I Vettori - Appunti di Fisica I, Appunti di Fisica

Scarica I Vettori - Appunti di Fisica I e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! ca Generale A 1. Vettori http://campus.cib.unibo.it/2421/ Go September 19, 2012 Alfabeto Greco PIV) x tor] TO Start] DIS z ppa rvunik] RINO ir lols tI CO 5 mu epsilon zeta GE psi theta omega N : Vettori . Un vettore è una entità matematica astratta: - Utilizzata per rappresentare entità fisiche concettualmente molto diverse tra loro, quali: * Spostamento rettilineo diun punto; + Velocità, * Accelerazione; * Quantità di moto; * Momento della quantità di moto; * Forza; * Momento di una forza; * Campo elettrico; * Campo magnetico; * Momento di * Momento * Densità di corrente. , Vettori in Matematica . In matematica un vettore è un elemento di una particolare struttura algebrica, denominata Spazio Vettoriale. Struttura algebrica: insieme S (chiamato insieme sostegno) munito di una o più leggi di composizione (operazioni), le quali: - Possono essere, unarie, binarie, ecc. - Sono caratterizzate dall'avere proprietà quali commutatività e associatività, ecc. Le entità matematiche sono spesso astrazioni di entità concrete utilizzate nelle scienze sperimentali (fisica, biologia, economia, ecc.): - I vettori sono astrazioni di entità concrete utilizzate soprattutto nella fisica (spostamento rettilineo di un punto, forza, ecc.). È DE 5 CS G G ASSI Grandezze Fisiche *. Grandezze scalari: completamente specificate assegnando un valore numerico e una unità di misura. - Esempi: lunghezza, tempo, superficie, volume, massa, densità, temperatura, carica elettrica, densità di carica, potenziale, lavoro, energia, flusso, intensità di corrente, resistenza, resistività, capacità, induttanza, impedenza, ecc. * Grandezze vettoriali: completamente specificate assegnando un valore numerico (detto norma o modulo), una direzione, un verso e una unità di misura. - Esempi: spostamento rettilineo di un punto, velocità, accelerazione, quantità di moto, momento della quantità di moto, forza, momento i una forza, campo elettrico, campo magnetico momento di dipolo elettrico, momento di dipolo magnetico, densità di corrente, ecc. * Grandezze tensoriali: la loro specificazione è ancora più complicata - Esempi: rotazione, tensore di inerzia, tensore degli sforzi, tensore energia-impulso del campo elettromagnetico, tensore di curvatura, ecc. ALMA MATER STUDIORU Vettori in Fisica * In fisica si distinguono 2 diversi tipi di vettore: - Vettori ordinari: * Non è definito un particolare punto si applicazione. * Esempio: spostamento rettilineo di un punto. - Vettori applicati: * Insieme di un vettore ordinario e di un punto di applicazione. * Esempio: forza. * In fisica si classificano i vettori in 2 categorie a seconda del loro comportamento per riflessione speculare: - Vettori polari: * Cambiano verso i vettori perpendicolari allo specchio. * Esempio: spostamento rettilineo di un punto, forza, campo elettrico. - Vettori assiali (o pseudo-vettori): * Cambiano verso i vettori paralleli allo specchio. * Esempio: campo magnetico, momento di una forza, momento della quantità di moto. vettori polari vettori assiali Nota Bene * Anche al fine di evitare errori negli esercizi è bene fare attenzione a non confondere: - Il vettore: * Non è uno scalare, dunque non si può considerare né “positivo” né “negativo”; - La norma del vettore: - È uno scalare sempre positivo; - Una componente di un vettore: * E uno scalare che può essere positivo 0 negativo. v=|]=3 ; x ————_____%__—_—_—_—_——__—»-» Vi =—V=-3 ha Somma di Vettori - Prototipo: spostamento rettilineo di un punto. *. Se considero due spostamenti successivi dello stesso punto: prima da A a B, poi da Ba C. * Il risultato (somma dei due vettori) è lo spostamento da A a C (regola del triangolo): c — — C-A=C-B+B-A Ovvero, indicando: COCO ETSS NOTV SO e TONI] e Bo ara Regola del Parallelogrammo * La somma 4+5=C-A è la diagonale del parallelogrammo ABCD, avente per lati i segmenti orientati B- Ae D-A. RICATTO NON VISISSTOROvenO SINIS IIS) Teresa Vettori Si CRATERE SVI SO e TION] mene EA hat Rotazioni * Una traslazione è rappresentata da un vettore. * Una rotazione è essa pure rappresentata da un vettore? (vedremo che la risposta è NO). * Tuttavia, a prima vista potremmo pensare di rappresentare una rotazione mediante: - Una direzione (asse di rotazione); - Un numero (angolo di rotazione); - Un verso (a seconda che la rotazione avvenga in senso orario o antiorario). *. Verifichiamo se le rotazioni godono della proprietà commutativa: *Ilrisultato è diverso se si scambia l'ordine delle rotazioni. 90° Non vale la proprietà commutativa Le rotazioni non sono rappresentate da vettori (sono rappresentate da tensori). * E l'operazione inversa della somma. * Dati due vettori 4 e È si chiama differenza fra è e 5 e si indica con a-b quel vettore che sommato a 5 dà come risultato a. _ d=A4-0 4 a-b b=B-0 o — 5 a-b=A-B CRATERE SVI SO e TION] e Disuguaglianza Triangolare * La norma della somma (o della differenza) di due vettori è in generale diverso dalla somma (o dalla differenza) delle norme. * Per la disuguaglianza triangolare si ha: b ce ha Nota Bene * Somma di vettori paralleli o antiparalleli. * Anche al fine di evitare errori negli esercizi è bene fare attenzione a non confondere: Lu > - Il vettore: ‘ d b > x, - La norma del < vettore; c xq - Una componente Ax, = —@ del vettore. ba = d c=G+b Cr = dg +ba <0 c=a-b>0 CRATERE SVI SO e TION] e Pe * Prodotto di un vettore per uno scalare: ack c=uadeV aeV * Prodotto scalare tra due vettori: a er” e=d-beR beV * Prodotto vettoriale tra due vettori: Vl glanber beV R = insieme deinumerireali V = spazio vettoriale CICATTRTSO VETO ViStVOrotinE Prodotto di un Vettore per uno Scalare * Si può definire il prodotto di un numero naturale n per un vettore d come una somma ripetuta a+0+4 d=nò _ 3d ata+a+..+a=pna Da nvolte af * Generalizzando, si definisce prodotto di un numero reale a e un vettore d e si indica con il simbolo ad il vettore che ha per norma il prodotto lola]. per direzione la stessa direzione di &, e, per verso, lo stesso verso di 4 se a > 0, il verso contrario se a < 0. aeR 2 R= insieme deinumeriredli 2 aaeV aeV V = spazio vettoriale SINIS IIS) OTO Vettori CRATERE SVI SO e TION] mene ER ), Prodotto Vettoriale fra due Vettori (11) * Il prodotto vettoriale gode delle proprietà anticommutativa e distributiva rispetto alla somma e alla differenza di vettori. (ma) nb=an mb =m(axb) a, b,é eV aa VRTETTSS NES VISI SOotnen Doppio Prodotto Misto - È dato da: anbé - È uguale, a meno del segno, al volume del parallelepipedo avente per lati 4, be è. *. Tale parallelepipedo ha per base e altezza: BO ly _farspuen(and).e |a nblverst a 06] h= é «vers(é nb) anb Doppio Prodotto Misto (II) * Il doppio prodotto misto ha le seguenti proprietà: * La prima segue dal fatto che nei 3 casi il volume è il medesimo. * La seconda si ottiene utilizzando la prima e la proprietà commutativa del prodotto scalare: (anb)-a=(bae)-a= (bad) *. Teorema di Carnot o dei coseni: b=a-a>b=(c-a)=(1-a)(c-a)=e+d 2006 b=c° +a’ -— 2accosB * Teorema dei seni: c = LI_-.L ; . a anb=énb = absiny=cbsina > —=— sino siny * Teorema delle proiezioni: a+b=c >(arb)-=cid > aed+biiziei 5 accosB+becosa=c° > acos+bcosoa=c CINTT ETNO TN VISI VOMOtoenoE sa CINTT ETNO TN VISI VOMOtoenoE RI IrONI sa e PI Definizione di Spazio Vettoriale Matematicamente si definisce Spazio Vettoriale una Struttura Algebrica, basata su un Insieme Sostegno V (i cui elementi sono detti vettori) dotata di 2 Operatori Binari (somma tra vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare) che soddisfano i seguenti 8 assiomi: a+(b+e)=(a+5)+e vabeer a+b=b+a vabeV J0eVv; a+0=a4 VaeVv VieV 3(-a)eV: a+(-a)=0 a(d+5 (x+B)a= + fi Va,peR, vaeV o(Bi)=(aB)î va,BeR, VaeV HeR 4-4 =ci+0b VaeR vabeV Definizione di Spazio Euclideo Matematicamente si definisce Spazio Euclideo uno Spazio Vettoriale in cui è definita una legge di composizione detta prodotto interno o prodotto scalare: (aber xr]}_èbeQ che soddisfa i seguenti 4 assiomi: ab=bd Terna cartesiana ortogonale: 3 rette orientate (o assi) 2, ye 2, a due a due perpendicolari, aventi un punto in comune O detto origine. Versori cartesiani: versori corrispondenti agli assi x, y e 2, indicati con î, j e k. (Le) componenti cartesiane e (i) componenti cartesiani: le componenti e i componenti di un vettore sugli assi cartesiani. z z terna destrorsa (preferita) terna sinistrorsa (sconsigliata) *. Una volta scelta (ad arbitrio) una terna cartesiana ortogonale, qualunque vettore è si può scrivere come la somma dei suoi 3 componenti cartesiani: CT ETNO VISI SNO vero e Rappresentazione Cartesiana di Vettori (III) Dato un vettore ben definito, esso ha una differente espressione cartesiana per ogni differente terna cartesiana che si considera Nell'esempio in figura consideriamo la forza peso di un oggetto di peso pari a 2 Newton. Usando la terna cartesiana ortogonale î, j, &, con i primi due assi sul piano orizzontale e il terzo asse verticale, si ha: D=-2Nk Usando invece la terna cartesiana 7, 3°, k/. coni primi due assi sul piano perpendicolare all'asse terrestre e il terzo asse lungo l'asse terrestre, si ha: 5=-N?-NE COCO ETSS NOTV SO e TONI] sa si Rappresentazione Cartesiana di Vettori (IV) Tuttavia, fissata una terna cartesiana ortogonale, vi è una corrispondenza biunivoca tra vettori e terne ordinate di numeri reali (le componenti cartesiane): Nell'esempio in figura, fissata la terna cartesiana ortogonale î, }, X, si ha: peo (0,0,-2N) Fissata invece la terna cartesiana 1, j, k,siha: Deo (2x0) CRATERE SVI SO e TION] e mA Rappresentazione Cartesiana di Vettori (V) Per non sbagliare, quando rappresentiamo un vettore in coordinate cartesiane, invece delle notazioni: (0,0,-2N) (de N02 v) utilizziamo sempre la notazione: D=-2ÈN (Qr-Lé)N che ci ricorda sempre quale base stiamo utilizzando. (base î,Ì. È) (base Ù, I, #) COCO ETSS NOTV SO e TONI] TRA SE Rappresentazione Cartesiana di Vettori (VI) * Fissata una terna cartesiana ortogonale: - Due vettori sono uguali se e soltanto se sono uguali le 3 corrispondenti componenti cartesiane. - Un vettore è nullo se e soltanto se sono nulle tutte e 3 le componenti cartesiane. * Le operazioni tra vettori possono essere eseguite, oltre che nella forma intrinseca che abbiamo visto finora, anche nella forma cartesiana, utilizzando cioè le espressioni cartesiane dei vettori. CRATERE SVI SO e TION] e Derivata di un Segmento Orientato * La derivata di un segmento orientato B- 4=B(1)- A(:) è uguale alla differenza delle derivate dei suoi punti estremi: segmento orientato segmento crlentato "itempo rear "irenpor di). Tara a G(8-4)= ima B(1+A)-A((+ 40)- B(1)-A(0) |> B(i+At)-A(t+At)-B(1)-A(1) Vettore Posizionale * Un caso interessante si ha quando si considera un segmento orientato P(1)--0 con un estremo fisso O (detto vettore posizionale 0 raggio vettore): * La derivata di un punto è uguale alla derivata del suo vettore posizionale. * Le derivate dei vettori possono essere effettuate mediante le espressioni cartesiane: di du, dv, dv. = î+ Î+ di di di di COCATE TSE TNETNVISE STONE Ver e N e Data una funzione scalare: ile R}-{>f(1)eR si definisce integrale indefinito 0 (meglio) funzione primitiva della funzione fla funzione F tale che fsia la derivata di F: dF F=fid © ST Analogamente, data una funzione vettoriale: i[eR]}-s(M)er si definisce integrale indefinito 0 (meglio) funzione primitiva della funzione è la funzione w tale che è sia la derivata di w: d= s(A)de 5 i=_ COCATE TSE TNOTN VS PON ven en eo Dari Funzione Primitiva o Integrale Indefinito (11) La funzione primitiva (o integrale indefinito) si può calcolare mediante le espressioni cartesiane: B(1)= 0, ()î+0,(6)3+0.(1)6 So, (1) ae+sfo, (1) de+-È fo, (1) de Ja(o) ae= FITTETTISANI Derivate Parziali Data una funzione scalare di più variabili f(x, y, 2), si definiscono Derivate Parziali i limiti (se esistono): a(603) x I (sa) = tim Ste) dw su w 9 . F(x,y,5+A2)- f(x,y,2 Esempio: Lk,9,3) = im EPS U(302)= » sinz La, 2) = y?sinz Ln. 2) = 2aysinz Urso) CITES NOS VISIT EVONOt Esempio: = Supponiamo di avere una funzione di 2 variabili e che una delle due variabili sia, a sua volta, funzione dell'altra: S(39)= 09? y=2x - Le derivate parziali rispetto a una variabile sono effettuate considerando le altre variabili come se fossero costanti: Yor, Lory Ci - La derivata totale rispetto ax si effettua considerando la dipendenza funzionale diydax: St Y_renaL #5 Derivata Parziale e Derivata Totale (II) - Si osservi che in questo esempio: {fa =? y=x vale la relazione: Infatti: L.ro, 2° +(2x°v)2= 20 + dat = 2x(20) + 40° (20)= 80 + 80° 160° VISITS Il Simbolo Nabla * Il simbolo “nabla”, che si indica con il simbolo V, è un operatore differenziale vettoriale formale che in una terna cartesiana ortogonale 7, j, f si rappresenta simbolicamente come: * L'applicazione del simbolo "nabla" a campi scalari e vettoriali produce gli operatori "gradiente", "divergenza" e “rotore”. Vv gradiente Vi divergenza Vad rotore È , Operatore Gradiente * Consideriamo una funzione scalare della posizione P: S= F(P)= f(x.y.2) * Si definisce foperatore “gradiente” come: =. (.d8 .3 XL, 5 df Ve=li+3S4k = Li y (3 Un pit la a * L'operatore gradiente si applica a una funzione scalare; il risultato è un vettore: Di R'){ /(P)eR Esempio: o = S(spa)= +++ av eR 3 Vf P(eR')W(2)er (Varz)= Arta) r)pe ate z L’Operatore Divergenza 3 3 (3 Vaît4jtoht dx “od de * Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P: d= s(P) = 8(x,7,2) =v, (x,9,5)î+ Ù, (x.0,5)î+ Ù, (x.7,2)E * Si definisce l'operatore "divergenza" come: d d Vega (i Tapi sod+o, j+-0,k) * L'operatore divergenza si applica a una funzione vettoriale; il risultato è uno scalare: LE R)_a(2)er Esempio: F(x,y,z)=(x° +9? +(x°+22)j+z eV PR) (VA Te] L'Operatore Rotore * Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P d= s(P) = d(x,y = Ù, (x.7,5)î+ Ù, (x.7.2)î+ v,(x,9,2)f * Si definisce l'operatore “rotore” come: A (i+ v,Ì+ ch) Integrale Doppio di una Funzione Scalare (II) Il calcolo di un integrale doppio si riduce al calcolo di due integrali semplici; y Se l'insieme Se R? è un rettangolo [ab]x[c,d], d il calcolo è semplice: S bd c I= JI S(x.9) dx dy= Saxff(x.9)dy [ab){[c.a] a © - ie Se l'insieme Se R° è un cerchio di centro O e raggio r il calcolo è un po' più complicato: I= SJ S(x.9) dr dy= Jar | s(o)d slo») LS COCOTE TOTO TSI St SO e SIONI] sa si Integrale Doppio di una Funzione Vettoriale Sia data una funzione vettoriale © definita nell'insieme Se R?; Suddividiamo l'insieme S in un certo numero n di rettangolini di area infinitesima Ax Ay, prendiamo entro di essi i punti: P(5:0) 2. (194). 2.(%,9,) e consideriamo la somma vettoriale: Lî(x.v)Av4y Nel limite in cui gli intervallini diventano infinitesimi, la somma diventa l'integrale doppio: > ERE Vi(x.y)avay > i- S{E(x.3) de dy «je [2 129 o 0 bs 18 ['Aealoo Lpg]A* COCATTETS NOTV SO e TONI] e Em Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare Sia data una funzione scalare f definita nell'insieme VeR3; Suddividiamo l'insieme V in un certo numero n di cubetti (più precisamente di parallelepipedi) di volume infinitesimo AV= Ax Ay Az, prendiamo entro di essi i punti: B(x,91:2) R(0004:23). 2.(5,:75,) e consideriamo la somma: S f(x,.9,,5,)AvAyAc de v 4 Voti y 4y Nel limite in cui i cubetti diventano infinitesimi, la somma diventa l'integrale triplo (o integrale di volume): Dione )arava: 9° I= f[[f(x,3,2) dr = [[{{(x,9,2) dx dy dz COCOTE TOTO TSI St SO e SIONI] RE Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (II) Esempio 1: consideriamo il volume: V= {(x.»33) eR'xe [0,a].v e[0,5];: e[0,.c]} la funzione: S(3,3,2)=1 e l'integrale: I= [{[{(x.x2) d=[[ dr = [ffax dy dz Si ha: 1=[ffar= | [ico di= A [effe] cpalolefafole v n° "_° | CORTESE SVI St VOTO SeoonE Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (III) Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (IV) Sviluppando i calcoli, si ha: I= {or fosfato fata = fufe dy= fo [©] T-Î dx = O o o [cbx] = cha= abc Esempio 2: consideriamo sempre il volume: V= {(x.»33) eR'xe [0.a].y e[0,b].: e[0,.c]} ma, questa volta, la funzione: S(x,9,2)= 0? e l'integrale: I= [{[5(x.3.2) dV= [for dV= (ff? da dy dz Si ha: eri © ra o o o RITENETE SOTTOt 1= [far [pelo dx= | dx [elle] folofoe RICRTETSO NES VISI SONO [E Funzione Scalare (VI) iS " Sviluppando i calcoli, si ha: I= [o dr= fafofo: dz= fasfoxto z]= “falodo= fot) lo © o [28.1 LD, _ abc 23 A 23° 6 Esempio 3: consideriamo il volume: V= {oa eR';xe [0,a].y e [0,b}s e | 2]| la funzione: sl e l'integrale: 1= [SS(00.2) v=f[ = [fax dy dz Si ha: Ta a (53) to), 109 I= [far = { dz|ay [dx= so f de=faxfay f dz 7 o ° ° o o o o o RITENETE SOTTOt RITENETE SOTTOt Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (VII) Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (VIII) Sviluppando i calcoli, si ha: a La i 1-fpar-jaxfoo { de-Saxfov{s]! _ o Esempio 4: consideriamo il volume: rofogenie [reo] la funzione: S(3,3,2)=1 e l'integrale: I= SA(xx:2) dV= Jpor= Spes dy dz Si ha: I= [for= RITENETE SOTTOt Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (IX) Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (X) 1-[ar=] a «77 Ae = fas | Ser dv a - fast{le ri ET Sen s 2 Nr x -r4 x? = (e? - 2°)aretan Nr at Nr ar 4a? eee Sviluppando i calcoli, si ha: 1-fpor- fat (-3)] - ITTRTTSEOTVOT RITENETE SOTTOt Sia data una funzione vettoriale è definita in R3 e sia data una curva YP, P) eR3, avente, per estremi, i punti P, e P; Prendiamo, sulla curva y(2;, P), un certo numero n-1 di punti: Ro Bic Ra eI(EP) R=(moa) e consideriamo la spezzata: PP, B, .... P_P 001° 027 na? formata dai segmenti orientati: AP=B-PB, AP.=P,-P, .., APua=P,, La somma dei prodotti scalari della funzione per tali segmenti, nel limite in cui essi diventano infinitesimi, diviene l'integrale di linea: V7(x,0,.5,)AP. ez I: J v(2) «+ dP= J d(x,y.x) «dp in APSO r(8.2) NR) La curva y(P;, P) eR3, può essere definita utilizzando un parametro é : r={perp=P(6),ée[£,6,]} L'integrale di linea si calcola quindi come: I= den «dP= fe(208) . È dé COCO ETSS NOTV SO e TONI] Meme VISI Integrale di Superficie di una Funzione Scalare Sia data una funzione scalare f definita in R3 e sia data una superficie X cRÈ; Suddividiamo la superficie £ in un certo numero n di superfici infini- tesime AZ, prendiamo su di esse i punti: e consideriamo la somma: D/(%,0)00 Nel limite in cui le superfici AZ diventano infinitesime, la somma diventa l'integrale di superficie: LI) e 1a COCO ETSS NOTV SO e TONI] TRA SE La superficie X e R3, può essere definita utilizzando i parametri fe n: x= {rent = (im). te[&.é]ne[mn.]} L'integrale di superficie si calcola quindi come: {[s(2) 1 fas{s(r(en) oi Integrale di Superficie di una Funzione Scalare dl) Integrale di Superficie di una Funzione Scalare (IV) Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera: x- [Pina R*: x=rsin9cosp, y=rsinOsino, z=rc0s0, 9 e[0,27].0 e 5] e la funzione: sea Si ha: î ; È . sa_|)T VE i on 20°36 7° d0 99 20 |=det| rcos@cosp rcos@sinp -rsin0 |= di dv dr -rsin0sing rsin0cosp 0 9% 900 99 =r° sin 0cosgpî +r° sin’Osinpj+(r*singcos@cos® p+7° sin@cos@sin? o)k= =r°(sin'Ocospî + sinÈ Osing } + sinAcos0È) I Dunque: PRE =r° pin} Ocosgi + sin°Osinpj+sin9c0s0|= = 1° fsin' 0c08° 9 + sin* Osin° 9 + sin° 0c0s° 9 = *Jsin' 0+ sin° @c0s°9 = 7° ffin?0(sin°9-+ cos 0) = sin 0 = r°|sing] (jec- uo] È o © (221 353% do= Îoofr]snd 10-1°{sof|ino do= =1° ip]sin040=1" | ip[-coso] = #Î(0+40= r° [do= =r [of =2mr° | ROOT OTO NES VIS SONORE Sia data una funzione vettoriale © definita in R* e sia data una superficie X cRÈ; Suddividiamo la superficie £ in un certo numero n di superfici infini- tesime AZ, prendiamo su di esse i punti: R(%702) (1,75) 21) e consideriamo la somma: Li(2)-i(2) a in Nel limite in cui le superfici AZ diventano infinitesime, la somma diventa l'integrale di superficie: Lite) ie) e o 1 Pia RIONI IoSi Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (I) La superficie X e R3, può essere definita utilizzando i parametri fe n: x= {per p= P(en) gels.6,)ne[m.n]} L'integrale di superficie si calcola quindi come: ni [pe(e)a dE = Soste(r(6) (3 dn n on CICATTRTSO VETO ViStVOrotinE Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (III) Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (IV) Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera: s-|oxsa]er x=rsin0cosp, y=rsinsinp, 2=rcos0, 9e[0,27],0€ [5] e la funzione vettoriale: 3(2)=è Si ha: . î ) È 7 a_| TE Î i e si 30°3n 7! d0 99 20 |=det| rcos@cosp rcososinp -rsin0 |= dd dr -rsin0sing rsin0cosp 0 9% 99 99 =r° sin’@cospî +r° sin Asinp j+(r°sinAcos9cos* 9 +7? sincos@sin* 9)f = =r° (sin 0c0s pî + sinÈ 0sin9j + sinAcos9È) I . 1° (sin’Ocospì + sin°@sin9j+ sin0cos0È)= 20: ri =r°sin0cos9==—-sin(20) = feeftsn(29) 0-7] tojs(29) s0-5 fon] = ri apr p238 , == {00{cos(20)] 3-7 [do(cosn-coso)= > f dn= 2757 ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA SEDE DI FORLÌ http://campus.cib.unibo.it/2421/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica COCOTTETS ONES SNO et Reit in