I Vettori Applicati - Appunti di Fisica I, Appunti di Fisica

Scarica I Vettori Applicati - Appunti di Fisica I e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! Fisica Generale A 4. Vettori Applicati http://campus.cib.unibo.it/2424/ Domenico Gall VIESTE INVITO OTOT ONE Iter September 23, 2010 | Vettori Applicati Vettore applicato è l'insieme di un vettore F e di un punto P detto punto di applicazione: (FP), FeV,PeR} Prototipo: forza. La retta che ha la stessa direzione di F e che passa per P si dice retta di applicazione o retta d'azione. Spesso si rappresenta un vettore applicato con un segmento orientato avente, come origine, il punto di applicazione. RIOT ES EN VS TESEToTooI ne Momento (Polare) di un Vettore Applicato Si definisce momento polare (o semplicemente momento) del vettore F applicato in P, rispetto a un punto fisso O (detto centro di riduzione) il prodotto vettoriale: dm entra nel O È, RITENNE INTRA ONTO , Momento (Polare) di un Vettore Applicato 3 (I) o) (E), di =(P-9)oF Il momento polare si annulla se il centro di riduzione 0_sta sulla retta di applicazione v (perché se Oewallora P-O|| F): Oeu > 4%n =0 RIOT VET INVII TNSEtOtO Momento (Polare) di un Vettore Applicato (III) Ho (E), 4? (P-9)aF Se O eu, allora de: è perpendicolare al piano individuato dal centro di riduzio! "% dalla retta d'azione, inoltre risulta: |42,] VA dove 5 etto braccio) è la distanza tra il centro di riduzione O e laretta di applicazione u: b -| -|p-q] sinx] -|p-q ing] Aa =|P_o||F]ino=6|A| = Afp enre nel foglio ® — o E ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ a I Momento (Polare) di un Vettore Applicato (Il) * In generale A n} dipende dalla scelta di O. * Tuttavia, 4 (o non cambia spostando O parallelamente alla retta di ‘Applicazione. Infatti, se O' è un altro centro di riduzione tale che 0-0’||F, si ha: Lin (rose de o)aF- PA] ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ RT I Momento Assiale di un Vettore Applicato Si dice momento assiale del vettore F applicato inP rispetto all'asse «, la componente su u, 1a) ol del momento polare di F rispetto a un qualunque puntò ‘O appartenente all'asse u: « NB. - Il momento polare è un vettore; - Il momento assiale è uno scalare. ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ a I Momento Assiale di un Vettore Applicato (II) La scelta del punto O sull'asse u non ha influenza. Scegliendo infatti due punti O e 0', entrambi sull'asse u, si ha: ARM e (70) Pa (2-0) Fi -[(2-9) On F- (P- (P-0)A F|a- (2-0 -(P- 2-0)|a Peù= (0-0 DI Fù= =0 (perché 0- 0-0 |) WSSTo Te RT E Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di A Vettori Paralleli ed Equiversi Un insieme di n vettori applicati, (RA) tutti tra loro paralleli ed equiversi, si può ridurre a un unico vettore applicato (F.C) applicato nel punto C (detto centro dei vettori paralleli), definito dalla relazione: __ Zzl(e-0) c-o0=t—__ 0° ZH È dove O è un centro di riduzione fissato ad arbitrio! F, Se O è anche l'origine di una terna cartesiana, si ha: IR Zirlb, = Lal |9-(090) xet_—_ psto_—_, ss t_ B=(x,75,) x Zkl EI XII |c-G02) |, Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di Vettori Paralleli ed Equiversi (II) * Infatti, detto # il versore avente la stessa direzione e lo stesso verso dei vettori dati, si ha, dato il parallelismo: f-|Ele _ E sufficiente scegliere, come vettore F, la somma vettoriale: no Lou 2 2 Zi °° FL É(1-(£17)a n il La risultante # è, ovviamente, la stessa: Arg 5F3ZFE = 10)110) Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di Vettori Paralleli ed Equiversi (III) * Inoltre, fissato un centro di riduzione O arbitrario, anche il momento polare risultante Jil? è lo stesso: \(r-0) «(gr Ì _ AO “(e -0)hF = ll ii Dunque (AAA , in quanto i due insiemi hanno la stessa risultante e lo stesso momento risultante. Î Trasformazioni di Equivalenza per la Riduzione * Come si può modificare un insieme di vettori senza alterare risultante e momento risultante? - Spostando il punto di applicazione P; di un vettore lungo la retta d'azione u,, @ e A non cambiano (regola 2 della statica). DITTE LETT, i Aggiungendo o sopprimendo due vettori applicati, uguali in modulo e direzione, di verso opposto e aventi la stessa retta d'azione, Re Alnon cambiano. - Sostituendo a2 o più vettori applicati al medesimo punto la loro risultante applicata allo stesso punto, # e 4° non cambiano I (regola 1 della statica). DB DD Coppia di Vettori Si dice coppia di vettori l'insieme di 2 vettori applicati, opposti tra loro, con 2 diverse rette d'azione. dA (OLA 2 oB | F|sino|= Fb La risultante è nulla e il momento risultante, rispetto a qualunque centro di riduzione O, ha modulo FD e direzione perpendicolare al piano della coppia. î 70) 4 # entra 0 nel foglio ® Coppie di Vettori Equivalenti Una coppia di vettori è un particolare insieme di vettori: - Due coppie di vettori sono equivalenti se hanno lastessa risultante 4 e lo stesso momento risultante 4! Una coppia di vettori ha sempre risultante nulla (#=0): - Due coppie di vettori sgno equivalenti se hanno lo stesso momento risultante °° Composizione delle Coppie di Vettori Un insieme di più coppie di vettori è sempre equivalente a un'unica coppia di vettori (composizione delle coppie). - Basta infatti sommare vettorialmente i momenti e prendere una coppia di momento uguale al momento risultante. Graficamente, per coppie che stanno sullo stesso piano è evidente: - Si sostituiscono le coppie con coppie equivalenti aventi lo stesso braccio b e i vettori paralleli tra loro; - Si sommano i vettori; - Si ottiene la coppia risultante. Per coppie di vettori che stanno su piani diversi continua a valere la legge di composizione delle coppie. - Si sostituiscono le coppie con coppie equivalenti aventi lo stesso braccio b e i punti di applicazione giacenti sulla retta di intersezione dei piani r=II, NIL, - Si fanno coincidere (sulla retta r) i punti di applicazione dei vettori delle due coppie: - Si sommano i vettori; - Si ottiene la coppia risultante. Fisica Generale A 4. Vettori Applicati http://campus.cib.unibo.it/2424/ Domenico Gall VIESTE INVITO OTOT ONE Iter September 23, 2010 | Vettori Applicati Vettore applicato è l'insieme di un vettore F e di un punto P detto punto di applicazione: (FP), FeV,PeR} Prototipo: forza. La retta che ha la stessa direzione di F e che passa per P si dice retta di applicazione o retta d'azione. Spesso si rappresenta un vettore applicato con un segmento orientato avente, come origine, il punto di applicazione. RIOT ES EN VS TESEToTooI ne Momento (Polare) di un Vettore Applicato Si definisce momento polare (o semplicemente momento) del vettore F applicato in P, rispetto a un punto fisso O (detto centro di riduzione) il prodotto vettoriale: dm entra nel O È, RITENNE INTRA ONTO , Momento (Polare) di un Vettore Applicato 3 (I) o) (E), di =(P-9)oF Il momento polare si annulla se il centro di riduzione 0_sta sulla retta di applicazione v (perché se Oewallora P-O|| F): Oeu > 4%n =0 RIOT VET INVII TNSEtOtO Momento (Polare) di un Vettore Applicato (III) Ho (E), 4? (P-9)aF Se O eu, allora de: è perpendicolare al piano individuato dal centro di riduzio! "% dalla retta d'azione, inoltre risulta: |42,] VA dove 5 etto braccio) è la distanza tra il centro di riduzione O e laretta di applicazione u: b -| -|p-q] sinx] -|p-q ing] Aa =|P_o||F]ino=6|A| = Afp enre nel foglio ® — o E ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ a I Momento (Polare) di un Vettore Applicato (Il) * In generale A n} dipende dalla scelta di O. * Tuttavia, 4 (o non cambia spostando O parallelamente alla retta di ‘Applicazione. Infatti, se O' è un altro centro di riduzione tale che 0-0’||F, si ha: Lin (rose de o)aF- PA] ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ RT I Momento Assiale di un Vettore Applicato Si dice momento assiale del vettore F applicato inP rispetto all'asse «, la componente su u, 1a) ol del momento polare di F rispetto a un qualunque puntò ‘O appartenente all'asse u: « NB. - Il momento polare è un vettore; - Il momento assiale è uno scalare. ALMA MATER STUDIORUM “ UNIVERSITÀ DI BOLOGNA - POLO SCIENTIFICO” DIDATTICO DI FORLÌ a I Momento Assiale di un Vettore Applicato (II) La scelta del punto O sull'asse u non ha influenza. Scegliendo infatti due punti O e 0', entrambi sull'asse u, si ha: ARM e (70) Pa (2-0) Fi -[(2-9) On F- (P- (P-0)A F|a- (2-0 -(P- 2-0)|a Peù= (0-0 DI Fù= =0 (perché 0- 0-0 |) WSSTo Te RT E Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di A Vettori Paralleli ed Equiversi Un insieme di n vettori applicati, (RA) tutti tra loro paralleli ed equiversi, si può ridurre a un unico vettore applicato (F.C) applicato nel punto C (detto centro dei vettori paralleli), definito dalla relazione: __ Zzl(e-0) c-o0=t—__ 0° ZH È dove O è un centro di riduzione fissato ad arbitrio! F, Se O è anche l'origine di una terna cartesiana, si ha: IR Zirlb, = Lal |9-(090) xet_—_ psto_—_, ss t_ B=(x,75,) x Zkl EI XII |c-G02) |, Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di Vettori Paralleli ed Equiversi (II) * Infatti, detto # il versore avente la stessa direzione e lo stesso verso dei vettori dati, si ha, dato il parallelismo: f-|Ele _ E sufficiente scegliere, come vettore F, la somma vettoriale: no Lou 2 2 Zi °° FL É(1-(£17)a n il La risultante # è, ovviamente, la stessa: Arg 5F3ZFE = 10)110) Casi Particolari. Riduzione di un Insieme di Vettori Paralleli ed Equiversi (III) * Inoltre, fissato un centro di riduzione O arbitrario, anche il momento polare risultante Jil? è lo stesso: \(r-0) «(gr Ì _ AO “(e -0)hF = ll ii Dunque (AAA , in quanto i due insiemi hanno la stessa risultante e lo stesso momento risultante. Î Trasformazioni di Equivalenza per la Riduzione * Come si può modificare un insieme di vettori senza alterare risultante e momento risultante? - Spostando il punto di applicazione P; di un vettore lungo la retta d'azione u,, @ e A non cambiano (regola 2 della statica). DITTE LETT, i Aggiungendo o sopprimendo due vettori applicati, uguali in modulo e direzione, di verso opposto e aventi la stessa retta d'azione, Re Alnon cambiano. - Sostituendo a2 o più vettori applicati al medesimo punto la loro risultante applicata allo stesso punto, # e 4° non cambiano I (regola 1 della statica). DB DD Coppia di Vettori Si dice coppia di vettori l'insieme di 2 vettori applicati, opposti tra loro, con 2 diverse rette d'azione. dA (OLA 2 oB | F|sino|= Fb La risultante è nulla e il momento risultante, rispetto a qualunque centro di riduzione O, ha modulo FD e direzione perpendicolare al piano della coppia. î 70) 4 # entra 0 nel foglio ® Coppie di Vettori Equivalenti Una coppia di vettori è un particolare insieme di vettori: - Due coppie di vettori sono equivalenti se hanno lastessa risultante 4 e lo stesso momento risultante 4! Una coppia di vettori ha sempre risultante nulla (#=0): - Due coppie di vettori sgno equivalenti se hanno lo stesso momento risultante °° Composizione delle Coppie di Vettori Un insieme di più coppie di vettori è sempre equivalente a un'unica coppia di vettori (composizione delle coppie). - Basta infatti sommare vettorialmente i momenti e prendere una coppia di momento uguale al momento risultante. Graficamente, per coppie che stanno sullo stesso piano è evidente: - Si sostituiscono le coppie con coppie equivalenti aventi lo stesso braccio b e i vettori paralleli tra loro; - Si sommano i vettori; - Si ottiene la coppia risultante. Per coppie di vettori che stanno su piani diversi continua a valere la legge di composizione delle coppie. - Si sostituiscono le coppie con coppie equivalenti aventi lo stesso braccio b e i punti di applicazione giacenti sulla retta di intersezione dei piani r=II, NIL, - Si fanno coincidere (sulla retta r) i punti di applicazione dei vettori delle due coppie: - Si sommano i vettori; - Si ottiene la coppia risultante. Traslazione di Vettori Applicati * Un vettore F applicato in un punto P è equivalente allo stesso vettore applicato in un punto arbitrario Q più una coppia di momento ./ = (P - 0) nF. Riduzione di un Generico Insieme di Vettori Un generico insieme di vettori applicati si può sempre ridurre a un sistema costituito da un vettore e una coppia. - Scelto un punto O, si trasportano tutti i vettori in O aggiungendo le necessarie coppie. - Si compongono i vettori nella risultante # applicata in O; - Si compongono le coppie in un'unica coppia. In particolare: - Se un insieme di vettori ha risultante nulla, esso si può ridurre a un'unica coppia. - Se un insieme di vettori ha momento risultante nullo rispetto a un punto O fissato, esso si può ridurre a ununico vettore applicato ino. Riduzione di un Generico Insieme di Vettori: Esempio Si sposta f da Ra O= Pesi Sisposta È da Ba0=Pesi Sispostaf, da a0=Pesi aggiunge la necessaria coppia; aggiunge la necessaria coppia; aggiunge la necessaria coppia; R+h+ Si compongono i vettori in0 Si compongono le coppie in un unico vettore in 0; in un'unica coppia. ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA SEDE DI FORLÌ http://campus.cib.unibo.it/2424/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica | VIESTE INVITO OTOT ONE Iter