Analisi delle tensioni e deformazioni in travi soggette a flessione e taglio, Slide di Teoria E Progetto Di Strutture

Scarica Analisi delle tensioni e deformazioni in travi soggette a flessione e taglio e più Slide in PDF di Teoria E Progetto Di Strutture solo su Docsity! Tensioni e deformazioni interne Una trave soggetta a carichi ortogonali, si inflette spazzando il piano di inflessione La direzione di inflessione, se c’è simmetria rispetto al piano xy, è diretta secondo y Si ha flessione pura se la sola sollecitazione è dovuta al momento flettente, senza taglio Si ha flessione non uniforme se alla flessione viene associato un taglio Fless. pura F. Non unif. F. Non unif. Come si vedrà, in genere le zone della sezione più sollecitate a flessione sono lontane da quelle sollecitate a taglio e quindi si disaccoppiano gli effetti CURVATURA DI UNA TRAVE (piccoli spostamenti) La trave si oppone al momento incurvandosi, e ciò è responsabile dell’insorgere di tensioni Il centro di curvatura O’ è identificato dalla normale a due punti m1 e m2 distanti dx Il raggio di curvatura  (ed il suo inverso  ) rendono la trave tanto meno rettilinea quanto maggiore è M 1   d ds   1d ds      Nell’ambito dei piccoli spostamenti si può confondere ds con dx 1d dx      Altro modo di vedere le cose: curvatura positiva se il centro di curvatura si pone verso la direzione positiva delle y In questa trattazione si assumerà la curvatura positiva (derivata seconda positiva) che si instaura per effetto di un momento flettente positivo Per il calcolo delle tensioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a disposizione le due equazioni di equilibrio, longitudinale e dei momenti 0 ;x xA AdA y dA M      Se l’asse di sollecitazione è di simmetria (y) l’asse baricentrico appartiene al piano neutro Per la simmetria su y il piano neutro è piano principale d’inerzia Il momento statico della sezione rispetto al piano neutro è nullo – l’asse neutro (traccia piano neutro su piano di simmetria) è baricentrico TENSIONE NORMALE = ; 0 ; 0x x y z yE E           L’equazione di Hooke, applicata al caso monodimensionale, fornisce l’andamento della tensione Quindi anche la tensione, come la curvatura, segue un andamento lineare con la distanza dall’asse neutro Dalla I: 0 A n E y dA    0A y dA  Dalla convenzione dei segni adottata, un momento positivo sposta il centro di curvatura nel semispazio delle y positive Dalla II: 2x zA A E EM y dA y dA J        1 z M E J     Jz è il momento di inerzia che viene detto z in quanto misura la distanza y dall’asse neutro z Il termine EJz per analogia con la sollecitazione di trazione, viene anche indicato come rigidezza flessionale Combinando le due equazioni si ottiene lo stato di sollecitazione che risulta variabile linearmente (farfalla)   z M yy J    Per una sezione simmetrica e bilanciata rispetto baricentro La tensione risulta massima dove massima è la distanza dall’asse neutro di flessione SEZIONE CIRCOLARE PIENA E CAVA Piena: 4 64z J D Cava:  4 464zJ D d    Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo , 3 32 2 x D z M D M J D      , 4 4 32 2 x D z M D M D J D d      Il massimo valore si ha in corrispondenza della massima distanza dall’asse neutro , 2 6 2 x h z M h M J b h       , 33 6 2 2 2x h z M D M h J bh b s h s       SEZIONE RETTANGOLARE PIENA E CAVA Piena: 31 12z J bh Cava:    331 2 2 12z J bh b s h s      Bisogna innanzitutto calcolare il baricentro della sezione (mediante la media pesata) 1 2 3 1 2 3 40 74 40 G A A Ay A A A      z yg y 80 27612 12 68 61.52 Gy mm I momenti di inerzia baricentrici delle 3 aree sono: 3 4 1 1 12 80 512000 12 I mm   3 4 2 1 276 12 39744 12 I mm   4 3 512000 I mm Utilizzando il teorema di Huygens si calcola il momento di inerzia totale      2 2 6 42 512000+ 80 12 61.52 - 40 39744 + 276 12 74 - 61.52 = 2.469 10 totI mm           Tensione al TOP   2 6 3375 = 80 - 61.52 = 25.3 N 2.469 10Top mm    z M yy J      26 3375 = -61.52 = 84.2 N 2.469 10Bot mm    Tensione al BOT A1 A3 A2 Massima trazione al Bottom 47.3 MPa Tensione al TOP   26 1898 = 80 - 61.52 = 14.2 N 2.469 10Top mm     z M yy J      26 1898 = -61.52 = 47.3 N 2.469 10Bot mm   Tensione al BOT Massima compressione al Bottom - 84.2 MPa MODULO DELLA SEZIONE Ciascuna sezione può anche essere caratterizzata da un modulo, che consente il passaggio immediato dal momento applicato alla tensione normale (Top o Bottom) top Top z M y J    Top z Top M S     Bot Bot z M y J    Bot z Bot M S     z z JS y  4 64z dJ  3 32z dS  3 12z bhJ  2 6z bhS  Top Bot    In cemento armato: per lo più colate in forma Vista a parziale riempimento Tiranti pretensionati e bloccati dopo colatura  In compositi a fibra: estruse, injection molding, pressofusione, … EFFICIENZA RELATIVA TRA TRAVI 2 0.167 6 6z bh AhS Ah   A parità di area conta solo l’altezza 3 0.125 32cerchio dS A d  3 2 0.1477 6 12 4quadrato h dS d A d      Nella sezione quadrata si ha meno inutile materiale sull’asse neutro La soluzione migliore prevederebbe l’uso di materiale nelle sole flangie, per cui: 2 2 2 4ideale A hI          0.5 idealeS A h 0.35 effettivoS A h Questo valore in realtà non può essere raggiunto perché è necessaria un’anima che tiene lontane le due flange e che non può essere troppo sottile per non andare incontro ad instabilità Prendendo un cerchio di pari area ad un quadrato 2d h  2 h d 2   f M h T C bs J 2 sin 2    anima dT Rt dEquilibrio verticale 2  f anima M h bs Rt J 1  f M R EJ Ricordando che dall’equilibrio flessionale della sezione si ha la curvatura indotta 2 22 f anima M hbs EJ t  Sostituendo la curvatura alla precedente si ha Legame non lineare tra momento applicato e tensione di compressione sull’anima Quale sollecitazione viene scaricata sull’anima di una sezione a I ? In questo caso è necessario che Jz o Sz varino linearmente con x LARGHEZZA VARIABILE  0 cost 2z P x h J x      0 cost z P x S x      2 6 last z b xS x h L  P ALTEZZA VARIABILE Ora la variabilità lineare di Sx sarà affidata alla variazione della sola altezza  0 cost z P x S x      0 2 6 x b Ph x     6 amm Pxh x b   Ne risulta un profilo parabolico Ovviamente si potrebbero ancora impostare modifiche contemporanee di spessore ed altezza … Tensioni dovute al taglio In linea teorica si può avere sollecitazione di solo taglio, ma in realtà essa si accompagna sempre a momento flettente x y V V Ciononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo stesso modo in quanto esso fornisce tensioni normali, mentre il taglio dà tensioni tangenziali, nel riferimento adottato Il calcolo della tensione di taglio su una sezione è in realtà assai più complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma parabolica per una sezione rettangolare) Proprio per effetto delle forze di taglio la flessione di due travi sovrapposte e di un’unica trave di spessore doppio differiscono sensibilmente Spesso, in I approssimazione, si considera il taglio uniformemente distribuito sulla sezione resistente V A   SuwONE DI STAFFA ANCORAGGIO FISSAGGIO LAME | BALESTRE la e) Automobilistica trasversale STAFFA ANCORAGGIO, A progressivo doppio effetto   2 21 1 1 1 2 2 2 2 4 h yh b hS y b y y                  2 2 2 4yx V hy y J         SEZIONE RETTANGOLARE Il momento statico si può calcolare come area della parte sottesa alla corda ii per la distanza del suo baricentro dall’asse neutro Il valore massimo (y=0)   2 3 8 2yx Vh Vy J A    Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal momento statico – esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella sezione baricentrica taglio y x Rispetto al taglio mediato su tutta la sezione, il taglio al baricentro è superiore del 50 % nella sezione rettangolare Con alcune cautele la formula di Jourawsky è applicabile anche a sezioni non regolari Tensioni ribaltate Il tensore delle tensioni dovrà comunque risultare sempre tangente al profilo esterno, pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di taglio di Jourasky un’altra componente xz (antisimmetrica) che riorienti localmente le .   0 0 sin R x A S y dA r r d dr         3 2 3 0 0 2cos 3 12 R x DS r dr R         3 2 2 3 4 1 2 3 x G S Ry R A R    Da cui si può ricavare anche l’ordinata del baricentro: ( , ) dA r r d dr  Calcolo del momento statico G     3 max 4 0 64 1 4 0 12 3 V S D VV J b D D A              SEZIONE CIRCOLARE La tensione media può calcolarsi anche per una sezione circolare, tenendo conto le limitazioni sul riorientamento delle  nei bordi non paralleli a y. In particolare sul diametro: In sollecitazioni di momento non uniforme (presenza di taglio) l’andamento delle  nelle flangie presenta due componenti (ma quella orizzontale è più importante) TENSIONI DI TAGLIO IN TRAVI FLANGIATE Area sezione flangia: 1 1 2 2 hhA b      Area sezione parziale anima: 1 2 12 hA t y      Momento statico:   1 1 1 11 1 2 1 2 2 4 2 h h h h yS y A A y                    2 2 2 21 1 1 148 8 b tS y h h h y   Sostituendo e semplificando Le tensioni sull’anima si possono calcolare utilizzando la formula di Jourawsky:     V S y J b y           1 2 2 2 2 1 1 1 1 4 8 V S y V b h h t h y J b y J t         L’unica variabile è y1 , in modo quadratico 1 2 2 2 max 1 10 8 y V bh bh th J t         1 1 2 2 min 12 8 y h V bh bh J t        Generalmente, per le travi flangiate, è l’anima a supportare quasi tutto lo sforzo del taglio verticale applicato (90-98 %) In genere si trascura il contributo delle flangie, e si considera il taglio mediato su tutta l’anima con la semplicissima formula 1 anima V t h   Il semplice metodo utilizzato non può essere esteso al calcolo del taglio verticale sulle flangie, e si trascura la presenza del raccordo circolare, che pure è determinante per abbassare i picchi di tensione TRAVI COMPOSTE In molte applicazioni si ricorre a travi ottenute dall’assemblaggio di più elementi, anche in materiali differenti, per ottenere ottime performance leggerezza / costo / dimensioni Il calcolo di queste travi necessita di due passaggi: Verifica del comportamento della trave a flessione-taglio composta come se fatta di un sol pezzo Verifica delle connessioni presenti (chiodature, incollaggi, bullonature, spine, saldature, …) attraverso il concetto del flusso di taglio   ( ) ( ) yx A i j A i j Vdx dMb y dx y dA y dA J J      Riprendiamo l’equilibrio introdotto per il taglio, evidenziando la variazione del momento: Il flusso del taglio f è definito:   1 yx dM Vf b y y dA y dA dx J J      TRAVI SOGGETTE A CARICO ECCENTRICO Si tratta di travi nelle quali il carico assiale non è applicato al baricentro Momento di trasporto  x z P Pey y A J    La sovrapposizione comporta in pratica lo spostamento dell’asse neutro che si ritrova ponendo nulla la tensione assiale 0 zJy Ae   Considerando anche l’eccentricità nell’altra direzione si delimita una zona (rombo) detto nocciolo della sezione Sez. rettang.: la condizione limite si ha quando y0 = -h/2 3 1 2 1 2 6 b h he b h h   È di un certo interesse definire la zona entro la quale l’eccentricità del carico non induca un cambio nel segno della tensione: materiali non resistenti a trazione/compressione Nel caso ancor più generale di spostamento del carico secondo due direzioni, l’asse neutro non è più normale all’asse di sollecitazione né è parallelo agli assi principali di inerzia yz x N M y z Pe yP Pe z A J J         L’asse n-n si ricava dall’equazione della retta che si ottiene annullando la σ: z z z y y y J e Jy z J e A e    Nei calcoli si è implicitamente assunto che le deformate siano tali da non modificare l’azione dei carichi stessi Si è anche assunto che le tensioni fossero sempre sovrapponibili e quindi disaccoppiate fra loro, ciò non è vero se la trave diviene sottile e la distribuzione dello sforzo normale si modifica Finora si è sempre trattato di travi ad asse baricentrico rettilineo, in caso contrario un’altra trattazione è necessaria CONCENTRAZIONI DI TENSIONE Valgono le medesime considerazioni fatte per il caso assiale circa la validità delle soluzioni di St. Venant Si fa sempre riferimento alle tensioni nette per il calcolo delle tensioni nominali  3 3 6 nom B My Md J b h d     La tensione massima si ricava dal fattore K “puramente geometrico” tabellato e ricavabile in letteratura Max nom BK    Caso di due intagli simmetrici su lastra inflessa