Calcoli Vectoriali in Geometria: Segmenti Orientati e Vettori Liberi - Prof. Larato, Dispense di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Calcoli Vectoriali in Geometria: Segmenti Orientati e Vettori Liberi - Prof. Larato e più Dispense in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! 1 Vettori liberi di una retta. Si considerino due punti distinti A,B di una retta r ; questi due punti determinano il segmento AB della retta r , cioè l’insieme di tutti i punti di r che si trovano tra il punto A ed il punto B (includendo i punti A e B ) . Anche a due punti coincidenti A = B della retta si può associare il segmento corrispondente: sarà costituito dal solo punto A = B . In entrambe le situazioni il segmento AB coincide con il segmento BA e il segmento stesso rimane determinato dalla coppia non ordinata {A,B} . Se i due punti sono distinti la coppia ordinata (A,B) determina non solo un segmento ma anche il verso di percorrenza del segmento stesso: si può pensare che un punto mobile P si sposti sulla retta r partendo dal punto A e raggiungendo il punto B . Si osservi che la coppia ordinata (A,B) determina un verso di percorrenza sull’intera retta r . Chiaramente questa interpretazione non è possibile quando A = B , tuttavia anche in quest’ultimo caso si pone la seguente Definizione 1.1. - Comunque si scelgano due punti A,B della retta r , si chiama segmento orientato avente A come primo estremo e B come secondo estremo il segmento AB munito del verso secondo il quale A precede B ; con abuso di notazione tale segmento orientato sarà identificato con la coppia ordinata (A,B) . L’insieme di tutti i segmenti orientati della retta r si denota con S1 . Nell’insieme S1 si può definire la seguente relazione Definizione 1.2. - Siano (A,B) , (C,D) segmenti orientati della retta r ; si dice che i segmenti orientati (A,B) , (C,D) sono equipollenti e si scrive (A,B) ⇠ (C,D) se accade uno dei due fatti seguenti: • A = B e C = D ; oppure • A 6= B e allora - anche C 6= D e la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento CD ; - il verso determinato sulla retta r dal segmento orientato (A,B) coincide con il verso determinato dal segmento orientato (C,D) . 2 La lunghezza del segmento (non orientato) AB coincide con la distanza tra gli stessi punti A e B e per questo motivo sarà denotata con d(A,B) . Due segmenti orientati si dicono concordi (o anche equiversi) se determinano lo stesso verso sulla retta r ; in caso contrario si dicono discordi (o anche controversi). La precedente Def.1.2 può essere espressa dicendo che se due segmenti orientati della retta r hanno estremi distinti, essi si dicono equipol- lenti se sono uguali dal punto di vista della lunghezza e del verso. Questa osservazione permette di verificare in modo del tutto ovvio la seguente Proposizione 1.3. La relazione di equipollenza è una relazione di equi- valenza sull’insieme S1 . Si può ora porre la seguente Definizione 1.4. Le classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti della retta r si chiamano vettori liberi della retta r e costituiscono l’insieme quoziente V1 = S1/ ⇠ . La lunghezza comune a tutti i segmenti orientati di una stessa classe si chiama modulo (oppure lunghezza) del vettore libero v 2 V1 e si denota con ||v|| . In particolare, si chiama versore un vettore di modulo 1 . Analoga- mente si chiama verso del vettore libero v il verso comune a tutti i suoi rappresentanti. La precedente Def.1.4 esprime chiaramente il fatto che un vettore libero non è un segmento orientato, ma una intera classe di segmenti orientati concordi, aventi tutti la stessa lunghezza (eventualmente nulla). Pertanto, come già visto per la definizione di lunghezza e verso di un vettore libero, qualsiasi a↵ermazione relativa ad un vettore libero deve riferirsi all’intera classe di equipollenza e non ai singoli rappresentanti. Spesso le proprietà (definizioni, operazioni) di un vettore libero vengono riferite ad un suo rappresentante; questo è lecito purché si verifichi che la proprietà in oggetto resti invariata al variare del rappresentante utilizzato per descriverla. Quando questo accade si dice che la proprietà è ”ben posta”. Di solito i vettori liberi vengono denotati con le ultime lettere dell’alfabeto che sono scritte in carattere grassetto v , u , w , x , . . . oppure con un segno al di sopra oppure al di sotto della lettera che lo denota. Proposizione 1.5. Sia v 2 V1 un vettore libero della retta r avente per rappresentante un segmento orientato (A,B) e sia P un punto qualsiasi 3 Conviene, forse, ricordare qui come si calcola il prodotto di un numero reale h per un segmento orientato (A,B) . Se il numero è zero oppure il segmento orientato è il segmento nullo, allora il prodotto è dato dal segmento orientato nullo. Supponendo che entrambi siano non nulli si devono esaminare vari casi. Se h 2 N si riportano consecutivamente h segmenti orientati equipollenti ad (A,B) ; detto H il secondo estremo dell’h-esimo segmento orientato, il prodotto di h per (A,B) è il segmento orientato (A,H) . I segmenti orientati (A,B) e (A,H) risultano concordi. Se p, q 2 N , q 6= 0 , con h = p/q , si costruisce come sopra il prodotto di p per (A,B) e si ottiene un segmento orientato (A,P ) ; il segmento orientato (A,P ) viene diviso in q parti uguali, cioè su (A,P ) si determina il punto S in modo che moltiplicando q per il segmento orientato (A, S) si ottenga esattamente il segmento orientato (A,P ) . Allora il prodotto del numero razionale h per il segmento orientato (A,B) è dato dal segmento orientato (A, S) . I segmenti orientati (A,B) e (A, S) risultano concordi. Meno ovvia è la costruzione del prodotto di un numero irrazionale positivo h per il segmento orientato (A,B) . Per fare questo bisogna ricordare che il numero irrazionale h si individua come l’unico elemento di separazione tra due classi separate e contigue di numeri razionali, che ne costituiscono le approssimazioni razionali per difetto e, rispettivamente, per eccesso. È dunque possibile moltiplicare ciascuna di tali approssimazioni del numero irrazionale positivo h per il segmento orientato (A,B) ; si ottengono in tal modo due classi separate e contigue di segmenti orientati che approssimano per difetto e, rispettivamente, per eccesso il prodotto di h per (A,B) : il prodotto stesso sarà l’unico elemento separatore di queste due classi di segmenti approssimanti. Resta ora da dire come si determina il prodotto di un numero negativo h per il segmento orientato (A,B) : semplicemente si moltiplica il numero positivo h per il segmento orientato (A,B) , si ottiene il segmento orientato (A,P ) nel modo descritto sopra e gli si cambia il verso, cioè si pone h · (A,B) = (P,A) . 6 Si dimostra facilmente la proposizione seguente Proposizione 1.10. L’operazione di prodotto di un numero reale per un vettore libero di V1 verifica le seguenti proprietà: 1. 8 v,u 2 V1 , 8 h 2 R : h · (v + u) = h · v + h · u ; 2. 8 h, k 2 R , 8 v 2 V1 : (h+ k) · v = h · v + k · u ; 3. 8 h, k 2 R , 8 v 2 V1 : h · (k · v) = (hk) · v ; 4. 8 v 2 V1 : 1 · v = v . Proposizione 1.11. L’insieme V1 con le predette operazioni di addizione e di moltiplicazione di uno scalare per un vettore è una struttura algebrica di spazio vettoriale reale di dimensione 1 . DIM. Le proposizioni 1.8 e 1.10 assicurano che V1 sia uno spazio vettoriale reale. Ora sia v un qualsiasi vettore non nullo di V1 e sia (A,B) un suo rappresentante: si vuole dimostrare che v (da solo) costituisce una base di V1 . Essendo v linearmente indipendente (perché non è il vettore nullo), si deve solo dimostrare che ogni vettore di V1 dipende linearmente da v , cioè ogni vettore x di V1 è proporzionale a v : 8 x 2 V1 : 9 h 2 R tale che x = h · v . Per ottenere questo risultato, basta porre a = ||x||/||v|| che è il rapporto tra le lunghezze dei due vettori e, come tale, non può essere negativo. Ora, tenendo conto del modo in cui è stato definito il prodotto di un numero reale per un vettore, si ha subito che x = a · v nel caso che i due vettori siano concordi e quindi, posto h = a , si ha che x = h · v , mentre x = a · v nel caso che i due vettori siano discordi e quindi, posto h = a , si ha che x = h · v . In entrambi i casi i due vettori sono proporzionali. 2 Vettori liberi di un piano Si considerino due punti A , B di un piano ⇡ ; questi due punti deter- minano il segmento orientato di primo estremo A e secondo estremo B . Con considerazioni del tutto analoghe a quelle viste per la retta, si pone la seguente 7 Definizione 2.1. Comunque si scelgano due punti A , B del piano ⇡ , si chiama segmento orientato avente A come primo estremo e B come secondo estremo il segmento AB munito del verso secondo il quale A precede B ; con abuso di notazione tale segmento orientato sarà identificato con la coppia ordinata (A,B) . L’insieme di tutti i segmenti orientati del piano ⇡ si denota con S2 . Nell’insieme S2 si può definire la seguente relazione Definizione 2.2. Siano (A,B), (C,D) segmenti orientati del piano ⇡ ; si dice che i segmenti orientati (A,B), (C,D) sono equipollenti e si scrive (A,B) ⇠ (C,D) se accade uno dei due fatti seguenti: • A = B e C = D ; oppure • A 6= B e allora - anche C 6= D e la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento CD ; - le rette AB e CD sono parallele; - il verso determinato sulla retta AB dal segmento orientato (A,B) coincide con il verso determinato sulla retta CD dal segmento orientato (C,D) . La definizione precedente può essere espressa dicendo che se due segmenti orientati del piano ⇡ hanno estremi distinti, essi si dicono equipollenti se sono uguali dal punto di vista della lunghezza, della direzione e del verso. Questa osservazione permette di verificare in modo del tutto ovvio la seguente Proposizione 2.3. La relazione di equipollenza è una relazione di equi- valenza sull’insieme S2 . Si può ora porre la seguente Definizione 2.4. Le classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti di un piano ⇡ si chiamano vettori liberi del piano ⇡ e costituiscono l’insieme quoziente V2 = S2/ ⇠ . Il modulo, la direzione ed il verso di un vettore si definiscono come la lunghezza, la direzione ed il verso comuni a tutti i segmenti orientati di una stessa classe. 8 Si dimostra facilmente la proposizione seguente Proposizione 2.10. L’operazione di prodotto di un numero reale per un vettore libero di V2 verifica le seguenti proprietà: 1. 8 v,u 2 V2 , 8 h 2 R : h · (v + u) = h · v + h · u ; 2. 8 h, k 2 R , 8 v 2 V2 : (h+ k) · v = h · v + k · u ; 3. 8 h, k 2 R , 8 v 2 V2 : h · (k · v) = (hk) · v ; 4. 8 v 2 V2 : 1 · v = v . Proposizione 2.11. L’insieme V2 con le predette operazioni di addizione e di moltiplicazione di uno scalare per un vettore è una struttura algebrica di spazio vettoriale reale di dimensione 2 . DIM. Le precedenti proposizioni 2.8 e 2.10 assicurano che V2 sia uno spazio vettoriale reale. Ora siano v e u due vettori linearmente indipendenti di V2 (cioè due vettori non paralleli) e siano (A,B) , (A,C) rappresentanti di v e , rispettivamente, di u : si vuole dimostrare che v , u costituiscono una base di V2 . Conviene forse osservare esplicitamente che i due vettori sono entrambi non nulli, perché in caso contrario i due vettori sarebbero linearmente dipendenti. Resta solo da dimostrare che ogni vettore di V2 dipende linearmente da v e da u , cioè 8 x 2 V2 : 9(h1, h2) 2 R2 tali che x = h1v + h2u . Per ottenere questo risultato, si osserva anzitutto che se il vettore x è parallelo al vettore v si ha che esiste un numero reale h1 tale che sia x = h1v e, quindi, x = h1v + 0u . Analogamente, se il vettore x è parallelo al vettore u si ha che esiste un numero reale h2 tale che sia x = h2u e, quindi, x = 0v + h2u . Se il vettore x non è parallelo ad alcuno dei vettori v , u si procede nel modo seguente. Si applica anche il vettore x nel punto A ottenendo il rappresentante (A,D) dello stesso vettore x . Dal punto D si manda la retta r parallela alla retta AC e si ottiene un punto E di intersezione delle rette r ed AB ; analogamente si manda la retta s parallela alla retta AB e si ottiene un punto F di intersezione delle rette s e AC . Si osserva subito che il vettore determinato da (A,E) è parallelo al vettore v e, pertanto, si ha che esiste un numero reale h1 in modo che il vettore determinato da (A,E) coincida con h1v 11 e che, analogamente, il vettore determinato da (A,F ) è parallelo al vettore u e, pertanto, si ha che esiste un numero reale h2 in modo che il vettore determinato da (A,F ) coincida con h2u . Poiché tra i segmenti orientati sussiste la relazione (A,D) = (A,E)+ (A,F ) , si ha che x = h1v+h2u . Si noti che essendo i vettori v , u linearmente indipendenti la rappresentazione x = h1v + h2u è unica. La scelta dei vettori v , u è del tutto arbitraria, purché i vettori siano linearmente indipendenti; tuttavia abitualmente si preferisce utilizzare una base ortonormale, cioè formata da versori ortogonali che tradizionalmente si denotano con i , j . 3 Vettori liberi dello spazio Si considerino due punti A , B dello spazio S ; questi due punti deter- minano il segmento orientato di primo estremo A e secondo estremo B . Con considerazioni del tutto analoghe a quelle viste per la retta ed il piano, si pone la seguente Definizione 3.1. Comunque si scelgano due punti A , B dello spazioP , si chiama segmento orientato avente A come primo estremo e B come secondo estremo il segmento AB munito del verso secondo il quale A precede B ; con abuso di notazione tale segmento orientato sarà identificato con la coppia ordinata (A,B) . L’insieme di tutti i segmenti orientati dello spazio P si denota con S3 . Nell’insieme S3 si può definire la seguente relazione Definizione 3.2. Siano (A,B) , (C,D) segmenti orientati dello spazioP ; si dice che i segmenti orientati (A,B) , (C,D) sono equipollenti e si scrive (A,B) ⇠ (C,D) se accade uno dei due fatti seguenti: • A = B e C = D ; oppure • A 6= B e allora - anche C 6= D e la lunghezza del segmento AB è uguale alla lunghezza del segmento CD ; - le rette AB e CD sono parallele; 12 - il verso determinato sulla retta AB dal segmento orientato (A,B) coincide con il verso determinato sulla retta CD dal segmento orientato (C,D) . La precedente definizione può essere espressa dicendo che se due segmenti orientati dello spazio P hanno estremi distinti, essi si dicono equipollenti se sono uguali dal punto di vista della lunghezza, della direzione e del verso. Questa osservazione permette di verificare in modo del tutto ovvio la seguente Proposizione 3.3. La relazione di equipollenza è una relazione di equi- valenza sull’insieme S3 . Si può ora porre la seguente Definizione 3.4. Le classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti dello spazio P si chiamano vettori liberi dello spazio P e costituiscono l’insieme quoziente V3 = S3/ ⇠ . Il modulo, la direzione ed il verso di un vettore si definiscono come la lunghezza, la direzione ed il verso comuni a tutti i segmenti orientati di una stessa classe. In modo del tutto analogo a quanto visto sulla retta e nel piano si dimostra la seguente Proposizione 3.5. Sia v 2 V3 un vettore libero dello spazio avente per rappresentante un segmento orientato (A,B) e sia P un punto qualsiasi dello spazio P ; allora si può determinare in modo unico un punto Q dello spazio P in modo che il segmento orientato (P,Q) sia equipollente al segmento orientato (A,B) e, quindi, sia anch’esso un rappresentante del vettore libero v . Ancora in modo analogo a quanto già visto per la retta e per il piano, si introduce la seguente Definizione 3.6. Si chiama vettore applicato dello spazio P una coppia ordinata (A,v) costituita da un punto dello spazio P e da un vettore libero v di V3 . L’operazione di addizione tra vettori liberi dello spazio si definisce in modo del tutto analogo a quanto già visto nel piano, dal momento che applicando due vettori non paralleli in uno stesso punto i segmenti orientati ottenuti determinano in modo unico il piano che li contiene e sul quel piano si può operare la costruzione già vista nel piano. 13