Gli esponenziali (proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali), Sintesi del corso di Matematica

Scarica Gli esponenziali (proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali) e più Sintesi del corso in PDF di Matematica solo su Docsity! GLI ESPONENZIALI Un esponenziale è della forma: axDove a si chiama “base” e x si chiama “esponente”.Vediamo quando l’esponenziale è ben definito:  Se l’esponente è intero, allora:Se x>0 ∀ a Es : (−2 )3=−8Se x=0 ∀ a∈ R¿0}¿ Es :(4)0=1 ,00 è una forma indeterminataSe x<0 ∀ a∈ R¿0}¿ Es :(−3)−1=−1 3  Se l’esponente è razionale (frazionario):Se x>0 a≥0 Es :9 1 2=√9=3Se x=0 ∀ a∈ R ¿0}¿ Es :30=1, 00 è una forma indeterminataSe x<0 a>0 Es :5 −3 4 = 1 4√53 OSSERVAZIONE: Osserviamo quindi che la base di un esponenziale non può essere mai negativa, altrimenti giungeremmo ad assurdi, ad esempio: −9=(−3 )2={[ (−3 )2 ] 1 2 } 2 ={[ (−3 )2 ]2} 1 2 =√(−3 )4=√34=32=9 Ma −9≠9 ! Ovviamente l’esponente, oltre ad essere intero o razionale, può essere più in generalereale. In tal caso:  Se a>1, la potenza ax è definita come quell’unico numero reale che è maggiore di tutte le potenze di a con esponenziali razionali che approssimano x per difetto, e minore di tutte le potenze di a con esponente razionale che approssimano x per eccesso;  Se 0<a<1, la potenza ax è definita come quell’unico numero reale che è maggiore di tutte le potenze di a con esponenziali razionali che approssimano xper eccesso, e minore di tutte le potenze di a con esponente razionale che approssimano x per difetto (in quanto se la base è razionale, all’aumentare di xla potenza diminuisce).PROPRIETA’ DELLE POTENZE: PROPRIETA’ DELLE POTENZE: Prodotto di potenze con la stessa base: è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti Esempio: 23 ∙24=23+4=27 Quoziente di potenze con la stessa base: è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti Esempio: 2 5 23 =25−3=22 Potenza di una potenza: è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti Esempio: (23)7=23 ∙7=221 Prodotto di potenze con basi diverse ed esponente uguale: è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Esempio: 23 ∙53=(2 ∙5)3=103 Quoziente di potenze co basi diverse e stesso esponente: è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente Esempio: 1 :23=1 3 23 =( 1 2 ) 3 POTENZE CON 0 E 1 (considero a e n interi, cioè possono essere sia positivi che negativi): a0=1 00=indeterminata 0n=0 a1=a 1n=1 FUNZIONE ESPONENZIALE: Una funzione esponenziale è una funzione del tipo y=ax con a∈ R+¿¿ OSSERVAZIONE:  Se a=1, la funzione esponenziale corrispondente è in realtà la funzione costante y=1 (in quanto ricordiamo che 1x=1∀ x).  Se a≠1, distinguiamo i casi a>1 e 0<a<1. Vediamo i due grafici: