Geometria in R^3, rette e piani, Schemi e mappe concettuali di Matematica

Scarica Geometria in R^3, rette e piani e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity! POSIZIONE RECIPROCA TRA UN PIANO e UNA RETTA CASI POSSIBILI 1) n e v hanno direzioni diverse e c’è un punto di intersezione tra la retta e piano - Retta e piano sono perpendicolari ossia quando v e n hanno la stessa direzione —> l’angolo che si determina è di 90 gradi 2) Casi di parallelismo - Quando non ci sono punti di intersezione tra retta e piano, retta e piano sono paralleli e v ed n sono perpendicolari tra di loro —> i due vettori avranno un PRODOTTO SCALARE =0 Il punto P0 non può appartenere al piano che stiamo considerando. - Se sposto la retta mantenendo la proprietà di perpendicolarità tra v ed n osserviamo che quando la retta si sovrappone al piano, troviamo infiniti punti di intersezione —> la retta appartiene al piano che consideriamo. P0 appartiene al piano e i due vettori n e v sono tra loro perpendicolari e il loro prodotto scalare è uguale a 0 PRIMO CASO —> PIANO E RETTA INCIDENTI La condizione è che IL PRODOTTO SCALARE TRA n E v DEVE ESSERE DIVERSO DA 0—> ci dovrà essere un punto di intersezione T : axtbytez tol =o eqimplicita r : Pottr eqparametrica m: ( a, b , c ) vettore ortogonale CxoYoczoJttCxviJvizvJ dirazione delle retta M : axt byteztolzo Un punto do intersezione ri Pottr Vim NON perpendicalari Ca , bie).( xv, yv , zu)t0 ê à \ Caso particolare —> INCIDENTI PERPENDICOLARI La direzione v è la stessa del vettore ortogonale al piano —> abbiamo un punto di intersezione e i due vettori ci indicano la stessa direzione —> sono multipli 2 CASO —> RETTA E PIANO PARALLELI Non ci sarà nessun punto di intersezione e i due vettori devono essere tra loro perpendicolari ossia con un PRODOTTO SCALARE = 0 Il punto P0 (di passaggio della retta) non deve appartenere al piano 4: axt byteztd=o riPotut acbicı ,(xriyrizu) MULTIPLI İ ~: axtbyteztol=o ri Pottr coubic ). Cxr , Yr , z .) =0 Po PoØT V o ka n QD z à Abbiamo ricavato l’equazione del piano imponendo che il vettore generico P0P giacente sul piano, sia perpendicolare al vettore v, per garantire che il piano sia perpendicolare alla retta r ESERCIZIO 2 Abbiamo una retta di equazioni La retta viene assegnata come intersezione di due piani Scrivere l’equazione del piano passante per il punto e perpendicolare alla retta assegnata Se vogliamo che α sia perpendicolare a r dobbiamo imporre che il generico vettore giacente sul piano α sia perpendicolare a v che è il vettore direzione di r —> dunque il loro prodotto scalare deve essere uguale a 0 T {X -24+3zt3=0 xtzy =o Pollitio ) PLX ,y,z) se 12,2 8 ño o 2op ño Pollihios ÑO r B z=t F2Y-st-3 Yzy-st-3try=o { X=2y-3t-3 9=- E+Çt P punto generico ta z=t X =-2-7t3 X=ZtEt-st-3 9=7tRtzzt y =ątŞtz=t quinoi Ñ 0f-3, 7,5)i l POPI 50 perchéÅlñlñtapoòesserej PoP .5z0 Cx -Xo) Oxtly -Yo) nyt(z-Zo)Nz=O X -2DC -3+1y-1)7+(1 z =o ąx+7tRy-7+z=0 Xt6t3y-3+47=06 Gx -34-42-3=0 POSIZIONE RECIPROCA TRA PIANI Equazioni implicite del piano CASI POSSIBILI 1) I due piani si intersecano in una retta —> sono INCIDENTI Le direzioni normali n1 e n2 sono diverse tra loro Se cambiamo le direzioni, un caso particolare dell’incidenza è quando i piani sono PERPENDICOLARI 2) Quando i due vettori ortogonali n1 ed n2 hanno la stessa direzione allora i piani sono PARALLELI e non si intersecano mai Se avviciniamo il secondo piano al primo piano, arriveremo al caso in cui i due piani coincideranno —> si dicono COINCIDENTI 4: Oxt biyt exz tokco ? = Caubuen) M :Ozxtbzyteztdzzo mizcą , bzicz ) incidenti Fz Ö MuPri perperdicalon çmi ã7 ~hr QN Äß m 44 42 DUE PIANI INCIDENTI I piani si intersecano in una retta DUE PIANI INCIDENTI PERPENDICOLARI I piani si intersecano in una retta DUE PIANI PARALLELI DUE PIANI COINCIDENTI Ta=OuX+b ytaztol0malaubnal Kz =OLzXtbzytCzztdLz=O må =lazıbzıÇl DIREZIONI DIVERSE ÖNON SONO MULTPCoubua ) elouzibac ) SONO ZINEARMENTE INDIPENDENTT T=OuX+bytaztdi 0Mla,bn,c.l VK =OzxtbzytCzZtdz=OMz=lazbziG)mixmå zmåñiszo DIREZIONC LRI ñå T=OuX+bytaztdi 0Mla1,bn,6.) min -- O -O ~1 z mie mi =OzxtbzytCzztdz=OMz=lazibziG) M STESSA DIREZIONE Loe , bu Ci ) lazbzG ) MULTIPU MPEM SONO UNEARMENTEDIPENDEOT coun ,ba cn , do ) e lazbucda ) NON SONO MULTIPLI NESSUNA INTERSEZIONE TRA IPIANI Th=OuX+b ytaztdi0M -launbn,a) m Kz =OzXtbzytCzztdzzoMż=lazibziG) N F2 Con , bu cil lazbziG ) MULTIPL MEM SONO UNEARMENTEDIPENDE T counbucide ) elazibaede ) SONO MULTIPLI piau ; sourapposti POSIZIONE RECIPROCA TRA RETTE Siano r e r’ due retti in R^3 aventi rispettivamente come vettori direzione v e v’ Le due rette sono parallele se v e v’ sono paralleli, cioè se esiste un numero reale λ tale che v’ = λ v Questi due vettori sono uno il multiplo dell’altro —> i due vettori sono tra loro paralleli quindi LE DUE RETTE SONO PARALLELE 1) 2) Le due rette sono ortogonali se v e v’ sono ortogonali (perpendicolari), cioè se v v’ = 0 —> PRODOTTO SCALARE = 0 POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE NELLO SPAZIO Siano r e r’ due rette in R^3 aventi rispettivamente come vettori direzione v e v’ Le due rette sono parallele se v e v’ sono uno multiplo dell’altro Le due rette sono incidenti se si intersecano in un solo punto Le due rette sono coincidenti se si intersecano e v e v’ sono uno multiplo dell’altro Le due rette sono sghembe se non si intersecano e v e v’ non sono uno multiplo dell’altro --> - s -> -> x= 2+t X= 2-2t r : y =6+2t r : Y= 1-4 t{ --0 {z = -t z=1t2t Vetuzial V =L-2,-4,-2) T ?= -2 V0 -3 -> -) -> x 7?1-4t Ye =1t2tI zt { ztt TE (-21-4,2) P =( 11,3) y-ittr: LPVP 3 =-1-4,6 =0 --,-O z=H3t ItV ', quindo rtà -3 -7 Stabilire se le rette r e r’ aventi equazioni parametriche sono parallele, coincidenti, incidenti o sghembe ESERCIZIO 1 Non sono l’uno multiplo dell’altro —> RETTE NON PARALLELE E NON COINCIDENTI Le rette si intersecano in un’unico punto che posso trovare sostituendo i vettori t e k trovati nelle equazioni parametriche ESERCIZIO 2 Determinare delle equazioni parametriche della retta s passante per P = (3,1,3) e che incide perpendicolarmente sulla retta r : { X= 2- t YE 1-E tE e 2: X =3+4 Z :5+ ! k EIRK FRC -1-1m1V140,1z) 2- t=3+4k 1-t=o IL SISTEM TA UN UNIA SOLULIONE} t=S712k {t= fK =-l/ E =1 t =y e K =-E x =1 y=0 z =-e h P=1101 1) Pl3c13J x=5tzt Y 1-tY i tEI 2 Q=(St2t,t-t,6+3 t) Z= 6t3t FQ 21-1,3)( --o - b -- O--> v st 2t-3t 1- t-1t6t3t-3121-13)-opa I n PQy --O lat 2t,-t, 3+3 t) ( 2,-1,3)0 4 t4ttttgtgt=O-ot=-14 {X=5-1Y=HBII47=6-30 Y 4 PX= 217 Q =f 27, 27145 4) - Y= 27/14 z-8 = 1144S Moltiplico tuto per 14 e ottengo un’altra equazione parametrica che corrisponde alla stessa retta Q =LXa-XP, Ya-Yp, Za -Epl= 27-3, 2-2, 49 -3)(=(9 B 34) 3+2kX= s . 3+ 1/7K YEz =}Ì "/4K 394 k KEIR S = Y= H13k{ } Z = 3+3 k