Le Operazioni con i vettori: somma, differenza, prodotto scalare e vettoriale, Dispense di Fisica

Scarica Le Operazioni con i vettori: somma, differenza, prodotto scalare e vettoriale e più Dispense in PDF di Fisica solo su Docsity! Operazioni con i vettori Con i vettori è possibile svolgere diverse operazioni, tra cui: somma e differenza tra due vettori e prodotto tra uno scalare e un vettore. Somma tra due vettori La somma tra due vettori può essere definita come il vettore che si ottiene attraverso il seguente procedimento grafico, detto metodo del parallelogramma. Metodo del parallelogramma Per applicare il metodo del parallelogramma è necessario disegnare i due vettori da sommare in modo che tanto gli angoli che essi formano quanto le loro lunghezze (ovvero i loro moduli) siano corretti. Per quanto riguarda gli angoli, non ci sono particolari problemi: naturalmente, sarà necessario usare il goniometro per misurarli in modo preciso; bisogna inoltre ricordare che (salvo indicazioni diverse) quando si parla di vettori gli angoli sono sempre misurati a partire dalla parte positiva dell’asse x. Per disegnare in modo corretto le lunghezze dei vettori, invece, è necessario stabilire una scala, ovvero scegliere a cosa corrisponderà una data lunghezza (solitamente, ma non per forza, un centimetro) sulla carta. Si tratta di applicare lo stesso tipo di procedimento utilizzato per realizzare una piantina o una cartina geografica; l’unica differenza sta nel fatto che nel caso dei vettori la grandezza originaria non deve necessariamente essere una lunghezza. Esempio 1: rappresentare graficamente una forza ~F con F = 36 N che forma un angolo di 130° con l’asse x Svolgimento: Per poter disegnare questo vettore è necessario stabilire una scala. Per ottenere un disegno che non sia né troppo grande né troppo piccolo, possiamo scegliere una scala 1 cm : 6 N, ovvero stabilire che un centimetro sulla carta corrisponda a 6 N. In questo modo, la lunghezza del vettore che disegneremo sarà di 36 N 6 N/cm = 6 cm. Il disegno del vettore è riportato in figura 1. x ~v 130 ◦ 6 cm Figura 1: rappresentazione in scala di un vettore Per applicare il metodo del parallelogramma, dobbiamo disegnare i due vettori da sommare in modo che le loro code (la coda di un vettore è l’estremo opposto alla punta) partano dallo stesso punto, quindi tracciare un parallelogramma avente i due vettori come lati. Il vettore somma è il vettore che parte dalle code dei due vettori e arriva al vertice opposto, ovvero la diagonale del parallelogramma che parte dalle code dei due vettori. 1 Per disegnare il parallelogramma bisogna tracciare, a partire dalla punta di ogni vettore, la retta parallela all’altro vettore: il punto di intersezione di tali rette costituisce l’ultimo vertice del parallelogramma. In figura 2 è mostrato come trovare con il metodo del parallelogramma la somma di due vettori. ~v ~u ~w = ~v + ~u Figura 2: calcolo della somma di due vettori con il metodo del parallelogramma. Il vettore ~w è la somma dei vettori ~v e ~u: ~w = ~v + ~w Una volta disegnato il vettore somma, si può misurare l’angolo che forma con l’asse orizzontale con il goniometro. Per quanto riguarda il suo modulo, invece, esso si trova moltiplicando la lunghezza misurata con il righello per la scala scelta nel disegno. Esempio 2: calcolare con il metodo del parallelogramma la somma dei due vettori ~v, con modulo v = 12 N e direzione α = 68°, e ~u con modulo u = 18 N e direzione β = 15° Svolgimento: Scegliamo una scala in cui 1 cm : 3 N, in modo che le lunghezze dei due vettori siano rispettivamente 4 cm e 6 cm. Misurando poi gli angoli con il goniometro, disegnamo i due vettori, come mostrato nella prima parte di figura 3. A questo punto, tracciamo la retta parallela a ogni vettore passante per la punta dell’altro (riferendoci alla figura 3, la parallela a ~v passante per la punta di ~u e la parallela a ~u passante per la punta di ~v). Il punto di intersezione di queste due rette è l’ultimo vertice del parallelogramma e coincide con la punta del vettore somma. Una volta disegnato il vettore ~w, possiamo misurare con il goniometro la sua direzione (l’angolo che forma con l’asse x) che risulta essere di 36°. Per trovare il modulo del vettore, misuriamo la sua lunghezza (8,9 cm) e la moltiplichiamo per la scala (3 N/cm). Il risultato è 8,9 cm · 3 N/cm = 27 N. Metodo punta-coda Esiste un altro metodo grafico che si può usare per sommare due vettori. Esso è equivalente al metodo del parallelogramma ed è usato soprattutto quando è necessario sommare più di due vettori. Questo metodo è detto metodo punta-coda. Per sommare due vettori con il metodo punta-coda, si disegnano i due vettori in modo che la coda del secondo parta dalla punta del primo (l’angolo del secondo vettore è come sempre misurato rispetto all’orizzontale). Il vettore somma si ottiene congiungendo la coda del primo vettore con la punta del secondo, come mostrato in figura 4. Come si vede dalle due figure, i vettori somma ottenuti con i due metodi sono uguali. Questo non è un caso: il triangolo che si ottiene applicando il metodo punta-coda è esattamente metà del parallelogramma ottenuto con il metodo omonimo; il lato ~w del triangolo coincide con la diagonale ~w del parallelogramma. 2 Notiamo che il simbolo | | in questa formula non indica il modulo di un vettore, ma semplicemente il valore assoluto della differenza tra i moduli di v e di u (che sono due numeri). Esempio 3: calcolare modulo, direzione e verso del vettore ~w = ~v + ~u, dove v = 80 N e u = 60 N. Gli angoli formati da ~v e ~u con l’asse x sono rispettivamente α = 40° e β = 220°. Svolgimento: ~v e ~u hanno la stessa direzione ma verso opposto: ce ne rendiamo conto notando che la differenza tra gli angoli che formano con l’asse x è un angolo piatto: β − α = 180°. Di conseguenza, il modulo del vettore somma è la differenza tra il modulo di ~v e quello di ~u (questo perché v > u): w = |v − u| = 80 N − 60 N = 20 N. ~w ha lo stesso verso di ~v. Esempio 4: calcolare modulo, direzione e verso del vettore ~w = ~v + ~u, dove v = 80 N e u = 60 N che formano un angolo di 130° con l’asse x Svolgimento: ~v e ~u hanno la stessa direzione e stesso verso, in quanto gli angoli che formano con l’asse x sono uguali. Di conseguenza, direzione e verso di ~w sono gli stessi di quelli di ~v e ~u, mentre il suo modulo è la somma tra i moduli di ~v e di ~u: w = v + u = 80 N + 60 N = 140 N. Esempio 5: calcolare il modulo del vettore ~w = ~v + ~u, dove v = 80 N e u = 60 N. Gli angoli formati da ~v e ~u con l’asse x sono rispettivamente α = 30° e β = 120°. Svolgimento: ~v e ~u sono perpendicolari fra loro in quanto la differenza tra gli angoli che formano con l’asse x è un angolo retto: β−α = 90°. Di conseguenza, il modulo del vettore somma si ottiene con il teorema di Pitagora: w = √ v2 + u2 = √ (80 N) 2 + (60 N) 2 = 100 N. Limiti sul modulo del vettore somma In figura 8 è mostrato cosa succede al vettore somma se si cambiano le direzioni (ma non il verso) degli addendi. Come si può vedere è sufficiente modificare la direzione degli addendi (o anche di uno solo di essi) perché il modulo del vettore somma cambi. Come si vede dalla figura 4, sommando due vettori con direzioni diverse si ottiene un triangolo i cui lati sono i due addendi e il vettore somma. Ricordiamo che in ogni triangolo i lati devono soddisfare i seguenti requisiti: • ogni lato è minore della somma degli altri due • ogni lato è maggiore della differenza degli altri due. 5 ~v ~u ~w = ~v + ~u ~v ′ ~u′ ~w′ = ~v′ + ~u′ Figura 8: somma di vettori con lo stesso modulo ma direzione diversa. Il modulo del vettore ~w = ~v+~u è diverso (maggiore) di quello del vettore ~w′ = ~v′ + ~u′, nonostante i moduli del vettore ~v e di ~v′ siano uguali, così come i moduli di ~u e ~u′ Ad esempio, considerando un triangolo ABC, per il lato AB queste relazioni significano che: AB < BC +AC AB > |BC −AC| (nella seconda riga il valore assoluto è necessario in quanto il risultato della sottrazione deve essere positivo ma non sappiamo quale dei due lati BC e AC sia più lungo). Relazioni analoghe valgono anche per gli altri lati. Tornando al triangolo che ha come lati i due addendi e il vettore somma, le relazioni appena viste implicano che: • il modulo (lunghezza) del vettore somma di due vettori con direzioni diverse deve essere minore della somma dei moduli (lunghezze) dei due addendi • il modulo (lunghezza) del vettore somma di due vettori con direzioni diverse deve essere maggiore della differenza tra il moduli (lunghezze) dei due addendi. Queste due proprietà possono essere generalizzate anche ai casi di somma di vettori paralleli o antiparalleli nel modo seguente: • il modulo del vettore somma è sempre minore o uguale alla somma dei moduli dei due addendi; l’uguaglianza vale solo se i vettori sono paralleli con stesso verso. • il modulo del vettore somma è sempre minore o uguale alla differenza dei moduli dei due addendi; l’uguaglianza vale solo se i vettori sono antiparalleli. In formule, possiamo scrivere queste due relazioni come: |v − u| ≤ w ≤ v + u (il valore assoluto a sinistra è necessario per assicurarci che il numero risulti positivo, visto che non sappiamo se chi è maggiore tra v e u). Scomposizione di un vettore Un qualunque vettore ~w può sempre essere scomposto nella somma di due altri vettori che si trovano lungo rette scelte arbitrariamente: per fare ciò è sufficiente applicare il metodo del parallelogramma al contrario: 6 conosciamo il vettore somma e le direzioni delle rette su cui si trovano i suoi lati e vogliamo trovare i lati stessi. Per trovare i lati del parallelogramma, è sufficiente tracciare la coppia di rette che ci danno le direzioni dei lati due volte: una volta in modo che si intersechino sulla coda del vettore e una volta in modo che si intersechino sulla sua punta: gli altri due punti di intersezione forniscono le punte dei vettori cercati. Il procedimento è illustrato in figura 9. ~v ~u ~w Figura 9: scomposizione di un vettore ~w nella somma di due vettori ~v e ~u le cui direzioni sono identificate dalle rette tratteggiate in rosso e in blu. Componenti cartesiane di un vettore Dato un vettore, definiamo le sue componenti cartesiane o, più semplicemente, componenti come le coordinate della sua punta. Come mostrato in figura 10, scomponendo il vettore nella somma di due vet- tori paralleli agli assi cartesiani, otteniamo un rettangolo di cui il vettore è la diagonale, vale a dire due triangoli rettangoli congruenti di cui il vettore è l’ipotenusa. Le coordinate della sua punta possono quindi essere ottenute applicando le formule che permettono di trovare i cateti di un triangolo rettangolo a partire dall’ipotenusa e dagli angoli. Possiamo quindi scrivere le formule delle due componenti vx e vy di un vettore ~v come: vx = v cosα vy = v sinα, dove α è l’angolo tra ~v e l’asse x. Se α > 90°, cosα o sinα (o entrambi) risulteranno negativi: questo è corretto in quanto per tali angoli, il vettore si troverà nel secondo, terzo o quarto quadrante e, di conseguenza, almeno una delle coordinate della loro punta sarà negativa. 7 con sé stesso tre volte: 5 ·3 = 5+5+5). Possiamo estendere quest’idea ai vettori definendo la moltiplicazione tra un vettore e un numero intero positivo come la somma del vettore con sé stesso un numero di volte pari al numero, come mostrato in figura 12. Come si vede, la direzione e il verso del vettore 3~v sono gli stessi ~v ~v ~v 3~v Figura 12: calcolo del vettore 3~v come somma del vettore ~v con sé stesso tre volte. La somma è effettuata con il metodo punta-coda, disegnando ognuno dei tre vettori ~v a partire dalla punta del precedente. Per maggior leggibilità, il vettore 3~v è disegnato accanto agli altri invece che sovrapposto ad essi del vettore ~v, mentre il modulo risulta essere il triplo di quello di ~v. Possiamo estendere l’idea descritta sopra al caso di qualunque numero positivo, anche se non intero: il prodotto tra un vettore v e un numero positivo (non per forza intero) k è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso di ~v e modulo pari a k volte il modulo di v (kv). Per poter definire anche la moltiplicazione tra un vettore e un numero negativo, iniziamo a definire l’opposto di un vettore ~v, indicato con −~v come il vettore che ha direzione e modulo uguali a quelli di ~v ma verso opposto, come mostrato in figura 13. ~v −~v Figura 13: il vettore −~v opposto del vettore ~v. −~v ha la stessa direzione e lo stesso modulo di ~v ma verso opposto ad esso A questo punto, definiamo il prodotto tra il vettore ~v e il numero k, con k < 0, come il prodotto tra il vettore opposto a ~v e il numero |k|: k~v = |k| · (−~v) . Dunque, se k < 0, il vettore k~v ha la stessa direzione di ~v, verso opposto ad esso e modulo pari a quello di ~v moltiplicato per |k|. Riassumendo, il vettore ~u = k~v per k qualunque: • ha la stessa direzione di ~v • ha modulo pari a quello di ~v moltiplicato per il valore assoluto di k: u = |k| · v • ha lo stesso verso di ~v se k > 0 e verso opposto se k < 0. 10 Esiste una semplice relazione tra le componenti del vettore ~u = k~v e quelle di ~v. Consideriamo il caso in cui sia k > 0. Allora, detto α l’angolo tra l’asse x e ~v, applicando le formule per le componenti di un vettore, si ha: ux = u cosα = kv cosα = k · (v cosα) = kvx uy = u sinα = kv sinα = k · (v sinα) = kvy Questa relazione continua a valere anche se k < 0, anche se non la ricaveremo in tale caso perché la cosa risulta complicata (le complicazioni nascono dal fatto che, per k < 0, vale l’uguaglianza u = |k| · v invece che u = kv; inoltre l’angolo formato da ~v con l’asse x è diverso da quello formato da ~u). Riassumendo: le componenti del risultato della moltiplicazione tra un vettore e un numero sono uguali alle componenti del vettore moltiplicate per il numero: ux = kvx uy = kvy In particolare, poiché il vettore opposto di un vettore dato può essere pensato come quest’ultimo molti- plicato per −1, le sue componenti saranno semplicemente l’opposto delle componenti del vettore di partenza. In formule, detto ~u il vettore −~v, risulta: ux = −vx uy = −vy Esempio 7: Calcolare le componenti del vettore ~u = −4~v, dove v = 16 N e ~v forma un angolo di 80° con l’asse x Svolgimento: Sappiamo che le componenti di ~u saranno uguali alle componenti di ~v moltiplicate per −4. Iniziamo pertanto a calcolare le componenti di ~v: vx = v cosα = 16 N cos 80° = 2,8 N vy = v sinα = 16 N sin 80° = 16 N A questo punto, per trovare le componenti di ~u, è sufficiente moltiplicare le componenti di ~v per −4: ux = −4vx = −4 · 2,8 N = −11 N uy = −4vy = −4 · 16 N = −64 N Sottrazione tra due vettori La sottrazione tra due vettori si ottiene sommando il primo vettore con l’opposto del secondo: ~v − ~u = ~v + (−~u) Possiamo svolgere questo calcolo graficamente usando la regola del parallelogramma, come mostrato in figura 14: In figura 15 è mostrato il parallelogramma che useremmo per calcolare la somma ~v + ~u per gli stessi vettori di figura 14. Come si può vedere, il vettore ~v − ~u si può ottenere anche tracciando l’altra diagonale 11 ~v ~u −~u ~w = ~v − ~u Figura 14: sottrazione tra il vettore ~v (in blue) e il vettore ~u (in rosa), ottenuta come somma tra ~v e −~u (in rosso) ~v ~u ~w = ~v − ~u Figura 15: un altro metodo per eseguire graficamente la sottrazione di due vettori: tracciando il paralle- logramma avente i due vettori come lati, vediamo che il vettore differenza si può ottenere considerando la diagonale che parte dalla punta del secondo vettore e arriva alla punta del primo. Confrontando questo vettore con quello in figura 14, si vede che sono identici del parallelogramma, ossia quella che va dalla punta del secondo vettore (~u) a quella del primo vettore (~v). Per quanto riguarda le componenti del vettore differenza, poiché la differenza tra due vettori è definita come somma tra il primo vettore e l’opposto del secondo, vale quanto detto a proposito delle componenti del vettore somma: le componenti del vettore differenza sono la somma tra le componenti del primo vettore e le componenti dell’opposto del secondo. Poiché le componenti dell’opposto di un vettore sono l’opposto delle componenti di quel vettore, le componenti del vettore differenza si ottengono facendo la differenza delle componenti dei due vettori. Se chiamiamo ~w il vettore differenza, ~w = ~v − ~u, allora wx = vx + (−ux) = vx − ux wy = vy + (−uy) = vy − uy Esempio 8: Calcola, con metodo grafico e con metodo analitico, il modulo della differenza tra i vettori ~v e 12