insiemi, Dispense di Analisi Matematica I

Scarica insiemi e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! 1 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme 2 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 … 5 Il simbolo di appartenenza:  Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a  A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b  A si legge “b non appartiene ad A". 6 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B  A (oppure A  B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A  b  B  b  A 7 Insieme vuoto :  Insieme privo di elementi (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure  se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se aA : a B CONFRONTO TRA INSIEMI 10 Insieme delle parti • L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A) • Esempio: Sia A = {1, 2, 3}, P(A)= {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} • Se A contiene n elementi allora P contiene 2n elementi 11 OPERAZIONI TRA INSIEMI • UNIONE • INTERSEZIONE • DIFFERENZA • COMPLEMENTAZIONE • PRODOTTO CARTESIANO 12 UNIONE TRA INSIEMI • L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B • L’unione di A e B si scrive: A  B = {x : x  A o x  B } Se A = B A  B = A Se A  B A  B = B 15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B • L'intersezione di A e B si scrive: A  B = {x : x A e xB } Se A = B A  B = A Se A  B A  B = A Se A  B =  A e B si dicono disgiunti. 16 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B 0 1 2 3 17 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A  B = {1, 2} A B 0 1 2 3 20 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 0 1 2 3 A B 21 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} 0 1 2 3 A B 22 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} 0 1 2 3 A B 25 INSIEME COMPLEMENTARE • Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5} 0 3 5 U A 1 2 26 PRODOTTO CARTESIANO • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x) • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A  B = {(x, y) : x  A, y  B} 27 PRODOTTO CARTESIANO • Non è commutativo: A  B  B  A • Se A=B A  B = A2 • Dati n insiemi: A1, A2, ….., An : A1  A2  ….  An = {(x1, x2, ….., xn) : x1  A1 , x2  A2, … , xn  An } • Se A1 = A2 =… =An A1  A2  ….  An = An 30 INSIEMI NUMERICI • NATURALI • INTERI O RELATIVI • RAZIONALI • IRRAZIONALI • REALI 31 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse p N: m+p=n) 32 I NUMERI NATURALI   m, n, p  N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) - Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m - Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p - Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:  1 N: 1 • m = m 35 I NUMERI RAZIONALI • PROBLEMA: Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. 36 NUMERI RAZIONALI • Q è denso: q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2 0-2 -1 321 • N e Z sono discreti: 37 NUMERI REALI • PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! • Numeri reali: R = Q +  dove  è l’insieme dei numeri irrazionali Ie,,2 