Le disequazioni e come si calcolano, Slide di Matematica

Scarica Le disequazioni e come si calcolano e più Slide in PDF di Matematica solo su Docsity! Le disequazioni I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze. Disuguaglianze numeriche ESEMPI • a < b Il numero a è minore del numero b • a > b Il numero a è maggiore del numero b • a ≤ b Il numero a è minore di b o uguale a b • a ≥ b Il numero a è maggiore di b o uguale a b 4 < 12 5 > −3 1 • a < b equivale a b > a • a ≤ b equivale a b ≥ a Le disequazioni Proprietà delle disuguaglianze ESEMPI • a < b a + c < b + c con a, b, c R 4 < 7 4 + 3 < 7 + 3 infatti 7 < 10 9 > 3 9 − 4 < 3 − 4 infatti 9 > −1 • a < b a e b concordi >1 a 1 b ESEMPI −3 < −2 − > − 1 3 1 2 2 −3 < 5 − < 1 3 1 5 infatti Le disequazioni Definizioni e caratteristiche • Disequazione intera: disequazione in cui A(x) e B(x) sono polinomi. • Disequazione frazionaria: disequazione in cui le frazioni algebriche contengono l’incognita al denominatore. ESEMPIO x + 3 > 2x – 4 1 3 x 4 x + > 1 ESEMPI 1 x > 3x + 1 È frazionaria È interax 3 > x + 1 4 5 Le disequazioni Definizioni e caratteristiche • L’insieme delle soluzioni è di solito un insieme di numeri reali che può essere rappresentato graficamente sulla retta. ESEMPIO La disequazione x − 2 ≥ 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono maggiori o uguali a 2: 2 • Tutti gli insiemi rappresentati sulla retta reale da semirette o da segmenti vengono detti intervalli. 6 La disequazione x − 3 < 0 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali che sono minori di 3: 3 Le disequazioni Rappresentazione delle soluzioni 7 Intervallo Scrittura algebrica Rappresentazione sulla retta reale ILLIMITATO APERTO ILLIMITATO CHIUSO ILLIMITATO APERTO ILLIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO LIMITATO CHIUSO LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX x > a x ≥ a x < a x ≤ a a < x < b a ≤ x ≤ b a < x ≤ b a ≤ x < b a a a a a b a a b a b b Le disequazioni ESEMPIO Principi di equivalenza 10 Conseguenza. Si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per −1. −6x + 3 < 4 −5x diventa 6x − 3 > 5x − 4 Conseguenza. Se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il m.c.m. fra i denominatori. ESEMPIO + x − 1 2 3x − 4 3 > 1 6 x diventa 3(x − 1) + 2(3x − 4) 6 6 x 6 > 6 3(x – 1) + 2(3x – 4) > x continua Le disequazioni ESEMPIO Principi di equivalenza 11 ATTENZIONE! L’ultima conseguenza non può essere applicata alle disequazioni frazionarie per eliminare i denominatori. −x + 1 x x x − 1 > 0 Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x2 > 0 Le disequazioni Disequazioni lineari intere 12 Disequazione lineare intera: disequazione intera di primo grado. Procedura risolutiva • Si eseguono le operazioni indicate e si eliminano gli eventuali denominatori. • Si trasportano tutti i termini contenenti la x al primo membro e gli altri al secondo e si riducono poi gli eventuali termini simili. • Si ottiene una disequazione ridotta in forma normale del tipo ax > b oppure ax < b. • Se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a ricordando di cambiare il verso della disuguaglianza se a < 0. • Se a = 0 la disequazione si riduce a una disguaglianza che può essere vera o falsa, determinando così un insieme di soluzioni uguale a R o all’insieme vuoto. NOTA Se a < 0 conviene prima cambiare segno e verso alla disequazione. Le disequazioni Disequazioni frazionarie 15 • Dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro • Si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i calcoli in modo da arrivare alla forma • Si studiano separatamente i segni di A(x) e di B(x) • Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella • Si costruisce il segno della frazione • Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso Procedura risolutiva A(x) B(x) > 0 A(x) B(x) < 0oppure Le disequazioni Disequazioni frazionarie 16 ESEMPIO 2x x + 3 > 1 − x + 2 x + 3 x ≠ −3 • Trasportiamo tutti i termini al primo membro: 2x x + 3 − 1 + x + 2 x + 3 > 0 • Riduciamo tutto allo stesso denominatore: 2x – (x + 3) + x + 2 x + 3 > 0 • Svolgiamo i calcoli al numeratore 2x – 1 x + 3 > 0 continua Le disequazioni Disequazioni frazionarie 17 ESEMPIO • Costruiamo la tabella dei segni: • Segno del numeratore: 2x – 1 > 0 se x > 1 2 1 2 +− R • Segno del denominatore: x + 3 > 0 se x > − 3 −3 +− R −3 1 2 • Calcoliamo il segno della frazione: − − + − + + + − + • Scriviamo le soluzioni: x < − 3 ∨ x > 1 2