Teoria delle Probabilità: Campionamento, Inferenza, Algebra Eventi e Diagrammi Eulero-Venn, Appunti di Statistica

Scarica Teoria delle Probabilità: Campionamento, Inferenza, Algebra Eventi e Diagrammi Eulero-Venn e più Appunti in PDF di Statistica solo su Docsity! 1 La probabilità viene utilizzata per prendere decisioni in condizioni di incertezza L’incertezza riguarda esperimenti con più di un risultato possibile  La teoria della probabilità stabilisce i risultati che ci si può attendere dall’esecuzione di un esperimento  L’inferenza statistica si serve dei risultati dell’esperimento per cercare di costruire o interpretare la legge che sta dietro ai risultati sperimentali ottenuti. La probabilità Campione Popolazione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento e l’inferenza  Il campione deve essere rappresentativo della popolazione  campionamento casuale Il calcolo delle probabilità esamina i risultati che si ottengono sotto l’influenza del caso Campione Popolazione Calcolo delle probabilità L’inferenza e la probabilità 2 Esperimento o prova Una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza Evento elementare Ogni risultato possibile di un esperimento Spazio Campionario () Insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento La probabilità Esperimento: lancio di un dado Spazio campionario Evento elementare E1: uscita faccia 1 Spazio campionario Evento composto E1: uscita faccia pari PARI DISPARI Alcuni esempi Un’urna contiene 100 palline di cui 70 bianche e 30 nere Esperimento: si estrae a caso una pallina Evento elementare: la pallina estratta è nera Per controllare la qualità dei prodotti realizzati da un’azienda si estraggono a caso 100 unità Esperimento: estrazione casuale di 100 unità Evento elementare: almeno 10 unità sono difettose Un’indagine campionaria viene realizzata per capire il grado di soddisfazione degli utenti che usufruiscono del servizio Postepay. Esperimento: si estrae a caso un campione di 1000 utenti Evento elementare: meno del 10% degli utenti è insoddisfatto L’Algebra degli Eventi e i diagrammi di Eulero-Venn  A Evento A A A Evento negazione di A L’Algebra degli Eventi e i diagrammi di Eulero-Venn Prodotto logico o Intersezione2. C A B  Definiamo INTERSEZIONE tra due eventi A e B l’evento C che si verifica se e solo se si verificano contemporaneamente sia A che B;  A BA B Somma logica o Unione1. C A B  Definiamo UNIONE tra due eventi A e B l’evento C che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi A e B;  A B A B 5 Il teorema delle probabilità totali Consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno tra due o più eventi           1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 s P E o E o ... o E =P E + E + ... + E P E E ... E P E ... P E         Eventi incompatibili: Eventi compatibili:        1 2 1 2 1 2P E o E = P E P E P E E    E1 E2  E1 E2 Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte, qual è la probabilità di ottenere un due o un sette? • Esperimento: estrazione di una carta • E1: evento “la carta estratta è un due” • E2: evento “la carta estratta è un sette” • E1 e E2 sono incompatibili         13 1 13 1 21212 o 1  EPEPEEPEEP Un esempio Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte, qual è la probabilità di ottenere una carta di cuori o un sette? • Esperimento: estrazione di una carta • E1: evento “la carta estratta è di cuori” • E2: evento “la carta estratta è un sette” • E1 e E2 sono compatibili           52 1 13 1 4 1 2121212 o 1  EEPEPEPEEPEEP Un esempio Il teorema delle probabilità composte Consente di calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi considerati Eventi indipendenti: Eventi dipendenti:        1 2 s 1 2 s 1 sP E e E e ... e E = P E E ... E P E ... P E             1 2 1 2 1 2 1P E e E = P E E P E P E | E   6 La probabilità condizionata La probabilità di un evento dipende dalle circostanze sotto le quali l’esperimento viene condotto Elementi condizionanti * E1 E2* E2* Spazio campionario ridotto      1 2 2 1 1 P E E P E | E = P E   1 P Ese 0 Probabilità condizionata E2 E1   1 2 P E E  1 2 P E E Indipendenza Due eventi E1 e E2 sono indipendenti se:  L’indipendenza è una relazione reciproca  Se due eventi sono indipendenti allora    2 1 2P E | E =P E    2 1 2P E | E =P E    1 2 1P E | E =P E      1 2 1 2P E E = P E P E  Schema logico per le applicazioni 1. Individuare correttamente la prova e gli eventi che essa genera 2. Distinguere gli eventi elementari 3. Esplicitare gli eventi complessi Eventi A e B compatibiliincompatibili      P A B P A P B     0P A B         P A B P A P B P A B      P A B    P A P B    |P A P B A    |P B P A B indipendenti dipendenti Estraendo a caso due carte da un mazzo di 52 carte, qual è la probabilità che entrambe siano regine? • Esperimento: estrazione di due carta • E1: evento “la prima carta estratta è una regina” • E2: evento “la seconda carta estratta è una regina” 1. Estrazione senza ripetizione (eventi dipendenti)         51 3 52 4 1|21212 e 1  EEPEPEEPEEP Un esempio 7 Estraendo a caso due carte da un mazzo di 52 carte, qual è la probabilità che entrambe siano regine? • Esperimento: estrazione di due carta • E1: evento “la prima carta estratta è una regina” • E2: evento “la seconda carta estratta è una regina” 2. Estrazione con ripetizione (eventi indipendenti)         52 4 52 4 21212 e 1  EPEPEEPEEP Un esempio ??? Problema diretto ??? ??? E1 E2 Problema inverso Il Teorema di Bayes Probabilità note:    1P E  2P A | E  2P E  2P A | E   Probabilità a posteriori  1P E | A   2P E | A Il Teorema di Bayes E1 E2 En…………….. • E1, ..., En: eventi necessari e incompatibili ( ) (Cause) • A: evento incluso nello stesso spazio campionario ( ) (Effetto) 1 n i i E    A   Probabilità note:   Prob. a priori   Prob. condizionate Probabilità da determinare   Prob. a posteriori P Ei  P A | Ei  P E | Ai Il Teorema di Bayes