tangente -significato geometrico della definizione di curva regolare. 1. al variare di t il punto varia con continuità. 2. non ci possono essere nodi ma solo punti semplici. 3. è una condizione sufficiente per il teorema del dini: IN OGNI PUNTO ( ) ( ) ( )( 0, ,o o )x t y t x t ESISTE LA RETTA TANGENTE. RETTA tg: SI DEFINISCE RETTA TG IN UN PUNTO IL LIMITE DELLA RETTA PER DUE PUNTI AL TENDERE DI P→P0. Dim: retta per P0 e P è: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z0 0x t x t y t y t z t z t − − − = = − − − Ora considero lo sviluppo di taylor per il denominatore: 0 0 0 1( ) ( ) '( )( ) ( )x t x t x t t t tε− = − + 0 0 0 2( ) ( ) '( )( ) ( )y t y t y t t t tε− = − + 0 0 0 3( ) ( ) '( )( ) ( )z t z t z t t t tε− = − + e si sostituisce dividendo per (t-t0) e facendo il limite per t→t0 cioè P→P0. Si ottiene: 0 0 0 0 0'( ) '( ) '( ) 0x x y y z z x t y t z t − − − che è l’equazione della retta tangente. Vettore tangente 0 0'( ) '( ) '( )d P 0x t i y t j z t k dt = + + Al variare del parametro si ha il vettore tg in ogni punto della curva e si ottiene un CAMPO DI VETTORI TANGENTI. Indicando la velocità è chiaro che la lunghezza del vettore tangente varia al variare del parametro. Ascissa curvilinea Esiste una particolare parametrizzazione della curva che permette di avere un campo di vettori tangenti di modulo unitario: SIA DATO UN PUNTO P0 E UNA CURVA ARBITRARI, SIA P APPARTENENTE ALLA CURVA SI CONSIDERI L’ARCO TRA I DUE PUNTI SCELTI: L’ASCISSA CURVILINEA E’ LA LUNGHEZZA DELL’ARCO: [ ] [ ] [ ]2 2 0 0 00 ( ) '( ) '( ) '( ) t s s t x y z d2τ τ τ= = + +∫ τ Si può osservare che l’integrando è il modulo del vettore tangente e poiché dalla definizione di parametrizzazione regolare [ ] [ ] [ ]2 2 0 0'( ) '( ) '( )x y zτ τ+ + 2 0τ >0 allora è una funzione crescente di t e si può invertire trovando così la rappresentazione parametrica in funzione dell’ascissa curvilinea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x s s s t t t s y y s z z s =⎧ ⎪= → = → =⎨ ⎪ =⎩ IL CAMPO DEI VETTORI TANGENTI DI UNA CURVA PARAMETRIZZATA RISPETTO ALL’ASCISSA CURVILINEA E’ COSTITUITO DA VETTORI TANGENTI DI MODULO 1. Allora se d P ds è un vettore tangente ed ha modulo unitario è un versore: . Curvatura Se il modulo di t(s) è unitario si può scrivere:t(s) ⋅ t(s)=1 facciamo la derivata ambo i membri: ( )( ) ( ) ( )2 ( ) d t s t s dt s t s ds ds ⋅ = ⋅ 0= Allora t(s) e ( )dt s ds =a(s) sono ORTOGONALI dove 2 2 2 2 2 2 ( )dt s d x d y d zi j ds ds ds ds = + + k a(s)= ( ) ( ) ( )dt s n s c s ds = c(s) è detta CURVATURA n(s) è il versore normale principale: 1 (( ) ( ) dt s)rsa s c s ds =ve Nello spazio si dice versore normale principale perché ce ne sono inifniti di versori normali ad una curva; invece nel piano è unico. -significato geometrico di curvatura: sia P0 un punto della curva preso un altro punto P(s) esistono i rispettivi vettori tangenti: è necessariamente un triangolo isoscele allora la base è data da 0( ) ( ) 2 2 t s t s senϕ− = 0 lim s s ϕ ∆ → ∆ è la curvatura = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2lim lim 2 2 2 2 s s t s t s t s t s s sen sen sen 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∆ → ∆ → − − = ∆ = Se e 0s∆ → 0P P→ 2 1 2 sen ϕ ϕ → allora ( )dt c s ds = = Se non cambio verso di percorrenza della curva il versore tangente cambia verso ma NON cambia verso il versore normale che è sempre contenuto nel semipiano che contiene la curva cioè verso la concavità. La curvatura indica di quanto una curva si discosta dall’andamento rettilineo. Raggio di curvatura 1 ( )c s ρ = La circonferenza di centro c e raggio ρ si chiama cerchi oscuratore che approssima la curva in P ed si dice che ha un contatto di secondo ordine. Si dice che due curve hanno un contatto di ordine n se il loro sviluppo di tayor coincide fino all’ordine n. Se le curve sono incidenti in un punto il contatto è del primo ordine e così via. Piano oscuratore SI DEFINISCE PIANO OSCULATORE IN P0 APPARTENENTE ALLA CURVA IL LIMITE SE ESISTE DEL PIANO PASSANTE PER P E P0 QUANDO P TENDE A P0. - se la curva si trova sul piano, il piano oscuratore e quello che contiene la curva. -se la curva è sghemba: scriviamo l’equazione del piano passante per P0 e P: 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 '( )'( ) '( ) 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) z zx x y y zx y x x y y z z ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ −− − = − − − Sviluppiamo la terza riga con taylor: 20 0 0 0 1 ''( )( ) '( ) '( )( ) ( ) ( 2 xx x x 0 )ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ε ϑ− = − + − + 20 0 0 0 2 ''( )( ) '( ) '( )( ) ( ) ( 2 yy y y 0 )ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ε ϑ− = − + − +