La logica matematica + esercizi svolti, Dispense di Logica Matematica

Scarica La logica matematica + esercizi svolti e più Dispense in PDF di Logica Matematica solo su Docsity! LogicA (tutto si può fare con un buon alenamento) Grazie a George Bull, e poi Gottlob Frege, la logica viene per la prima volta trattata da un punto di vista matematico e questi ragionamenti vengono visti sotto forma di equazioni. LOGICA PROPOSIZIONALE: Un’orazione, ovvero un’insieme di simboli con un significato, può: - essere definita vera o falsa, si parla quindi di proposizione o sentenza (es: il coniglio è bianco); - non essere definita vera o falsa (es: ciao, apri la porta). SILLOGISMO ARISTOTELICO: Ogni termine colorato è chiamato variabile, le variabili sono come scatole vuote che noi possiamo riempire come vogliamo. esempio 1: Tutti gli uomini sono mortali (premessa) Tutti i mortali sono esseri che soffrono (premessa) Tutti gli uomini sono esseri che soffrono (conseguenza) Possiamo considerare vera l’ultima frase perché anche le due precedenti sono vere: se le premesse sono vere allora anche la conseguenza sarà vera. esempio 2: Tutti i cani sono animali (premessa) Tutti gli animali sono mortali (premessa) Tutti i cani sono mortali (conseguenza) esempio 3: Alcuni politici sono bravi retorici (premessa) Alcuni avvocati sono bravi retorici (premessa) Alcuni politici sono avvocati (conseguenza) In questo esempio non si ha un ragionamento ne vero ne falso, la conseguenza non è valida. PROPOSIZIONE (una parte della logica preposizionale): esempio 1: Il coniglio è bianco Possiamo dire se la frase è vera o falsa. esempio 2: Io raso la barba a tutti coloro che non se la rasano Potremmo dire che se io barbiere non mi raso la barba allora me la devo radere, ma questo risulterebbe essere un discorso troppo contorto. Non siamo in grado di dire se è vero o falso che io raso anche me stesso, oltre coloro a cui già la raso. esempio 3: Gli uccelli volano Leggendo questa frase senza ragionare diremmo che gli uccello volano, in realtà però non tutti cli uccelli volano: dire che la frase è vera è un casino. Quando non si sa se una frase è vera o falsa la si studia sia come se fosse vera sia come se fosse falsa. 1 I connettivi ci permettono di costruire proposizioni più complesse. Alcuni connettivi possono essere rappresentati da determinati simboli. esempio 1: Vado al cinema e vado a cena. La frase è composta da due frasi unite dalla congiunzione “e”. La prima fase viene contrassegnata da una “P (proposizione)” mentre la seconda da una “Q”, la “e” viene indicata col simbolo “∧”. Vado al cinema e vado a cena. P∧Q esempio 2: Se piove allora ci sono nuvole. La frase è composta da un antecedente e un conseguente uniti dallo congiunzione “allora”. La prima fase viene contrassegnata da una “P” mentre la seconda da una “Q”, il “se ... allora ...” viene indicata col simbolo “➔”. Se piove allora ci sono nuvole. P ➔ Q esempio 3: Non piove. Quando la proposizione è negativa il “non” viene indicato col simbolo “—” posto sopra la lettera che indica la proposizione negativa. Non piove. P esempio 4: Mangio pesce o mangio insalata. La frase è composta da due frasi unite dalla congiunzione “o”. La prima fase viene contrassegnata da una “P” mentre la seconda da una “Q”, la “o” viene indicata col simbolo “∨”. Mangio pesce o mangio insalata. P∨Q esempio 5: Se piove allora ci sono nuvole e fa freddo. La frase è composta da tre frasi unite da diverse congiunzioni, la terza frase viene indicata con una “R”. Dopo “➔” vengono aperte delle parentesi perché è come se le conseguenze di “P” fossero due, se non ci fossero le parentesi sembrerebbe che la conseguenza fosse una (le parentesi vengono aperte anche se sono presenti delle virgole, indipendentemente dalla grammatica). Se piove allora ci sono nuvole e fa freddo. P ➔ (Q∧R) esempio 6: Non è vero che, piove e fa freddo. La frase è composta da due frasi unite dalla congiunzione “e”. L’espressione “Non è vero che” si indica con il simbolo “—” posto sopra ciò che è da negare. Non è vero che piove e fa freddo. P∧Q esempio 7: Non è vero che, non piove. La doppia negazione si indica con il doppio simbolo “—” posto sopra ciò che è da negare. Non è vero che non piove. P 2 Se A è incluso in B, ovvero A ⊆ B (cani ⊆ animali a 4 zampe), se x appartiene ad A allora x appartiene anche a B (qualsiasi cosa appartiene ai cani automaticamente appartiene anche agli animali a quattro zampe). “Ø” è il simbolo dell’insieme vuoto (sempre un sottoinsieme di qualche insieme, anche se è incluso in qualcosa non può includere niente al suo interno perché é vuoto). Consideriamo ora le seguenti frasi: x ⊆ Ø Ø ⊆ B Osservandole ci verrebbe da pensare che se x appartiene a Ø allora x appartiene anche a B, in questo modo però diremmo sia una falsità che una verità: se è vero, e possibile, che Ø ⊆ B, è falso, e sbagliato, dire che x appartiene all’insieme vuoto in quanto gli insiemi vuoti non hanno niente al loro interno. Negazione P esempio 1: ( P∧Q ) ➔ (Q∧P) esercizio 1: Tradurre la frase in linguaggio proporzionale e fare la tavola di verità: Se non piove allora, non piove e non ci sono nuvole. P ➔ (P∧Q) Quando si deve creare la tavola di verità di una formula bisogna eseguire una serie di passaggi: 1. Contare il numero delle diverse variabili nella formula e fare 2numero delle diverse variabili. Il numero che otterremo equivale al numero delle righe (parte orizzontale della tabella) che dobbiamo fare. Se abbiamo 1 variabile le righe sono 2 (21 = 2), se abbiamo 2 variabili le righe 4 (22 = 4), se abbiamo 3 variabili le righe sono 8 (23 = 8), ecc. 5 P P F V V F Animali a 4 zampe Cani P Q P∧Q P∧Q Q Q∧P ( P∧Q ) ➔ (Q∧P) F F F V V F F F V F V F F F V F F V V V V V V V F F F F P Q P Q P∧Q P ➔ (P∧Q) F F V V V V F V V F F F V F F V F V V V F F F V Non vado a scuola Vado a scuola. Vado a scuola Non vado a scuola. 2. Creare la tavola. A partire da sinistra vanno messe in ordine le diverse variabili, creando così una serie di colonne (parte verticale della tabella). Seguono poi eventuali variabili negative, parentesi, parentesi negative, ecc. Solo alla fine va inserita la formula completa. Ricorda che, se ci si trova davanti a una formula dove solo una delle variabili è negativa bisogna analizzare prima la variabile negativa e poi la formula; se invece ci si trova davanti a una formula “non è vero che”, allora bisogna analizzare prima la formula normale e poi secondo la forma “non è vero che”. 3. Aggiungere il vero e il falso alle variabili. Indipendentemente da dove si inizi (sia da sinistra che da destra), bisogna seguire un certo ordine: nella prima colonna si alterneranno F e V per ogni riga disponibile (essendo 2n si avrà sempre un numero pari); nella seconda colonna si alternano a coppie FF e VV per ogni coppia di righe disponibile; nella terza colonna si alterneranno FFFF e VVVV per ogni quattro righe disponibili; nella quarta colonna si alterneranno FFFFFFFF e VVVVVVVV per ogni otto righe disponibili; ecc. 4. Completare secondo le tavole di verità. esempio 1: Se piove e ho freddo allora nevica. (P∧Q) ➔ R esempio 2: P ➔ (Q∨R) 6 P∧Q = Q P∧Q P∧Q = P∧Q P∧Q P Q R P∧Q (P∧Q) ➔ R F F F F V F F V F V F V F F V F V V F V V F F F V V F V F V V V F V F V V V V V P Q R Q Q∨R P ➔ (Q∨R) F F F V V V F F V V V V F V F F F V F V V F V V V F F V V V V F V V V V V V F F F F V V V F V V esempio 3: (P∨Q)∧R CLASSIFICHE DI FORMULE: 1. Tautologia: una formula la cui tavola di verità è tutta vera. Il teorema vuole che “P è Tautologia se, e solo se, P è Contraddizione” (l’uno nega l’altro, se si crea la tavola di verità a sinistra avremmo V all’infinito e a destra avremmo F all’infinito). 2. Contraddizione: una formula la cui tavola di verità è tutta falsa. Il teorema vuole che “P è Contraddizione se, e solo se, P è Tautologia” (l’uno nega l’altro, se si crea la tavola di verità a sinistra avremmo F all’infinito e a destra avremmo V all’infinito). 3. Contingenza: una formula nella cui tavola di verità compare almeno un vero e almeno un falso. 7 P Q R P∨Q P∨Q P ➔ (Q∨R) F F F F V F F F V F V V F V F V F F F V V V F F V F F V F F V F V V F F V V F V F F V V V V F F P P P∨P V F V F V V P P ➔ P F V V V P P Q ➔ P P ➔ (Q ➔ P) F F V V F V F V V F V V V V V V Piove o non piove (è tutto vero perché per forza accade uno dei due) P∨P Se piove allora piove (è tutto vero perché stiamo dicendo la stessa cosa) P ➔ P P ➔ (Q ➔ P) P P P∧P V F F F V F P Q P Q ➔ P P ∨ (Q ➔ P) P ∨ (Q ➔ P) F F V V V F F V V F V F V F F V V F V V F V V F Piove e non piove (non ha senso) P∧P P ➔ (Q ➔ P) - Assorbimento. P∧(Q∨P) ≡ P ............... P∨(Q∧P) ≡ P .............. - Legge di doppia negazione. P ≡ P esercizio 1: Classifica la seguente forma in Tautologia, Contraddizione o Contingenza. (P∧Q) ➔ (P∧R) Contingenza esercizio 2: Vedere se le due formule sono equivalenti. - P∧Q P∧(P ➔ Q) P∧Q ≡ P∧(P ➔ Q) RAGIONAMENTO: Il ragionamento è una sequenza di proposizioni (una, preceduta dal quindi, è la conclusione, le altre sono le premesse) che viene strutturata e sviluppata in un linguaggio. Se piove ci sono nuvole Il cavallo è bianco Quindi il topo è marrone Premesse Conclusione 10 P Q Q∨P P∧(Q∨P) F F F F F V V F V F V V V V V V P Q R R (P∧Q) (P∧R) (P∧Q) ➔ (P∧R) F F F V F F V F F V F F F V F V F V F F V F V V F F F V V F F V F V V V F V F F F V V V F V V V V V V V F V F F P Q P∧Q P ➔ Q P∧(P ➔ Q) F F F V F F V F V F V F F F F V V V V V Il ragionamento è valido se, e solo se, sotto premesse vere, la conclusione è vera indipendentemente dal significato delle sue parole (può essere considerato valido se sono vere sia l’ipotesi/premessa, sia la conclusione). La linea rappresenta il termine quindi. Alcuni avvocati sono bravi retorici V Alcuni cani sono bianchi V Alcuni politici sono bravi retorici V Alcuni gatti sono bianchi V Alcuni politici sono avvocati V Alcuni cani sono gatti F Ragionamento valido Ragionamento non valido FORMA PROPOSIZIONALE DI UN RAGIONAMENTO: Dato un ragionamento, la sua forma proposizionale consiste nel tradurre un ragionamento in linguaggio. Se piove ci sono nuvole P➔Q Piove P....... Ci sono nuvole Q...... Una forma proposizionale è valida se, e solo se, le premesse sono vere e la conclusione è vera (facendo riferimento a quanto scritto nell’esempio prima, premesse vere → conclusione vera). esempio 1: Forma proposizionale valida esempio 2: P ➔ Q P....... Q.... non valido In questo esempio la forma proposizionale è valida, in quanto anche la conclusione è vera, ma il ragionamento non è valido. Basta una singola riga con premesse vere e conclusione falsa a rendere il ragionamento non valido. esercizio 1: 11 P Q P ➔ Q F F V F V V V F F V V V P Q P ➔ Q P Q F F V V V F V V V F V F F F V V V V F F P ∨ Q Q...... P.... non valido In questo esempio la forma proposizionale è valida, in quanto anche la conclusione è vera, ma il ragionamento non è valido. Basta una singola riga con premesse vere e conclusione falsa a rendere il ragionamento non valido. esercizio 2: P ➔ Q P....... Q... valido VALIDITÀ PROPOSIZIONALE: Un ragionamento è valido se, e solo se, dal punto di vista proposizionale, la sua forma proposizionale è valida. esercizio 1: Se piove allora, ci sono nuvole o fa freddo P ➔ (Q∨R) Piove P................. Non fa freddo R.................. Ci sono nuvole Q................. Ragionamento valido 12 P Q P ∨Q P F F F V F V V V V F V F V V V F P Q P ➔ Q Q P F F V V V F V V F V V F F V F V V V F F P Q R Q∨R P ➔ (Q∨R) R F F F F V V F F V V V F F V F V V V F V V V V F V F F F F V V F V V V F V V F V V V V V V V V F 15 Regola Ragionamento Esempio Modus Ponens (MP) QP ➔ Q QP QQ Se piove allora ci sono nuvole Piove Ci sono nuvole Modus Tollens (MT) QP ➔ Q P ➔ Q QQ Q QP P Se piove allora ci sono nuvole Piove Ci sono nuvole Sillogismo ipotetico (SI) QP ➔ Q QQ ➔ R QP ➔ R Se piove allora ci sono nuvole Se ci sono nuvole allora porto un ombrello Ci sono nuvole Sillogismo disgiuntivo (SD) QP∨Q P∨Q QP Q QQ P QP∨Q P∨Q QP Q QQ P Vado a cena o vado al cinema Non vado a cena Vado al cinema Introduzione della congiunzione (IC) QP QQ QP∧Q Piove Fa freddo Piove e fa freddo Introduzione della disgiunzione (ID) QP QP∨Q Piove Piove o ho fame Eliminazione della congiunzione (EC) QP∧Q QP∧Q QP Q Piove e fa freddo Piove esercizio 1: P ➔ (Q∨R) P∧R Q 1) P ➔ (Q∨R) 2) P∧R 3) P EC 2 4) R EC 2 5) Q∨R MP 1, 3 6) Q SD 5, 4 esercizio 2: P∧Q P ➔ R Q ➔ S R∧S 1) P∧Q 2) P ➔ R 3) Q ➔ S 4) P EC 1 5) Q EC 1 6) R MP 2, 4 7) S MP 3, 5 8) R∧S IC 6, 7 esercizio 3: P∨Q Q P ➔ S S 1) P∨Q 2) Q 3) P ➔ S 4) P SD 1, 2 5) S MP 3, 4 16 esercizio 4: P ➔ Q Q P∨R R 1) P ➔ Q 2) Q 3) P∨R 4) P MT 1, 2 5) R SD 3, 4 esercizio 5: P∧Q Q ➔ S P∧S 1) P∧Q 2) Q ➔ S 3) P EC 1 4) Q EC 1 5) S MP 2, 4 6) P∧S IC 3, 5 esercizio 6: P ➔ Q Q ➔ R P R 1) P ➔ Q 2) Q ➔ R 3) P 4) Q MP 1, 3 5) R MP 2, 4 esercizio 7: P∧Q P∨R R ➔ S B ➔ Q S∧B 1) P∧Q 2) P∨R 3) R ➔ S 4) B ➔ Q 5) P EC 1 6) Q EC 1 7) R SD 2, 5 8) S MP 3, 7 9) B MT 4, 6 10) S∧B IC 8, 9 esercizio 8: P ➔ (QvR) P∧Q K ➔ R K∧P 1) P ➔ (Q∨R) 2) P∧Q 3) K ➔ R 4) P EC 2 5) Q EC 2 6) Q∨R MP 4, 1 7) R SD 6, 5 8) K MT 3,7 9) K∧P IC 8, 4 esercizio 9: P ➔ (R∧S) P SvQ RvK Q∧K 1) P ➔ (R∧S) 2) P 3) SvQ 4) RvK 5) R∧S MP 1, 2 6) R EC 5 7) S EC 5 8) Q SD 3, 7 9) K SD 4, 6 10) Q∧K IC 8, 9 esercizio 10: P ➔ R R∧K PvS K ➔ B S∧B 1) P ➔ R 2) R∧K 3) PvS 4) K ➔ B 5) R EC 2 6) K EC 2 7) P MT 1, 5 8) S SD 3, 7 9) B MP 4, 6 10) S∧B IC 8, 9 17 esercizio 11: P∧(Q ➔ R) P ➔ R Q∨S R∧S 1) P∧(Q ➔ R) 2) P ➔ R 3) Q∨S 4) P EC 1 5) Q ➔ R EC 1 6) R MP 2, 4 7) Q MP 5, 6 8) S SD 3, 7 9) R∧S IC 6, 8 esercizio 12: P ➔ (Q∨R) P∧Q R ➔ S Q∧S 1) P ➔ (Q∨R) 2) P∧Q 3) R ➔ S 4) P EC 2 5) Q EC 2 6) Q∨R MP 1, 4 7) R SD 6, 5 8) S MP 3,7 9) Q∧S IC 5, 8 esercizio 13: (P∧Q) ➔ R P∧S S ➔ Q R 1) (P∧Q) ➔ R 2) P∧S 3) S ➔ Q 4) P EC 2 5) S EC 2 6) Q MP 3, 5 7) P∧Q IC 4, 6 8) R MP 1, 7 esercizio 16: (P∨Q) ➔ R P∧S R∧S 1) (P∨Q) ➔ R 2) P∧S 3) P EC 2 4) S EC 2 5) P∨Q ID 3 6) R MP 1, 5 7) R∧S IC 6, 4 esercizio 17: P ➔ (R∧S) (SvK)∧P (R∧K) ➔ Q K∧Q 1) P ➔ (R∧S) 2) (SvK)∧P 3) (R∧K) ➔ Q 4) SvK EC 2 5) P EC 2 6) R∧S MP 1, 2 7) R EC 6 8) S EC 6 9) K SD 4, 8 10) R∧K IC 7, 9 11) Q MP 3, 10 12) K∧Q IC 9, 11 esercizio 14: P∧R R∨S (P∧S) ➔ (S∨B) R∧B 1) P∧R 2) R∨S 3) (P∧S) ➔ (S∨B) 4) P EC 1 5) R EC 1 6) S SD 2, 5 7) P∧S IC 4, 6 8) S∨B MP 3, 7 9) B SD 8, 6 10) R∧B IC 5, 9 esercizio 15: P ➔ R R∧T (P∨Q) ➔ S S∧T 1) P ➔ R 2) R∧T 3) (P∨Q) ➔ S 4) R EC 2 5) T EC 2 6) P MT 1, 4 7) P∨Q ID 6 8) S MP 7, 3 9) S∧T IC 8, 5 In questi due esercizi io posso aggiungere, usando ID, quello che voglio (se sta tra le premesse). Avendo la P e la non P posso aggiungere semplicemente ∨Q.