IL CALCOLO DEI LIMITI, Slide di Matematica

Scarica IL CALCOLO DEI LIMITI e più Slide in PDF di Matematica solo su Docsity! CALCOLO DEI LIMITI LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione costante 𝑦 = 𝑞 (retta orizzontale) Funzione identità 𝑦 = 𝑥 (bisettrice I e III quadrante) lim 𝑥→𝑥0 𝑞 = 𝑞 lim 𝑥→±∞ 𝑞 = 𝑞 lim 𝑥→𝑥0 𝑥 = 𝑥0 lim 𝑥→±∞ 𝑥 = ±∞ LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione esponenziale 𝑦 = 𝑎𝑥 a> 1 lim 𝑥→𝑥0 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥0 lim 𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = 0+ lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = +∞ 0 < 𝑎 < 1 lim 𝑥→𝑥0 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥0 lim 𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = +∞ lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = 0+ LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione logaritmica 𝑦 = log𝑎 𝑥 𝐷 = 0; +∞ a > 1 lim 𝑥→𝑥0 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥0 con 𝑥0 > 0 lim 𝑥→0+ log𝑎 𝑥 = −∞ lim 𝑥→+∞ log𝑎 𝑥 = +∞ 0 < 𝑎 < 1 lim 𝑥→𝑥0 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥0 con 𝑥0 > 0 lim 𝑥→0+ log𝑎 𝑥 = +∞ lim 𝑥→+∞ log𝑎 𝑥 = −∞ LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Funzione coseno o seno 𝑦 = cos 𝑥 o 𝑦 = sin 𝑥 lim 𝑥→𝑥0 cos 𝑥 = cos 𝑥0 lim 𝑥→−∞ cos 𝑥 = ∄ lim 𝑥→+∞ cos 𝑥 = ∄ lim 𝑥→𝑥0 sin 𝑥 = sin 𝑥0 lim 𝑥→−∞ sin 𝑥 = ∄ lim 𝑥→+∞ sin 𝑥 = ∄ TEOREMA SUL CALCOLO DEI LIMITI Se lim 𝑥→𝛼 𝑓(𝑥ሻ = 𝓁1 e lim 𝑥→𝛼 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁2 con 𝓁1, 𝓁2 ∈ ℝ, 𝛼 ∈ ℝ* allora lim 𝑥→𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁1 + 𝓁2 lim 𝑥→𝛼 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁1 − 𝓁2 lim 𝑥→𝛼 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁1 ∙ 𝓁2 caso particolare: lim 𝑥→𝛼 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥ሻ = 𝑘 ∙ 𝓁1 lim 𝑥→𝛼 𝑓(𝑥ሻ 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁1 𝓁2 se 𝓁2 ≠ 0 lim 𝑥→𝛼 𝑓(𝑥ሻ 𝑔(𝑥ሻ = 𝓁1 𝓁2 se 𝓁1 > 0 in particolare: lim 𝑥→𝛼 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝓁1 𝑛 con 𝑛 ∈ 𝑁 − 0 , 𝓁1 ∈ ℝ TEOREMA SUL CALCOLO DEI LIMITI Un’importante conseguenza di tale teorema e dei limiti delle funzioni elementari è che il limite di funzioni algebriche razionali intere o fratte, per 𝑥 che tende ad 𝑥0D si può calcolare per sostituzione cioè coincide con f(𝑥0), in coerenza col fatto che tali funzioni sono continue nel loro dominio. Sia y = P(𝑥) una funzione algebrica razionale intera o polinomiale (P è un polinomio) allora lim 𝑥→𝑥0 𝑃(𝑥ሻ = 𝑃(𝑥0ሻ Sia y = P(𝑥)/Q(𝑥) una funzione algebrica razionale fratta (P e Q sono polinomi) di dominio D, se 𝑥0D allora lim 𝑥→𝑥0 𝑃(𝑥ሻ 𝑄(𝑥ሻ = 𝑃(𝑥0ሻ 𝑄(𝑥0ሻ TEOREMA SUL CALCOLO DEI LIMITI CASO GENERALE (LIMITI INFINITI) Il teorema sul calcolo dei limiti è valido anche in presenza di limiti infiniti, salvo alcune eccezioni (le cosiddette forme di indecisione o forme indeterminate). Per calcolare i limiti procederemo sempre per sostituzione, purché non si incontrino le forme indeterminate; in presenza di tali forme sarà necessario ricorrere ad opportune tecniche per eliminare l’indecisione.