Scarica Introduzione al Prodotto Vettoriale: Conceziono Personali e Interpretazioni Geometriche e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! Prodotto vettoriale Cenni preliminari Prima di iniziare con quello che abbiamo fatto effettivamente ieri, voglio introdurre qualche notazione personale (e quindi che uso soltanto io) per far sì che le cose che scriverò siano il più chiare possibile. Punti di Rn Sappiamo molto bene che in Rn, ad ogni punto P è associato una n-upla di numeri. Un modo molto semplice per modellare questi oggetti è tramite l’uso di liste. Una lista non è nient’altro che una struttura dati in cui l’ordine degli elementi conta. La notazione personale per le liste è la seguente: Nome lista = [ (elemento 1), (elemento 2), (elemento 3) … (elemento n) ] La cardinalità di una lista si indica nel seguente modo: # Nome lista È inoltre possibile indicare la posizione di un elemento usando un sistema di indici nel seguente modo: i ∈ Ind( A ) A[i] ≔ elemento di A che ha indice i. Ind( A ) ≔ insieme di tutti i numeri naturali che partono da 1 e arrivano a (# A) (1 e (# A) compresi). Questa definizione comporta che la posizione e l’indice di un elemento coincidano. Esempi: in R2: P = ( xP, yP) xP = P[1] yP = P[2] Ind( P ) = { (1) (2) } # P = 2 in R3: P = ( xP, yP, zP ) xP = P[1] yP = P[2] zP = P[3] Ind( P ) = { (1) (2) (3) } # P = 3 R è la posizione di P rispetto all’asse di rotazione, pertanto anche se dalla figura non è ovvio, esso giace sempre in un piano perpendicolare all’asse e passante per P, il punto di applicazione. F è la forza, che in prima battuta può essere pensata come uno dei fattori che influenzano “quanto velocemente ruota il rettangolo”. F è una grandezza vettoriale. Supponiamo che esista una quantità che ci rappresenti “la tendenza a ruotare del rettangolo”, che chiamiamo τ. Da cosa dipende questa quantità ? - Sicuramente dal modulo di F. Senza forza, (|| F || = 0) il rettangolo da solo di sicuro non comincerà a ruotare. Ovviamente più grande è || F ||, è più velocemente il rettangolo inizierà a ruotare. - Sicuramente dal modulo di R; immagina si dover aprire una porta spingendo direttamente sul cardine; è abbastanza ovvio si aprirà con molta difficoltà e nel caso teorico proprio per niente. In sintesi se || R || è 0, il rettangolo non inizierà a ruotare. Con il suo aumentare invece, il rettangolo inizierà a ruotare molto più facilmente. - La direzione di F gioca un ruolo importantissimo. Se la forza fosse parallela al rettangolo, è molto improbabile che il rettangolo inizi a ruotare. Sarebbe come cercare di sollevare una porta o cercare di staccarla dal suo cardine; di certo in questa maniera non si aprirà. La forza avrà invece un pieno effetto se perpendicolare al rettangolo. Facendo un ragionamento empirico, potremmo arrivare alla seguente conclusione: || τ || = || F || * || R || * k k ∈ [0, 1] F ⊥ R ⇒ k = 1 F // R ⇒ k = 0 A questo punto arriva la svolta di pensiero: τ lo si pensa non come un semplice numero ma proprio come vettore. E l’operazione che c’è lo fornisce è detta prodotto vettoriale (o prodotto in croce). Il prodotto in croce è così definito: A, B ∈ R3 C = A ✕ B C[1] = A[2] * B[3] - A[3] * B[2] C[2] = A[3] * B[1] - A[1] * B[3] C[3] = A[1] * B[2] - A[2] * B[1] C ∈ Rn, C ⊥ A, C ⊥ B Alcune proprietà del prodotto in croce: - A // B ⇒ C = 0 - A ✕ B = - (B ✕ A) - C è massimo quando A e B sono perpendicolari tra loro. - La componente C[i] (i ∈ { (1) (2) (3) }) non dipende da A[i] e B[i]. Graficamente, la direzione ed il verso di C si individuano con la regola della mano destra (ne esistono diverse interpretazioni, tutte equivalenti), illustrate qui sotto: Interpretazione 3 C = A ✕ B - Prendere la mano destra - Escluso il pollice, ruotare le altre dita (il palmo) partendo da A e andando a B. Sostanzialmente bisogna far finta come se A ruotasse verso B - Il pollice sarà C.
