Introduzione allo Spazio Vettoriale: Definizioni e Proprietà, Dispense di Geometria

Scarica Introduzione allo Spazio Vettoriale: Definizioni e Proprietà e più Dispense in PDF di Geometria solo su Docsity! GEOMETRIA Relazione (def): Siano A e B due insiemi non vuoti. Si chiama relazione tra gli insiemi A e B (oppure tra gli elementi di A e B) un qualsiasi sottinsieme del prodotto cartesiano di A e B. Se R è una relazione tra A e B e se (a,b) è un elemento della relazione R allora si scrive aRb per dire che (a,b) € R. Relazione di equivalenza (def): Sia R una relazione tra gli elementi di uno stesso insieme A. Si dice che R è una relazione di equivalenza su A se verifica le seguenti proprietà: 1) per ogni a € A risulta aRa prop riflessiva 2) se aRb anche bRa prop simmetrica 3) se aRb e bRc allora aRc transitiva Classe di equivalenza (def): Sia R una relazione di equivalenza sull’insieme A. Per ciascun elemento a di A si definisce classe di equivalenza di a e si denota con [a] l’insieme di tutti gli elementi di A che sono n relazione R con a cioè [a]=[x € A | aRx] Quoziente di A rispetto ad R (def): Sia A un insieme non vuoto e sia R una relazione di equivalenza su A. Si chiama quoziente di A rispetto ad R e si denota con A/R l’insieme avente per elementi le classi di equivalenza di A rispetto ad R. VETTORI GEOMETRICI Indichiamo con S2, S3 l’insieme dei punti del piano e dello spazio rispettivamente. Per ogni coppia di punti A,B € S3 si definisce segmento orientato di primo estremo A e secondo estremo B semplicemente la coppia ordinata (A,B) che si indica con il simbolo AB (con la freccetta). Se A coincide con B allora il segmento AB viene detto segmento nullo e si indica con 0 (con la freccetta). L’insieme di tutti i segmenti orientati dello spazio o del piano si indicherà con sigma3 oppure sigma2. Osservazione: Ogni segmento orientato non nullo AB € sigma3 è individuato da tre quantità: 1) il modulo ovvero la lunghezza del segmento AB 2) la direzione ovvero la retta passante per A e B 3) il verso ovvero il senso di percorrenza sulla retta AB che va dal punto A al punto B.. Segmenti equippollenti (def): Siano AB e CD € sigma3 due segmenti orientati entrambi non nulli. Essi si dicono equipollenti e si indica con AB ondina CD se e solo se essi hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. Il segmento nullo si definisce equivalente solo a sé stesso. Proposizione: La relazione di equipollenza è una relazione di equivalenza su sigma3 (o sigma2) Vettori liberi (def): Ogni classe di equivalenza di segmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza si chiama vettore libero dello spazio o del piano e si indica con V3 o V2. L’insieme dei vettori liberi dello spazio o del piano è V3=sigma3/ ondina V2=sigma2/ondina. Se v € V3 essendo esso una classe di equivalenza può essere rappresentato geometricamente da uno qualsiasi dei segmenti orientati nella classe di equivalenza. Se AB è un segmento orientato scelto per rappresentare v si scriverà v=AB ed AB si dirà rappresentante di v. Proposizione: Sia v € V3. Per ogni punto A € sigma3 esiste un unico rappresentante (segmento orientato) AB di primo estremo A che rappresenta v cioè tale che v=AB. Se v € V3 si dice modulo, direzione e verso di v il modulo, la direzione e il verso di un qualunque rappresentante di v. Il modulo si indicherà con ||v||. Vettore applicato (def): si chiama vettore applicato una coppia ordinata (A,v) costituita da un punto A e da un vettore libero v. STRUTTURA SPAZIO VETTORIALE SU V3 O SU V2 OPERAZIONE DI SOMMA: Siano u,v € V3. Si scelgano due rappresentanti per u e per v in modo tale che il secondo estremo del primo coincida con il primo estremo del secondo cioè u=AB v=BC si pone per definizione che u+v=AC Osservazione: Si osserva che u,v e u+v sono vettori complanari. OPERAZIONE DI PRODOTTO PER UNO SCALARE: Sia lambda € R e u € V3. Preso un qualunque rappresentante AB=u si definisce lambda*u come la classe di equipollenza del segmento orientato AC tale che: 1) AC(modulo)=|lambda|*AB(modulo) 2) AC ha la stessa direzione di AB 3) AC ha lo stesso verso di AB se lambda>0, verso opposto se lambda<0. Se lambda=0 si pone lambda*u=0v qualunque sia u. Prop: (V3,+,*) e (V2,+,*) sono spazi vettoriali reali Prop: u1, u2 € V3 sono li ndip F 0F 3 u1, u2 sono paralleli. DIMOSTRAZIONE: => se u1, u2 sono li ndip allora si può scrivere ad esempio u2=lambda*u1 quindi ha la stessa direzione di u1 cioè u2//u1 <= Se u1//u2 scegliendo dei rappresentanti che partono dallo stesso punto u1=AP1 u2=AP2 allora A,P1,P2 devono stare sulla stessa retta dunque esiste un lambda € R per cui AP1=lambda*AP2 e quindi u2=lambda*u1 cioè u1 e u2 sono li ndip. Prop: u1 u2 u3 € V3 sono li ndip F 0F 3 u1 u2 u3 sono complanari DIMOSTRAZIONE: => Se u1 u2 u3 sono li ndip allora u1=lambda2u2+lambda3u3 1 caso: u2//u3 => u1 u2 u3 sono complanari 2 caso: u2 non parallelo a u3 => u1 u2 u3 sono complanari (ved oss sulla somma) <= siano u1 u2 u3 complanari, se due di essi sono paralleli allora sono li ndip ed a maggior ragione i 3 vettori sono lin dip. Si supponga che i vettori siano a due a due non paralleli. Scegliamo dei rappresentanti che partono dallo stesso punto. C D A B A A AD=AD’+AD’’ ma AD’=lambda1*AB AD’’= lambda2*AC AD= lambda1u1+lambda2u2 ovvero u1 u2 u3 sono li ndip. Proposizione: (V2,+,*) ha dimensione 2 e una base è data sempre da due vettori non paralleli. RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA NEL PIANO Sia R=(0,B) un riferimento cartesiano affine di S2. Una retta r nel piano è individuata assegnando un punto p0(x0,y0) ed una direzione attraverso un vettore v € V2; la retta r è data come la retta che passa per p0 con direzione parallela a v. Se P(x,y) € S2 sii ha che: 1) P € r F 0F 3 PoP // v F 0 F 3 esiste t € R tale che PoP=tv F 0 F 3 (x-x0, y-y0) = (tvx, tvy) F 0 F 3 x=x0 +tvx y=y0+tvy eq. Parametriche della retta r. l’equazione PoP=tv si chiama equazione vettoriale della retta r oppure 2) P € R F 0F 3 PoP // v F 0 F 3 PoP, v sono li ndip F 0 F 3 determinante di | x-x0 y-y0 |=0 F 0 F 3 | vx vy | (x-x0)vy – (y-y0)vx =0 F 0F 3 (x-x0)vy =(y-y0) vx F 0 F 3 x-x0/vx = y-y0/vy eq in forma di rapporti uguali OSS: Si pone il numeratore uguale a 0 quando il denominatore è uguale a 0 Oppure 3) P € r F 0F 3 PoP //v F 0 F 3 PoP e v sono lin dip F 0 F 3 det =0 F 0 F 3 vy(x-x0) –vx(y-y0)=0 F 0 F 3 -vyx- vyx0-vxy+vxy0=0 F 0F 3 ax+by+c=0 dove a=vy b= -vx c= -(vyx0-vxy0) eq cartesiana della retta PARAMETRI DIRETTORI (def): Se r è la retta per P0 e direzione parallela a v= (vx,vy) € V2 allora ogni vettore di V2 parallelo a v (cioè proporzionale a v) si dice vettore di direzione della retta r e si indicano con (l,m) (in particolare se v è un versore le sue componenti si dicono coseni direttori). Allora se r: sistema( x=x0+tvx y=y0+tvy F 0F 3 (l,m)=(vx, vy) Se r: ax+by+c=0 F 0F 3 (l,m)=(-b,a) RETTE PARALLELE (def): due rette r, r’ si dicono parallele se e solo se r=r’ oppure r intersezione r’= insieme vuoto. Equivalentemente due rette sono parallele F 0F 3 hanno la stessa direzione cioè se e solo se hanno vettori di direzione proporzionali o uguali. Se r ha parametri direttori (l,m) ed r’ ha parametri direttori (l’,m’) allora r//r’ F 0F 3 (l,m)=K(l’,m’). In particolare (l,m)=(l’,m’). Pertanto se r:ax+by+c=0 ed r’:a’x+b’y +c’=0 allora r//r’ F 0F 3 (-b,a)=K(-b’,a’) F 0 F 3 -b= -kb’ e a=ka’ F 0 F 3 b=kb’ e a=ka’ F 0 F 3 a/a’=b/b’ F 0 F 3 det di (a b a’ b’)=0. In generale il modo più veloce per scrivere l’equazione di una retta r per un punto P (x0,y0) parallela ad una retta s:ax+by+c=0 è quello di scrivere r. a(x-x0)+b8y-y0)=0 F 0 F 3 r: m(x-x0)-l(y-y0). OSS: Po(x0,y0) € r n(a,b) perpendicolare a r allora P(x,y) € r F 0F 3 PoP perpendicolae a n F 0F 3 PoP prodotto scalare n=0 F 0 F 3 a(x-x0)+b(y-y0)=0 ANGOLO TRA DUE RETTE Siano r, r’ due rette (non parallele9 di parametri direttori (l,m) ed (l’,m’) allora: r ha la direzione del vettore v=(l,m) r’ ha la direzione del vettore v=(l’,m’). Si ha l’angolo tra v e v’ che è dato da cos(vv’)= v*v’/||v||*||v’||= ll’+mm’/ radice di l^2+m^2 * radice di l’^2+m’^2. Cos (rr’)=+ o - cos (vv’) F 0F 3 + o – ll’+mm’/ radice di l^2+m^2* radice di l’^2+m’^2. In particolare r perpendicolare a r’ F 0F 3 v perpendicolare a v’ F 0 F 3 ll’+mm’=0. Se r:ax+by+c=0 r’: a’x+b’y+c’=0 allora (l,m)=(-b,a) (l’,m’)=(-b’,a’) cos(rr’)=+ o – aa’+bb’/ radice di a^2+b^2* radice di a’^2+b’^2 r’ perpendicolare a r F 0F 3 aa’+bb’=0 DISTANZE NEL PIANO Def: Se P1, P2 € S2 si dice distanza tra P1 e P2 e si indica con d(P1,P2) il numero reale non negativo d(P1,P2)=||P1P2|| Def: Se P0(x0,y0) € S2 ed r è una retta la distanza tra P0 ed r indicata con d(P0,r) è la distanza tra i punti d(P, H) essendo H= r intersezione n dove n è la retta ortogonale ad r per P0. PROP: se P08x0,y0) € S2 ed r: ax+by+c=0 allora d ha la seguente identità d(P0,r)= | ax0+by0+c|/ radice di a^2+b^2. FASCIO DI RETTE PROPRIO DI CENTRO P0(x0,y0) € S2 Il fascio di rette proprio di centro P0 è l’insieme di tutte le rette del piano che passano per P0. Considerando le rette per P0 parallele agl assi r1:x-x0=0 r2:y-y0=0. L’equazione del fascio è F(P0)≠lambda(x-x0)+mi(y-y0)=0 con lambda, mu € R. Si può scrivere anche nella forma lambdax+miy-(lambdax0+miy0)=0 k=lambda/mi x-x0+k(y-y0)=0. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Si tratta di tutte le rette parallele ad una direzione assegnata v=(vx,vy). L’qu di questo fascio è vyx-vxy+k=0 K €R. PIANO NELLO SPAZIO Siano P0 € S3 u,v € V*3 non paralleli. Il piano u passante per P0 e parallelo ad u e v è il sottinsieme Pigreco: [P € S3 tale che PoP, u,v sono complanari]. Fissato un riferimento cartesiano R=(0,B) e posto P0(x0,y0,z0) u=(ux.uy,uz) v= (vx,vy,vz) si ha allora che che P(x,y,z) € pigrego F 0F 3 PoP, u, v sono lin dip F 0 F 3 det di x- x0 y-y0 z-z0 Ux uy uz =0. Vx vy vz Calcolando il determinante ed uguagliando a 0 si perviene ad un equazione del tipo ax+by+cz+d=0 con a,b,c,d € R^4-[0,0,0,0] che si dice eq cartesiana del piano. PROP: sia pigreco.ax+by+cz+d=0 un piano allora il vettore vpigrecp=(a,b,c) è perpendicolare al piano pigreco. PARALLELISMO TRA PIANI Due piani pigreco e pigreco’ sono paralleli se e solo se v(pigreco) // v(pigreco’). Pertanto se pigreco: ax+by+cz+d=0 e pigreco’: a’x+b’y+c’z+d’=0 allora pigreco // pigreco’ se e solo se v(pigreco), v(pigreco’) sono li ndip se e solo se rg(a b c a’b’c’)=1 se e solo se a/a’=b/b’=c/c’ INTERSEZIONE TRA PIANI Due piani pigreco e pigreco’ non paralleli si intersecano in una retta. Infatti se pigreco: ax+by+cz+d=0 e pigreco’: a’x+b’y+c’z+d’=0 allora pigrecxo non parallelo a pigreco’ se e solo se rg(a b c a’ b’ c’)=2 se e solo se (sistema tra ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0 ha infinito^1 soluzioni). Osservazione: Il sistema precedente dato dall’intersezione di piani non paralleli rappresenta l’espressione della retta nello spazio in forma di eq. Cartesiana. ANGOLO TRA DUE PIANI Assegnati due piani pigreco e pigreco’ l’angolo pigreco,pigreco’ è definito come l’angolo determinato dalle due direzioni v(pigreco) e v(pigreco’) quindi se pigreco: ax+by+cz+d=0 e pigreco’: a’x+b’y+c’z+d’=0 allora il cos(pigreco,pigreco’)= cos (vpigreco,vpigreco’)=+ o – aa’+bb’+cc’/ radice di (a^2+b^2+c^2) * radice di (a’^2 +b’^2+c’^2). Pigreco perpendicolare a pigreco’ se e solo se aa’+bb’+cc’=0 RETTA NELLO SPAZIO Se Po € S3 e v € V3* la retta per Po con direzione v è il sottinsieme r: [P € S3 | PoP // v]. Pertanto fissato un riferimento cartesiano R=(0,B) in s3 e posto Po(xo,yo,zo) e v (vx,vy,vz) allora per ogni P(x,y,z) € S3 si ha che P € r se e solo se PoP=t*v se e solo se x-xo/vx=y-yo/vy=z-zo/vz. Osservazione: Le eq cartesiane cioè la retta come intersezione di piani non paralleli si possono ottenere dalle eq parametriche eliminando il parametro, oppure dai rapporti uguali considerando due qualsiasi delle uguaglianze e mettendole a sistema. Parametri direttori della retta: Sia r € S3 una retta. Si dicono parametri direttori di r le componenti (l,m,n) di un qualsiasi vettore v// alla retta che dicesi anche un vettore di direzione della retta e si indica con vr. Prop: Sia r C S3 una retta di eq cartesiana: r: sistema tra ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y +c’z+d’=0 posto A=(a b c a’ b’c’) i parametri direttori (l,m,n) sono proporzionali alla terna (M1, -M2, M3) dove Mj è il minore del secondo ordine che si estrae da A sopprimendo la j-esima colonna per j=1,2,3 PARALLELISMO E ORTOGONALITA’ TRA RETTA E PIANO Assegnata una retta di parametri direttori (l,m,n) ed un piano pigreco: ax+by+cz+d=0 si ha che r// pigreco se e solo se vr perpendicolare a v(pigreco) se e solo se al+bm +cn=0 mentre r perpendicolare a pigreco se e solo se vr// v(pigreco) se e solo se a/ l=b/m=c/n. DISTANZE NELLO SPAZIO 1) punto-punto = radice di ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)